文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2024 年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题61 带电粒子在组合场中的运动
特训目标
特训内容
目标1
二维平面组合场问题（1T—5T）
目标2
三维空间组合场问题（6T—10T）
目标3
交变电磁组合场问题（11T—15T）
【特训典例】
一、二维平面组合场问题
1．如图所示，
的区域存在沿x 轴负方向的匀强电场，
的区域存在垂直xOy 纸面向外的匀强磁
场，P（
，0）点处有一个粒子源，可以向
的区域发射质量为m，电荷量为q，速度大小为
的带
正电粒子，在所有到达y 轴的粒子中，位置M（0，
）点的粒子与P 点距离最远，不计重力及粒子间
的相互作用。
（1）求磁感应强度大小，及粒子进入电场前，在磁场中运动的最短时间；
（2）若第一次从M 点射出磁场的粒子，第二次从 OM 的中点N 射出磁场，求电场强度大小。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1） M 点为粒子到达的最远点，则PM 为粒子运动轨迹的直径，可得
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
运动时间最短的粒子为从坐标原点
O 出射的粒子，该粒子对应的弧长最短，由于
可知最短时间轨迹对应的圆心角为60°，则有
（2）若第一次从M 点射出磁场的粒子，第二次从 OM 的中点N 射出磁场，如图所示
记粒子由y 轴上的Q 点回到磁场，由粒子在电场中运动的对称性可知，粒子在Q 点的速度大小为
，方向
与y 轴负方向的夹角为60° ；由几何关系可知弦长
可得电场中竖直方向上的位移为
在电场中竖直方向有
水平方向上有
，
联立解得
2．如图所示，平面直角坐标系y 轴的左侧存在沿x 轴正方向电场强度为E 的匀强电场，一质量为m，带电
量为
的质子从P 点由静止开始加速，P 点的坐标为
，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域（图中未
画出），磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y 轴上的M 点再次进入电场，此时质子速度
与y 轴负方向夹角为
，M 点的坐标为
，质子重力不计，求：
（1）磁感应强度为多大；
（2）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（3）在圆形磁场面积最小时，质子第三次经过y 轴的y 坐标。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）质子从O 点进入磁场的速度为，则有
质子进入磁场后的运动轨迹如图所示，
反向延长M 点的速度方向与x 轴交点为C，作
的角平分线交y 轴于
，
即为运动轨道的圆心，
即为运动轨道的半径，设为。
由几何关系可得
质子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
（2）最小的圆形磁场区域是以
为直径的圆，设圆的半径为
，则有
最小圆形区域的面积
解得
（3）质子从M 点进入电场后，有
，
设质子从M 点进入电场到质子第三次经过y 轴的
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
运动时间为t，在x 方向
在y 方向的位移
联立解得
质子第三次经过y 轴的坐标为
3．利用电磁场偏转离子是在科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，在Oxy 平面（纸面）的第一象限内
有边界平行于x 轴的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，宽度均为L，区域Ⅰ为匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴负方向，
区域Ⅱ、Ⅲ为匀强磁场，方向均垂直纸面向里。一群速度大小不同的离子由（0，3L）处沿x 轴正方向进入
电场，已知离子质量为m、电荷量为+q，不计离子重力，忽略磁场的边界效应。求：
（1）恰从（L，2L）处进入区域Ⅱ离子的初速度；
（2）若要使初速度为0 的离子不进入区域Ⅲ，B1的范围；
（3）若
，且
，经过
处离子的初速度范围。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据
；
解得
（2）当初速为0 的粒子轨迹恰好与Ⅱ、Ⅲ边界相切时，
为最小值，此时，粒子进磁场时
；
；
解得
即
的范围为
（3）设某一初速度释放的粒子，其轨迹与
相切。运动中经电场偏转后进入Ⅱ区域时，速度与竖直方
向的夹角为θ，经Ⅱ区域偏转后进入第Ⅲ区域时，其半径与水平方向夹角为α，粒子在Ⅱ区域的半径为r1，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
Ⅲ区域的半径为
，如图所示
由
，
可得
；
；
粒子在电场中做类平抛运动
；
；
解得
则
，即
经过
处粒子的初速
度范围
4．如图所示，在
坐标系的第一、四象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，第二象限矩形OACD
区域内有沿y 轴负方向的匀强电场。场强大小为E，OA 长为
，OD 长为L，OC 为矩形对角线，F 为对角
线中点。在CF 线段上各点处不断地沿x 轴正向射出质量为m、电荷量为g 的带正电粒子，粒子均能从O
点进入磁场，所有粒子经磁场偏转后，均打在y 轴上的荧光屏上，荧光屏上有粒子打到的区域长度为L，
不计粒子的重力。求：
（1）从C 点射出的粒子速度为多大；
（2）匀强磁场的磁感应强度为多大；
（3）若将荧光屏绕O 点顺时针转过
时，荧光屏上打有粒子的区域长度又为多少（所有粒子均能打在荧
光屏上，
）。
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设从C 点射出时粒子的速度大小为
，则
；
根据牛顿第二定律
解得
（2）同理可得从F 点射出时粒子的速度大小
根据粒子做类平抛运动时，速度的反向延长线交于
水平位移的中点，则所有粒子经过O 点时速度方向均与x 轴正向成
角。则从C 点射出的粒子经过O 点
时速度大小
从F 点射出的粒子经过O 点时速度大小
粒子在磁场中运动
时，根据牛顿第二定律
得
设从C 点射出的粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，从F 点
射出的粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，则
，
根据题意
解得
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）设从C 点射出的粒子打在荧光屏上的位置离O 点的距离为
，根据几何关系
设从F 点射出的粒子打在荧光屏上的位置离O 点的距离为
，根据几何关系
则屏上打上粒子的区域长度
5．如图所示的平面直角坐标系
，在第一象限内有平行于y 轴的匀强电场，方向沿y 正方向；在第四象
限的正三角形abc 区域内有匀强磁场，方向垂直于
平面向里，正三角形边长为L，且ab 边与y 轴平行。
一质量为m、电荷量为q 的粒子，从y 轴上的
点，以大小为
的速度沿x 轴正方向射入电场，通过
电场后从x 轴上的a 点
进入第四象限，经过磁场后又从y 轴上的某点进入第三象限，且速度与y 轴负
方向成
角，不计粒子所受的重力．求：
（1）电场强度E 的大小；
（2）abc 区域内磁场的磁感应强度B 的最小值；
（3）粒子从P 点出发到回到y 轴上所用时间的最大值。
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
，
联立解得
（2）粒子到达a 点时，沿负y 方向的分速度为
则粒子到达a 点时的速度大小为
方向与x 轴正方向成
角。粒子在磁场中运动时，由牛顿第二定律得
当粒子从b 点射出时，半径最大，磁场的磁感应强度有最小值，运动轨迹如图所示
由几何知识得
联立解得
（3）当磁感应强度最小时，时间最长；电场中时间为
磁场中的最长时间为
又
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由轨迹图可知
解得
粒子出磁场后做匀速直线运动，水平分速度与粒子在电场中的水平分速度
大小相等，故运动时间相等，则有
粒子从P 点出发到回到y 轴上所用时间的最大值为
二、三维空间组合场问题
6．如图所示，以圆柱底面中心
点为坐标原点建立空间直角坐标系
，另一底面中心
点坐标为
，圆柱底面半径为
。在圆柱区域内存在沿轴正方向的匀强磁场。磁场区域左侧有一矩形区域
，其中
边与
轴平行，
边与轴平行，矩形区域的尺寸和位置已在图中标出。区域内均匀分布
电子源，沿
轴正方向持续不断地发射速率均为
的电子。从
边射出的电子经过磁场偏转后均从
点射
出，从
边射出的电子经过磁场偏转后均从
点射出。在圆柱两底面的正下方有两块半径为
的半圆形
平行金属收集板
、
，圆心分别位于
点、
点。已知电子质量为
，电荷量为，两金属收集板之间
的电压
，
，
。忽略电子重力、电子间相互作用和电子收集后对电
压
的影响。求：
（1）磁感应强度
的大小；
（2）从
点射出的电子打到金属收集板
上时的位置坐标及金属收集板
收集到电子区域的面积；
（3）若在
金属板正对的半圆柱空间内新增沿轴负方向、磁感应强度为
的匀强磁场，并调节
间电压为
。求过
时速度沿
轴负方向的电子继续运动
时间后的位置坐标。
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）（
，
，）、
；（3）（
，
，
）
【详解】（1）由题意，有电子在磁场中运动的半径
洛伦兹力提供向心力
得
（2）如图，由几何关系，有
，
则
；
；
；
；
；
得
坐标为（
，
，）、面积为
（3）
金属板间运动过程
；
；
得
；
则
；
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以坐标为（
，
，
）。
7．如图甲所示，位于P 处的粒子源不断产生初速度为零的带正电的粒子，粒子经两板间匀强电场加速后
沿图中
圆弧虚线通过静电分析器，从O 点垂直xOy 平面向上进入长方体有界匀强磁场区域，恰好打在
EH 的中点M。加速电场的电压为U，两板间距为L。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，圆弧虚线
的半径为L。磁场区域的磁感应强度B0（大小未知）的方向沿y 轴负方向（图中未画出）；磁场区域的高
为
，底面ABCD 为正方形，位于xOy 平面内，边长为L、中心为O，AB 边与x 轴平行；长方体上表面
EFGH 为一荧光屏。粒子质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。求：
（1）辐向电场中虚线处的电场强度E 的大小；
（2）磁感应强度B0的大小；
（3）粒子从P 运动到M 的时间t；
（4）若x、y 方向的磁场按如图乙所示随时间周期性变化，其中
，
，磁场
变化的周期为T。不计粒子间的相互作用，粒子在磁场中运动的时间远小于磁场变化的周期，不考虑磁场
变化产生的电场对粒子的影响。试确定一个周期内粒子在荧光屏上留下的光斑轨迹形状，并写出轨迹方程
（用x，y，z 坐标表示）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）光斑轨迹是圆，轨迹方程为
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
【详解】（1）粒子在加速电场中有
粒子在静电分析器中，由电场力提供粒子做圆周运动的
向心力
解得
（2）若粒子恰好能打在EH 的中点M，其轨迹如图所示
由几何关系得
解得
粒子做圆周运动，有
解得
（3）粒子在加速电场中做匀加速直线运动，有
；
粒子在静点分析器中做匀速圆周运动，
有
由题意可知，粒子运动四分之一周期，所以运动时间为
粒子在磁场中有
由（2）的轨迹及几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角为
，有
所以粒子从P 点到M 点的
时间为
（4）在磁场区域的合磁场为
所以粒子在磁场中做圆周的轨迹半径为
其粒子在一个周期内留下的光斑为圆，如图所示
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由几何关系可知，其光斑的半径为
圆心的坐标为（0，0，
），其轨迹方程为
；
8．某型号质谱仪的工作原理如图所示。M、N 为竖直放置的两金属板，两板间有电场强度大小为E 的水平
向右的匀强电场，两板间距为d，Q 板为记录板，分界面P 将N、Q 间区域分为宽度均为d 的Ⅰ、Ⅱ两部分，
M、N、P、Q 所在平面相互平行，a、b 为M、N 上两正对的小孔。以a、b 所在直线为z 轴，向右为正方向，
取z 轴与Q 板的交点O 为坐标原点，以平行于Q 板水平向里为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立
空间直角坐标系Oxyz。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x 轴正方向大小可调节的匀强电场和匀强磁场。一质量为
m，电荷量为＋q 的粒子，从a 孔飘入电场（初速度视为零），经b 孔进入区域Ⅰ，经区域Ⅰ、Ⅱ后最终打
到记录板Q 上。不计粒子重力。
（1）求粒子穿过b 孔时的速度大小；
（2）若只在区域Ⅰ存在电场强度大小为E 的电场，求粒子打到记录板上位置的x 坐标；
（3）若只在区域Ⅱ存在磁感应强度大小为
的磁场，求粒子打到记录板上位置的y 坐标；
（4）若在区域Ⅰ存在电场、区域Ⅰ存在磁场，电场强度大小、磁感应强度大小分别为E 和
求粒
子打到记录板上位置的坐标。
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）由动能定理
解得
（2）粒子在区域Ⅰ电场中做类平抛运动
；
在区域Ⅰ电场中沿x 方向位移
，x 方向末速度
在区域Ⅱ中做匀速直线运动
沿x 方向位移
粒子打到记录板上位置的x 坐标
（3）粒子在区域Ⅰ电场中沿z 轴正方向做匀速直线运动，粒子在区域Ⅱ磁场中做匀速圆周运动，圆周运动
的半径为
由几何关系可知，粒子在磁场中的圆弧轨迹对应的圆心角为30°，可解得粒子打到记
录板上位置的y 坐标为
解得
（4）粒子在区域Ⅰ电场中做类平抛运动，沿x 轴做匀加速直线运动，运动过程与（2）在区域Ⅰ电场中的
运动过程完全一样，所以有
粒子在区域Ⅱ磁场中做匀速圆周运动，但仍沿x 轴运动，以速度
沿x 轴做匀速直线运动，其在磁场中的运动时间为
粒子在区域Ⅱ磁场
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
中沿x 轴的运动距离为
最终粒子打到记录板上位置的x 坐标为
粒子在区
域Ⅰ电场中不沿y 轴运动，只在区域Ⅱ磁场中沿y 轴运动，且运动距离与（3）完全一样，所以
粒子打到记录板上位置的z 坐标为z＝0 所以，粒子打到记录板上位置的坐标
9．某质谱仪部分结构的原理图如图所示。在空间直角坐标系Oxyz 的y>0 区域有沿-z 方向的匀强电场，电
场强度大小为E，在y<0 区域有沿-z 方向的匀强磁场，在x=-2d 处有一足够大的屏，俯视图如图乙。质量为
m、电荷量为+q 的粒子从y 轴上P（0，-d，0）以初速度v0沿+y 方向射出，粒子经过x 轴时速度方向与-x 方
向的夹角θ=60°角．不计粒子的重力。
（1）求磁感应强度大小B；
（2）求粒子打到屏上位置的z 轴坐标z1；
（3）若在y<0 区域同时也存在沿-z 方向的场强大小为E 的匀强电场，求粒子打到屏上时的速度大小v。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系有
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）设粒子经过x 轴时的坐标为-x1，则
粒子在y>0 区域电场中做类平抛运动，在xoy 平面
内沿v0方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛运动的时间为t1，则
粒子运动的加速
度
在z 轴负方向运动的距离
解得
，
所以打到屏上位置的z 轴坐标
（3）设粒子在y<0 区域运动的时间为t2，研究在磁场中的分运动，有
在y>0 区域运动的时间
仍为t1，设粒子打到屏上时z 轴坐标为z2，则
根据动能定理有
解得
10．如图所示，截面半径为l 的圆柱形空腔位于三维坐标系Oxyz 中，分为I、II、III 三个区域。
的I 区域内有沿y 轴正方向的匀强磁场；
的II 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场；III 区域
内同时存在沿z 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度与II 区域相等。现有一带电粒子从点
，
以大小为
的速度垂直磁场进入I 区域，经点
沿着z 轴进入II 区域，然后经过点
进入III 区域，粒子恰好未从圆柱腔的侧面射出，最终从右边界上点
离开区域
III。已知粒子的质量为m，电荷量为+q，不计粒子重力，求：
（1）I 区域磁感应强度的大小B；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）II 区域电场强度的大小E；
（3）III 区域沿z 轴的宽度L。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）I 区域内粒子在xOz 平面内做匀速圆周运动，轨迹如图
由几何关系得
由牛顿第二定律得
解得
（2）II 区域内粒子在yOz 平面内做类平抛运动，z 轴方向
，y 轴方向
；
联立解得
（3）进入Ⅲ区域后做螺旋线运动，粒子在M 点沿y 轴方向的分速度为
解得
粒子在xOy 平面内做圆周运动，轨迹如图
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由几何关系可知
可解得
则粒子在xOy 平面内做圆周运动的周期
设由M 到N 时间为t2，由于M、N 两点y 坐标相同，则有
粒子沿z 轴的正方向做初速度
为
的匀加速直线运动，由运动学公式得
代入数据解得
三、交变电磁组合场问题
11．如图甲所示，竖直平面内有圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于该平面向
外。右侧有间距为
、长度为
的两平行金属板，平行金属板内有交变电场，电场强度变化的规律如图乙
所示（设竖直向上为正方向）。平面直角坐标系xoy 的第二象限内有一抛物线，如图中实线所示，方程满
足
，实线上方至y 轴区域内存在竖直向下的匀强电场，第四象限内有匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向垂直于xoy 平面向外。下方金属板与x 轴共线，且两者所在的直线与圆形磁场边界相切于P。P 处
有一粒子源，可以向竖直平面内各个方向连续发射质量为m、带电量为+q、速度大小均为
的粒子。竖直
向上发射的粒子在磁场中偏转
后穿出磁场，此时记为
，该粒子从距离上金属板
处平行于金属板
穿出后，进入匀强电场，并从坐标原点进入第四象限。不计粒子重力、粒子间相互作用力及空气阻力。求：
（1）圆形区域内磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）平行板间交变电场的电场强度
的大小；
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）匀强电场的电场强度
的大小及所有粒子经过y 轴负半轴时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知，粒子做圆周运动的轨道半径
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律
得
解得
（2）粒子进入交变电场后，水平方向上做速度为
的匀速直线运动，竖直方向上先做匀加速直线运动，
再做匀减速直线运动，水平方向
竖直方向
；
解得
（3）设从距离上金属板
处穿出金属板区域的粒子进入匀强电场的位置坐标为（
，
）中做类平抛运
动，水平方向
竖直方向
；
由于
解得
经分析可知，在圆形
磁场区域，粒子偏转了
，可知
粒子出磁场时，速度均水平向右，为
，粒子不论从何时进入
交变电场，在交变电场中的运动时间均为
因此出交变电场时，竖直方向的速度
即所有
粒子均以水平速度
进入匀强电场区域。设进入匀强电场时的位置坐标为坐标为（
，
），水平方向
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
竖直方向
；
由于
可知，所有粒子均经过坐标原点O 进入磁场。设粒子进入
磁场时，速度与y 轴负半轴夹角为
，则粒子进入磁场时的速度为
粒子在磁场中做圆周运动，洛
伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
则有
与
无关。因此，所
有粒子经过y 轴负半轴时的位置坐标为
。
12．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆
心、半径为L 的圆形磁场区域，与x 轴的交点分别为M、N。在xOy 平面内，从电离室产生的质量为m、带
电荷量为e 的电子以几乎为零的初速度从P 点飘入加速电场中，加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q
点沿x 轴正方向进入匀强电场，已知O、Q 两点之间的距离为
，电子飞出电场后从M 点进入圆形磁场
区域，进入磁场时取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图中B0
是未知量），最后电子从N 点飞出，不考虑电子的重力。求：
（1）加速电场的电压U；
（2）电子运动到M 点时的速度大小和方向；
（3）磁场变化周期T 满足的关系式。
【答案】（1）
；（2）2v0，方向与x 轴正方向的夹角为60°；（3）
（n=1，2，3…）
【详解】（1）在加速电场中，从P 点到Q 点，由动能定理得
可得
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）电子从Q 点到M 点做类平抛运动，有
电子运动至M 点时
解得
；
解得
即速度方向与x 轴正方向的夹角为60°；
（3）电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示
电子到达N 点符合要求的空间条件为
（n=1，2，3…）电子在磁场中做圆周运动的轨道
半径
解得
（n=1，2，3…）电子在磁场变化的半个周期内恰好转过
圆周，同时在MN 间
的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是
；
所以T 应满足的条件为
（n=1，2，3…）
13．如图甲所示，M、N 为水平放置长为L 的平行金属板，两板相距也为L。一束带正电、比荷为
的粒
子流（重力不计），以初速度
沿两板正中间水平射入两板间。粒子恰好由N 板下边缘A 点射出，以A 点
为坐标原点建立直角坐标系。
（1）求粒子经过A 点时速度大小和方向；
（2）若y 轴右侧有一方向垂直纸面向里的足够大的匀强磁场，x 轴下方磁感应强度大小为
，x 轴上方磁
感应强度大小为
，要使粒子进入磁场后恰好不离开磁场。求：
；
（3）仅撤去（2）中的磁场，在y 轴右侧加上如图乙所示足够大的周期性变化的磁场（
已知），设磁场
方向垂直于纸面向里为正。求：
时刻从A 点进入磁场的粒子经过x 轴时的坐标值。
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
、速度方向与水平成45°斜向下；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向有
；
竖直方向有
解得
粒子经过A 点时的速度大小
；
即速度方向与水平成45°斜向下；
（2）设x 轴下方磁场中轨道半径为
，x 轴上方磁场中轨道半径为
，运动轨迹如图
由几何关系可得
解得
根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
联立解得
（3）粒子在
时刻进入磁场，如图
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
一个磁场变化周期中粒子沿x 轴前进的距离
其中
可能：①经过x 轴时的坐标值
，
，1，2，3…
可能：②经过x 轴时的坐标值
，
，1，2，3…
14．高能粒子实验装置是用以发现高能粒子并研究和了解其特性的主要实验工具。为了简化计算，一个复
杂的高能粒子实验装置可以被简化为空间中的复合场模型。如图甲所示，三维坐标系中
平面的右侧（
空间）存在平行于z 轴方向周期性变化的磁场B（图中未画出）和沿y 轴正方向竖直向上的匀强电场。
现将一个质量为m、电荷量为q 的带正电的高能粒子从
平面内的P 点，沿x 轴正方向水平抛出，粒子第
一次经过x 轴时恰好经过O 点，此时速度大小为
，方向与x 轴正方向的夹角为45°。已知电场强度大小
，从粒子通过O 点开始计时，磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，规定当磁场方向沿z 轴正
方向时磁感应强度为正。已知
，重力加速度大小为g。
（1）求抛出点P 的坐标；
（2）求粒子从第1 次经过x 轴到第2 次经过x 轴的路程；
（3）求粒子第4 次经过x 轴时的x 坐标值；
（4）若
时撤去
右侧的匀强电场和匀强磁场，同时在整个空间加上沿y 轴正方向竖直向上的匀强磁
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
场
，求粒子向上运动到离
平面最远时的坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）P 点抛出后做平抛运动
；
，
；
代入数据得
，
抛出点P 的坐标为
（2）进入
平面右侧，由于
粒子在磁场作用下做匀速圆周运动，0-
时间内由图像得
由
得
由
得
则
粒子刚好第二次到达x 轴
解得
（3）在
时间内，有
，
，
则
，
，
此后时间内，粒子运动轨迹如图
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
粒子第4 次经过x 轴时得x 坐标值为
解得
（4）
时刻后，粒子在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向上做匀速圆周运动
；
到达最高点时
，
解得
由
得
由
得
又
，
，
联立方程解得
，
，
粒子向上运动到离
平面最远时
的坐标为
15．如图甲所示，xoy 平面内y 轴左侧有宽为L 的匀强电场区域，电场方向平行于y 轴向上，匀强电场左侧
有一电压为U 的加速电场。一质量为m、带电量为+q 的带电粒子从A 点飘入加速电场，加速后由x 轴上的
P（-L，0）点进入匀强电场，之后从y 轴上的Q（0，
）点进入y 轴的右侧。
（1）求粒子经过P 点时的速度大小v0；
（2）求匀强电场的场强大小E；
（3）若y 轴右侧存在一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示，取磁场
垂直纸面向外为正方向。
时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，求圆形
磁场区域的最小面积S 以及粒子进入磁场时的位置到y 轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响）
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从A 点到P 点，由动能定理有qU=
解得
（2）粒子在偏转电场中沿x 方向有L=v0t 沿y 方向有
根据牛顿第二定律有qE=ma 联立解得
（3）粒子从Q 点射出时沿y 方向的速度
则射出速度
解得
设粒子做圆周运动的半径为r，则
解得
粒子在磁场中运动的周期
解得T=T0粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：
所以圆形磁场的最小半径R=3r 最小面积S=πR2解得
由图可知，进入磁场的位置距y 的最小距离
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解得
27
