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模块
模块1：
1 平面上个点，无三点共线，连有
条边，当
时，该图中必有一个四边形．(凸或凹以及有
对边相交的四边形)
1 平面上给定个不同的点，求证：
距离为的点对数目不多于
时．
1 设是
的所有正约数的集合，是的子集，中的元素不是中其他任何元素的整数倍，求
的最大值．
2019暑高三数学实验班第
暑高三数学实验班第15讲
组合综合
组合综合
例题1
n
m
m >
n 1 +
4
1
(
4n −3 )
例题2
n
1
n
7
2
23
例题3
T
2004100
S
T
S
S
S
∣∣
1 某年级有
名学生，在一次数学测验中可能的分数为
，
，
，
，这些分数至少各出现两次，且平均分数
为
．证明：可将这个年级的学生分成三个班，每班有
名学生，且各班的平均分数均为
1
个选手
，
，
，
进行象棋循环赛，每个选手同其他
个选手各赛一局，没有平局，设
胜的
局数为
，求
的最小值和最大值．
1 马教授的领域内有个不同但是等价的逻辑陈述，
，
，
，
，现在需要证明它们是等价的．每个学期，
马教授选两个不同的陈述
和
，以“
”的证明作为研究课题，指导一位本科生完成．假设每个学期只完成
一个证明．要注意的是，在“
”和“
”被证明之后，“
”也已经被(自动地)证明了，因此不能
例题4
3N
60
61
⋯
100
82.4
N
82.4
例题5
2n + 1
A
1
A
2
⋯
A
2n+1
2n
A
i
w
i
S =
w
i=1
∑
2n+1
i2
例题6
n
A
1
A
2
⋯
A
n
Ai
Aj
A
→
i
A
j
A
→
i
A
j
A
→
j
A
k
A
→
i
A
k
再作为一个新的课题让学生去完成．总之，如果一个课题是之前若干学生已经完成课题的直接推论，则不能作为新课
题再发给另一个学生．随着越来越多的推出关系被证明，剩下可选的课题也越来越少．请问，马教授可以最多依次指
导多少个学生呢？为什么？
1 在纸牌游戏中，各张牌上分别被标为至
的整数分值．高分的牌击败低分的牌，但有一个例外：分的牌可击败
分的牌，游戏者知道，在他面前放着的是背面朝上的
张分值各不相同的纸牌．庄家知道这些牌的顺序，并且可
以就其中任何两张牌告诉游戏者，其中哪一张可以击败哪一张，证明：庄家可以通过
次这种告知，使得游戏者随
后即可明了所有纸牌的排列顺序．
1 在
的板上进行一种游戏：起初，板旁放有个筹码，游戏由两人轮流进行．甲先在板上或板旁选择至多
个筹码放入板上没占据的空格内；乙再从板上取下任意多个占据连续格内的筹码．若甲能将所有的个筹码全放在板
上，且占据连续的格子，则其获胜．求甲必能获胜的的最大值，并说明理由．
例题7
1
100
1
100
100
100
例题8
1 × 1000
n
17
n
n
1 设凸七边形
的面积为，
、
、
、
、
、
、
的面积分
别为
，
，
，
．
求
的取值范围．
1 设点
，
，
，
放在给定正五边形的内部或边界上．求所有的放置方式使得
取到最大值．
1 一枚棋子在坐标平面上的点
处，按规则将其移动到如下四个位置之一：
、
、
或
，且若棋子由点移到点后，则不能立即返回到．问：棋子能否从点
出发，经有限
次移动后再回到这个点？(其中，、为不同的素数)
例题9
ABCDEFG
S
△ABC
△BCD
△CDE
△DEF
△EFG
△FGA
△GAB
S
1
S
2
⋯
S
7
S
S
+ S
+ ⋯+ S
1
2
7
例题10
P
1
P
2
⋯
P
2018
S =
P
P
1⩽i<j⩽2018
∑
∣i
j ∣2
例题11
P x, y
(
)
x + 2y, y
(
)
x −2y, y
(
)
x, y + 2x
(
)
x, y −2x
(
)
P
Q
P
p,
(
q )
p
q
1 在
座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：
任意一座城市至少与七座城市有直航；
任意两座城市可以通过有限次直航来连接．
求最小的正整数，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过次直航到达．
例题12
80
1
( )
2
( )
n
n
