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雅礼中学2026 年上学期期中考试试卷
高一数学
时间：120 分钟 分值：150 分
一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 已知集合
，
，则A∩B 中元素的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】采用列举法列举出
中元素的即可.
【详解】由题意，
，故
中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2. 已知
，则
的虚部为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求出复数
，再确定其虚部即可.
【详解】由
，可知
的虚部为
.
故选：D.
3. 已知
，
，点P 满足
，则点P 的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量
的坐标，进而求出点
的坐标.
【详解】点
，
，则
，于是
，
所以点
的坐标为
.
故选：C
4. “幂函数
在
上是减函数”是“
”的一个（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充要条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性求解
或
，再根据必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】由幂函数的定义得
，解得
或
，此时
，
；
所以当幂函数
在
上是减函数时，
或
，充分性不成立；
当
时，
在
上是减函数，必要性成立；
所以幂函数
在
上是减函数”是“
”的一个必要不充分条件.
故选：
5. 已知
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于
、
的值，结合两角差的正弦公式可求出
的值.
【详解】由题意可得
，解得
，
因此
.
故选：B.
6. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：
，
．我们可以把
看作每天的进步率都是
，而把
看作每天的落后率都
是
，大约经过（ ）天后进步的是落后的200 倍
A. 264
B. 266
C. 268
D. 270
【答案】A
【解析】
【分析】设
天后进步的是落后的200 倍，则
，利用指对数运算求解即可.
【详解】设
天后进步的是落后的200 倍，则
，
，
即
，
所以有
（天）.
故选：A.
7. 若平面
截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面
平行的棱有（ ）
A. 0 条
B. 1 条
C. 2 条
D. 1 条或2 条
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，作平行四边形
为三棱锥的截面，根据线面平行的判定定理，以及线面平行的
性质，即可得出结果.
【详解】如图所示，四边形
为平行四边形，则
.
平面
，
平面
，
平面
.
又
平面
，平面
平面
，
.
又
平面
，CD⊄平面
.
平面
，同理，
平面
，
所以与平面
(面
)平行的棱有2 条.
故选：C.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定，熟记线面平行的判定定理，以及线面平行的性质即可，属于常考
题型.
8. 已知函数
，若
，且.
，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出
图象，由数形结合的方法可知
，由对称性知
，
，将所求式化为
，利用对号函数单调性可求得所求范围.
【详解】由
解析式可得
图象如下图所示：
设
，由图象可知：
，
，
又
关于
对称，
；
由
得：
，即
，
，
在
上单调递增，
，
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定
所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域
的求解方法求得结果.
二、多选题：本题共3 小题，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知是虚数单位，
是复数，则下列叙述正确的有（ ）
A.
B. 若
，则
C. 若
，则
不可能是纯虚数
D. 若
，则在复平面内对应的点
的集合确定的图形面积为2π
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B，结合复数的概念求解即可，
对于C，结合纯虚数的定义，即可求解，对于D，结合复数的几何意义，即可求解．
【详解】对于A，设
，
，则
，
，
，故A 正确；
对于B，由于虚数不能比大小，又
，可得
，
都是实数，可得
，故B 正确，
对于C，当
为纯虚数时，
则
，无解，
故当
，则
不可能是纯虚数，故C 正确，
对于D，
，则
在复平面内对应的点
的集合确定的图形为以
圆心，为半径的圆，
以及圆的内部，其面积为
，故D 错误．
故选：ABC．
10. 记锐角
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
（ ）．
A.
B. B 的取值范围为
C.
的取值范围为
D.
的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由条件利用正弦定理边化角，可得
，判断A;由三角形为锐角三角形结合A 的结
论，可求得B 的范围，判断B;利用正弦定理表示
，结合B 的范围可判断C; 利用正弦定理表示
，结合B 的范围可判断D;
【详解】由题意得
，
得
，
由于
,则
,
则
，A 错误．
因为
是锐角三角形，所以
，
解得
，B 正确．
由于
，故
，C 正确．
，
由于
，
，故
，故D 正确，
故选：BCD
11. 在棱长为1 的正方体
中，
，
，
，下列结论正
确的是（ ）
A. 若
时，直线
与直线
的夹角余弦值为
B. 若
时，
周长的最小值为
C. 若
时，三棱锥
的体积为定值
D. 当
时，有且仅有一个点
，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为
定值判断C，点
位于
或
时满足
即可判断D.
【详解】对于A，当
时，
，如图，
所以点
为线段
的中点，因为
，
所以直线
与直线
的夹角即为直线
与直线
的夹角
，
BP =√B B1
2+ B1 P
2=√
1
2+(
√2
2 )
2
= √6
2
，
同理可得
，在等腰
中
，故A 正确；
对于B，当
时，根据三点共线的充要条件可知，点P 在线段
上，
当点P 是线段
的中点时，可知
周长为
，故B 错误；
对于C，当
时，点P 在线段
上，
因为
平面
，所以点
到平面
的距离为定值，
所以
为定值，故C 正确；
对于D，因为
，
，
，取
，
中点分别为
，
，
所以
点在线段
上运动，当点
位于
或
时，
，故D 错误.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为
，则此圆锥的体积为_______
.
【答案】
【解析】
【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解.
【详解】设圆锥底面半径为
圆锥的高为，圆锥的母线长为10cm，侧面积为
，
则
，则
，所以
，
则此圆锥的体积为
.
故答案为：
.
13. 已知函数
在区间
上恰有3 个最小值点，则实数
的取值范围为
________．
【答案】
【解析】
【详解】
，则
，
因为
在区间
上恰有3 个最小值点，
所以结合余弦函数的性质可得，
，得
，
则实数
的取值范围为
.
14. 已知平面向量
，且
．已知向量
与
所成的角为60°，且
对任意实数
t 恒成立，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由
，两边平方化简得
，再用向量的三角不等式求
的最小值.
【详解】由
，向量
与
所成的角为60°，可得
，
由
，则
，
化简可得
对任意实数t 恒成立，
令
，则
恒成立，
由于函数图象抛物线开口向上，所以需要满足
，
即
，所以
.
由向量的三角不等式，有
，
又
，
则
的最小值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
，
．
（1）当
时，求
的最值；
（2）若
在区间
上是单调函数，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）
，
.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质求
的最值即可.
（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a 的取值范围．
【小问1 详解】
当
时，
，
∴
在
上单凋递减，在
上单调递增，
∴
，
.
【小问2 详解】
，
∴要使
在
上为单调函数，只需
或
，解得
或
．
∴实数a 的取值范围为
．
16. 已知函数
（1）求
在
上的值域；
（2）将
的图象向右平移
个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的
倍纵坐标不变
，
得到函数
的图象，求
的单调递减区间；
【答案】（1）
（2）
，
【解析】
【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可；
（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出
的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可.
【小问1 详解】
f ( x)=2sin x cos x +√3−2√3sin
2 x =sin 2 x +√3cos2 x =2sin(2 x +π
3 )，
因为
，则
，
所以sin(2 x +π
3 )∈[
1
2 ，1]，故
；
【小问2 详解】
将
的图象向右平移
个单位长度，
可得
，
再把
函数图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，
得到函数g( x)=2sin(3 x−π
3 )的图象，
由
，
，可得
，
，
所以
的单调递减区间为
，
.
17. 已知
的周长为
，面积为
，内角A、B、C 对边分别是a、b、c，且
.
（1）求角
；
（2）若边长
，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解.
（2）由余弦定理可得
结合基本不等式求出
，即可求解.
【小问1 详解】
，
由正弦定理得
，
在
中，
【小问2 详解】
由余弦定理可得：
，
即
，
，
，当且仅当
时取等号
又
∴当
时，
取到最小值为
18. 如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，其中
，且
，点
为棱
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）若
为
上的动点，则线段
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，请确定点
的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若
，请在图中作出四棱锥
过点
及棱
中点的
截面，并求出截面周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在
为线段
中点，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取线段
的中点
，连接
，通过证明
可得结论；
（2）当
为线段
中点时，
平面
，通过证明面
面
可得结论；
（3）取线段
的中点
，连接
，通过证明
，得到四边形
为截面，然后分别
求出各边的长即可.
【小问1 详解】
取线段
的中点
，连接
，
因为
分别为线段
的中点，
所以
，且
，
又
，且
，
所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
【小问2 详解】
当
为线段
中点时，
平面
，
证明：取线段
中点
，连接
因为
分别为线段
的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
因为
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
又
面
，
则面
面
，又
面
，
所以
面
，
所以当
为线段
中点时，
平面
；
【小问3 详解】
取线段
的中点
，连接
，
因为
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
分别为线段
，
所以
，
所以
，则四边形
为四棱锥
过点
及棱
中点的截面，
则
，
，
，
在
中，
，
，
所以
，
则
，
所以截面周长为
.
19. 对于定义在D 上的函数
，若存在实数m，使得
为奇函数，则称函数
为“位
差奇函数”.
（1）判断
和
是否是“位差奇函数”，并说明理由.
（2）若
，
，且
为“位差奇函数”.
①证明：
；
②若
，对于
，
，求a 的取值范围.
【答案】（1）
为“位差奇函数”，
不是“位差奇函数”，理由见解析；
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义分别判断即可；
（2）①根据题意可得
为奇函数，则
，化简整理求出的表达式，
再结合指数函数的性质即可得出结论；
②分离参数可得
，化简分离常数求出
的最小值即可.
【小问1 详解】
为“位差奇函数”，
不是“位差奇函数”，理由如下：
由
，得
，
函数
为奇函数，
对于任意m 有
为位差奇函数，
又
，设
，
此时
，若
为奇函数，
则
恒成立，矛盾，
不存在m 有
为“位差奇函数”；
【小问2 详解】
①证明：由已知，
，
因为
为“位差奇函数”，所以存在实数m，
使得
为奇函数，
即
在R 上恒成立；
由
恒成立，
因为
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，即
，
因为
，所以
；
②由①知，
，则不等式
化为：
，则
，
因为
，
令
，则
，
，
故当
时，6n
2−4 n−1 取到最小值
，所以
，
故a 的取值范围为(−∞,−5
3].
