四川省树德中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学PDF版含解析（可编辑）_2024-2027高二（7-7月题库）_2026年05月高二试卷

树德中学高 2024 级高二下学期半期考试数学试题 8. 如图所示的挂件由 个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸
出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离
命题人：唐颖君 王荣山 审题人：熊忠婕 李波波
主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相
满分：150分 时间：120分钟
邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
方法种数为( )
a b
1. 若1,a,a ,a ,7成等差数列，1,b,b ,125成等比数列，则 2 2 等于( )
1 2 3 1 2 ab A. 192 B. 216 C. 264 D. 288
1 1
8 15 二、多选题：本题共3小题，共18分。
A. 4 B. C. D. 8
25 8
9. 已知抛物线y2 4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A(x ,y ),B(x ,y )两点，Q为抛物线上
1 1 2 2
1
2. 若 f xe2x1，则 f x在x
2
处的切线方程为( )
一个动点，且P2,1
，则( )
A. 2xy20 B. 2xy0
A. AB 的最小值为4 B. 以AF为直径的圆与抛物线的准线相切
C. 2xye10 D. 2exy2e0
5
3. (xy)(x2y)5的展开式中，x3y3的系数为( ) C. OAOB D. PQ  QF 的最小值为3
4
A. －80 B. 120 C. －40 D. 40 1 1 3
10. 已知事件A，B，且P(A) ，P(B| A) ，P(B| A) ，则( )
4. 树德中学有甲乙等5名同学约好去看三场不同的世界杯比赛，每名同学可自由选择观看其中的一场 3 5 5
比赛，且每场比赛都有同学观看，且甲乙去看同一场比赛，则不同选择的种数为( ) 2
A P(B| A) B. P(B)P(A)
A. 30 B. 36 C. 72 D. 108 . 5
1  11 1
5. 若函数 f(x)lnxax2 4在区间 ，2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( ) C. P(AB) D. P(AB| AB)
2  15 11
 1   1  11. 数列  a  ,  b  满足函数 f (x)  a xb  e2x，其中 f (x)xe2x，f (x) f(x)，nN，现
A.  , B.   , C. 2, D.  2, n n n n n 1 n1 n
 8   8 
b
令c  n ，则( )
x2 y2  a  n a
6. 已知双曲线  1  a0,b0 的左、右焦点分别为F,F ，点 的坐标为 ,0，P是双 n
a2 b2 1 2  2 
1
A. a 2n1 B. c 为公差为 的等差数列
曲线在第二象限的部分上一点，且FPF 2FPA，点Q是线段PF 的中点，且F ，Q关于 n n 2
1 2 1 2 1
直线 对称，则双曲线的离心率为( ) C.  1nc  的前2026项和为1013 D. n2,nN, 1  1  1  1 2lnn
n c c c c
2 3 4 n
A. 3 B. 2 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7. 已知定义在R上的函数 f(x)的导函数为 f(x)，f(1)e，且对任意的x满足 f(x) f(x)ex，
12. 已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45，则该圆锥的体积为 ．
则不等式 f(x) xex的解集为( ) 13. 甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再
A. ,0 B. ,1 C. 1, D. 0, 从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出
的球是白球的概率为 ．
14. 函数 f(x)ax2ex 2lnxxb(a0)有且仅有一个零点，则a2 b最小值为 ．
2026-5 高二数半 第1页，共2页四、解答题：本题共5小题，共77分。 x2 y2 1
18. (17分)设椭圆C:  1  ab0 的左顶点为A，上顶点为B,已知椭圆的离心率为 ，
15. (13分)如图，在四棱锥P ABCD 中，BC// AD，AB  BC 1，AD 3，点E在AD上，且 a2 b2 2
PEAD，PE DE2． AB  7 ．
(1)若F 为线段PE中点，求证：BF // 平面PCD ；
(1)求椭圆的方程；
(2)若AB平面PAD，求平面PAB与平面PCD 夹角的余弦值．
1
(2)设P，Q为椭圆上异于点A的两动点，若AP、AQ的斜率之积为 ．
4
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ面积的最大值．
16. (15分)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，
ex
不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会.某考生小王决定参加考试，如果他参 19. (17分)已知函数 f(x) ．
x2
加考试通过的概率依次为0.4，0.6，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
(1)求 f(x)在 0, 上的极值；
(1)小王在一年内领到证书的概率；
(2)若x3f(x)asinx在 0, 上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)小王在一年内参加考试次数X的分布列；
(3)假设每次考试需缴纳80元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费Y(单位：元)的分布列. (3)若存在正实数m 使得函数h(x) f(x)m在 0, 上有两个不同的零点x ,x ，证明：
1 2
lnx lnx 2lnm．
1 2
17. (15分)已知数列  a  的前n项和为S ，a  2，且满足2a 22a 23a 2na 
4n14
．
n n 1 1 2 3 n 3
 
(1)求数列 a 的通项公式；
n
2n1
(2)若b nlog a ，求数列 的前n项和T ；
n 2 n1 b2 n
 
n
(3)对于nN， 1nT
n
恒成立，求实数
λ
的取值范围.
2026-5 高二数半 第2页，共2页树德中学高 2024 级高二下学期半期考试数学试题参考答案
16. 设事件A “第i次考试通过”  i1,2,3  ，则一年内领到资格证书的概率为
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1P(A A A )10.60.40.20.952.————5分
1 2 3
2 41 1 1
D A C B C C B C AD BCD ABD ln2 P(X 1) P(A)0.4 ，P(X 2)P(AA )0.60.60.36
12 63 2 2 1 1 2
P(X 3)P(A A )0.60.40.24.
15. 取 的中点为 ，接 ，则 ， 1 2
分布列为：
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
X 1 2 3
故 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．————5分
P 0.4 0.36 0.24
————————11分
Y 80X ，则由 ，分布列为：
Y 80 160 240
P 0.4 0.36 0.24
————————15分
17. ， 当 时，
因为 ，故 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，所以 平面 ，————6分 ，两式相减得 ， 当
而 平面 ，故 ，而 ，故建立如图所示的空间直角坐标系，
时， ，当
时
也符合， ．——————5分
则 ，——————7分
由 可知 ，则 ，
则
.——————10分
设平面 的法向量为 ，则由 可得 ，取
3
易知T 随着n的增大而增大，当n为奇数时，T 恒成立，即T ， ；
n n 1
4
，——————9分 8 3 8
当n为偶数时，T 恒成立，即T , ；综上所述，  .——————15分
n 2 9 4 9
设平面 的法向量为 ，则由 可得 ，取 ，—
18. 由已知得 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
11分 解得 ， 椭圆 的方程为 ．——————4分
1 30 30 若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ，
故cos m,n   ，故平面 与平面 夹角的余弦值为 .————13分
5 6 30 30
2026-5 高二数半 第3页，共2页在 上恒成立，即 在 上恒成立，
由 消去 ，得 ．
当 时，由 ，得 ，因此 ，满足题意；
当 时，令 ，则 ，
．
令 ，则 ．由 ，得 ， ，
， ，又 ， ，
因此 ，则 在 上单调递增，
则 若 ，则 ，则 在 上单调递增，所以 ，满
足题意；
．化简 ，即
若 ，则 ， ，因此 在 上存在唯一的零点 ，
．
直线 不能经过点 ， ， ． 直线 的方程为 ．
且 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单
直线 经过定点 ，当直线 的斜率不存在时，若直线 过 ， ， 点坐标为
调递增，
，
所以 ，不满足题意．综上，实数 的取值范围为 ；———9分
满足 ．综上，直线 过定点 ．——————11分 证明：当 时， 即 ，则ex 1 mx2,ex 2 mx2，取对数有
1 2
设直线 过定点 为 ，设直线 的方程为 ，
x lnm2lnx ,x lnm2lnx ，则题干变形为 .
1 1 2 2
与椭圆联立消去 得， ， ，
不妨设 ，由 可知 ，要证明 ，即证 ，
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ，
又因为 ，所以只需要证 ，即证 ，
，令 ，则 ，
即证 ，两边同时除以 ，得 ，
， ， 当且仅当 ，即 化简为 ，因为 ，所以只需证 ，
即证 ，
时取等号 ，
令 ，则 ，
， 面积的最大值为 ． ——————17分
令 ，
19. 因为 ，所以 ，令 ，所以 ，解得 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， ，
当 时， 单调递减，当 时， ， 单调递增， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 ．故 ，即 ，所以 ．
所以 在 的极小值为 ，无极大值．——————3分
即证lnx lnx 2lnm 成立．——————————17分
1 2
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