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2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三
数学学科
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（共58分）
一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
4. 一个圆台的母线长为 ，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设双曲线 的焦距为 ，若 成等差数列，则该双曲线的渐近线
方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
7. 已知 满足 ，且当 时， ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，圆 ： 与 交于 ， 两点，
若直线 与直线 的斜率之积为 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 4 D. 5
二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)
的
9. 下列说法正确 是（ ）
A. 样本相关系数 越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量 的方差 ，期望 ，则
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学
生的数学成绩的方差为10.8
10. 已知 左的、右焦点分别为 ，长轴长为 ，点 在椭圆 外，
点 在椭圆 上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆 的离心率的取值范围是
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学科网（北京）股份有限公司B. 椭圆 上存在点 使得
C. 已知 ，椭圆 离心率为 ，则 的最大值为
的
D. 的最小值为
11. 定义：若函数 在区间 的值域为 ，则称区间 是函数 的“完美区间”.另外，
定义区间 的“复区间长度”为 .已知函数 ，则下列说法中正确的是:( )
A. 是 的一个“完美区间”
B. 是 的一个“完美区间”
的
C. 所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
第II卷（共92分）
三、填空题(每题5分，共15分)
12. 已知 ，则 ______.
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不
同的排法有______种．
14. 已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
四、解答题(共5题，满分77分)
15. 已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发
展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买 手机的情况，得到数据如下表.
购买无 技术的手
购买 手机 总计
机
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买 手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进 手机的销量，该商场为购买 手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，
分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为 和 ，其余情况不中奖.每位顾客允许
连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为 元，求随机变量 的数学期望.
参考公式及数据：① ，其中 ．
② , , , ．
17. 在 中，角 ， ， 所对 边的分别为 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）若 是边 上一点， ， ，求 的周长.
18. 对于函数 ，若 ，则称实数 为函数 的不动点，设函数
， .
（1）若 ，求函数 的不动点；
（2）若函数 在区间 上存在两个不动点，求实数 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 如图（1），已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的动直线 与 交于A，B两点
（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线 相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将 沿
CD折成直二面角 ，如图（2）．
（1）证明： ；
（2）当 最小时，
①求 ， 两点间的最小距离；
②当 ， 两点间的距离最小时，在三棱锥 内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体
积的最大值．
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