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答 案
见解析
解析
解：
于是若记
，则
(用到二项式定理)
所以，由递推关系，容易得到题目结论．
答 案
见解析
解析
解：证把上面左端的和式记为
．两次利用基本恒等式
得
，
于是
．
作求和指标变换，
，则当从变到
时，
从
变到，因而
，
由此即得
．
模块
模块1：
1
1
例题1
C
=
k
1
n
k
C
+ C
=
k
1 (
n1
k
n−1
k−1)
C
+
k
1
n−1
k
C
n
1
n
k
f
=
n
−1
C
k=1
∑
n
(
)k+1
k
1
n
k
f
=
n
−1
C
+ −1
=
k=1
∑
n−1
(
)k+1
k
1
n
k
(
)n+1
n
1
−1
C
+
k=1
∑
n−1
(
)k+1
k
1
n−1
k
−1
C
+
n
1
k=1
∑
n−1
(
)k+1
n
k
−1
(
例题2
y
n
3
( )
=
C
2n
k
k + 1
=
C
2n+1
k+1
2n + 1
=
C
2n+1
n−k
2n + 1
C
2n
2n−k−1
2n −k
y
=
n
−1
k=0
∑
2n−1
(
)k+1
C
2n
2n−k−1
2n −k
l = 2n −k −1
k
0
2n −1
l
2n −1
0
y
=
n
−1
=
k=0
∑
2n−1
(
)2n−1
C
2n
l
l + 1
−1
=
k=0
∑
2n−1
(
)l
C
2n
l
l + 1
−y
n
y
=
n
0
例题3
答 案
见解析
解析
证：记
，则
于是
当
时，
，故由归纳法可得
．
答 案
见解析
解析
证明：一方面
，中
的系数为
，另一方面
中
的系数为
，所以
．
答 案
见解析
解析
1
1
1
a
=
n
C
k=0
∑
n
2k
1
n+k
n
a
=
n+1
C
=
k=0
∑
n+1
2k
1
n+1+k
n+1
C
+ C
=
k=0
∑
n+1
2k
1 [
n+k
n
n+k
n+1]
C
+
2n+1
1
2n+1
n
C
+
k=0
∑
n
2k
1
n+k
n
k=0
∑
n+1
2k
1
=
C
+
2n+1
1
2n+1
n
a
+
n
C
+
20
1
n+0
n+1
C
k=1
∑
n+1
2k
1
n+k
n+1
=
C
+
2n+1
1
2n+1
n
a
+
n
C
−
2
1
k=0
∑
n+1
2k
1
n+k+1
n+1
C
2n+1
1
2n+1
n+1
=
C
+
2n+1
1
2n+1
n
a
+
n
a
−
2
1
n+1
C
=
2n+1
1
2n+1
n+1
a
+
n
a
2
1
n+1
a
=
n+1
2a
n
n = 0
a
=
0
1
C
=
k=0
∑
n
2k
1
n+k
n
2n
例题4
1 + x
=
(
)n+1
C
k=0
∑
n+1
n+1
k
xn
n + 1
1 + x
=
(
)n+1
=
1 −x
(
)n+1
1 −x
(
2)
n+1
−1
C
x
⋅
(
k=0
∑
n+1
(
)k
n+1
k
2k)
C
x
(
j=0
∑
∞
j+n
n
j)
xn
−1
C
⋅
k=0
∑
[ 2
n]
(
)k
n+1
k
C
=
n−2k +n
(
)
n
−1
C
C
k=0
∑
[ 2
n]
(
)k
n
k
2n−2k
n
−1
C
C
=
k=0
∑
[ 2
n]
(
)k
n
k
2n−2k
n
n + 1
例题5
证：左式
(其中
)
故我们这样变形，证明
构造
则
再将
代入，故
而原式
，得证．
答 案
见解析
解析
证明：对下列式子两边同平方，再对比第项的系数即可．
注：上式是泰勒展开，如何寻找目标式子．待定下式：
求导，
，
再求导
，
带入，求解下式即可
．
1
=
C
k=0
∑
n
k + 1
x2k
2n+1
2k
x = 2 =
⋅
x2
1
C
k=0
∑
n
k + 1
x2k+2
2n+1
2k
C
=
k=0
∑
n
2k + 2
22k+2
2n+1
2k
2 2n + 2
2n + 3
(
) (
)
4n + 3
3
−1
(
) ( 2n+2
)
f x =
( )
C
k=0
∑
n
2k + 2
x2k+2
2n+1
2k
f x =
( )
t
C
dt =
∫
0
x
k=0
∑
n
2k+1
2n+1
2k
t ⋅
∫
0
x
t
C
dt =
k=0
∑
n
2k
2n+1
2k
t ⋅
∫
0
x
2
1 + t
+ 1 −t
(
)2n+1
(
)2n
=
1 + t
−1 + t
−1 −t
+ 1 −t
dt
∫
0
x
2
1 [(
)2n+2
(
)2n+1
(
)2n+2
(
)2n+1]
=
−
+
−
2
1 [
2n + 3
1 + x
−1
(
)2n+3
2n + 2
1 + x
−1
(
)2n+2
2n + 3
1 −x
−1
(
)2n+3
2n + 2
1 −x
−1
(
)2n+2
]
x = 2
f 2 =
( )
−
+
−
2
1 [ 2n + 3
3
−1
2n+3
2n + 2
3
−1
2n+2
2n + 3
−1
−1
(
)2n+3
2n + 2
0
]
=
−
=
2
1 [ 2n + 3
3
−3
2n+3
2n + 2
3
−1
2n+2
]
2 2n + 3
2n + 2
(
) (
)
2n + 2
3
−3 −2n + 3
3
−1
(
) ( 2n+3
)
(
) ( 2n+2
)
=
=
2 2n + 2
2n + 3
(
) (
)
3
−1
6n + 6 −2n −3
( 2n+2
) (
)
4 n + 1
2n + 3
(
) (
)
4n + 3
3
−1
(
) ( 2n+2
)
=
2
f 2
( )
例题6
n
x =
n⩾0
∑(2n
n )
n
1 −4x
1
1 + ax
=
(
)n
C
x =
n=0
∑
∞
2n
n
n
x
n=0
∑
∞
n!n!
2n !
(
)
n
na 1 + ax
=
(
)n−1
x
n=1
∑
∞
n!n!
n 2n !
(
)
n−1
n n −1 a
1 + ax
=
(
)
2(
)n−2
x
n=2
∑
∞
n!n!
n n −1
2n !
(
) (
)
n−2
x = 0
na = 2andn n −1 a =
(
)
2
12
答 案
见解析
解析
证明：
是如下数组
的个数：
是一串
个字母，构成的字母，以开始，结尾，
个，
个
是
个正整数，且和为
是
个正整数，和为
用
代替中第个，用
代替中的第个，因此，我们得到了一串由，组成的字母列
，长度为
，且有
个，
个，这串字母以开头，某个
结尾，拿走开
头的和结尾的
，得到了一个长度为
的字母串
，其中有
个，
个．
这个映射为双射．所以证毕．比如
，
，
，
，
，
，则
，
．
答 案
见解析
解析
解：分析：注意到
，可设一个班有个男生与个女生，在这
个学生中选个
同学(至少有名男生)组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数
分类，这一类有
种选法．原式右边的组合意义是明显
的，即直接在个男生中选一名团长，有种选法，再从剩下的
人中选出
人为团员，
共有
种选法．
答 案
见解析
解析
证法二(组合模型法)：一方面
元集合
的元子集有
个．另
一方面将分为个二元集及个单元素集：
，
，
，
，
．
将的元子集分为
类，第类的每一个元子集中恰有个元取自上述个二元子集(每个二
元子集恰取一个元)，其方法数为
，其余
个元从余下的子集中取出．
当
为偶数时，
必不取出，这
元取自剩下
个二元子集中的
个子集(每
1
1
1
例题7
(i + j
i
) (j + k
j
) (k + i
i
)
x, y, z
(
)
1 x
( )
i + j + 2
a
b
a
b
i + 1
a
j + 1
b
2 y =
( )
y
, ⋯, y
( 1
j+1)
j + 1
j + k + 1
3 z =
( )
z
, ⋯, z
( 1
i+1)
k + 1
k + i + 1
c
d
z
r
x
r
a
d
c
y
r
x
r
b
c
d
M
2n + 4
n + 2
c
n + 2
d
c
d dc
(
)m
c
d dc
(
)m
2 n −m + 1
(
)
E
n −m + 1
c
n −m + 1
d
x, y, z →
(
)
E
n = 8
i = 2
j = k = 3
x = abbaabb
y = 2, 3, 1, 1
(
)
z = 2, 3, 1
(
)
M = c d
d c
d c
c d
cd
dc
dc
( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) (
) (
) (
)
E = cd cd c dc
3
3 4
例题8
C
=
(
n
i )
2
C
C
n
i
n
n−i
n
n
2n
n
1
i i = 1, 2, 3, ⋯, n
(
)
iC
C
=
n
i
n
n−i
i C
(
n
i )
2
n
n
2n −1
n −1
nC2n−1
n−1
例题9
2n + 1
S =
a
, a
, ⋯, a
{
1
2
2n+1}
n
C
2n+1
n
S
n
1
a , a
{
1
2}
a
, a
{
3
4}
⋯
a
, a
{
2n−1
2n}
a
{
2n+1}
S
n
n + 1
k
n
k
k
C
⋅
n
k
2k
n −k
n −k
a
2n+1
n −k
n −k
2
n −k
个子集的个元都取出)，有
种取法．
当
为奇数时，
必取出，余下
个元取自剩下的
个元子集中
个子集(每个子集的个元都取出)，有
种取法．
可见第类元子集有
个．又
，故的元子集个数为
．
所以
．
答 案
见解析
解析
解：之前已经证明
令
，
，
，
即为
．于是，由组合互逆公式得
，即
．
1
2
C
=
n−k
2
n−k
C
n−k
[
2
n−k]
n −k
a
2n+1
n −k −1
n −k
2
n −k −1
2
C
=
n−k
n−k−1
C
n−k
[
2
n−k]
k
n
C
2 C
n
k
k
n−k
[
2
n−k]
k = 0, 1, ⋯, n
S
n
C
2 C
k=0
∑
n
n
k
k
n−k
[
2
n−k]
C
2 C
=
k=0
∑
n
n
k
k
n−k
[
2
n−k]
C
2n+1
n
例题10
−1
C
⋅
k=1
∑
n
(
)k−1
n
k
=
k
1
1 + 2 + ⋯+
n
1
a
=
0
0
a
=
k
−
k = 1, 2, ⋯
k
1 (
)
b
=
0
0
b
=
k
1 +
+
2
1
⋯+
k = 0, 1, 2, ⋯
k
1 (
)
−1
C
a
=
k=0
∑
n
(
)k
n
k
k
b
n
−1
C
b
=
k=0
∑
n
(
)k
n
k
k
a
n
−1
C
1 +
+ ⋯+
=
k=1
∑
n
(
)k
n
k (
2
1
k
1 )
−
n
1
