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黑龙江双鸭山市第一学2025-2026 学年高一下学期4 月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知
，则
在复平面内对应的点在第（ ）象限.
A．四
B．三
C．二
D．一
2．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则b 等于（ ）
A．
B．
C．4
D．
3．已知
，若
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
与
为非零向量，
，若
三点共线，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．如图， 在△ABC 中， 点D 是边BC 的中点，
则用向量
表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知飞机从A 地按北偏东
的方向飞行
到达B 地，再从B 地按南偏东
的方向飞行
到达C 地，再从C 地按西南方向飞行
到达D 地.则D 地距A 地（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
是
的边
上的一点（不包含端点），且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
8．在
中，
分别为角
所对的边，
的面积为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知平面向量
，
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若
∥
，
∥
，则
∥
B．若
，则
是三角形
的垂心
C．两个非零向量
，
，若
，则
与
共线且反向
D．若
∥
，则存在唯一实数
使得
11．在
中，内角
所对的边分别为
，则（ ）
A．若
，则
B．若
为钝角，则
C．当
时，若
，且
是钝角三角形，则
D．若
，则满足条件的三角形有两个
三、填空题
12．在
中，三边长分别为
，
，
，则
的面积为______.
13．已知
中，
是
上的点，
平分
，且
面积是
面积的
倍，
，
，则
的长度为______．
14．在
中，
，
，
，
在边
上运动，则
的最小值为________.
四、解答题
15．已知向量满足
，
，若
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)
；
16．如图，在
中，
，点
为
中点，点
为
上的三等分点，且靠近点
，设
．
(1)用
表示
；
(2)如果
，且
，求
．
17．在三角形
中，
，
，分别为角
，
，
所对的边，且三角形
的内角均不为钝角，若向
量
，
，且
.
（1）求
；
（2）若
，且
，求
，
的值.
18．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
，且
的面积为
，求
的长度；
(3)若
为锐角三角形，
，求
的面积的取值范围．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角
形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，
使得
的点
即为费马点；当
有一个内角大于或等于
时，最大内
角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
(1)求
；
(2)若
，设点
为
的费马点，求
.
参考答案及解析
1．A
解析：
，则
，
所以
对应点为
，在第四象限.
故选：A
2．B
解析：
，
，
，
由正弦定理
，
可得
．
故选：
．
3．C
解析：由题
在
上的投影向量为
.
故选：C.
4．D
解析：由题意知，
三点共线，故
,
且
共线，
故不妨设
，则
，
所以
，解得
，
故选：D
5．A
解析： 在
中，
点D 是边BC 的中点， 所以
，
所以
，化简得
，
则
.
故选：A
6．D
解析：以
为原点，正东方向为
轴正方向，正北方向为
轴正方向建立直角坐标系．
由题意知
点在第一象限，
点在x 轴正半轴上，
点在第四象限，
由已知可得，
为正三角形，
，所以
．
又
，
，则
，
所以
为等腰直角三角形，所以
.
故选：D.
7．C
解析：因为
是
的边
上的一点（不包含端点）且
，
可得
，
，
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：C
8．B
解析：由
得
，
，
从而
，又
，
所以
，
，
，
．
故选：B.
9．ABD
解析：A.若
，则
，解得
，故正确；
B.若
，则
，解得
，故正确；
C.若
，
或
，故错误；
D.若
，则
，解得
，故正确，
故选：ABD
10．AD
解析：对于选项A，当
时，
与
不一定共线，故A 错误；
对于选项B，由
，得
，所以
，
，
同理
，
，故
是三角形
的垂心，所以B 正确；
对于选项C，两个非零向量
，
，若
，则
与
共线且反向，故C 正确；
对于选项D，当
，
时，显然有
∥
，但此时
不存在，故D 错误.
故选：AD
11．ABD
解析：对A：由题意可得
，又
在
上单调递减，
若
，则
，故A 正确；
对B：若
为钝角，则
，故
，
故
，故B 正确；
对C：由
，则
，故
，
设
，则
，
，
，
故
，
即
，化简得
，
则
，又
，有
，则
，故C 错误；
对D：由余弦定理
可得
，
即
，解得
，
即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D 正确.
故选：ABD.
12．3
解析：由余弦定理得
，
所以
,故面积为
,
故答案为：3
13．
解析：
如图所示，设
的三个内角
对应的边分别为
，
由题可知，
平分
，所以
，即
，
又
面积是
面积的2 倍，所以
，
由
，所以
，
，
又
，由余弦定理得
，
又
，所以
．
14．
解析：因为
，所以
.
设
，已知
在边
上运动，
，则
. 且
，
，
所以
，
.
所以
，对称轴为
，
当
时，取得最小值为
.
故答案为：
15．(1)2
(2)
解析：（1）
故答案为:2.
（2）
故答案为：
.
16．(1)
(2)
解析：（1）因为
，
所以
，
；
（2）因为
，所以
，
所以
，由
，可得
，
又
，所以
，
所以
．
17．（1）
；（2）
，
或
，
.
解析：（1）∵
，∴
，由正弦定理得
，
∵
，∴
，∴锐角
.
（2）当
时，由余弦定理
，得
.
解得：
，即
，
或
，
.
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由
及正弦定理，得
，
因为
，且
，
所以
，即
，
因为
，所以
，即
；
（2）由
的面积为
，得
，
，
，
又因为
，
，
，
，
，
，
在
中，由余弦定理，得
，
所以
．
（3）法一：由余弦定理，得
，
将
代入，整理，得
，
因为
为锐角三角形，
，即
，解得：
，
.
法二：
，
因为
为锐角三角形，
，
，
，
，
.
19．(1)
(2)
解析：（1）由已知
中
，
即
，
故
，由正弦定理可得
，
故
直角三角形，即
.
（2）由（1）
，所以三角形
的三个角都小于
，
则由费马点定义可知：
，
设
，
，
，由
得：
，整理得
，
则
