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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题19 匀强电场中的运动模型
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—4T）
目标2
匀强电场中的类平抛运动模型（5T—8T）
目标3
交变电场中的直偏运动模型（9T—12T）
目标4
重电复合场中的直线运动模型（13T—16T）
目标5
重电复合场中的类抛体运动模型（17T—20T）
目标6
重电复合场中的圆周运动模型（21T—24T）
【特训典例】
一、高考真题
1．如图所示，金属极板M 受到紫外线照射会逸出光电子，最大速率为
。正对M 放置一金属网N，在
M、N 之间加恒定电压U。已知M、N 间距为d（远小于板长），电子的质量为m，电荷量为e，则
（ ）
A．M、N 间距离增大时电子到达N 的动能也增大
B．只有沿x 方向逸出的电子到达N 时才有最大动能
C．电子从M 到N 过程中y 方向位移大小最大为
D．M、N 间加反向电压
时电流表示数恰好为零
【答案】C
1
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【详解】AB．根据动能定理，从金属板M 上逸出的光电子到到达N 板时
则到达N 板时的
动能为
与两极板间距无关，与电子从金属板中逸出的方向无关，选项AB 错误；
C．平行极板M 射出的电子到达N 板时在y 方向的位移最大，则电子从M 到N 过程中y 方向最大位移为
；
解得
选项C 正确；
D．M、N 间加反向电压电流表示数恰好为零时，则
解得
选项D 错误。故选C。
2．AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为
、质量为
的小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A 点。闭合开关S，小球静止时，细
线与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M 点（未标出），则（ ）
A．MC 距离为
B．电势能增加了
C．电场强度大小为
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
【答案】B
【详解】A．根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示
2
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根据几何关系可得
；
联立解得
剪断细线，小球做匀加
速直线运动，如图所示
根据几何关系可得
故A 错误；
B．根据几何关系可得小球沿着电场力方向的位移
与电场力方向相反，电场力做
功为
则小球的电势能增加
，故B 正确；
C．电场强度的大小
故C 错误；
D．减小R 的阻值，极板间的电势差不变，极板间的电场强度不变，所以小球的运动不会发生改变，MC 的
距离不变，故D 错误。故选B。
3．一带正电微粒从静止开始经电压
加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为
。微粒射
入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为
，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分
别为
和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
3
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【答案】BD
【详解】B．粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线直线运动，根据电场强度
和电势差的关系及场强和电场力的关系可得
，
粒子射入电容器后的速度为
，水平方
向和竖直方向的分速度
，
从射入到运动到最高点由运动学关系
粒子射入电场时由动能定理可得
联立解得
，B 正确；
A．粒子从射入到运动到最高点由运动学可得
，
联立可得
，A 错误；
C．粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得
，
射入电容器到最高点有
解得
设粒子穿过电容器与水平的夹角为
，则
粒子射入电场和水平的夹角为
；
，C 错误；
D．粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为
，竖直方向的位移为
联立
，
，
解得
且
，
即解得
即粒子在运动到最高点的过程中
水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，最高点到射出电容器过程同理
，
，
即轨迹不会变化，D 正确。故选BD。
4．某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入
由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场
作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互
作用。
4
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（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗粒的
半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的
两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1）
；（2）a、
；b、25%
【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向
根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
；
且
解得
5
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b.
带电荷量q 的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
；
在竖直方向颗粒匀速下落
，
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
；
设只有距下极板为
的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得
的颗粒被收集的百分比
二、匀强电场中的类平抛运动模型
5．真空中存在沿
轴正方向的匀强电场，氦核与氘核先后从坐标原点
沿
轴正方向射入该电场，在仅受
电场力的作用下的运动轨迹如图所示。则氦核与氘核（ ）
A．在电场中运动时的加速度相同
B．射入电场时的初速度相同
C．射入电场时的初动能相等
D．射入电场时的初动量相同
【答案】AC
【详解】A．根据牛顿运动定律有
解得
由于氦核与氘核的比荷相同，则氦核与氘核在电场
中运动时的加速度相同，故A 正确；
B．由类平抛运动规律知
，
解得
控制x 不变，若射入电场时的初速度相同，则
故B 错误；
C．若射入电场时的初动能相同，根据
则
故C 正确；
6
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D．若射入电场时的初动量相同，根据
则
故D 错误。
故选AC。
6．如图，在竖直平面内有一半径为
、圆心为
的圆形区域，在圆形区域内可以添加匀强电场或匀强磁场。
一电荷量为
、质量为
的电子从圆形区域边界上的
点沿半径
方向以速度
射入圆形区域，要使电
子从圆形区域边界上的
点离开圆形区域，
，不计电子重力。下列说法正确的是（ ）
A．可加磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里的匀强磁场
B．可加磁感应强度大小为
，方向垂直于纸面向外的匀强磁场
C．可加电场强度大小为
，方向竖直向上的匀强电场
D．可加电场强度大小为
、方向竖直向上的匀强电场
【答案】AC
【详解】AB．若添加匀强磁场，由于电子带负电，要使电子从
点离开圆形区域，则添加磁感应强度方向
垂直于纸面向里的匀强磁场，电子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由几何关系得，电子做匀速圆周
运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故A 正确，B 错误；
7
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CD．由于电子带负电，要使电子从B 点离开圆形区域，可添加电场强度方向竖直向上的匀强电场，电子在
电场力的作用下做类平抛运动，在水平方向有
竖直方向
联立解得
故C 正确，D 错误。故选AC。
7．如图所示为喷墨打印机的简化模型，重力可忽略的墨汁微粒，经带电室带负电后无初速度地进入电压
为
的加速电场，之后沿极板中线射入电压为
的偏转电场，最终打在纸上。已知加速电场和偏转电场
两极板间的距离均为d，偏转电场两极板板长为L，极板右侧到纸张的距离也为L，墨汁微粒所带电量为
q，质量为m，O 点为纸张与电场中线的交点，偏转电场的上极板接地（电势为零），忽略极板边缘电场的
变化。则下列说法正确的是（ ）
A．微粒从射入加速电场到打在纸上所用的时间为
B．微粒从偏转电场射出时的电势为
C．微粒从偏转电场射出时的电势为
D．改变
的大小，
越大，微粒打到纸上的点到O 点的距离越小
【答案】CD
【详解】A．微粒在加速电场中运动时，根据动能定理
①可得微粒离开加速电场时的速度为
8
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由题可知微粒在垂直于电场线方向上做匀速直线运动，所以微粒从离开加速电场到打在纸上所
用的时间为
微粒从射入加速电场到打在纸上所用的时间大于
故A 错误；
BC．带电粒子在偏转电场中偏转距离为
②联立①②，可得
设微粒从偏转电场
射出时的电势为
，在匀强电场中，有
即
解得
故B 错误，C
正确；
D．微粒从偏转电场射出时的速度在沿电场线方向上的分速度为
离开偏转电场后运动时间为
微粒打到纸上的点到O 点的距离为
因此改变
的大小，
越大，微粒打到纸上的点到O 点的距离越小，故D 正确。故选CD。
8．半导体掺杂是集成电路生产中最基础的工作。如图所示为某晶圆掺杂机的简化模型图，平行金属板A、
B 加上电压
，产生竖直方向的匀强电场；两电磁线圈间的圆柱形磁场视为匀强磁场，磁感应强度与电
流I 成正比。离子发生器产生的电量为＋q、质量为m 的离子，以速度v₀ 沿电场的中央轴线飞入电场，当
、
时，离子恰好打到晶圆圆心O（0，0）点。已知晶圆垂直纸面放置，晶圆面内xOy 坐标系中，
x 轴为水平方向、y 轴为竖直方向，掺杂过程中，离子全部打在晶圆上，忽略离子的重力和空气阻力。则在
掺杂过程中（ ）
9
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A．
越大，离子穿过极板的时间越短
B．
越大，离子在竖直方向上的位移越小
C．当
，
时，离子打在x 轴上
D．离子打在晶圆上时，其动能与电流I 大小无关
【答案】CD
【详解】A．离子穿过极板过程中，再水平方向上为匀速直线运动，则
穿过极板的时间与板长和初速
度有关，故离子穿过极板的时间不变，故A 错误；
B．离子在竖直方向上做匀加速直线运动，则
则
越大，离子在竖直方向上的位移越大，故
B 错误；
C．当
，
时，离子在磁场中受到洛伦兹力发生水平偏转，则打在
轴上，故C 正确；
D．由于洛伦兹力不做功，离子打在晶圆上的动能与电流
大小无关，故D 正确。故选CD。
三、交变电场中的直偏运动模型
9．如图甲所示，A、B 是一对平行金属板，A 板的电势
，B 板的电势
随时间的变化规律为如图乙
所示，现有一电子从A 板上的小孔进入两板间的电场区内，电子的初速度和重力的影响均可忽略，则（
）。
10
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A．若电子是在
时刻进入的，它可能不会到达B 板
B．若电子是在
时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后穿过B 板
C．若电子是在
时刻进入的，它可能时而向B 板运动，时而向A 板运动，最后穿过B 板
D．若电子是在
时刻进入的，它可能不能到达B 板
【答案】BD
【详解】A．电子在t=0 时刻进入时，在一个周期内，前半个周期受到的电场力向右，向右做加速运动，后
半个周期受到的电场力向左，继续向右做减速运动，T 时刻速度为零，接着周而复始，所以电子一直向B
板运动，一定会到达B 板，故A 错误；
B．若电子是在
时刻进入时，在
～
，电子受到的电场力向右，向右做加速运动，在
～
，受
到的电场力向左，继续向右做减速运动，
时刻速度为零，在
～T，电子受到的电场力向左，向左做
加速运动，在T～
，受到的电场力向左，继续向左做减速运动，
时刻速度为零，完成了一个周期的
运动，在一个周期内，向右的位移大于向左的位移，所以总的位移向右，接着周而复始，最后穿过B 板，
故B 正确；
C．若电子是在
时刻进入时，与在
时刻进入时情况相似，在运动一个周期时间内，时而向B 板
运动，时而向A 板运动，总的位移向左，最后穿过A 板，故C 错误；
D．若电子是在
时刻进入时，在一个周期内：在
～
，电子受到的电场力向右，向右做加速运动，
在
～
内，受到的电场力向左，继续向右做减速运动，
时刻速度为零，若此过程中，电子的位移大
于两极板间距，则电子能到达B 板；若电子的位移小于两极板间距，则电子不能到达B 板；以后在
～T
内，向左做加速运动，在T～
向左减速到零，接着周而复始，所以电子一直做往复运动，不会到达B 板，
故D 正确。故选BD。
11
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10．如图甲所示，平行金属板P、Q 上有两个正对小孔，Q 板接地，P 板的电势
随时间变化的情况如图
乙所示，一束电子以相同的初速度v0陆续均匀地从P 板小孔飞向Q 板小孔，t=0 时刻从P 板小孔飞入的电
子在
时刻到达Q 板小孔且速度刚好减小到零（未返回）。不计电子重力、小孔对板间电场的影响以及
电子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．只有满足t=nT（n=0，1、2，3…）时刻飞入P 板小孔的电子在板间运动的时间才最长
B．
时刻飞入P 板小孔的电子到达Q 板小孔的时刻为
C．若仅将电子从P 板小孔飞人的初速度变成
，则有12.5%的电子到达Q 板小孔时的速度仍为
D．若仅将两板距离变成原来的两倍，则t=0 时刻从P 板小孔飞入的电子到达Q 板时的速度仍为零
【答案】ABC
【详解】A．两板间存在电压时，电子做减速运动，若要使电子在板间运动的时间最短，应使电子做匀减
速运动的时间最长，即满足t=nT（n=0，1、2，3…）时刻飞入P 板小孔，故A 正确；
B．设电子初速度大小为v0，由题意可知电子做匀减速运动的加速度大小为
极板间距为
时刻飞入P 板小孔的电子先做匀减速运动，此阶段的位移大小为
末速度大小
为
电子后做匀速直线运动，此阶段的运动时间为
所以
时刻飞入P 板小
孔的电子到达Q 板小孔的时刻为
故B 正确；
C．由题意，电子从P 板小孔飞入和到达Q 板小孔的速度相同，说明电子一直做匀速直线运动，在板间运
12
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动的时间为
所以电子从P 板小孔飞入的时刻范围是
，这些电子所占电子总数的百
分比为
故C 正确；
D．若仅将两板距离变成原来的两倍，则电子做匀减速运动的加速度大小变为
，t=0 时刻从P 板小孔飞入
的电子在
时刻的速度大小为
电子做匀减速运动的位移大小为
电子之后做匀速直线运动的位移大小为
所以电子到达Q 板时的速度大小为
，故
D 错误。故选ABC。
11．如图（a），水平放置长为l 的平行金属板右侧有一竖直挡板。金属板间的电场强度大小为
，其方向
随时间变化的规律如图（b）所示，其余区域的电场忽略不计。质量为m、电荷量为q 的带电粒子任意时刻
沿金属板中心线
射入电场，均能通过平行金属板，并打在竖直挡板上。已知粒子在电场中的运动时间
与电场强度变化的周期T 相同，不计粒子重力，则（ ）
A．金属板间距离的最小值为
B．金属板间距离的最小值为
C．粒子到达竖直挡板时的速率都大于
D．粒子到达竖直挡板时的速率都等于
13
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【答案】AD
【详解】AB．在t=nT(n=0、1、2……)时刻进入电场的粒子在电场中的竖直位移最大，粒子在电场中运动的
时间为T，则竖直方向先做匀加速运动后做匀减速运动，由对称性，则沿竖直方向的位移
金属板间距离的最小值为
选项A 正确，B 错误；
CD．粒子出离电场时的水平速度均为
竖直方向，在t=t0时刻进入电场的粒子，先加速时间为
，
然后再减速
时间，在
时刻速度减为零；然后再反向加速t0时间，再反向减速t0时间，即在
t=T+t0时刻出离电场时竖直速度再次减为零，粒子出离电场后做匀速直线运动，则达到竖直挡板时的速率
等于
，选项C 错误，D 正确。故选AD。
12．如图甲所示，xOy 平面内存在着平行于y 轴方向的匀强电场，电场强度随时间的变化如图乙所示。
时刻，一带电粒子从y 轴上的P 点以大小为
的初速度沿x 轴正方向进入电场。已知O、P 两点之间
的距离为L，粒子在
时刻从Q 点以与x 轴正方向成
的角度第一次穿过x 轴，
时刻粒子所在位置
的y 坐标也为L，粒子在电场中运动时仅受电场力作用。下列说法正确的是（ ）
A．Q 点的坐标为
B．图乙中
C．
时刻，粒子的速度大小为
D．
时刻，粒子的位置坐标为
【答案】ACD
14
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【详解】A．粒子沿x 轴方向上做速度为
的匀速直线运动，沿y 轴方向上在
，
，
时间
内分别做匀变速直线运动，在
，
时间内加速度大小
在
时间内加速度大小
粒子在
时刻从Q 点以与x 轴正方向成
的角度第一次穿过x 轴，可得此时粒子沿y 轴方向
的速度大小
方向向下，由
；
可得
故Q 点的坐标为
，A 项正确；
B．设
时刻粒子沿y 轴方向的速度大小为
，方向向上，由
时刻粒子所在位置的y 坐标也为L，可得
即
又
；
可得
即
，B 项错误；
C．
时刻，粒子的速度大小
，C 项正确；
D．
时刻，粒子沿y 轴方向的速度
故粒子在
时间内沿y 轴方向的位移大小
，
时刻，粒子的y 坐标为
，
时刻，粒子的x 坐标为
，
D 项正确。故选ACD。
四、重电复合场中的直线运动模型
13．如图所示，竖直平面内有一组平行等距的水平实线，可能是电场线或等势线。在竖直平面内，一带电
小球以
的初速度沿图中直线由
运动到
，下列判断正确的是（ ）
A．小球一定带负电荷
B．
点的电势一定比
点的电势高
C．从
到
，小球的动能可能减小，也可能不变
15
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D．从
到
，小球重力势能增大，电势能也可能增大
【答案】CD
【详解】带电小球在重力和静电力作用下作直线运动。若小球作匀速直线运动，则静电力方向向上，这组
实线是等势线，小球所带电荷电性无法判定，a、b 两点电势高低无法判定，小球由a 运动到b，动能不变，
重力势能增大，电势能减小；若小球作匀减速直线运动，则静电力水平向左，这组实线是电场线，小球所
带电荷电性无法判定，a、b 两点电势高低无法判定，小球由
运动到
，动能减小，重力势能增大，电势
能增大；小球不可能匀加速直线运动。故选CD。
14．如图所示，空间存在电场强度大小恒定的匀强电场，方向沿纸面且与水平地面的夹角
可以任意变化，
将粗糙绝缘水平地面上质量为
的带正电物体由静止释放，物体沿地面加速时的最大加速度为
（
为
重力加速度大小），减速时的最大加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．物体与水平地面间的动摩擦因数为0.5
B．物体受到的电场力与受到的重力大小相等
C．当匀强电场沿水平方向时，物体的加速度大小为0
D．当物体的加速度大小为
时，匀强电场的方向可能竖直向下
【答案】BD
【详解】AB．当物体向右加速运动时，根据图甲所示的受力分析有
；
；
可得
16
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令
，
，有
当
时，有
当物体当物体向右减速运动时，根据图乙所示的受力分析有
；
；
可得
令
，
，有
当
时，有
解得
，
故A 错误，B 正确；
C．当匀强电场沿水平方向时，物体加速时的加速度大小为
物体减速时的加速度
大小为
故C 错误；
D．当
斜向上且物体在减速时，物体的加速度大小为
，当匀强电场方向竖直向下时，物体的
加速度大小为
故D 正确。故选BD。
15．如图（a）所示，匀强电场中固定一个倾角为
的斜面，电场方向沿斜面向上，一带正电的物体受与摩
擦力大小相等的电场力作用，从斜面底端以某一初速度沿斜面向上运动，到速度减为零的过程中，电场力
和重力对物体做功随时间变化的关系分别如图（b）中曲线①、②所示，则（ ）
17
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A．物体与斜面间的动摩擦因数为
B．物体与斜面间的动摩擦因数为
C．从底端开始，当重力做功为
时，物体的动能可能为
D．从底端开始；当重力做功为
时，物体的动能可能为
.
【答案】AC
【详解】AB．设沿斜面上升
速度减为零，根据图像可知，重力做功
由于电场力等于摩
擦力，故物块沿斜面上升过程中电场力做的正功等于摩擦力做的负功，即
联立上式解得
故A 正确，B 错误；
CD．当重力做功为
时，设物体沿斜面上升的距离为
，则
物块沿斜面向下时，根
据动能定理
其中
解得
故C 正确，
D 错误。故选AC。
16．如图甲所示，质量为
、带正电
的物块放在绝缘的水平桌面上，滑块处在匀强
电场中，电场强度
，重力加速度
。从原点O 开始，物块与桌面的动摩擦因数
随
x 的变化如图乙所示，取原点O 的电势为零，则下列判断正确的是（ ）
18
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A．物块运动的最大速度为2.0m/s
B．物块向右运动的最大位移为4.0m
C．当物块速度为
，物块的电势能可能为
D．物块最终静止时，物块与水平桌面因摩擦生热量为16J
【答案】BC
【详解】A．电场力F=qE=8N 摩擦力
当
时，即
时速度最大，根据动能定理得
解得
故A 错误；
B．设向右运动得最大距离为
，根据动能定理可得
；
；
故B 正确；
C．当物块速度为v=
时的位移为x，根据动能定理可得
；
解得
所以电势能
故C 正确；
D．据能量守恒定律可知当物块停止运动时电势能的减少量将全部转化为摩擦生热，即
故D 错误。故选BC。
五、重电复合场中的类抛体运动模型
17．两水平平行金属板连接在如图所示的电路中，板长为L，间距为d，在距板右端2L 处有一竖直光屏，
D 为理想二极管。让一带电荷量为q、质量为m 的微粒从两板左端连线的中点O 以水平速度
射入板间，
粒子飞出电场后垂直打在屏上。则（ ）
19
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A．电场强度大小为
B．粒子在板间运动的过程中与它从板右端运动到屏的过程中速度变化相同
C．若仅将滑片P 上移，再让该粒子从O 点以
水平射入，粒子仍垂直打在屏上
D．若仅将板间距增大，再让该粒子从O 点以
水平射入，粒子仍垂直打在屏上
【答案】AD
【详解】A．据题意可知，粒子的运动轨迹如图所示，粒子受到的电场力方向向上，先往上偏转，飞出电
场后，在重力的作用下，最终垂直打在屏上。设粒子在电场中运动时间为
，加速度为
，飞出电场后又
运动的时间为
，加速度为
，则有
；
；
；
解得
因为
又解得
，A 正确；
B．粒子在板间运动的过程中速度的变化量方向是向上的，而它从板右端运动到屏的过程中速度变化量方
向是向下的，所以不相同，B 错误；
C．若仅将滑片P 上移，则电阻R 增大，两板之间的电压增大，则电场场强增大，粒子受到更大的电场力，
20
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竖直方向上的速度变化量增大，所以再让该粒子从O 点以
水平射入，粒子不能垂直打在屏上，C 错误；
D．若仅将板间距增大，根据
；
解得
因为D 为理想二极管，所以两极
板储存的电荷量Q 不变，则电场强度不变，电场力不变，竖直方向的速度变化量不变，再让该粒子从O 点
以
水平射入，粒子能垂直打在屏上，D 正确；故选AD。
18．真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球
由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中A 点以初速度
竖直向上抛
出，经过最高点B 后回到与A 在同一水平线上的C 点，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（ ）
A．小球所受的电场力为
B．小球在最高点B 的动能为
C．小球在C 点的机械能比在A 点多
D．小球在C 点的动能为
【答案】BCD
【详解】
A．如图所示，根据题意可知，小球重力与电场力的合力方向与竖直方向的夹角为37°，由几何关系可得，
小球所受的电场力为
，A 错误；
B．根据题意可知，小球在竖直方向上做匀减速运动，由运动学公式
可得，运动到B 点的时间为
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由牛顿第二定律可得，小球在水平方向上的加速度为
则小球运动到B 点的速度为
则小球在最高点B 的动能为
，B 正确；
C．根据对称性可知，小球运动到C 点的时间为
则AC 间的水平位移为
由功能关系可知，小球从A 运动到C，机械能的增加量为
即小球在C 点的机械能比在A 点
多
，故C 正确；
D．根据题意，由对称性可知，小球运动到C 点时，竖直分速度为竖直向下的，由运动学公式可得，小球
运动到C 点时的水平分速度为
则小球在C 点的速度为
则小球在C 点的动能为
，D 正确；故选BCD。
19．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子受重力和电场力作用在竖直平面内运动。粒子运动过程中先后
经过
三点，其中
两点在同一水平线上。粒子在
点的速度大小为
，方向与加速度方向垂直；
粒子在
点的速度大小
，速度方向平行于
连线；
两点间的距离为
。已知粒子质量为
、电荷
量为
，重力加速度为
，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子从
点运动到点的时间为
B．粒子在点的速度大小为
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C．电场强度的大小为
D．
两点间的电势差为
【答案】BC
【详解】A．粒子在
点的速度方向与加速度方向垂直，则粒子从
到的运动过程为类抛体运动，设类抛
体运动的加速度为a,a 点的速度方向与ac 连线的夹角为
，则
，
，
解得
；
，A 错误；
B．粒子在点的速度
，B 正确；
C．设电场强度大小为
，则根据几何关系得
解得
，C 正确；
D．粒子从a 到c 的过程根据动能定理得出
得出
，D 错误。故选BC。
20．如图所示的坐标系中，x 轴水平向右，质量为
、带电量为
的小球从坐标原点O 处，
以初速度
斜向右上方抛出，进入斜向右上方场强为
的匀强电场中，E 与x 轴正方
向的夹角为
，
与E 的夹角为
，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
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A．小球的加速度的大小为
B．小球做类斜抛运动
C．若小球运动到x 轴上的P 点，则小球在P 点的速度大小为
D．O、P 两点间的电势差为
【答案】AC
【详解】AB．由题给数据计算可知
由题意可知电场力与重力的夹角为120°，由力的合成可知
且F 与初速度
垂直，则小球的加速度
与初速度
垂直。由于
与
垂直，则小球做类
平抛运动，A 正确，B 错误；
C．设O、P 两点之间的距离为x，把x 分别沿着
和垂直
分解，则有
，
由类平抛运动的规律可得
，
小球在P 点的速度为
综合解得
，
，C 正确；
D．由匀强电场电势差与电场强度之间关系可得
计算可得
，D 错误。故选
AC。
六、重电复合场中的圆周运动模型
21．如图，倾角
的固定斜面与半径为r 的四分之三圆弧形轨道ABC 相切于A 点，其中半圆弧段AB
是硬质细圆管。整个空间存在水平方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q 的带正电小球恰好静止在斜面
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上。已知重力加速度大小为g，取
，小球直径略小于圆管的内径，运动过程中电荷量保持不变，
忽略一切摩擦。现给小球一个沿斜面向下的初速度
，则（ ）
A．匀强电场的场强大小为
B．小球能到达B 点的条件为
C．小球可能在BC 段某点脱离轨道
D．小球经过C 点的速度大小可能为
【答案】AD
【详解】A．当带电小球恰好静止在斜面上时，受到重力、电场力、斜面的支持力的作用，由受力分析可
得
解得
故A 正确；
B．由受力分析可知，重力和电场力等效合力沿BA 方向，大小为
若小球
以初速度
释放，到达等效最高点B 点时的临界速度为0，由动能定理可得
解得
小球能到达B 点的条件为
，故B 错误；
C．因为B 点是等效最高点，类比竖直面的圆周运动规律，能通过B 点时，就不会再脱离轨道，故C 错误；
D．当由B 到C 做类平抛运动时
；
；
整理得
，
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经过C 点的速度大小
故D 正确。故选AD。
22．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q 的小球，系在一根长为L 的
绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动。AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。已知重力
加速度为g，电场强度
。下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到B 点时的机械能最大
C．若将小球在A 点由静止开始释放，它将在ACBD 圆弧上往复运动
D．若将小球在A 点以大小为
的速度竖直向上抛出，它将能够到达B 点
【答案】BD
【详解】A．因为电场强度
，所以小球所受静电力大小也为mg，故小球所受合力大小为
，方
向斜向右下方，与竖直方向夹角为45°，故小球通过圆弧AD 的中点时速度最小，此时满足
因此小球在竖直面内做圆周运动的最小速度
故A 错误；
B．由功能关系知，小球机械能的变化等于除重力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕O 点做圆周运
动，运动到B 点时，静电力做功最多，故运动到B 点时小球的机械能最大，故B 正确；
C．小球在A 点由静止开始释放后，将沿合外力方向做匀加速直线运动，故C 错误；
D．若将小球以
的速度竖直向上抛出，由对称性知小球回到相同高度，经过的时间
其水平位移
故小球刚好运动到B 点，故D 正确。故选BD。
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23．如图，竖直平面内存在竖直向上、电场强度大小为E 的匀强电场，绝缘水平地面与圆心为O、半径为
R 的竖直固定的半圆形绝缘轨道AB 平滑相接于A 点。一质量为m、电荷量为q 的带正电的光滑小球在水平
面上以大小为
的速度向右运动，小球经A 点沿轨道向上运动，恰好能通过B 点。已知
，小球可
视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过B 点时的速度大小为
B．
的大小为
C．小球从脱离半圆轨道至落地，在空中运动的时间为
D．小球落地前一瞬间速度与竖直方向夹角的正切值为
【答案】BD
【详解】A．小球恰好能通过B 点，则轨道对小球的支持力恰好为零，根据其受力情况结合牛顿第二定律
可得
结合题意，解得B 点的速度为
故A 错误；
B．小球从A 到B 的过程中，由动能定理可得
代入数据可得
故B 正确；
C．小球脱离轨道后做类平抛运动，在竖直方向上有
，
代入数据可得
故C 错误；
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D．小球落地瞬间竖直方向速度为
小球在空中运动时，水平方向做匀速运动，故小球落地前
一瞬间速度与竖直方向夹角的正切值为
故D 正确。故选BD。
24．如图所示，
为固定的光滑半圆形竖直绝缘轨道，半径为
，
为半圆水平直径的两个端点，
为半圆的竖直半径，
为
圆弧，
的左侧、
的下方区域
有竖直向下的匀强电场。一个
带负电的小球，从
点正上方高为
处由静止释放，并从
点沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力，小球
电量不变。关于带电小球的运动情况，下列说法正确的有（ ）
A．小球一定能从
点离开轨道
B．小球在圆弧
部分运动的加速度大小可能不变
C．若小球能沿圆弧返回从
点离开，上升的高度一定等于
D．若小球能沿圆弧到达
点，其速度不可能为零
【答案】BCD
【详解】A．由题意可知，带电小球从开始下落到
的过程中，电场力做负功，重力做正功，由于二者做
功的大小关系不确定，故小球有可能不能从
点离开轨道，故A 错误；
B．若重力和电场力大小相等，则小球在
部分做匀速圆周运动，加速度大小不变，故B 正确；
C．若小球能沿圆弧返回从
点离开，全过程电场力做功为零，小球上升的高度一定等于
，故C 正确；
D．若
，小球沿圆弧从
到
做加速或匀速率运动，故小球到达
点的速度不可能为零；若
，小球沿圆弧运动到
点的最小速度为，则有
故小球能到达C 点的速度也不可
能为零，故D 正确。故选BCD。
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