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模型24 摩擦力做功问题及求变力做功的几种方法
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1.摩擦力做功问题
1）无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2）静摩擦力做功的能量问题
①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3）滑动摩擦力做功的能量问题
①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，
因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W=−Ff⋅x相对，即发生相对滑动时产生的热量。
2. 求变力做功的几种方法
1．用
求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式
，可得
.
1）“微元法”求变力做功:
情形一：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，力F 做的功与路程有关，
或
，其中s 为物体通过的路程．
情形二：当力的大小不变，运动为曲线时，将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段
上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做
功的代数和,此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功.
【举例】质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
01 模型概述
1
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2）“图像法”求变力做功: 在F-x 图像中,图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移
内所做的功,且位于x 轴上方的“面积”为正功,位于x 轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便
于求图线与x 轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).
【举例】一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做
的功， W = F0+F1
2
x
3) “平均力”求变力做功: 当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值
¯F= F0+F1
2
,再由W =¯F lcosθ 计算,如弹簧弹力做功.
【举例】弹力做功，弹力大小随位移线性变化，取初状态弹力为0，则
W =¯F x= 0+Fk
2
x= 0+kx
2
x=1
2 kx 2
4.应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式
求解时，可用动能定理W 变＋W 恒＝mv2
2－mv1
2，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出，
这样就可以得到W 变＝mv2
2－mv1
2－W 恒，就可以求出变力做的功了．
【举例】用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：
W F+W G=0⇒W F−mgl(1−cosθ)=0⇒W F=mgl(1−cosθ)
2
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5)等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
【举例】恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
1.摩擦力做功问题
【典型题1】（2024·福建龙岩·一模）下列说法正确的是（ ）
A．作用力做正功，反作用力也一定做正功B．作用力做负功，反作用力也一定做负功
C．一对静摩擦力所做的功的代数和总为零D．一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为零
【答案】C
【详解】A．作用力做正功，反作用力也不一定做正功，例如撞到墙被反弹回去的球，弹力对球做正功，
因为墙不动，反作用力对墙不做功，故A 错误；
B．作用力做负功，反作用力不一定做负功，如物体在水平面上滑行物体受到的摩擦力做了负功，但其
摩擦力的反作用力不做功，故B 错误；
C．反作用力一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，
故一个做正功，则另一个就做负功，一对静摩擦力所做的功的代数和总为零，故C 正确；
D．一对滑动摩擦力，二力大小相等，方向相反，由于物体相对运动，位移为不相等，所以一对相互作
用的滑动摩擦力做的功的代数和可以不为零，故D 错误。
故选C。
2.变力做功问题
【典型题2】（2024·全国·模拟预测）质量为1kg 的物体，在一水平拉力作用下由静止开始在水平面上运动，
运动过程中受到地面的摩擦力大小为1N，拉力随位移的变化如图所示，运动1m 后撤去拉力，则下列说
法正确的是（ ）
02 典题攻破
3
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A．物体的最大位移为8m
B．物体的最大速度为
C．运动过程中合力的最大功率为
D．运动过程中合力的最大功率为
【答案】D
【详解】A．设物体位移为
，拉力
为变力，变力做功为图像围成的面积，则拉力
做功为
由能量守恒知
代入得
A 错误；
B．由动能定理知，物体的最大速度为
，则
代入得
B 错误；
CD．当运动过程中合力最大时，拉力为
，速度最大
时，合力功率最大为
C 错误，D 正确。
故选D。
【典型题3】（2022·河南·一模）水平桌面上，长6m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示（俯视图），另一
端系一质量m=2.0kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F 拉着物体从M 点运动到
N 点，F 的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，
4
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取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 对小球做的功为16π（J）
B．拉力F 对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）
D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F 在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉
力F 大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W1=Fl1cos37°
W2=Fl2cos37°
Wn=Flncos37°
故
故A 正确，B 错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
故CD 错误。
故选A。
1．（2023·海南·一模）如图所示，用一个大小不变的力
拉着滑块（视为质点）使其沿半径为
的水平圆
轨道匀速运动半周，若力
的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成
夹角，则力
做的功为（
）
03 针对训练
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将力
分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，
切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力
做的功为
故选A。
2．（2025·安徽蚌埠·一模）（多选题）如图甲所示，质量为8kg 的物体受水平推力F 作用在水平面上由静
止开始运动，推力F 随位移x 变化的关系如图乙所示，运动10m 后撤去推力F。已知物体与地面间的动
摩擦因数为0.5，重力加速度取
，在物体运动的整个过程中（ ）
A．推力对物体做的功为480J
B．物体的位移为12m
C．物体的加速度大小先减小后不变
D．物体在
时速度最大，最大速度为6m/s
【答案】AB
【详解】A．根据
图像的面积表示力做功，可知推力对物体做的功为
故A 正确；
B．设物体整个运动过程的位移大小为
，根据动能定理可得
解得
6
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故B 正确；
C．在推力不变，物体的加速度大小不变；当推力开始减小时，一开始推力大于摩擦力，物体的加速度
逐渐减小；当推力等于摩擦力时，物体的加速度为0，之后推力小于摩擦力，物体的加速度反向逐渐增
大，撤去推力后，物体的加速度大小保持不变，故C 错误；
D．当推力等于摩擦力时，物体速度最大，则有
结合
图像可知此时
，根据动能定理可得
其中
解得最大速度为
故D 错误。
故选AB。
3．（23-24 高三上·山东济宁·期末）（多选题）某网球以大小为v0的速度竖直向上抛出，落回出发点的速
度大小为v1。网球的速度随时间变化关系如图所示，若空气阻力大小与网球速率成正比，重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）
A．下降过程中网球处于超重状态
B．网球上升、下降过程所受阻力的冲量大小相等
C．网球上升过程克服阻力做功等于下降过程克服阻力做功
D．网球从抛出到落回出发点所用的时间
【答案】BD
【详解】A．根据v-t 图像可知，下降过程的加速度与初速度方向相反，即竖直向下，为失重状态，故A
错误；
B．小球运动的v-t 图像如图所示
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由于上升过程和下降过程位移大小相等，因此图中两阴影部分面积相等；因为
则f-t 图像与v-t 图像相似，两阴影部分的面积也相等，f-t 图像t 轴上方图像与坐标轴围成的面积表示上
升过程的阻力的冲量大小，t 轴下方图像与坐标轴围成的面积表示下降过程的阻力的冲量大小。可知上
升和下降过程的阻力的冲量大小相等，B 正确；
C．小球运动过程中受到的空气阻力大小与其速率成正比，因此上升过程中平均空气阻力大于下降过程
中平均空气阻力，上升过程和下降过程位移大小x 大小相同，根据
可知，上升过程中克服阻力做功大于下降过程克服阻力做功，C 错误；
D．由B 分析可知，阻力的总冲量为零，对全过程，根据动量定理
解得
故D 正确。
故选BD。
4．（2024·湖南株洲·一模）（多选题）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以
恒定速率v 运动，已知圆轨道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加
速度为g， P、Q 为圆轨道上同一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
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【答案】BC
【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得
在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得
两式相减可得
A 错误；
BC．在PQ 两点的受力如图所示
在Q 点，由向心力公式有
在P 点，由向心力公式有
两式相加可得
因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N 段，在轨道上下
关于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为
，则在A、B 两小段的压力可视为
恒力，摩擦力做功之和为
解得
所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为
BC 正确；
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D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动,由最低点到最高点由动能定理可知
解得
D 错误。
故选BC。
5．（2024·河南·二模）（多选题）如图甲所示，一质量为m 的小物块，从位置O 以速度v0沿粗糙水平地面
向右运动。小物块与右方一竖直墙壁第一次碰撞后，反向向左运动。当小物块水平向左运动至距竖直墙
壁最远处的P1（坐标为x1）位置时，立即对其施加一个水平向右的推力F，当小物块运动到P2（坐标为
x2）位置时，撤去推力F，使其与竖直墙壁第二次碰撞后，恰好反向运动至位置O 处静止不动。取位置
O 为坐标原点，水平向右为正方向。已知推力F 随小物块水平位移的变化如图乙所示，小物块每次和竖
直墙壁碰撞不计能量损失。则下列说法正确的是（ ）
A．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块的冲量大小为0
B．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块做的功为0
C．在小物块从位置O 开始运动到第一次返回到P1的过程中，摩擦力对小物块做的功为
D．在推力F 对小物块作用的过程中，推力F 对小物块做的功为
【答案】BCD
【详解】A．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块的作用力不为零，根据I=Ft 可知，墙
壁对小物块的冲量大小不为0，选项A 错误；
B．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中墙壁与物块作用点没有位移，故墙壁对小物块做的功为零，选
项B 正确；
C．由题意可知，P1 点是物块与墙壁碰后反向运动到达的最远点，则物块在到达P1 位置时速度为零，
则从在小物块从位置O 开始运动到第一次返回到P1 的过程中，由动能定理可知，摩擦力对小物块做的
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功为
选项C 正确；
D．因F-x 图像的面积等于力F 的功，则在推力F 对小物块作用的过程中，推力F 对小物块做的功为
选项D 正确。
故选BCD。
6．（2023·山东青岛·模拟预测）（多选题）冬天的北方，人们常用狗来拉雪橇。一条狗用水平拉力拉着质
量为80kg 的雪橇（包括内部物品），在水平雪面做半径为24m 的匀速圆周运动，速度大小为3m/s，雪
橇与地面间的动摩擦因数0.05，重力加速度取10m/s2，
。下列说法正确的是（ ）
A．雪橇受到狗的水平拉力大小为40N
B．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向成37°
C．狗给雪橇的水平拉力功率为150W
D．狗拉着雪橇转过30°圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功160πJ
【答案】BD
【详解】A．狗拉雪橇的水平拉力有两个作用效果，一个作用效果平衡雪橇做圆周运动时切向受到的摩
擦力，另一个作用效果使雪橇做圆周运动，根据雪橇做圆周运动，由牛顿第二定律有
在雪橇前进的方向上始终有
则可得雪橇受到狗的水平拉力大小为
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B．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向之间夹角的正切值为
可得夹角
故B 正确；
C．狗给雪橇的水平拉力功率为
故C 错误；
D．狗拉着雪橇转过30°圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功
故D 正确。
故选BD。
7．（2024·重庆·三模）某同学用图（a）所示装置研究滑块在水平传送带上的运动。实验前，该同学已先
测出滑块和位移传感器（发射器）的总质量为
。实验中，该同学让传送带保持恒定的速度，
将滑块由静止轻放在传送带上O 处并将此时刻作为计时起点，用位移传感器测出了各时刻t 滑块相对于
O 的位移x，利用测得的多组数据在图（b）所示的
坐标中描出了14 个点。（所有计算结果均保留
两位有效数字）
(1)根据描出的点作出滑块运动的
图线，可以得出以下结论：
①滑块在传送带上先做的是直线运动；
②传送带的速度大小为 m/s；
③滑块做匀加速直线运动的加速度大小为5m/s2。
(2)若重力加速度大小取
，则利用实验数据可求得：
①滑块与传送带间的动摩擦因数为
；
②在
末这段时间内，滑块与传送带间因摩擦产生的热量为
J。
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【答案】(1)2.0 (2) 0.50 0.45
【详解】（1）由图可知，0.40s 后滑块做匀速直线运动，即滑块的速度等于传送带的速度，则有
（2）①[1]滑块在传送带上匀加速的运动时，根据牛顿第二定律可得
代入数据，解得
②[2]由于传送带与滑块之间有相对运动时才有热量产生，所以0.10s 末～0.60s 末这段时间内，只有
0.10s 末～0.40s 末这段时间有热量产生，这段时间内传送带的位移为
0.1s 末滑块的速度为
0.10s 末～0.40s 末这段时间滑块的位移为
则滑块与传送带之间的相对位移为
则摩擦产生的热量为
8．（2024·北京海淀·三模）图甲是某科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨
道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研
究，如图乙所示，两轨道的起点M 高度相同，终点N 高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N 点，
轨道Ⅱ末端与水平面平滑连接。若将两个完全相同的小球a 和b 分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时
由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球a 先到达终点。已知M 距离地面的高度为H，两个小球的质量都为
m，重力加速度为g，不考虑小球的滚动影响；
（1）忽略各种阻力，求小球沿Ⅰ轨道运动到最N 点的速度大小；
（2）若考虑轨道摩擦力的影响，设小球和轨道间的滑动摩擦因数为
，
a.求小球沿Ⅱ轨道下落到N 点的过程中，克服摩擦力做的功；
b.试比较两小球从M 运动N 过程中克服摩擦力做功的大小；
c.请设计出可行的实验方案来验证你上一问的结论，简要说明实验方案的思路以及对应的实验结果。
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【答案】（1）
；（2）a.
；b.
；c.见解析
【详解】（1）由动能定理可得
解得
（2）设轨道Ⅱ与水平面的夹角为
，斜面长s。
a.由受力分析可知，小球受到的摩擦力
则从M 滑到N 过程中，克服摩擦力做功为
b.小球从轨道Ⅰ下落过程中，所受摩擦力为变力，求摩擦力做功可以通过微元法，把Ⅰ轨道分成很多段，
每一段f 可认为是恒力。在第i 段轨道中，设该段轨道的延长线和地面的夹角为
，对应的曲率半径为
，由受力分析可知，
则
小球克服摩擦力做功
c.由动能定理可知，小球滑到最底端的动能为
因此可以把比较
转换成比较
的大小，只需设计实验方案比较小球运动到N 点的速度大小即可。比
如在N 点安装光电门。
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9．（2015·北京·高考真题）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可
视为质点）的质量为m ，在水平桌面上沿
轴运动，与桌面间的动摩擦因数为
。以弹簧原长时物块
的位置为坐标原点
，当弹簧的伸长量为
时，物块所受弹簧弹力大小为
，
为常量。
（）请画出
随
变化的示意图；并根据
图象求物块沿
轴从
点运动到位置
的过程中弹力所
做的功。
（
）物块由
向右运动到
，然后由
返回到
，在这个过程中：
．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较,说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概
念，为什么？
【答案】（）图象如图所示；
，
；（
）a．
；b．
，见详解
【详解】（1）在
图象中，面积为外力拉弹簧时外力所做的功
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弹簧的弹力对其做负功
（2）a.分段研究：从
到
过程中，弹簧的弹力做负功，为
从
到
过程中，弹簧的弹力做正功，为
则全过程弹簧的弹力作功为
由功能关系
得
b.物体向右由
运动到
的过程摩擦力作功
物体由由
返回到
的过程摩擦力做功
全程摩擦力做功
若物体直接由
位置运动到
位置，摩擦力做功为
可知，两次沿不同路径从相同出发点运动到同一位置，摩擦力做功不同，说明摩擦力做功与路径有关。
而弹簧弹力做功与路径无关，只与初末位置有关，因此存在弹性势能的概念，根据势能的定义可知，不
存在摩擦力势能的概念。
10．（2024·四川达州·二模）如图1 所示，一倾角
的斜面体固定在水平地面上（斜面足够长、带一
定滑轮），物块A 放在斜面上的O 点，用跨过轻质定滑轮的轻绳与物块B 连接，B 离滑轮足够远。A、B
的质量分别为
、
。运动过程中A 与O 点的距离设为x，A 与斜面间的动摩擦因数μ
与x 的关系如图2。重力加速度g 取
，现将A、B 由静止释放。求：
（1）当x 为多大时物块A 的速度最大；
（2）物块A 在斜面上滑行的最大位移
。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设物块A 的速度最大时A 与斜面间的动摩擦因数
，由牛顿第二定律得
解得
由图2 得
则当
时
（2）设物块A 沿斜面向下滑到最大位移过程中，克服摩擦力做功为
，由功能关系得
摩擦力做功为
其中
解得
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