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雅礼中学 2026 年上学期期中考试试卷
高二数学
时量：120分钟 分值：150分
命题人： 审题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 ，解得 ，所以 ，
又 或 ，所以 ，故 ．
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ， ；
B. ， ；
C. 是 的充分不必要条件；
D. 是 的必要不充分条件．
【答案】B
【解析】
【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断
B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可.
【详解】对于A，当 ， 显然不成立，故A错误；
对于B，若取 ，则 ，满足 ，故B正确；对于C，对于 ，如 ，但 ，即充分性不成立，故C错误；
对于D，由 必能得到 ，而由 不一定得到 ，如 ，
故 是 的充分不必要条件，即D错误.
故选：B.
3. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，由正态分布的对称性可知，关于 对称，
又因为 ，所以 ，
则
所以
4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，
并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A. 样本中多数男生喜欢手机支付
B. 样本中的女生数量少于男生数量
C. 样本中多数女生喜欢现金支付
D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
【答案】C【解析】
【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可.
【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；
对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；
对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；
对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.
故选：C.
5. 已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，则数列 的前3项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】 是首项为1，公差为2的等差数列，
，
，
，
数列 的前3项和为：
．
6. 若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于 ， 成立，
令 ，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在 ，不等式 成立，
则 ， 能成立，
即对于 ， 成立，
令 ， ，
则 ，令 ，
所以当 ， 单调递增，
当 ， 单调递减，
又 ，所以f(x)>−3 ，
所以 .
故选：C
7. 已知 是抛物线 上任意一点，点 在 轴上的射影为点 ，点 的坐标为 ，则
的最小值是（ ）
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴
的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可.
【详解】因为抛物线方程 的标准形式为 ，
所以焦点 ，准线方程为 ： ，延长 交准线于 ，连接 ，如图：
根据抛物线的定义得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|−1=|PA|+|PF|−1≥|AF|−1 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时|PA|+|PF|=|AF|，
∵|AF|=√122+(6−1) 2=13 ，
的最小值为 .
8. 已知函数 ，若当 时， ，则 的最大值为（ ）
A. -1 B. 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】等价变形给定不等式，构造函数并利用导数分类讨论此函数的单调性求出范围即可.
【详解】函数 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，则当 时， ，
令函数 ，求导得 ，而 ，
当 ，即 时， ， ，函数 在 上单调递增，不等式 恒成立，即 恒成立，因此 ；
当 时， ，函数 在 上的图象连续不断，
则存在 ，使得当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，不符合题意，
所以 的最大值为 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 小张同学对具有线性相关的两个变量 和 进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得
这组数据拟合出的 关于 的经验回归方程为 ，若 ， ， 成等差数列，则（ ）
4 6 8 10 12
2 6
A. 变量 与 的样本相关系数 B.
C. 当 时，残差为 D. 当 时， 的预测值为11.3
【答案】ABC
【解析】
【分析】由经验回归方程为 即可判断A选项；根据数据先计算 ，结合 ， ， 成等
差数列，有 ，在根据经验回归方程一定经过样本中心 即可计算出 的值，即可判断B选
项，将 代入经验回归直线方程中计算出 的值，从而计算出此时的残差即可判断C选项，将
代入经验回归直线方程中计算出预测值即可判断D选项.
【详解】由于经验回归方程为 是递增的一次函数，所以两个变量是正相关，则样本相关系数 ，故 正确；
由表格中的数据可计算平均数：
，
，
又因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，则 ，
根据经验回归方程为 必过点 ，
则 ，解得 ，故B正确；
当 时， ，
所以残差为 ，故C正确；
当 时， ，
所以 的预测值为 ，故D错误，
故选：ABC.
10. 已知在 的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有
（ ）
A. B. 第4项的二项式系数最大
C. 的系数为60 D. 展开式各项系数之和为64
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质可求解 ，进而根据选项即可逐一求解.【详解】由题意得 ，所以 ，故A错误；
因为 时，二项式系数最大的是 ，所以第4项的二项式系数最大，故B正确；
的展开式的通项公式为T
=Crx6−r(2) r
=2rCrx6−2r(0≤r≤6,r∈N)，
r+1 6 x 6
令 ，得 ，所以 的系数为 ，故C正确；
展开式各项系数之和为(1+2) 6=36=729 ，故D错误.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种
B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种
C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到
将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是
D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记 为装有球的盒子的个数，则 的期望值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB，由全概率公式即可求解C，列出分布列或者利用分布列
的性质即可求解D.
【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一个小球，故共有3种方法，A选项正确；
对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有
种方法，故B选项不正确；
C选项，法一：相当于把5个球排序，共有 种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在
第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有一个红球一个黄球，第三次是黄球共有4种情况，故总共有7种，所以概率为 .
法二：记“最后一次取出球是红球”为事件 ，“最后一次取出球是黑球”为事件 ，
显然事件 ， 互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件 ，则P(D)=P(BD)+P(CD).
当事件 发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球，
2 1 2
则P(BD)=P(B)P(D∣B)= × = .
5 3 15
当事件 发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球，
1 2 1 2 1 7
则P(CD)=P(C)P(D∣C)= × = .所以P(D)=P(BD)+P(CD)= + = .
5 4 10 15 10 30
D选项，法一： 的可能取值为1，2，3，4个球随机放入3个盒子共有81种方法，
3 1 C2 ⋅(24−2) 14 C2×A3 4
P(X=1)= = ，P(X=2)= 3 = ，P(X=3)= 4 3 = ，
81 27 81 27 81 9
法二：定义 时，表示第 个盒子中有球， 时，表示第 个盒子中没有球，
其中 ，则 ，
( 1) 4 16 65 65
又P(X =0)= 1− = ，P(X =1)= ，故E(X )= ，
i 3 81 i 81 i 81
65
所以E(X)=E(X )+E(X )+E(X )=
1 2 3 27
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， ， ，则 的最小值是________.
【答案】4
【解析】
【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解.
【详解】所以 ，当且仅当 时取等号.
则 的最小值是4.
13. 若命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由命题“ ”为假命题，可得“ ”为真命题利用判别
式可求得答案.
【详解】已知命题“ ”为假命题，
则该命题的否定：“ ”为真命题.
此时二次函数的判别式满足 .
即 ，
化简可得：
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作直线l垂直于双曲线的
一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若 ，则双曲线C的离心率e
为______.【答案】 ##
【解析】
【分析】设 ，利用算两次思想计算 即可.
【详解】如图，由题意可知 ，则 ， ，
设 ，则 ，于是 ，
即 ，则 ，解得离心率 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若函数 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）已知 （ 为自然对数函数的底数），若 在区间 上的最小值为3，求实数 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出 ，进而求出切线方程；
（2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出 ．【小问1详解】
∵f (x)=2x−lnx ，其中 ，则 ，
由导数的几何意义可得 ，
又 ，
在点 处的切线方程为 ．
【小问2详解】
∵f (x)=ax−lnx ，其中 ，则 ，
，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
(1) 1
∴f (x) =f =1−ln =1+lna=3 ，解得 ，符合题意．
min a a
综上， ．
16. 如图所示，已知多面体 中， 是正方形， 平面 ， .
（1）证明： 平面 ；（2）设 ，求平面 与平面 的夹角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面平行推导线面平行
（2）采用空间向量法求解两平面的夹角：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再通过向量夹角
公式计算平面夹角
【小问1详解】
∵ 且 与 无公共点
∴
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 .
∵四边形 是正方形
∴
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面 ，
∵ ， ， 平面
∴平面 平面 ，
又 平面
∴ 平面 .
【小问2详解】
因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ， ， 两两垂直，
所以以点 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如下图所
示.则 ， ， ， ，所以 ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则¿，取 ,得 ，故可取 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则¿，取 ,得 ，故可取 .
⃗m⋅⃗n 3 √3
则cos⟨⃗m,⃗n⟩= = = ，
|⃗m|⋅|⃗n| √2×√6 2
所以平面 与平面 的夹角为 .
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方
式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还
是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 70 30 100
40岁及以上 40 60 100
总计 110 90 200
（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为 ，求 的估计值；
（ii）依据小概率值 的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽
车销售量 （单位：万台）关于年份 的线性回归方程 ，且销售量 的方差为 ，
年份 的方差为 .求 与 间的样本相关系数 ，并据此判断该地区新能源汽车销售量 与年份 的
线性相关性强弱.
附：（i）在线性回归方程 中， ， ；
（ii）样本相关系数 ，若 ，则可判断 与 线性相关性很强；
（iii） ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）（i） （ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系
（2） ， 与 线性相关性很强
【解析】
【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算 根据临界值表判断即可；
（2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断.
【小问1详解】
（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为 ，
由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率 .（ii）零假设为 ：选择新能源汽车与年龄无关，
由列联表中数据代入计算得： ，
所以依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过 .
【小问2详解】
因为 ， ，
所以 ，
故 与 线性相关性很强.
18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答
错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为 ，答错的概率为 ，且每道题答对与否互不影响.
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为 ，求 ；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为 时，最终积分为12
的概率为 ，请直接写出 和 的值，并求出 的值.
【答案】（1）
（2）（3） ， ，
【解析】
【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得
到答案；
（2）设小王答对的题数为 ，得到关系式 ，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到
答案；
（3）首先需对边界条件进行直接判断，即 和 ，再求出 的递推公式，分析可知数列
为等比数列，求得 ，再利用累加法和等比数列求和即可得到答
案.
【小问1详解】
小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题.
3题都答错的概率为 ；答对1题，答错2题的概率为： .
所以小王答3道题后积分小于6的概率为：
【小问2详解】
法一：设小王答对的题数为 ，则他答错的题数为 ，所以 .
由题意知 ，所以 ，所以 .
法二： 的可能取值为2，4，6，8，10.
则： ； ；
；；
所以， .
【小问3详解】
当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故 ；
当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故 .
（i）当小王的积分为 时，
若小王接下来一题答对，则积分变为 ，若小王接下来一题答错，则积分变为 .
由全概率公式有 ，即 ，整理可得 .
又 ，所以 为等比数列.
（ii）由（i）可得 ，
所以
，
又 ，所以 .
所以.
19. 已知椭圆 的右顶点为 ，离心率为 ，过 的左焦点 的直线与
交于异于点 的 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程.
（2）记直线 的斜率为 ，直线 与直线 的斜率分别为 ，
（i）若 ，求 ；
（ii）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据条件可求 ，得到椭圆方程.
（2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得 ， .
（i）化简 ，结合 ，可求 .
（ii）化简 ，结合 ，表示出 ，再利用 ，求
的值，再用 求 的面积.
【小问1详解】由题意， ， ，所以 ，所以 .
所以椭圆 的方程为： .
【小问2详解】
直线 的方程为 ，（ ），代入椭圆方程 ，得：
.
整理得 .
设 ， ，则 ， .
如图：
（i）因为 ，
所以
由 .（ii）因为
.
由 .
由 ，
此时， .
所以 .
