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雅礼中学 2026 年上学期期中考试试卷
高二数学
时量：120分钟 分值：150分
命题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ， ；
B. ， ；
C. 是 的充分不必要条件；
D. 是 的必要不充分条件．
3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，
并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
5. 已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，则数列 的前3项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是抛物线 上任意一点，点 在 轴上的射影为点 ，点 的坐标为 ，则
的最小值是（ ）
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
8. 已知函数 ，若当 时， ，则 的最大值为（ ）
A. -1 B. 0 C. D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小张同学对具有线性相关的两个变量 和 进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得
这组数据拟合出的 关于 的经验回归方程为 ，若 ， ， 成等差数列，则（ ）
4 6 8 10 12
2 6
A. 变量 与 的样本相关系数 B.
C. 当 时，残差为 D. 当 时， 的预测值为11.310. 已知在 的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有
（ ）
A. B. 第4项的二项式系数最大
C. 的系数为60 D. 展开式各项系数之和为64
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种
B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种
C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到
将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是
D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记 为装有球的盒子的个数，则 的期望值为
65
E(X)=
27
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， ， ，则 的最小值是________.
13. 若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是__________．
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作直线l垂直于双曲线的
一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若 ，则双曲线C的离心率e
为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若函数 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；（2）已知 （ 为自然对数函数的底数），若 在区间 上的最小值为3，求实数 的值．
16. 如图所示，已知多面体 中， 是正方形， 平面 ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）设 ，求平面 与平面 的夹角.
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方
式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还
是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 70 30 100
40岁及以上 40 60 100
总计 110 90 200
（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为 ，求 的估计值；
（ii）依据小概率值 的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.
（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽
车销售量 （单位：万台）关于年份 的线性回归方程 ，且销售量 的方差为 ，
年份 的方差为 .求 与 间的样本相关系数 ，并据此判断该地区新能源汽车销售量 与年份 的
线性相关性强弱.附：（i）在线性回归方程 中， ， ；
（ii）样本相关系数 ，若 ，则可判断 与 线性相关性很强；
（iii） ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答
错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为 ，答错的概率为 ，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为 ，求 ；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为 时，最终积分为12
的概率为 ，请直接写出 和 的值，并求出 的值.
19. 已知椭圆 的右顶点为 ，离心率为 ，过 的左焦点 的直线与
交于异于点 的 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程.
（2）记直线 的斜率为 ，直线 与直线 的斜率分别为 ，
（i）若 ，求 ；（ii）若 ，求 的面积.
