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专题二 能量与动量
第7 讲 动量和能量观点的应用题型总结
一．动量 冲量
1．（2024•西城区校级开学）如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a 和b，用手托住
球b，当绳刚好被拉紧时，球b 离地面的高度为h，球a 静止于地面。已知球a 的质量为m，球b 的质量为
3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的
是（ ）
A．在球b 下落过程中，绳子的拉力大小为
B．在球b 下落过程中，球b 的机械能减小3mgh
C．在球b 下落过程中，球a 的机械能增加mgh
D．在球b 下落过程中，绳对球a 拉力冲量大小为
二．动量定理
2．（2024•潍坊一模）一物体在t＝0 时刻通过P 点的速度大小为v0，加速度与速度方向相同，物体的加速
度a 随时间t 的变化如图所示。经2t0物体运动到Q 点。在该过程中，下列判断正确的是（ ）
A．0∼t0与t0∼2t0的平均速度相同
B．0∼t0与t0∼2t0合外力的冲量相同
C．0∼t0与t0∼2t0合外力做的功相同D．到达Q 点的速度大小为v0
变式一：3．（2023 秋•平度市校级期末）质量相等的A、B 两物体静止在同一水平面上，分别受水平拉力
F1、F2的作用从同一位置开始运动，经过时间t 和3t 分别撤去F1和F2，如图是两物体运动的v﹣t 图像，下
列说法正确的是（ ）
A．物体A、B 的位移大小之比是4：5
B．在2t～3t 之间的某一时刻B 能追上A
C．F1和F2对A、B 两物体的冲量之比是4：5 D．F1和F2对A、B 两物体的做功之比是5：3
三．动量守恒定律
4．（2024•青羊区校级模拟）如图甲所示，水平桌面上有一算盘。算珠可穿在固定的杆上滑动，算珠与杆
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之间的动摩擦因数为μ（未知）。使用时发现某一根杆上有A、B 两颗算珠未在归零位。A、B 相阻s1＝
3.5cm，B 与上边框相隔s2＝2cm。现用手指将A 以某一初速度拨出，在方格纸中作出A、B 运动的v﹣t 图
像如图乙所示（实线代表A，虚线代表B）。忽略A、B 碰撞的时间，g 取10m/s2，则（ ）
A．算珠A 在碰撞前运动了0.2s B．算珠与杆之间的动摩擦因数为μ＝0.2
C．算珠A 与算珠B 在碰撞过程无机械能损失 D．算珠B 碰撞后恰好能到达归零位置
变式一：5．（2024•青羊区校级模拟）质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，
钢板处于平衡状态。质量也为m 的物块从钢板正上方高为h 的A 处自由落下，打在钢板上并与钢板一起向
下运动x0后到达最低点B，已知重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A．物块和钢板一起运动到最低点B 过程物块的机械能守恒
B．从物块下落到一起运动到最低点的过程物块、钢板和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块和钢板一起运动到最低点B 过程中弹簧弹性势能的增加量为
D．物块和钢板一起运动到最低点B 过程中弹簧弹性势能的增加量为mg（h+2x0）
变式二：6．（2023 秋•李沧区校级期末）如图所示，质量均为m 的木块A 和B，并排放在光滑水平面上，
A 上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O 点系一长为L 的细线，细线另一端系一质量为m0的球C，现将球C 拉
起使细线水平伸直，并由静止释放球C，则下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A．运动过程中，A、B、C 组成的系统动量守恒
B．C 球第一次摆到最低点时，C 球的速度为
C．C 球第一次摆到最低点过程中，木块A、B 向右移动的距离
D．C 球第一次到达轻杆左侧的最高处的高度与释放高度相同
四．一维碰撞模型
7．（2023 秋•苏州期末）如图所示，5 个小球B、C、D、E、F 并排放置在光滑的水平面上，其中4 个球
B、C、D、E 质量均为m1，A 球、F 球质量均为m2，A 球以速度v0向B 球运动，之后所有的碰撞均为弹性
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碰撞，碰撞结束后（ ）
A．若m1＝m2，最终将有2 个小球运动
B．若m1＜m2，最终将有1 个小球运动
C．若m1＞m2，最终将有3 个小球运动
D．无论m1、m2大小关系怎样，最终6 个小球都会运动
变式一：8．（2023 春•沈阳期末）在光滑水平面上的两个小球发生正碰。碰撞时间可以忽略不计，如图所
示是它们碰撞前后的x﹣t 图像。小球的质量分别为m1和m2，已知m1＝0.1kg。由此可以判断（ ）
A．碰撞前m1和m2都在做匀速直线运动 B．碰撞后m1和m2运动方向相同
C．m2＝0.2kg D．该碰撞为弹性碰撞
变式二：9．（2024•贵州模拟）如图，A、B 两点间距离L＝1.9m，质量为
的小物块甲向右与静
止在水平地面上A 点、质量为m 乙＝1kg 的小物块乙发生弹性正碰，碰前瞬间甲的速度大小v0＝4.8m/s。碰
后乙在AB 间运动的某段距离中，受到一水平向右、大小F＝1N 的恒定推力。乙与静止在B 点处、质量为
m 丙＝1kg 的小物块丙发生正碰，乙在此碰撞前、后瞬间的速度大小之比为3：1，碰后丙经d＝0.04m 停止
运动。乙、丙与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，所有碰撞时间极短，g 取10m/s2。求：（1）甲与乙碰撞
后瞬间乙的速度大小；（2）乙、丙碰撞过程损失的机械能；（3）推力F 在AB 间作用的最长时间。
五．爆炸
10．（2023 秋•密山市期末）一枚在空中飞行的火箭在某时刻的速度为v0，方向水平，燃料即将耗尽。此
时，火箭突然炸裂成两块（如图所示），其中质量为m2的后部分箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽
略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则质量为m1前部分箭体速率v1为（ ）
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A．v0﹣v2
B．v0+v2 C．
D．
变式一：11．（2023 春•红塔区校级期末）如图所示，A、B 为光滑水平面上并排静止放置的两个物块，在
两物块右方有一竖直墙壁，物块A 的质量为3kg，物块B 的质量为1kg，两物块之间有少量炸药（质量忽
略不计），引爆炸药，炸药爆炸过程中共有24J 的能量转化为两物块的动能，后续运动过程中，两物块之
间以及物块与墙壁之间的碰撞均为弹性正碰，物块A、B 运动始终在一条直线上，则物块A 最终的速度大
小为（ ）
A．2m/s
B．3m/s
C．2
m/s
D．4m/s
六．反冲
12．（2023 春•红桥区校级期中）某同学自制总质量为M 的火箭，现从地面竖直向上发射，火箭在极短的
时间内，将质量为m 的气体以相对地面为v0的速度竖直向下喷出后，火箭开始做竖直上抛运动。已知重力
加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．火箭受到的推力来源于火箭外的空气对它的反作用力
B．气体喷出的过程中，火箭和气体组成的系统机械能守恒
C．火箭获得的最大速度为
D．火箭上升的最大高度为
变式一：13．（2023 秋•齐齐哈尔期末）“世界航天第一人”是明朝的万户，如图所示，他把47 个自制的
火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，飞上天空，然后利用风筝平
稳着陆。假设万户及其所携设备（火箭、椅子、风筝等）的总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质
量为m 的燃气相对地面以v0的速度竖直向下喷出，忽略空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法正确
的是（ ）
A．火箭的推力来源于地面对它的作用力
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B．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为
C．喷出燃气后，万户及其所携设备能上升的最大高度为
D．在火箭喷气过程中，万户及其所携设备的机械能守恒
七．人船模型
14．（2023 秋•海林市校级期末）《三国志》中记载：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，
则校可知矣。”这是著名的曹冲称象的故事。某同学学过动量守恒定律之后，欲利用卷尺测定大船的质
量。该同学利用卷尺测出船长为L，然后缓慢进入静止的平行于河岸的船的船尾，再从船尾行走至船头，
之后缓慢下船，测出船后退的距离d，已知该同学自身的质量为m，若忽略一切阻力，则船的质量为（
）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
变式一：15．（2022 秋•德州期末）如图所示，轨道P 内侧为光滑半圆面，半径为R，放置在光滑水平地
面上，半圆轨道上的A、B 两点与圆心O 等高，半径OA＝R，C 为半圆轨道的最低点，一可视为质点的小
球Q 从A 点由静止释放。已知P、Q 质量之比mP：mQ＝3：1，半圆轨道P 不固定，不计空气阻力。下列说
法正确的是（ ）
A．小球从A 点运动到C 点的过程中，P、Q 组成的系统动量和机械能都守恒
B．小球Q 不能滑到半圆轨道右侧的B 点
C．小球Q 滑到半圆轨道最低点C 时，半圆轨道P 的速度大小是小球Q 的2 倍
D．半圆轨道向左滑行的最大距离为0.5R
变式二：16．（2023 春•南开区期末）如图所示，有一只小船停靠在湖边码头，小船又窄又长（估计重一
吨左右）。一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量。他进行了如下操作：首先将船平行于码头自由停
泊，轻轻从船尾上船，走到船头停下，而后轻轻下船。用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长
L。已知他的自身质量为m，水的阻力不计，船的质量为（ ）
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A．
B．
C．
D．
八．动量与能量的综合应用——板块模型
17．（2023 秋•济南期末）如图所示，光滑的水平面上放置一长度为0.40m 的木箱，木箱的底部中央放一
可视为质点的木块，木箱的质量为木块的2 倍，木块与木箱间的动摩擦因数为
，重力加速度取10m/s2。
现给木块一水平向右的初速度，速度大小为3m/s，则最终木块距离木箱右端的距离为（ ）
A．0.10m
B．0.20m
C．0.25m
D．0.30m
（多选）18．（2024•吉林模拟）如图（a），质量均为m 的小物块甲和木板乙叠放在光滑水平面上，甲到
乙左端的距离为L，初始时甲、乙均静止，质量为M 的物块丙以速度v0向右运动，与乙发生弹性碰撞。碰
后，乙的位移x 随时间t 的变化如图（b）中实线所示，其中t0时刻前后的图像分别是抛物线的一部分和直
线，二者相切于P，抛物线的顶点为Q。甲始终未脱离乙，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．碰后瞬间乙的速度大小为
B．甲、乙间的动摩擦因数为
C．甲到乙左端的距离L
D．乙、丙的质量比m：M＝1：2
变式一：（多选）19．（2024•河南模拟）如图（a）所示，“L”形木板Q 静止于粗糙水平地面上，质量
为1kg 的滑块P 以6m/s 的初速度滑上木板，t＝2s 时与木板相撞并粘在一起。两者运动的v﹣t 图像如图
（b）所示。重力加速度大小g 取10m/s2，则（ ）
A．Q 的质量为1kg
B．地面与木板之间的动摩擦因数为0.1
C．由于碰撞系统损失的机械能为1.0J
D．t＝5.8s 时木板速度恰好为零
变式二：20．（2023 秋•林芝市期末）如图所示，质量为1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直
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墙面固定一劲度系数为30N/m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量为2kg 的小物块以v0＝3m/s 的速度水平
向右滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数为0.2，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，取重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（
）
A．木板接触弹簧前，物块与木板组成的系统机械能守恒
B．木板刚接触弹簧时的速度大小为1m/s
C．木板运动前右端距弹簧左端的距离为0.25m
D．木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量为0.2m
变式三：（多选）21．（2024•渝中区模拟）如图甲所，小物块a 和木板b 叠放在光滑水平面上，初始时
a、b 均静止，物块c 以速度v0向右运动，与b 发生碰撞（碰撞时间极短），碰后b、c 粘在一起，b 的位移
x 随时间t 的变化如图乙中的实线所示，其中t0时刻前后的图像分别是抛物线的一部分和直线，二者相切于
P 点，抛物线的顶点为Q。a 始终未脱离b。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．a、b 间的动摩擦因数为
B．a、b 间的动摩擦因数为
C．b、c 的质最比为1：2
D．b、c 的质量比为2：1
变式四：22．（2023 秋•宁波期末）如图所示为处于竖直平面内的实验装置，该装置由长L＝4m、速度可
调的固定水平传送带，圆心分别在O1和O2，圆心角均为θ＝120°、半径均为R＝0.4m 的光滑圆弧轨道
BCD 和光滑细圆管EFG 组成，其中B、G 两点分别为两轨道的最高点和最低点，B 点在传送带右端转轴的
正上方。在细圆管EFG 的右侧足够长的光滑水平地面上紧挨着一块与管口下端等高、足够长、质量M＝
0.5kg 的木板（与轨道不粘连）。现将一块质量m＝0.3kg 的物块（可视为质点）轻轻放在传送带的最左端
A 点，物块在传送带上自左向右运动，在B 处的开口和E、D 处的开口正好可容物块通过。已知物块与传
送带之间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块与木板之间的动摩擦因数μ2＝0.5，g＝10m/s2。求：
（1）若物块进入圆弧轨道BCD 后恰好不脱轨，传送带的速度大小；
（2）若传送带速度为5m/s，物块经过圆弧轨道BCD 最低点D 时，轨道对物块的弹力大小；
（3）若传送带最大速度为6m/s，在不脱轨的情况下，滑块在木板上运动过程中产生的热量Q 与传送带速
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度v 之间的关系。
变式五：23．（2024•莲湖区校级模拟）某物流公司用如图所示的传送带将货物从高处传送到低处。传送
带与水平地面夹角θ＝37°，顺时针转动的速率为v0＝2m/s。将质量为m＝25kg 的物体无初速地放在传送带
的顶端A，物体到达底端B 后能无碰撞地滑上质量为M＝50kg 的木板左端。已知物体与传送带、木板间的
动摩擦因数分别为μ1＝0.5，μ2＝0.25，AB 的距离为s＝8.20m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加
速度g＝10m/s2（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：
（1）物体刚开始下滑时的加速度大小和物体滑上木板左端时的速度大小；
（2）若地面光滑，要使物体不会从木板上掉下，木板长度L 至少应是多少；
（3）若木板与地面的动摩擦因数为μ，且物体不会从木板上掉下，求木板的最小长度Lmin与μ 的关系式。
九．动量与能量的综合应用——子弹打木块模型
24．（2023 秋•宜兴市期末）如图，光滑水平面上，子弹水平射入木块后留在木块内．现将子弹、弹簧、
木块合在一起作为研究对象，则此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中，系统
（ ）
A．动量守恒，机械能不守恒
B．动量不守恒，机械能不守恒
C．动量和机械能均守恒
D．动量不守恒，机械能守恒
变式一：（多选）25．（2023 秋•龙岗区期末）如图（a），子弹以速度v 射入放置在光滑水平面上的木
块，子弹与木块运动的v﹣t 图像可能如图（b）或如图（c）的情况，下列分析正确的是（ ）
A．子弹与木块相对运动的过程系统动量守恒 B．子弹与木块相对运动的过程系统机械能守恒
C．图（b）说明子弹最后射出了木块
D．图（c）说明子弹最后射出了木块
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变式二：26．（2023 秋•鞍山期末）质量为m 的子弹以某一初速度v0击中静止在粗糙水平地面上质量为M
的木块，并陷入木块一定深度后与木块相对静止，甲、乙两图表示这一过程开始和结束时子弹和木块可能
的相对位置，设地面粗糙程度均匀，木块对子弹的阻力大小恒定，下列说法正确的是（ ）
A．若M 较大，可能是甲图所示情形；若M 较小，可能是乙图所示情形
B．若v0较小，可能是甲图所示情形；若v0较大，可能是乙图所示情形
C．地面较光滑，可能是甲图所示情形；地面较粗糙，可能是乙图所示情形
D．无论m、M、v0的大小和地面粗糙程度如何，都只可能是甲图所示的情形
变式三：（多选）27．（2024•长沙模拟）如图，质量为3m 的木块静止放置在光滑水平面上，质量为m 的
子弹（可视为质点）以初速度v0水平向右射入木块，水平射出木块时速度变为
，已知木块的长为L，
设子弹在木块中的阻力恒为f。则子弹在木块中运动的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式四：28．（2023 春•向阳区校级期末）质量为M 的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有
一位拿着完全相同步枪和子弹的射击手。首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右
侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d2，如图所示。设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之
间的作用力大小均相同。当两颗子弹均相对木块静止时，下列说法中正确的是（ ）
A．最终木块静止，d1＝d2 B．最终木块向右运动，d1＜d2
C．最终木块向左运动，d1＝d2 D．最终木块静止，d1＜d2
变式五：29．（2023 秋•西安期末）如图，一质量m2＝0.25kg 的平顶小车，车顶右端放一质量m3＝0.2kg
的小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数μ＝0.4，小车静止在光滑的水平轨道上．现有一
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质量m1＝0.05kg 的子弹以水平速度v0＝12m/s 射中小车左端，并留在车中．子弹与车相互作用时间很短．
若使小物体不从车顶上滑落，g 取10m/s2．求：（1）最后物体与车的共同速度为多少？（2）小车的最小
长度应为多少？
（3）小木块在小车上滑行的时间．
一十．动量与能量的综合应用——弹簧类模型
30．（2023 秋•长宁区校级期末）如图所示，将质量为M1、半径为R 且内壁光滑的半圆槽置于光滑水平面
上，左侧靠墙角，右侧靠一质量为M2的物块。今让一质量为m 的小球自左侧槽口A 的正上方h 高处从静
止开始落下，与圆弧槽相切自A 点进入槽内，则以下结论中正确的是（ ）
A．小球在槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒
B．小球在槽内运动的全过程中，小球、半圆槽和物块组成的系统动量守恒
C．小球离开C 点以后，将做竖直上抛运动
D．槽将不会再次与墙接触
变式一：31．（2024•长安区一模）如图所示，小球A 质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O
点，O 点到光滑水平面的距离为h。物块B 和C 的质量都是5m，B 与C 用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面
上，且B 物块位于O 点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B
发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的距离为
。小球与物块均可视为质点，
不计空气阻力，重力加速度为g，求：（1）小球A 与物块B 碰撞后各自的速度大小vA、vB；
（2）轻弹簧获得的最大弹性势能Ep。
变式二：32．（2024•道里区校级一模）轻质弹簧上端悬挂于天花板上，下端与质量为M 的木板相连，木
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板静止时位于图中Ⅰ位置。O 点为弹簧原长时下端点的位置，质量为m 的圆环形物块套在弹簧上（不与弹
簧接触），现将m 从O 点正上方的Ⅱ位置自由释放，物块m 与木板瞬时相碰后一起运动，物块m 在P 点
达到最大速度，且M 恰好能回到O 点。若将m 从比Ⅱ位置高的Q 点自由释放后，m 与木板碰后仍一起运
动，则下列说法正确的是（ ）
A．物块m 达到最大速度的位置在P 点的下方B．物块m 与木板M 从Ⅰ位置到O 的过程做匀减速运
C．物块m 与木板M 在O 点正好分离
D．物块m 能回到Q 点
变式三：33．（2023 秋•无锡期末）如图a 所示，物块A、B 间拴接一个压缩后被锁定的轻质弹簧，整个系
统静止放在光滑水平地面上，其中A 物块最初与左侧固定的挡板相接触，B 物块质量为2kg。现解除对弹
簧的锁定，在A 离开挡板后，B 物块的v﹣t 图像如图b 所示，则（ ）
A．A 的质量为5kg
B．弹簧锁定时其弹性势能为6J
C．A 离开挡板后最大速度为4m/s
D．B 的速度为2m/s 时，弹簧恰好处于原长状态
变式四：（多选）34．（2023 秋•济南期末）如图甲所示，物块A、B 用轻弹簧拴接，放在光滑水平面
上，B 左侧与竖直墙壁接触。物块C 以速度v0向左运动，与A 相碰后立即粘在一起并开始计时。A、B 运
动的a﹣t 图像如图乙所示，S1、S2分别表示t1到t2时间内A、B 的a﹣t 图线与坐标轴所围面积的大小。已
知三个物块质量均为m，下列说法正确的是（ ）
A．a2＝2a1
B．S2＝2S1
C．0﹣t1内墙对B 的冲量大小为2mv0
D．在t4时刻弹簧的弹性势能为
变式五：35．（2023 秋•潍坊期末）如图所示，栓接在轻质弹簧两端质量分别是m1＝0.5kg、m2＝1.48kg 的
两物体静置于光滑水平地面上，m1靠在竖直墙壁上。现有一颗质量m＝0.02kg 的子弹以初速度v0水平射入
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m2并留在其中，弹簧压缩到最短时具有的弹性势能为27J，此后m2向右运动。下列说法正确的是（ ）
A．v0＝6m/s B．m1与墙壁作用过程中，墙对m1的冲量大小为18kg•m/s
C．m1离开墙壁后，能达到的最大速度为4.5m/s
D．m1离开墙壁后，弹簧具有的最大弹性势能为6.75J
变式六：（多选）36．（2024•成都模拟）如图所示，质量为M＝2kg 的木板AB 静止放在光滑水平面上，
木板右端B 点处固定一根轻质弹簧，弹簧处于原长状态时左端在C 点，C 点到木板左端的距离L＝1.0m，
可视为质点的小木块质量为m，静止放置在木板的左端；现对木板AB 施加水平向左的恒力F＝24N，0.5s
时撤去恒力F，此时木块恰好到达弹簧自由端C 处，此后的运动中没有超过弹簧的弹性限度。已知木板C
点左侧部分与木块间的动摩擦因数为μ＝0.2，C 点右侧部分光滑；取g＝10m/s2。下列说法正确的是
（ ）
A．撤去恒力F 后，木板先做减速后做匀速运动
B．恒力F 对木板AB 做功为26J
C．整个运动过程中，弹簧的最大弹性势能Ep＝8.0J
D．整个运动过程中，系统产生的热量Q＝8.0J
一十一．动量与能量的其他综合应用
37．（2024•沈阳模拟）如图所示，小车上固定一个光滑弯曲轨道，静止在光滑的水平面上，整个小车
（含轨道）的质量为3m。现有质量为m 的小球，以水平速度v0从左端滑上小车，能沿弯曲轨道上升到最
大高度，然后从轨道左端滑离小车。关于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球沿轨道上升到最大高度时，速度为零 B．小球沿轨道上升的最大高度为
C．小球滑离小车时，小车恢复静止状态 D．小球滑离小车时，小车相对小球的速度大小为2v0
38．（2024•洛阳一模）如图所示，质量为M 的带有
光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，一质量
为m 的小球以水平速度v0从小车的左端冲上小车，经过时间t 到达最大高度，此时小球恰好与O 点相平，
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之后小球又返回小车的左端。则（ ）
A．整个运动过程中小球与小车的系统动量守恒、机械能守恒
B．小球上升过程和下降过程的动量变化量相等
C．圆弧轨道半径
D．小球上升过程中，轨道对小球的冲量为
39．（2023 秋•太原期末）如图所示，长为L 且不可伸长的轻绳一端系于固定点O，另一端与质量为m 的
物块P 拴连。质量为3m、电荷量为+q 的物块Q 置于光滑水平地面上的A 点，A 位于O 点正下方且OA＝
L。将轻绳水平拉直后，P 由静止释放，P 与Q 在圆周最低点A 处发生对心碰撞，P 反弹后摆动的最大高度
距离水平地面为
。Q 从A 经B 点滑入半径为L 的四分之一固定光滑绝缘圆轨道，从轨道C 点滑出后落
至D 点。O′B 右侧的区域内有匀强电场，电场强度
。P、Q 可视为质点，相互作用过程中电荷量
未发生转移，不计空气阻力。求：
（1）P 与Q 的碰撞是否为弹性碰撞，并说明理由；
（2）B、D 两点之间的距离。
（多选）40．（2023 秋•垫江县校级期末）如图甲所示，一质量为M 的小车静止在光滑水平地面上，其左
端P 点与平台平滑连接。小车上表面PQ 是以O 为圆心、半径为R 的四分之一圆弧轨道。质量为m 的光滑
小球，以某一水平速度冲上小车的圆弧面。若测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为v1、v2，作
出图像如图乙所示。已知OP 竖直，OQ 水平，水平台面高
，小球可视为质点，重力加速度为g，不计
一切摩擦。则（ ）
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A．M＝3m
B．小球运动过程中离平台的最大高度为
C．小球在Q 点速度方向与竖直方向夹角的正切值为
D．小球落地时与小车左端的水平距离为
41．（2023 秋•广州期末）如图，在光滑的水平桌面上固定两根平行光滑金属导轨，导轨间距L＝1m，导
轨左侧足够长，右端虚线MN 与两导轨所围区域内有垂直桌面向下、磁感应强度大小B＝0.5T 的匀强磁
场。在导轨间ab 处放置质量加m1＝0.3kg、阻值R1＝2Ω 的金属棒L1，cd 处放置质量m2＝0.1kg、阻值R2＝
3Ω 的金属棒L2，两棒均与导轨垂直且良好接触，长度均为1m。在abNM 区域还存在方向与金属棒平行的
匀强电场。一半径R＝0.8m 加的竖直光滑
圆轨道末端恰好在MN 的中点处，轨道末端恰好与桌面相切。
现将一质量m＝0.1kg 的带电小球从圆轨道的最高点释放，小球在abNM 电场、磁场区域沿直线运动，以水
平速度v0垂直碰撞金属棒L1中点处。设小球与金属棒L1发生弹性碰撞，整个过程小球的电荷量不变且碰
后从MN 间飞出。导轨电阻不计，已知在运动过程中L1、L2不会相碰，取g＝10m/s2。
（1）求匀强电场的电场强度大小E；
（2）求小球与金属棒L1碰撞后瞬间，L1两端的电压U；
（3）整个过程中，金属棒L1与金属棒L2之间的距离减少了多少？
42．（2024•天河区二模）如图所示，水平传送带在电动机的带动下以v＝5m/s 的速度顺时针匀速转动。左
端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接，水平面上有两个位于同一直线上、处于静止
状态的相同小球，小球质量m0＝2kg。质量m＝1kg 的物体（可视为质点）从轨道上高h＝5.0m 的P 点由静
止开始下滑，滑到传送带上的A 点时速度大小v0＝7m/s。物体和传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带
AB 之间的距离L＝3.4m。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰，不计空气阻力。重力加速度
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g＝10m/s2，
。求：
（1）物体从P 点下滑到A 点的过程中，摩擦力做的功；
（2）物体第一次向右通过传送带的过程中，传送带对物体的冲量大小；
（3）物体第一次与小球碰后到第二次与小球碰前因为物体在传送带上滑动产生的热量。
43．（2024•贵阳模拟）如图所示，质量M＝4kg、厚度不计的长木板a 静止在表面粗糙的“
”形平台
上，内表面光滑的圆弧轨道ABC 与平台和斜面相连。圆弧轨道所对的圆心角为106°，圆心为O，半径R＝
1.5m，A、C 两点连线水平，斜面与水平面的夹角θ＝37°。初始时，质量m＝2kg 的小物块b（可视为质
点）静止在木板a 左端。某时刻使木板a 和物块b 同时获得相同初速度v0＝10m/s，经过一段时间后木板a
右端到达平台边缘P 时恰好停止，同时，物块b 从木板a 右端飞出，并恰好由A 点沿切线方向进入圆弧轨
道，然后与静止在圆弧轨道最低点B 处、质量也为2kg 的小物块Q（可视为质点）碰撞并粘合在一起，形
成新的组合体从C 点飞出。一段时间后组合体与斜面发生第一次撞击。已知木板a 与地面之间的动摩擦因
数μ1＝0.4，木板a 与物块b 之间的动摩擦因数μ2＝0.2，不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2，sin37°＝
0.6，sin53°＝0.8。求：（1）长木板a 和物块b 分离前两者的加速度大小；
（2）物块b 在A 点的速度大小；
（3）组合体第一次与斜面的撞击点到C 点的距离。
44．（2024•顺德区二模）台球是深受大众喜爱的娱乐健身活动。如图，运动员采用“点杆”击球法（当
球杆杆头接触母球的瞬间，迅速将杆抽回，母球离杆后与目标球发生对心正碰，视为弹性碰撞）击打母
球，使得目标球被碰撞后经CD 边反弹进入球洞A，这种进球方式被称为“翻袋”进球法。已知两球质量
均为0.2kg，且可视为质点，球间距离为0.9m，目标球与CD 挡壁间虚线距离为0.3m，目标球被CD 挡壁
反弹后向A 球洞运动方向与AC 挡壁间夹角为30°，AC＝
m，球与桌面间阻力为重力的
，球与挡壁
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碰撞过程中损失
的动能，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求母球在桌面做直线运动时的加速度大小；
（2）若某次击打后母球获得的初速度为1m/s，且杆头与母球的接触时间为0.05s，求母球受到杆头的平均
冲击力大小；
（3）若击打后母球获得速度v0＝5m/s，求目标球被碰撞后的速度大小；
（4）若能到达球洞上方且速率小于6m/s 的球均可进洞，为使目标球能进洞，求母球初速度需要满足的条
件。（计算结果都可以用根号表示）
45．（2024•石家庄模拟）如图甲所示，质量m1＝2kg 的小物块A 静置于平台左端，A 与平台间动摩擦因
数μ＝0.1。紧靠平台右侧有一质量 m0＝1kg 的足够长小车，平台和小车上表面在同一水平高度。质量m2
＝2kg 的小滑块B 静置于小车左端，B 与小车上表面间的动摩擦因数也为μ＝0.1，竖直墙面距离小车足够
远。t＝0 时，给物块A 施加一水平向右的力F，F 随时间变化的规律如图乙所示，t＝2s 时撤掉力F，t＝4s
时，A 与B 发生弹性碰撞，一段时间后，小车与墙面发生碰撞，碰撞时间极短，每次碰后小车速度反向，
大小变为碰前的一半。忽略小车与地面间的摩擦，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）A 与B 发生弹性碰撞前瞬间，物块A 的速度大小；
（2）小车与墙壁第1 次碰撞后到与墙壁第2 次碰撞前瞬间，滑块与小车间由于摩擦产生的热量；
（3）小车与墙壁第1 次碰撞后到与墙壁第3 次碰撞前瞬间，小车运动的路程。
46．（2024•白银二模）如图所示，质量为m 的小球A 与质量为7m 的小球B 通过长为L 的轻质柔软细绳
连接，现用手提着小球A，使小球B 距地面的高度也为L，松手后两球由静止开始自由下落，小球B 与地
面碰后速度大小不变、方向相反，两小球的碰撞为弹性正碰，细绳绷直后两小球以相同的速度继续运动，
碰撞时间均极短，重力加速度大小为g。求：（1）从松手到两小球第一次碰撞的时间t；
（2）细绳绷直后小球A 距地面的最大距离d。
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