文档文本内容
黑龙江绥化市第七中学2025-2026 学年高一下学期期中测试数学试题
一、单选题
1．
A．
B．
C．
D．
2．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体
纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别
用“前面后面上面下面左面右面”表示
､
､
､
､
､
.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那
么在正方体右面的字是（ ）
A．最
B．美
C．逆
D．敬
4．已知函数
，若把
的图象向右平移
个单位长度后得到的图象关于点
对称，则ω 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．已知
为棱长4 的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交直线
于不同的两点
，若
，
，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在
中，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知圆锥的轴截面是一个面积为
的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知复数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
为纯虚数
C．
D．
在复平面内对应的点位于第一象限
10．如图，在
中，
，
为
边上的中点，
，
，且
，则
（ ）
A．
外接圆的半径为
B．
C．
的最大值为3
D．
的最大值为
11．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．棱锥的各侧面一定有一个公共点
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
三、填空题
12．复数
______ ．
13．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶石瓢壶潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似
､
､
看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：
），那么该壶的侧面
积约为__________
.
14．已知
是边长为1 的等边三角形，
为平面
内一点，则
的最小值是
___________．
四、解答题
15．已知复数
，
为虚数单位．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
在复平面内所对应的点位于第四象限，求
的取值范围．
16．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
，
，求b，c 的值．
17．如图，在山脚
测得山顶
的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上走
米到
，在
出测得山顶
得
仰角为
，
(1)若
，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证:山高
.
18．如图，一块扇形铁皮
，半径
厘米，圆心角
，现剪下一个扇环
做圆台形
容器的侧面，并从剩余的扇形
内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面）．
(1)
应取多少厘米？
(2)制作这样一个没有上底的圆台形容器需要多少平方厘米的铁皮？（不计连接处损耗）
19．已知
，
，是同一平面内的三个向量，其中
.
(1)若
，且
，求坐标；
(2)若
为单位向量，且
，求
与
的夹角.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
A
C
D
C
C
BCD
BC
题号
11
答案
ACD
1．D
根据复数的运算法则进行计算即可．
【详解】
，
故选D.
2．B
先应用余弦定理得出
，再应用同角三角函数关系计算求解.
【详解】由余弦定理得
，
，
故选：B.
3．A
利用正方体及其表面展开图的特点以及题意，把“行”放到正方体的左面，然后把平面展开图折成正方体，
看“行”的相对面，即可判断.
【详解】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是
“最”．
故选：A．
4．A
根据平移写出函数解析式
，可得
，运算得
，
得解.
【详解】由题意，平移后函数解析式为
，
由题意得
，
，
解得
，
，且
，
当
时，
.
故选：A.
5．C
通过补形的方法求得正确答案.
【详解】将正四面体
补形成正方体如下图所示，
正四面体的棱长为
，所以正方体的边长为
，
所以正方体的对角线长为
，
所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为
，
所以外接球的表面积为
.
故选：C
6．D
根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得
，从而有
，再利用基本不等式，
即可求解.
【详解】因为点
是
的中点，则
，又
，则
，
又
三点共线，则
，所以
，得到
，
由
，得到
，所以
，
又
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
.
7．C
运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】由题意知
.
故选：C.
8．C
设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为
，该圆锥母线长为
，根据轴截面面积求出，从而求出
锥体的表面积.
【详解】设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为
，该圆锥母线长为
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以该圆锥的表面积为
.
故选：C.
9．BCD
由复数的四则运算得
，由虚部的定义判断A；求得
，即可判断B；求得
，即可判断
C；求得
，由复数几何意义判断D.
【详解】因为
，
则
的虚部为
，故A 错误；
因为
，为纯虚数，故B 正确；
因为
，
所以
，故C 正确；
因为
，
所以
，在复平面内对应的点的坐标为
，在第一象限，故D 正确．
10．BC
对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定
理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项
D，结合选项C 的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为
.
【详解】对于选项A：根据正弦定理可得
，解得
，
所以
外接圆的半径为
，A 错误；
对于选项B：在
中，
，所以
.
在
中，
，所以
.
因为
，
所以
， B 正确；
对于选项C： 根据余弦定理得
，
可得
，
所以
，当且仅当
时等号成立，此时
的最大值为3，C 正确；
对于选项D：因为
，
所以
因为
，所以
，
所以
，
当
时，
，所以
，此时
取最小值.
所以
的最小值为
，D 错误.
11．ACD
根据棱柱的几何特征可判断AB 选项；利用棱锥的定义可判断C 选项；利用棱台的几何特征可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A 正确；
对于B 选项，如图，平面
平面
，
但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B 错误；
对于C 选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
即必须是有一个公共顶点的几何体，故C 正确；
对于D 选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D 正
确．
故选：ACD.
12．
【详解】因为
，且
，
，所以
．
13．
把石瓢壶的壶体近似看成一个圆台，可根据条件求出母线长，利用圆台侧面积公式计算即可.
【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，
上底面半径为
下底面半径
高
则该圆台的母线长为
故圆台的侧面积
故答案为：
.
14．
建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.
【详解】以线段
的中点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，
，
设点
，则
，
，
，
所以
，
则
，
当且仅当
，
时，
取最小值
．
15．(1)4；
(2)
.
（1）由两复数相等，实部和虚部分别相等求解即可；
（2）结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】（1）若
，
则
，
解得
；
（2）
，
若
在复平面内所对应的点
位于第四象限，
则
，解得
，
故
的取值范围为
．
16．(1)
(2)
，
（1）由正弦定理角化边得
，由余弦定理边化角即可求解；
（2）直接由余弦定理列方程组即可求解.
【详解】（1）由正弦定理及
，得
．
由余弦定理得
．
因为
，所以
．
（2）由（1）知
，又
，
，
由余弦定理可得，
，即
，
解得
，
．
17．(1)
(2)
在
中,
.
在
中,根据正弦定理
，
所以山高为
.
【详解】（1）坡面的坡比为
.
（2）略.
18．(1)
(2)
【详解】（1）连接
并延长交
于点
，过点
作
交
于点
，
因为
，所以
的长度为
，所以
的周长为
，
所以
，所以
，
在
中，
，所以
，
所以
，
所以
应取
厘米.
（2）设圆台上、下底面的半径分别为
，母线长为，
因为
，所以
的长度为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以需要的铁皮为：
平方厘米，
故需要
平方厘米的铁皮.
19．(1)
或者
(2)
【详解】（1）设
，由已知可得
，
解得
或
，
所以
或者
.
（2）由已知，
.
由
得
，
即
，即
，所以
，
所以
.
因为，
，故
.
