精品解析：河北衡水中学2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科试题（原卷版）_2057_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026年4月_2026年河北省衡水中学高三下学期综合素质评价三

2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三
数学学科
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（共 58分）
一、单选题(共 8个小题，每题 5分，共 40分)
   
M  x x2 3x0 N  x y  x1
M N 
1. 已知集合 ， ，则  （ ）
A.
0,3
B.
1,3
C.
0,3
D.
1,3
2. 已知向量a  (1,4)，b  (2,3)，则向量a在向量b  上的投影向量为（ ）
10 15  10 15  20 30 20 30
A.  ,  B.   ,  C.   ,  D.  , 
13 13  13 13  13 13 13 13
3. 已知 z  z2 ， z为虚 公 数，则 众 zz 号 的值 ： 可能为 高 （ 考 ） 试卷君
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
4. 一个圆台的母线长为 13，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. 26π B. 32π C. 78π D. 86π
5 1
5. 已知0π，则“cosα= ”是“cos2 ”的（ ）
3 9
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
y2 x2
6. 设双曲线C:  （1 a 0,b0）的焦距为2c，若a2、b2、c2成等差数列，则该双曲线的渐近线
a2 b2
方程为（ ）
2
A. y  2x B. y x
2
3
C. yx D. y  x
3
7. 已知y  f(x)满足 f(x1) f(1x), f(x2) f(x)2，且当x[0,1]时， f xex，则
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学科网（北京）股份有限公司2023
f  的值为（ ）
 2 
1 1 1 1
A. B. C.  D. 
e2 1011 e2 1010 e 2 1011 e 2 1010
8. 已知抛物线C：y2 2px（ p 0）的焦点为F ，圆M ：x12  y2 16与C交于A，B两点，若
直线AM 与直线BM 的斜率之积为3，则 AF （ ）
7
A. 3 B. C. 4 D. 5
2
二、多选题(每题 6分，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有错选的得 0分，共 18分)
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本相关系数r 越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量X 的方差D(X)20，期望E(X)6，则E
 X2
16
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个
学生的数学成绩的方差为10.8
x2 y2  
10. 已知C:  1ab0的左、右焦点分别为F,F ，长轴长为6，点M 6,1 在椭圆C
a2 b2 1 2
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外，点N 在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
 6 
A. 椭圆C的离心率的取值范围是 ,1
 
3
 
 
B. 椭圆C上存在点Q使得QF QF 0
1 2
2 2 3 6
C. 已知E0,2 ，椭圆C 的离心率为 ，则 NE 的最大值为
3 2
NF  NF
1 2
D. 的最小值为1
NF  NF
1 2
11. 定义：若函数 f(x)在区间 a,b 的值域为 a,b ，则称区间 a,b 是函数 f(x)的“完美区间”.另外，
定义区间 a,b 的“复区间长度”为2(ba).已知函数 f(x)= x2 1，则下列说法中正确的是:( )
A. 0,1 是 f(x)的一个“完美区间”
1 5 1 5
B.  , 是 f(x)的一个“完美区间”
2 2
 
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学科网（北京）股份有限公司C. f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 5
D. f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为32 5
第 II 卷（共 92分）
三、填空题(每题 5分，共 15分)
12. 已知4a  2，则log a______.
2
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同
的排法有______种．
  
14. 已知正实数x，y满足 2x 4x2 1 y2 42  y，则x2ey的最小值为______．
四、解答题(共 5题，满分 77分)
15. 已知数列 a  满足a 2,a na a  nN* ．
n 1 n n1 n
（1）求数列
a 
的通项公式；
n
1
（2）设b  ，求数列 b  的前n项和为S ．
n a2 1 n n
n
16. AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发
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展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表.
购买无AI技术的手
购买AI手机 总计
机
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，
1 1
分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为 和 ，其余情况不中奖.每位顾客允许
6 3
连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为X 元，求随机变量X 的数学期望.
nad bc2
参考公式及数据：①2  ，其中nabcd ．
abcdacbd
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学科网（北京）股份有限公司②P  2 6.635  0.01,P  2 5.024  0.025,P  2 3.841  0.05,P  2 2.706  0.1．
sin2A cosBcosC
17. 在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，  .
1cos2A sinCsinB
（1）求cosA的值；
（2）若D是边BC上一点，AD DC 2BD，c1，求VABC的周长.
18. 对于函数 f x ，若 f x  x ，则称实数x 为函数 f x 的不动点，设函数
0 0 0
f xlog 2  4x a2x12  ，g(x) =
æ
ç ç
1ö
÷ ÷
x
.
è2ø
（1）若a 1，求函数 f x 的不动点；
（2）若函数 f x 在区间 1,1 上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的x ,x 1,0 ，不等式 f x gx  2恒成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 2
19. 如图（1），已知抛物线E:x2 2y的焦点为F ，准线为l，过点F 的动直线m与E交于A，B两点
（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线l相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将△ACB
沿CD折成直二面角ACDB，如图（2）．
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（1）证明：cosACBcosACDcosBCD；
（2）当ACB最小时，
①求A，B两点间的最小距离；
②当A，B两点间的距离最小时，在三棱锥ABCD内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱
体积的最大值．
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