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模型28 功能关系及能量守恒的综合应用
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1. 功能关系的理解
1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一
一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.常见力做功与能量变化的关系
1）当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒.
2）重力对物体做的功等于物体重力势能的减少: W G=−ΔE p .
3）弹簧弹力对物体做的功等于物体弹性势能的减少: W 弹=−ΔE p.
4）电场力对物体做的功等于物体电势能的减少: W 电=−ΔE p.
5）克服安培力做的功等于电能增加量：W 电=Et−E0=ΔE
5）合外力对物体所做的功等于物体动能的变化: W 合=ΔEk=Ekt−Ek 0（动能定理）
6）除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化:
W 除重力弹力外其他力=ΔE=Et−E0
7）一对滑动摩擦力做功等于系统机械能减少（内能增加）: Q=Ff⋅Δs相对.
3.涉及弹簧的能量问题
从能量的角度看,弹簧是储能元件.处理涉及弹簧的能量问题时,要特别注意:
1）当涉及弹簧的弹力做功时,由于弹簧的弹力是变力,故一般不直接采用功的定义式求解.中学阶段通
常根据动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹簧弹力做的功或弹簧储存的弹性势能.
2）弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关,对同一根弹簧而言,无论是处于伸长状态还是压缩
状态,只要形变量相同,其储存的弹性势能就相同.
4.摩擦力做功的能量问题
01 模型概述
1
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1）无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
2）静摩擦力做功的能量问题
①静摩擦做功只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能。
②一对静摩擦力所做功的代数和总等于零，而总的机械能保持不变。
3） 滑动摩擦力做功的能量问题
①滑动摩擦力做功时，一部分机械能从一个物体转移到另一个物体，另一部分机械能转化为内容，
因此滑动摩擦力做功有机械能损失。
②一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W=−Ff⋅x相对，即发生相对滑动时产生的热量。
1. 功能关系
【典型题1】（2024·广东中山·模拟预测）（多选）热气球能给人以独特的视角享受风景的机会。假设某热
气球总质量为m，某竖直上升过程中受到浮力恒为F，空气阻力恒为f，热气球从地面由静止上升高度
h，速度变为v，已知重力加速度为g。在上述过程中，热气球的（ ）
A．重力势能增加了mgh
B．动能增加了（F-mg-f）h
C．机械能增加了Fh
D．机械能增加了mgh+
【答案】ABD
【详解】A．热气球从地面由静止上升高度h，克服重力做功mgh，则重力势能增加了mgh，故A 正确；
B．根据动能定理，动能增加了
故B 正确；
CD．根据功能关系，机械能增加了
02 典题攻破
2
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故C 错误，D 正确。
故选ABD。
2. 涉及弹簧的能量问题
【典型题2】（2024·山东枣庄·三模）如图，质量为0.1kg 的小球用轻弹簧悬挂并静止在坐标原点O，Ox 竖
直向下。某时刻给小球施加一竖直向下的力F，力F 大小满足表达式
，弹簧的劲度系数
为0.5N/m。小球运动过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在x＝0.2m 处小球加速度最大
B．小球运动到最低点时的加速度大小为
C．下降过程弹簧弹性势能增加了0.04J
D．下降过程小球与弹簧组成的系统机械能增加了0.02J
【答案】B
【详解】AB．开始物体平衡时
当小球的位移为x 时受的合外力
则小球的运动类似简谐振动，开始时的加速度最大，即当x=0 时的加速度最大
在x=0.2m 时F 合=0 此时加速度为零；由对称性可知，当x=0.4m 时到达最低点，此时加速度为向上最大，
大小为2m/s2，选项A 错误，B 正确；
C．开始时弹簧伸长量
到最低点时弹簧伸长量为x1=2.4m
3
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则根据
可得下降过程中弹簧增加的弹性势能
选项C 错误；
D．下降过程中，重力势能减少
弹簧增加的弹性势能0.44J，则机械能增加0.04J，选项D 错误。
故选B。
3. 摩擦力做功的能量问题
【典型题3】（2024·福建龙岩·一模）下列说法正确的是（ ）
A．作用力做正功，反作用力也一定做正功B．作用力做负功，反作用力也一定做负功
C．一对静摩擦力所做的功的代数和总为零D．一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为零
【答案】C
【详解】A．作用力做正功，反作用力也不一定做正功，例如撞到墙被反弹回去的球，弹力对球做正功，
因为墙不动，反作用力对墙不做功，故A 错误；
B．作用力做负功，反作用力不一定做负功，如物体在水平面上滑行物体受到的摩擦力做了负功，但其
摩擦力的反作用力不做功，故B 错误；
C．反作用力一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，
故一个做正功，则另一个就做负功，一对静摩擦力所做的功的代数和总为零，故C 正确；
D．一对滑动摩擦力，二力大小相等，方向相反，由于物体相对运动，位移为不相等，所以一对相互作
用的滑动摩擦力做的功的代数和可以不为零，故D 错误。
故选C。
【典型题4】（2023·河南安阳·模拟预测）（多选）如图所示，质量为M、长度为L 的木板静止在光滑的水
平面上，质量为m 的小物体（可视为质点）放在木板上最左端，现用水平恒力F 作用在小物体上，使
物体从静止开始做匀加速直线运动。已知物体和木板之间的摩擦力为f。当物体滑到木板的最右端时，
木板运动的距离为x，则在此过程中（ ）
A．力F 对物体做功大小为
B．摩擦力对物体做功为
4
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C．摩擦力对物体做功为
D．摩擦力对木板做功为
【答案】AD
【详解】A.根据功的计算式，力F 对物体做功
故A 正确；
BC．小物块受到的摩擦力向左，摩擦力对物体做功
故BC 错误；
D．木板受到的摩擦力向右，摩擦力对木板做功
故D 正确。
故选AD。
1．（2023·广东东莞·模拟预测）如图所示，质量为m 的子弹以水平初速度
射入静止在光滑水平面上的质
量为M 的木块中，子弹未从木块中射出，最后共同速度为v，在此过程中，木块在地面上滑动的距离为
s，子弹射入木块的深度为d，子弹与木块间的相互作用力为f，以下关系式中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A. 对子弹由动能定理可知
03 针对训练
5
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即
选项A 正确，不符合题意；
B. 对子弹和木块的系统由能量关系可知
选项B 正确，不符合题意；
C. 对子弹和木块系统由动量守恒定律可知
选项C 正确，不符合题意；
D. 对木块由动能定理
选项D 错误，符合题意。
故选D。
2．（2024·贵州·一模）如图，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧
处于原长时上端位于A 点。一物块由斜面上A 点上方某位置释放，将弹簧压缩至最低点B（弹簧在弹性
限度内），则物块由A 点运动至B 点的过程中，弹簧弹性势能的（ ）
A．增加量等于物块动能的减少量
B．增加量等于物块重力势能的减少量
C．增加量等于物块机械能的减少量
D．最大值等于物块动能的最大值
【答案】C
【详解】ABC．设物块在A 点时的动能为
，斜面的倾角为
，物块由A 点运动至B 点的过程中，对物
块由能量守恒有
可知，物块由A 点运动至B 点的过程中，物块的机械能转化成了弹簧的弹性势能，因此可知，弹簧弹
性势能增加量大于物块动能的减少量，同样大于物块重力势能的减少量，而等于物块机械能的减少量，
故AB 错误，C 正确；
6
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D．显然，物块由A 点运动至B 点的过程中，弹簧弹性势能最大时即弹簧被压缩至最短时，而物块动能
最大时，弹簧的弹力等于物块重力沿斜面向下的分力，即此时弹簧已被压缩，具有了一定的弹性势能，
而此后物块还要继续向下运动，直至速度减为零，弹簧被压缩至最短，因此弹簧弹性势能的最大值大于
物块动能的最大值，而等于物块机械能的减少量，故D 错误。
故选C。
3．如图所示，某物体在运动过程中，受竖直向下的重力和水平方向的风力，某段时间内，重力对物体做
功4J，物体克服风力做功3J，则以下说法中正确的是（ ）
A．外力对物体做的总功为7J
B．物体的动能增加了1J
C．物体的机械能增加了3J
D．物体的重力势能增加了4J
【答案】B
【详解】A．功是标量，故外力做功为
故A 错误；
B．根据动能定理可知
故动能的增加量为
故B 正确；
C．风力对物体做负功，故物体的机械能增加量等于风力所做的功，故有
物体的机械能减小了3J，故C 错误；
D．由于重力做正功，故物体的重力势能减小，减小量为4J，故D 错误。
故选B。
4．（2024·浙江湖州·二模）如图所示，轻弹簧一端悬挂在横杆上，另一端连接质量为m 的重物，弹簧和重
物组成的系统处于静止状态。某时刻在重物上施加一方向竖直向上，大小为
的恒力，重物上
升的最大高度为h，已知弹簧的弹性势能表达式为
，则（ ）
7
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A．上升过程中系统机械能守恒
B．开始时弹簧的弹性势能为
C．上升过程中重物的最大动能为
D．上升到最高点过程中重物的重力势能增加
【答案】B
【详解】A．上升过程中，恒力F 对系统做正功，系统的机械能增加，故A 错误；
B．初始时对重物有
重物上升的最大高度为h 的过程中，对系统由能量守恒定律
解得
所以开始时弹簧的弹性势能为
故B 正确；
C．上升过程中，当重物所受合力为零时，速度达到最大，则此时弹簧的形变量为x1，故
解得
在此过程中由能量守恒定律
上升过程中重物的最大动能为
故C 错误；
D．上升到最高点过程中重物的重力所做的功为
8
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根据重力势能与重力做功的关系可知，重物重力势能的增加量为
故D 错误。
故选B。
5．（2025·贵州·模拟预测）巴黎奥运会网球女单决赛中，中国选手郑钦文以2：0 战胜克罗地亚选手维基
奇夺冠。这是中国运动员史上首次赢得奥运网球单打项目的金牌。某次郑钦文将质量为m 的网球击出，
网球被击出瞬间距离地面的高度为h，网球的速度大小为
，经过一段时间网球落地，落地瞬间的速度
大小为
，重力加速度为g，网球克服空气阻力做功为
。则下列说法正确的是（ ）
A．击球过程，球拍对网球做功为
B．网球从被击出到落地的过程，网球动能的增加量为mgh
C．网球从被击出到落地的过程，网球的机械能减少
D．
【答案】D
【详解】A．击球过程，根据动能定理有
即球拍对网球做功为
，故A 错误；
B．网球从被击出到落地，根据动能定理有
故B 错误；
C．根据功能关系可知，网球从被击出到落地，网球的机械能减少
，故C 错误；
D．根据动能定理有
解得
故D 正确。
故选D。
6．（2024·河南郑州·模拟预测）将一可视为质点、质量为m 的物体由地面竖直向上抛出，物体的动能随距
9
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离抛出点高度的关系如图所示，规定抛出点所在水平面为重力势能零势能面，物体在空中运动时所受空
气阻力大小保持不变，图中
已知，重力加速度为g。则（ ）
A．物体的质量为
B．空气阻力为物体所受重力的
C．物体下落过程中，高度为
时其动能等于势能
D．若抛出时动能为
，上升过程动能为
时势能也为
【答案】B
【详解】A．由图像可知物体上升过程中，能到达的最大高度为
，对物体上升过程由动能定理得
物体下落过程中，由动能定理得
解得
,
故A 错误；
B．物体的重力为
空气阻力与物体所受重力的比值为
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故B 正确；
C．物体下落过程中，设距离地面高度为
时其动能等于重力势能，则有
此时物体的重力势能为
又
解得
故C 错误；
D．若抛出时物体的动能为
，物体上升时由动能定理得
物体的重力势能为
当
解得
故D 错误。
故选B。
7．（2024·全国·模拟预测）如图（a）所示，原长
为0.3m 的轻质弹簧的下端固定在倾角为
的固定光滑
斜面的底部，在弹簧的上端从静止开始释放1kg 的小球，小球的加速度大小a 与弹簧长度x 间的关系如
图（b）所示。重力加速度g 取
，则（ ）
A．斜面倾角的正弦值为0.8
B．弹簧的劲度系数为
C．小球的最大动能为0.6J
D．弹簧最大弹性势能为1.2J
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【答案】D
【详解】AB．当x<0.2m 时，由牛顿第二定律，可得
整理，可得
结合图像，有
，
解得
，
故AB 错误；
C．由图（b）可知小球在x2＝0.2m 时，a＝0，此时小球的速度最大，在x3＝0.3m 时
根据
结合a-x 图像中图线与坐标轴所围面积
小球的最大动能为
联立，解得
故C 错误；
D．根据小球运动的对称性，可知当x1＝0.1m 时，运动至最低点，弹簧具有最大弹性势能，根据能量守
恒，可知
故D 正确。
故选D。
8．（2024·安徽·三模）如图所示，一轻质弹簧其上端固定在升降机的天花板上，下端挂一小球，在升降机
匀速竖直下降过程中，小球相对于升降机静止。若升降机突然停止运动，设空气阻力可忽略不计，弹簧
始终在弹性限度内，且小球不会与升降机的内壁接触，则小球在继续下降的过程中（ ）
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A．小球的动能逐渐减小，弹簧的弹性势能逐渐减小
B．小球的动能逐渐增大，弹簧的弹性势能逐渐减小
C．小球的动能逐渐减小，弹簧的弹性势能逐渐增大
D．小球的动能逐渐增大，弹簧的弹性势能逐渐增大
【答案】C
【详解】小球在继续下降阶段，弹簧的弹力逐渐增大，小球的合力方向竖直向上，与速度方向相反，小
球的速度逐渐减小，动能逐渐减小，弹簧的弹性势能逐渐增大。
故选C。
9．（2024·河北张家口·三模）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在倾角为
的粗糙斜面底端挡板上，弹簧
处于原长。质量为
的小物块，从斜面顶端由静止释放沿斜面下滑，小物块沿斜面向下运动过程
中的动能
随位移x 变化的图像如图乙所示，在
时图像为直线。已知弹簧始终在弹性限度内，
重力加速度g 取
，
。下列说法正确的是（ ）
A．小物块与斜面间的动摩擦因数为0.2
B．弹簧的劲度系数为20N/m
C．小物块下滑过程中的最大动能为0.5J
D．整个过程中弹簧的最大弹性势能为0.8J
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【答案】B
【详解】A．由动能定理可知，
图线的斜率表示小物块所受合力。小物块接触弹簧前，
图
线的斜率恒定，小物块沿斜面做匀加速直线运动，所受合力恒定，大小满足
可得动摩擦因数
A 错误；
B．小物块接触弹簧后压缩弹簧
时速度最大，为平衡位置，满足
可得弹簧的劲度系数为
B 正确；
C．根据题中动能变化图像画出合力随位移的变化图像，其与
轴所围的面积表示动能的变化，易知，
动能最大值对应上面部分面积
C 错误；
D．下滑至最低点时，图像中上、下对应的面积大小相等，物块的位移为
整个过程中系统损失的机械能为
根据能量守恒，弹簧的最大弹性势能为
D 错误。
故选B。
10．（2024·北京房山·一模）如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为
m，可视为质点的小球。重力加速度大小为g。将小球托起至O 点，弹簧恰好处于原长，松手后小球在
竖直方向做简谐运动，最远能够到达B 点，A 点为OB 的中点。下列说法正确的是（ ）
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A．O 点到B 点弹力的冲量大小等于重力冲量的大小
B．O 点到B 点弹簧先做正功，后做负功
C．O 点到A 点弹力做功与A 点到B 点弹力做功一样多
D．小球经过A 点时的加速度大小为g
【答案】A
【详解】A．小球从O 到B 根据动量定理有IG－I 弹 = 0
则O 点到B 点弹力的冲量大小等于重力冲量的大小，故A 正确；
B．O 点到B 点弹簧一直被拉伸，弹簧一直做负功，故B 错误；
C．O 点到A 点的弹力要比A 点到B 点的弹力小，则O 点到A 点弹力做的功小于A 点到B 点弹力做的
功，故C 错误；
D．A 点为OB 的中点，即小球做简谐运动的平衡位置，则小球经过A 点时的加速度大小为0，故D 错
误。
故选A。
11．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）我国“天问一号”着陆器搭载“祝融号”火星车，经过
“大气摩擦—降落伞—反推力”等制动过程减速后，成功着陆火星的平坦区域。下列关于着陆器的说法
正确的是（ ）
A．“祝融号”对着陆器的作用力小于着陆器对“祝融号”的作用力
B．使用降落伞减速的过程中，着陆器处于超重状态
C．与大气摩擦的减速过程中，着陆器的机械能转化为内能
D．使用降落伞减速的过程中，着陆器的重力势能转化为动能
【答案】BC
【详解】A．“祝融号”对着陆器的作用力与着陆器对“祝融号”的作用力大小相等，为相互作用力，
A 错误；
B．使用降落伞减速的过程中，加速度方向竖直向上，着陆器处于超重状态，B 正确；
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C．与大气摩擦的减速过程中，着陆器的机械能转化为内能，C 正确；
D．使用降落伞减速的过程中，重力做正功，阻力做负功，着陆器的重力势能、动能都减小，机械能不
守恒，合外力做功等于动能变化，所以不是着陆器的重力势能转化为动能，D 错误。
故选BC。
12．（2024·贵州遵义·三模）（多选）如图甲所示，工人沿倾角为α＝10°的斜坡向上推动平板车，将一质
量为10kg 的货物运送到斜坡上某处，货物与小车之间始终没有发生相对滑动。若平板车板面始终水平，
则货物的动能
随位移x 的变化图像如乙所示，已知：sin10°＝0.17，cos10°＝0.98，g 取
，则
（ ）
A．货物在0~2m 的过程中，重力势能增加34J
B．货物在0~2m 的过程中，克服摩擦力做功
C．货物在2~4m 的过程中，用时为
D．货物在2~4m 的过程中，机械能一直增大
【答案】ACD
【详解】A．货物在0~2m 的过程中，克服重力做功等于货物重力势能增加，则
选项A 正确；
B．货物在0~2m 的过程中，动能增加，货物沿斜面做加速运动，则加速度沿斜面向上，则摩擦力对货
物做正功，选项B 错误；
C．2m 末的速度为
货物在2~4m 的过程中的合外力
加速度为
根据
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可知用时为
选项C 正确；
D．货物在2~4m 的过程中，重力势能与动能之和为
则随∆x 增加，机械能一直增大，选项D 正确。
故选ACD。
13．（2024·山西吕梁·三模）（多选）如图甲所示，倾角为
的光滑斜面固定在水平地面上。匀强电
场沿斜面方向。带正电的滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的
机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，
，
，则下列说法正确的是（
）
A．滑块的重力大小为
B．滑块受到的电场力大小为
C．滑块上滑过程中，重力势能增加了
D．滑块上升过程中动能与电势能之和减小
【答案】BD
【详解】AB．由图像可知，木块的动能由
减为零，木块的机械能由
减为
又由于机械能在减
小，可知电场力做负功，故匀强电场沿斜面向下。机械能随位移变化的图像，斜率表外力
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由于动能随位移变化的图像，斜率表合外力，故
可得
，
故A 错误，B 正确；
C．由重力做功与重力势能关系有
由于上滑过程重力做负功，所以重力势能增加，即
故C 项错误；
D．由能量守恒可知滑块的能量为滑块的动能加上滑块的电势能加上滑块的重力势能，滑块上升过程中
重力势能增加，所以动能与电势能之和减小，故D 项正确。
故选BD。
14．（2024·台湾·模拟预测）（多选）在均匀静电场中，将质量为m 的带电小球以水平速度抛出，发现小
球在竖直方向以
的加速度向下运动（g 为重力加速度），而在水平方向作匀速运动。当小球在竖直方
向的高度下降h 时，下列叙述哪些正确？（假设空气阻力可忽略）（ ）
A．若小球带负电，则电场的方向竖直向下
B．若小球带正电，则电场的方向竖直向下
C．小球的重力势能减少了
D．小球的电势能增加了
E．小球的动能增加了
【答案】ADE
【详解】AB．设小球所受电场力为
，对小球根据牛顿第二定律
解得
方向竖直向上，若小球带负电，小球所受电场力与电场的方向相反，则电场的方向竖直向下；若小球带
正电，小球所受电场力与电场的方向相同，则电场的方向竖直向上，故A 正确，B 错误；
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C．小球的重力做功为
重力做小球做正功，则小球的重力势能减少了
，故C 错误；
D．电场力做小球做负功为
则小球的电势能增加了
，故D 正确；
E．根据动能定理
可得小球的动能增加
故E 正确。
故选ADE。
15．（多选）某人把原来静止于地面上质量为
的物体向上提起
。并使物体获得
的速度，取
，则这个过程中下列说法正确的是（ ）
A．人对物体做的功为21J
B．合外力对物体做的功为21J
C．合外力对物体做功20J
D．物体的重力势能增加20J
【答案】AD
【详解】A．人对物体做的功等于物体增加的机械能，即人对物体做的功为
故A 正确；
BC．物体的动能增加量为
根据动能定理合外力对物体做的功为1J，故BC 错误；
D．在这一过程中人克服重力做功
物体的重力势能增加20J，故D 正确。
故选AD。
16．（2024·湖北·模拟预测）一倾角为θ 的斜面AB 固定在水平地面上，斜面底端B 固定一轻质弹簧，自
然状态下弹簧的上端在 C 点，到斜面底端的距离为l0，弹簧的劲度系数为k，斜面AB 的长度为s，
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BC 段光滑，AC 段粗糙。现将质量为 m 的物块从斜面顶端由静止释放，物块第一次运动到最低点时，
弹簧的长度为l。已知弹簧的弹性势能满足
，其中x 是形变量，弹簧始终在弹性限度内，重
力加速度为 g，物块可看作质点。求：
（1）物块速度最大时距离斜面顶端的距离；
（2）物块与斜面 AC 段间的动摩擦因数；
（3）物块从开始运动至运动足够长时间的过程，克服摩擦力做的总功。
【答案】（1）
；（2）
；（3） mg（s-l0）sinθ
【详解】（1）当物块处于平衡状态时速度最大，即
解得
所以物块距离斜面顶端的距离
（2）物块第一次到达最低点的过程中，有
解得
（3）经足够长时间，当物块运动到 C 点时速度为0 后，物块在 BC 间做简谐运动，则
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