答 案
见解析
解析
解：比赛初始状态对应坐标原点
，甲得分连一斜率为的单位正方形的对角线，乙得分连一斜
率为
的单位正方形的对角线，由题意知这条折线终点应为
．所以，甲一直领先的比分
序列对应着连结
、
，且与轴(除
外)无公共点，第一段只能是
到
的折线．
于是，实际上只要考虑连结
与
，且与轴无公共点的折线条数，而这种折线有
条，故满足要求的比分序列有
种．
答 案
见解析
解析
解：设
中的比分序列
为
，令
，则
，让
与依次连接下述点列
，
，
，
，
，
的一条折线对应，以
记除起点
、终点
外，与轴恰有一个公共点且落在上半平面的
折线全体，则
，且按上法
与
成一一对应，所以
．
以
记除起点
、终点
外，与轴没有其他公共点且落在上半平面的折线全体，因
中
折线必过点
及
，由反射原理的推论中结论(2)，可得
．
下证
．设
，且与轴在
处相交，此点分为两段
与
(如图)．去掉
的第
节，平移
接在点
处，然后将去掉的那一节补在
到
的连线处，这样得到
模块
模块1：
1
1
例题1
O
1
1
1
−1
P 37, 5
(
)
O
P
x
0, 0
(
)
0, 0
(
)
Q 1, 1
(
)
1, 1
(
)
37, 5
(
)
x
C
−
36
20
C
36
21
C
−
36
20
C
36
21
例题2
M
m
x
:
k
y
k = 1, 2, 3, ⋯, 28
k (
)
b
=
k
x
−
k
y
k
b
=
28
0
m
0, 0
(
)
1, b
(
)
2, b
(
2)
⋯
27, b
(
27)
28, 0
(
)
l
A
0, 0
(
)
28, 0
(
)
x
l ∈A
M
A
M =
∣
∣
A
∣∣
B
0, 0
(
)
28, 0
(
)
x
B
1, 1
(
)
27, 1
(
)
B =
∣
∣
C
−
26
26+1−1
2
1 (
)
C
=
26
26+1+1
2
1 (
)
C
14
1
26
13
B =
∣
∣
A
∣∣
l ∈A
x
x = 2k
l
l
1
l2
l
2
1
l
1
2k + 1, 1
(
)
0, 0
(
)
1, 1
(
)
折线属于
．令与对应，易知这是
与
之间的一一对应，故
，于是
．
答 案
见解析
解析
解：当第次投掷硬币后，若出正面，则令
，若出反面，则令
，并令
．于是，若
则
表示第次投掷硬币
后，甲给乙的豆子总数；若
则
表示乙给甲的豆子总数．依题意有，
．作从
到
，并依次经过
，
，
，
的
折线，于是，
中每一个序列对应出一条从
出发，并在
首次达到直线
的一条折线．这时我们令与对应，于是，若将从
出发并在
首次到
达直线
的直线的全体记为
，则上述对应是
与
之间的一一对应，所以
．
再记
是离开
后，再不与轴共点，并最终到达点
的折线的全体．下面
证明
．事实上，如图，任取一条属于
的折线．取线段
的中点
，将绕
旋转
得到折线，则
．令与对应，于是得到
与
之间的一个一一对应，所以
，因为
中的折线必经过点
，最终到达点
，且与轴无公共点，故由反射
原理的推论，得
．
答 案
见解析
解析
解：依题意，
，且对任意
，
．不
妨设
，于是
，所以
．
若
，则
．不妨设
胜
，
，
，
，则由
，
1
1
l′
B
l
l′
A
B
A =
∣∣
B
∣
∣
M =
∣
∣
A =
∣∣
B =
∣
∣
C
14
1
26
13
例题3
k
a
=
k
−1
a
=
k
1
b
=
k
a
+
1
a
+
2
⋯+ a
k = 1, 2, ⋯, m + 2n
k (
)
b
⩾
k
0
b
k
k
b
<
k
0
b
∣k∣
b
=
m+2n
m
O 0, 0
(
)
M m + 2n, m
(
)
1, b
(
1)
2, b
(
2)
⋯
m + 2n −1, b
(
m+2n−1)
A
a
O 0, 0
(
)
x = m + 2n
y = m
l
a
l
O 0, 0
(
)
x = m + 2n
y = m
B
A
B
A =
∣∣
B
∣
∣
E
O 0, 0
(
)
x
M m + 2n, m
(
)
B =
∣
∣
E
∣
∣
B
l
OM
P
l
P
180∘
l′
l ∈
′
E
l
l′
B
E
B =
∣
∣
E
∣
∣
E
1, 1
(
)
M m + 2n, m
(
)
x
A =
∣∣
B =
∣
∣
E =
∣
∣
C
−
m+2a−1
m+2n−1+m−1
2
1 (
)
C
m+2n−1
m+2n−1+m+1
2
1 (
)
= C
−
m+2n−1
m+n−1
C
m+2n−1
m+n
=
C
m + n
m
m+2n−1
n
例题4
W
=
i=1
∑
12
i
L
=
i=1
∑
12
i
C
=
12
2
66
i 1 ⩽i ⩽12
(
)
L
+
i
W
=
i
11
W
=
1
W
j⩽i⩽12
max {
i}
W
⩾
1
W
=
12
1
i=1
∑
12
i
5.5
W
⩾
1
6
W
⩾
1
7
L
=
1
11 −W
⩽
1
4
A
1
A
2
A
3
⋯
A
g
L
+
1
W
⩾
i
10
得
．从而
．
考察
，
，
，
之间的
场比赛，不妨设其中
胜的场次最少，故
胜的场次
．但
．所以
还要胜
，
，
，
中人．不妨设
胜
，
，
．由
及
得
，
从而
．
若
，
，
，
中有人
胜
，则
，
；若
，
，
，
都败于
，则
．故总有
．于是
，矛盾．
故
，从而
．类似地可以证明
，而
．故
，
的值只可能等于或．设
，
，
，
中有个等于，
个等于，则
所以
不妨设
，
，于是
，
．
用平面内
个点(仍记为
，
，
，
)表示
名选手若
胜
，则从
向
画一箭头：
，得到一个有向图
，图中共有
个三角形，这些三角形分为两类：在第( )类
三角形每个顶点处的两个箭头都是一进一出的，其余的三角形属第(
)类(如图)，故所求三角形的个
数即为第( )类三角形的个数．设第(
)类三角形个数为，则
．
我们将从一点出发的两个箭头组成的角叫做射出角．一方面当
时，以
为顶点的射出角
有
个，当
时，从
为顶点的射出角有
个，所以图
中射出角的总数为
．
另一方面，在第( )类中每个三角形内无射出角，在第(
)类中，每个三角形内恰有一个射出角，所
以
，于是
．由①得
．
故所求三角形个数为
．
答 案
见解析
解析
记分隔边的条数为
．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔
边，此时共有
条分隔边，即
．
下面证明
．将方格纸的行从上至下依次记为
，列从左至右依次记
．行
中方格出现的颜色个记为
，列
中方格出现的颜色个数记为
．三种颜色分别记为
、
、
．对于一种颜色
，设
是含有
色方格的行数与列数
1
W
⩾
i
10 −L
⩾
1
6 i = 2, 3, ⋯, 8
(
)
L
=
i
11 −W
⩽
i
5 i = 2, 3, ⋯, 8
(
)
A2
A3
⋯
A8
C
=
7
2
21
A
8
A
8
⩽
=
[ 7
21 ]
3
W
⩾
8
6
A8
A9
A10
A11
A12
3
A8
A9
A10
A11
L
+
8
W
⩾
j
10
L
⩽
8
11 −W
⩽
3
5
W
⩾
j
10 −L
⩾
8
5 j = 9, 10, 11
(
)
L
=
j
11 −W
⩽
j
6 j = 9, 10, 11
(
)
A1
A2
⋯
A11
1
Ai0
A12
L
+
i
0
W
⩾
12
10
W
⩾
12
10 −L
⩾
i
0
4
A
1
A2
⋯
A11
A12
W
⩾
12
11
W
⩾
12
4
W
⩾7 +
i=1
∑
12
i
7 × 6 + 3 × 5 + 4 = 68 > 66
W
=
1
6
W
⩽
i
W
=
1
6 1 ⩽i ⩽12
(
)
L
⩽
i
6 1 ⩽i ⩽12
(
)
L
+
i
W
=
i
11
L
i
W
i
5
6
W 1
W
2
⋯
W
12
x
5
y
6
{5x + 6y = 66
x + y = 12
{x = 6
y = 6
W
=
1
W
=
2
⋯= W
=
6
5
W
=
7
W
=
8
⋯= W
=
12
6
L
=
1
L
=
2
⋯= L
=
6
6
L
=
7
L
=
8
⋯= L
=
12
5
12
A
1
A
2
⋯
A
12
12
A
i
A
j
A
i
A
j
A
→
i
A
j
G
C
=
12
2
220
I
II
I
u
II
v
u + v = 220
1 ⩽i ⩽6
A
i
C5
2
7 ⩽i ⩽12
A
i
C
6
2
G
S = 6 C
+ C
=
(
5
2
6
2)
150
I
II
S = v
v = 150
u = 220 −v = 70
70
例题5
L
56
L = 56
L ⩾56
A
, A
, ⋯, A
1
2
33
B
, B
, ⋯, B
1
2
33
A
i
n A
(
i)
B
i
n B
(
i)
c
1
c
2
c
3
c
j
n c
( j)
c
j
之和．记
，
类似地定义
．于是
．
由于染
色的方格有
个，设含有
色方格的行有个，列有个，则
色的方格一定
在这行和列的交叉方格中，因此
，从而
，
故
，
，，．①
由于在行
中有
种颜色的方格，因此至少有
条分隔边．同理在列
中，至少有
条分隔边．于是
②
．③
下面分两种情形讨论．
情形 有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为
色，从而方纸的
列中均含有
色的方
格，由于
色方格有
个，故至少有
行含有
色方格，于是
．
由①、③及④即得
．
情形 没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意
，均有
，
．从而由②知
．
综上所述，分隔边条数的最小值等于
．
δ A
, c
=
(
i
j)
{1, 若A
行含有c
色方格
i
j
0, 否则
δ B
, c
(
i
j)
n A
+ n B
=
i=1
∑
33
[ (
i)
(
i)]
δ A
, c
+ δ B
, c
i=1
∑
33
j=1
∑
3
[ (
i
j)
(
i
j)]
=
δ A
, c
+ δ B
, c
j=1
∑
3
i=1
∑
33
[ (
i
j)
(
i
j)]
=
n c
j=1
∑
3
( j)
cj
⋅
3
1
33 =
2
363
c
j
a
b
c
j
a
b
ab ⩾363
n c
=
( j)
a + b ⩾2
⩾
ab
2
>
363
38
n c
⩾
( j)
39
j = 1
2
3
Ai
n A
(
i)
n A
−
(
i)
1
B
j
n B
−
(
j)
1
L ⩾
n A
−1 +
i=1
∑
33
[ (
i)
]
n B
−1
i=1
∑
33
[ (
i)
]
=
n A
+ n B
−66
i=1
∑
33
[ (
i)
(
i)]
=
n c
−66
j=1
∑
3
( j)
1
c1
33
c1
c1
363
11
c1
n c
⩾
( 1)
11 + 33 = 44
L ⩾n c
+
( 1)
n c
+
( 2)
n c
−
( 3)
66 ⩾44 + 39 + 39 −66 = 56
2
1 ⩽i ⩽33
n A
⩾
(
i)
2
n B
⩾
(
i)
2
L ⩾
n A
+ n B
−66 ⩾33 × 4 −66 = 66 > 56
i=1
∑
33
[ (
i)
(
i)]
56
例题6
答 案
见解析
解析
解：
设各位数字之和等于的三位数有
个，则
( ，，均为整数且
，
，
)．
的母函数为
．其中
的系数为
，即各位数字之和等于
的三位数有
个；
类似于
可知所求方法数为下列多项式中
的系数
：
，故所求兑换方法数为
．
答 案
见解析
解析
解：母函数
，
的系数
，
故概率为
．
答 案
见解析
解析
解：母函数
，
1
1
1
1
( )
n
an
a
=
n
1
a+b+c−n
∑
a
b
c
1 ⩽a ⩽9
0 ⩽b ⩽9
0 ⩽c ⩽9
a
n
f x =
( )
a
x =
n=0
∑
∞
m
n
1 x =
n=0
∑
∞
(
a+b+c=n
∑
)
n
x
=
a=1
∑
9
b=1
∑
9
c=1
∑
9
a+b+c
x
x
(
a=1
∑
9
a)(
b=0
∑
9
b)(
x17
a
=
17
C
−
18
2
C
−
9
2
2C
=
8
2
61
17
61
2
( )
1
( )
xn
an
f x =
( )
a
x =
n=0
∑
∞
n
n
x
x
=
(
a=0
∑
∞
a)(
b=0
∑
∞
2b)
=
( 1 −x
1
) ( 1 −x2
1
)
1 + x
1 −x
(
) (
)2
1
a
=
n
+
2
n + 1
=
4
1 + −1
(
)n
[
2
n + 2 ]
例题7
f x =
( )
x + x + x + x + x + x
=
(
2
3
4
5
6)
10
x
10( 1 −x
1 −x6
)
10
= x
⋅
10
(−1) C
x
⋅
i=0
∑
10
i
10
i
6i
C
x
t=0
∑
∞
10+i−1
9
i
x30
f
=
30
C
−
29
9
C
⋅
23
9
C
+
10
1
C
⋅
17
9
C
−
10
2
C
⋅
11
9
C
=
10
3
2930455
P =
≈
610
2930455
0.0485
例题8
f x =
( )
1 + x + x + ⋯
1 + x + x + ⋯
1 + x + x
+ ⋯
=
(
2
) (
2
4
) (
5
10
)
⋅
1 −x
1
1 −x
1
f
x
1 −x
=
n=0
∑
∞
n
n (
5)
f x ⋅
( )
1 −x
(
5)
=
⋅
1 −x
1
1 −x2
1
，
有
．
设
，
，
，
．
答 案
见解析
解析
解：对
，用
表示分值之和为的牌组数目，则由题意知
等于函数
的展开式中
的系数(约定
)，由于
，
而
，所以
等于
，
展开式中
的系数，由于
，
故当
时，
的系数为
；
当
时，
的系数为
1
=
+
1 −x
(
)2
2
1
+
1 −x
4
1
1 + x
4
1
=
x +
n=0
∑
∞
2
n + 1
n
x +
4
1
n=0
∑
∞
n
−1
x
4
1
n=0
∑
∞
(
)n
n
=
x
n=0
∑
∞
4
2n + 3 + −1
(
)n
n
f
−
n
f
=
n−5
4
2n + 3 + −1
(
)n
n = 5k + r 0 ⩽r < 5
(
)
f
−
n
f
=
r
f
−
5k+r
f
r
=
i=1
∑
k
4
2 5i + r + 3 + −1
(
)
(
)5+r
=
+
2
5
2
k k + 1
(
)
k +
2
r
k +
4
3
4
−1
(
)r
2
−1
−1
(
)k
f
=
n
+
4
5k + 8k + 2rk
2
+
4
−1
(
)r
2
−1
−1
(
)k
f
r
4 ⋅5f
=
n
25k +
2
40k + 10rk +
−1
−1 +
2
−1
⋅5
(
)r
[(
)k
]
20f
r
= 5k + 4 + r
−
(
)2
4 + r
+
(
)2
20f
+
r
−1
−1
−1
2
5 (
)r [(
)k
]
例题9
n ∈1, 2, ⋯, 2020
{
}
a
n
n
a
n
f x =
( )
1 + x
1 + x
1 + x
⋯1 + x
(
20)
2
(
21)
3
(
22)
3
(
220)
3
xn
x <
∣∣
1
f x =
( )
1 + x
1 + x
1 + x
⋯1 + x
1 + x
1
{(
20) (
21) (
22)
(
210)}
3
=
1 −x
1 + x
1 −x
(
) (
)3
1
(
211)
3
n ⩽2020 < 211
a
n
g x =
( )
1 + x
1 −x
(
) (
)3
1
xn
g x =
( )
=
1 −x
1 −x
(
2) (
)2
1
x
C
x
(
i=0
∑
∞
2i)(
j=0
∑
∞
j+1
1
j)
n = 2k
x2k
a
=
2k
C
=
i=0
∑
k
2k−1i+1
1
2 k −i + 1
i=0
∑
k
[ (
)
]
= 2k + 1 +
(
)
2k −1 +
(
)
2k −3 +
(
)
⋯+ 5 + 3 + 1
= k + 1
=
(
)2
=
4
2k + 2
(
)2
[
4
n + 2
(
)2
]
n = 2k −1
x2k−1
．
从而，所求的“好”牌组的个数为
．(
且
)．
答 案
见解析
解析
解：证明 我们找出关于
及
的母函数．首先，作为个与的有序和的表达式的数目
显然等于
的展开式中
的系数，所以
．
又作为个大于的正整数的有序和表达式的数目等于
的展开式
中
的系数．所以
．
于是
即
比较同次项的系数得
．
1
a
=
2k−1
C
=
i=0
∑
k
2+1 −2+1
(
)
1
2 k −i
i=0
∑
k
(
)
= 2k + 2k −2 +
(
)
2k −4 +
(
)
⋯+ 6 + 4 + 2 = k k + 1
(
)
=
=
4
2k + 1
−1
(
)2
=
[
4
2k + 1
(
)2
]
[
4
n + 2
(
)2
]
a
=
n
[
4
(n + 2)2
]
n ∈N
+
n ⩽2020
例题10
α n
( )
β n
( )
n
k
1
2
x + x
(
2)
k
xn
1 +
α n x =
n=1
∑
∞
( )
x + x
=
k=0
∑
∞
(
2)
k
1 −x −x2
1
n
k
1
x + x + ⋯+ x
+ ⋯
(
2
3
m
)
k
xn
1 +
β n x =
n=2
∑
∞
( )
2
x + x + ⋯
=
k=0
∑
∞
(
2
3
)
k
=
k=0
∑
∞
( 1 −x
x2
)
k
1 −
(
1 −x
x2
)
−1
=
=
1 −x −x2
1 −x
1 +
1 −x −x2
x2
β n x =
n=2
∑
∞
( )
n
x +
2
x
α n x
2
n=1
∑
∞
( )
n
β 2 x +
( )
2
β 3 x +
( )
3
⋯+ β n + 2 x
+
(
)
n+2
⋯
= x +
2
α 1 x +
( )
3
α 2 x +
( )
4
⋯+ α n x
+
( )
n+2
⋯
α n =
( )
β n + 2
(
)
