精品解析：河北衡水中学2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科试题（原卷版）_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026年4月_2026年河北省衡水中学高三下学期综合素质评价三

2025-2026 学年度高三年级下学期综合素质评价三
数学学科
考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（共 58分）
一、单选题(共 8个小题，每题 5分，共 40分)
1. 已知集合
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M =

x x 2 − 3 x  0

，
N =

x y = x − 1

，则
M  N =
（ ）
A.  0 , 3  B.  1 , 3  C. 0,3) D. ( 1 , 3 
 
2. 已知向量a =(1,−4)，b =(2,3)，则向量
a
在向量
b
上的投影向量为（ ）
A.
 1
1
0
3
,
1
1
5
3

B.

−
1
1
0
3
, −
1
1
5
3

C.

−
2
1
0
3
, −
3
1
0
3

D.
 2
1
0
3
,
3
1
0
3

3. 已知 z = z − 2 ， z 为虚数，则 z  z 的值可能为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. − 1
4. 一个圆台的母线长为 13，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. 2 6 π B. 3 2 π C. 7 8 π D. 8 6 π
5
5. 已知0π，则“cosα= ”是“
3
c o s 2
1
9
 = ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设双曲线 C :
y
a
2
2
−
x
b
2
2
= （1 a  0 , b  0 ） 的焦距为2c，若a2、b2、c2成等差数列，则该双曲线的渐近线
方程为（ ）
A. y =  2 x B. y = 
2
2
x
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3
C. y=x D. y= x
3
7. 已知y= f(x)满足 f(x+1)= f(1−x), f(x+2)= f(x)+2，且当x[0,1]时， f (x)=ex，则第2页/共5页
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f
 2 0 2
2
3 
的值为（ ）
A.
e
12
+ 1 0 1 1
B.
e
12
+ 1 0 1 0
C.
e
−
12
+ 1 0 1 1
D.
e
−
12
+ 1 0 1 0
8. 已知抛物线C： y 2 = 2 p x （ p 0）的焦点为 F ，圆 M ：(x+1)2 + y2 =16与C交于 A ， B 两点，若
直线 A M 与直线 B M 的斜率之积为 − 3 ，则 A F = （ ）
A. 3 B.
7
2
C. 4 D. 5
二、多选题(每题 6分，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有错选的得 0分，共 18分)
9. 下列说法正确 是（ ）
A. 样本相关系数 r 越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量 X 的方差 D ( X ) = 2 0 ，期望E(X)=6，则 E ( X 2 ) = 1 6
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个
学生的数学成绩的方差为10.8
x2 y2
10. 已知C: + =1(a b0) 左、右焦点分别为
a2 b2
F
1
, F
2
，长轴长为 6 ，点 M
(
6 , 1
)
在椭圆C
外，点N 在椭圆C上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆 C 的离心率的取值范围是

3
6
, 1

B. 椭圆 C

上存在点Q使得QF QF =0
1 2
C. 已知 E ( 0 , − 2 ) ，椭圆C 离心率为
2
3
2
，则 N E 的最大值为
3
2
6
D.
N
N
F
F
1
1
+

N
N
F
F
2
2
的最小值为 1
11. 定义：若函数 f ( x ) 在区间  a , b  的值域为  a , b  ，则称区间 a,b 是函数 f ( x ) 的“完美区间”.另外，
定义区间 a,b 的“复区间长度”为 2 ( b − a ) .已知函数 f(x)= x2 −1，则下列说法中正确的是:( )
A.  0 , 1  是 f ( x ) 的一个“完美区间”
1− 5 1+ 5
B.  , 是 f(x)的一个“完美区间”
2 2
 
的
的
公众号：高考试卷君
的C.
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f ( x ) 所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 + 5
D. f ( x ) 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 + 2 5
第 II卷（共 92分）
三、填空题(每题 5分，共 15分)
12. 已知4a = 2，则 lo g
2
a = ______.
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同
的排法有______种．
14. 已知正实数x，y满足
(
2 x + 4 x 2 + 1
) (
y 2 + 4 − 2
)
= y ，则 x 2 e y 的最小值为______．
四、解答题(共 5题，满分 77分)
15. 已知数列  a
n
 满足 a
1
= 2 , a
n
= n ( a
n + 1
− a
n
) ( n  N * ) ．
（1）求数列  a
n
 的通项公式；
（2）设 b
n
=
a 2n
1
− 1
，求数列  b
n
 的前 n 项和为 S
n
．
16. A I 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发
展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表.
购买 A I
购买无AI技术的手
手机 总计
机
男性顾客 45 65 110
女性顾客 56 34 90
总计 101 99 200
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买 A I 手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，
分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为
1
6
和
1
3
，其余情况不中奖.每位顾客允许
连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为 X 元，求随机变量 X 的数学期望.
n(ad −bc)2
参考公式及数据：①2 = ，其中n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
的
公众号：高考试卷君②P ( 2 6.635 ) 0.01,
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P ( 2 5 .0 2 4 ) 0 .0 2 5    , P ( 2 3 .8 4 1 ) 0 .0 5    ,P ( 2 2.706 ) 0.1．
17. 在 V A B C 中，角 A ， B ， C 所对 边分别为 a ， b ，c，
1
s
+
i n
c o
2
s
A
2 A
=
c
s
o
i
s
n
B
C
−
−
c
s
o
i n
s C
B
.
（1）求 c o s A 的值；
（2）若 D 是边 B C 上一点， A D = D C = 2 B D ， c = 1 ，求 V A B C 的周长.
18. 对于函数 f ( x ) ，若 f ( x
0
) = x
0
，则称实数x 为函数
0
f ( x ) 的不动点，设函数
f (x)=log ( 4x −a2x+1+2 ) ，
2
g ( x ) = 骣琪琪桫 1
2
x .
（1）若 a = 1 ，求函数 f ( x ) 的不动点；
（2）若函数 f ( x ) 在区间  − 1 ,1  上存在两个不动点，求实数 a 的取值范围；
（3）若对任意的 x
1
, x
2
  − 1 , 0  ，不等式 f (x )−g(x ) 2恒成立，求实数
1 2
a 的取值范围.
19. 如图（1），已知抛物线 E : x 2 = 2 y 的焦点为 F ，准线为 l ，过点 F 的动直线 m 与 E 交于A，B两点
（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线 l 相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将 △ A C B 沿
CD折成直二面角 A  − C D − B ，如图（2）．
（1）证明： c o s  A C B = c o s  A C D  c o s  B C D ；
（2）当  A  C B 最小时，
①求A， B 两点间的最小距离；
②当 A  ，B两点间的距离最小时，在三棱锥 A  − B C D 内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱
体积的最大值．
的
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