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模型25 动能定理解题的基本思路及在多过程运动问题中的应用
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1. 动能定理解题的基本思路
1)选对象：确定研究对象和研究过程
2)两分析：
①运动分析：运动性质及特点、明确初、末状态动能？
②受力分析：几个力？恒力还是变力？正功还是负功？求总功
3)列方程：分阶段或全过程列动能定理
2.应用动能定理解题的注意事项
1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体为参考
系.
2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确地受力分析及运动过程分析,并画出运动过程的草图,
借助草图理解物理过程之间的关系.
3)列动能定理方程时,必须明确各力做功的正、负,确实难以判断的先假定为正功,最后根据结果加以
检验.
3.动能定理在多过程运动中的应用
当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看
作一个整体进行研究，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点.
关于全过程功的求解有以下两种特殊情况
1）重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
2）大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．
4.动能定理在解决往复问题中的应用
在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的物理量多数是变化
的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定．此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功
的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及
物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可简化解题过程．
5.不宜全过程用动能定理的情况
1）若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
01 模型概述
1
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2） 物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不
同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破．
1. 动能定理解题的基本思路
【典型题1】（2024·内蒙古赤峰·一模）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一，某冰滑梯的示意
图如图所示。一游客从A 点由静止沿滑道下滑，螺旋滑道的摩擦可忽略且AB 两点的高度差为h，滑板
与倾斜滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ，倾斜滑道的水平距离为
，BC 两点的高度差也为h。忽
略游客经过轨道衔接处B、C 点时的能量损失。求：
（1）游客滑至轨道B 点时的速度
的大小；
（2）为确保游客安全，水平滑道
的最小长度。
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）根据题意，游客从A 点到
点过程中，由动能定理有
解得
（2）设倾斜滑道与水平面的夹角为
，游客由
点到停止过程中，由动能定理有
解得
02 典题攻破
2
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2. 动能定理在多过程运动问题中的应用
【典型题2】（2024·湖南·三模）如图所示，水平轨道与光滑的竖直圆轨道底部平滑连接，每个圆轨道的进
口与出口稍微错开，圆轨道的顶端都有一个缺口，关于通过圆轨道中心O 的竖直线对称，已知圆轨道
的半径都为R，第一个圆轨道缺口圆心角
，且
，以后每个圆轨道缺口圆心角依次减
小10°，即
，
，
……，AB 段水平轨道光滑，长度为2.5R，连接之后每两个圆轨
道之间的水平轨道出口、进口处有一段长度为R 的光滑水平轨道，两段光滑轨道用一段长度合适的粗糙
水平轨道连接，动摩擦因数为0.02。现一质量为m 的小球从A 点由静止开始在水平恒力
的作用
下开始运动，当小球到达B 点时撤去恒力F，重力加速度为g。求：
（1）小球经过
点时对轨道压力的大小；
（2）通过计算说明小球能否从
点飞过缺口，并从
点无碰撞的经过
点回到圆轨道；
（3）通过调节两个圆轨道间粗糙水平部分的长度，保证每次小球飞过下一个圆轨道的缺口后能无碰撞
地经过飞出的对称点回到圆轨道，问总共最多能设计出几个符合这样要求的圆轨道，并求出所有圆轨道
间粗糙水平轨道的总长度。
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）4，
【详解】（1）设小球在
点的速度大小为
，小球从A 点运动到
点，根据动能定理
解得
小球在
点时，根据牛顿第二定律
3
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解得
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力等于轨道对小球的支持力，即
（2）小球从
点飞出后，做斜抛运动，在竖直方向
小球下落到与
点同一水平高度的时间为
则，在水平方向
此过程中，小球的水平位移为
联立，解得
点和
点的距离为
所以，小球能从
点飞过缺口，并从
点无碰撞的经过
点回到圆轨道；
（3）设总共最多能设计出n 个符合这样要求的圆轨道，由（2）同理可得
设此过程克服摩擦力做功为W，根据动能定理
联立，解得
当W 取极大值时，克服摩擦力做功最多，经过符合这样要求的圆轨道最多，由数学知识可得，当
即，当
时，符合这样要求的圆轨道最多，此时
此时，克服摩擦力做功最多为
根据动能定理
解得，所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度为
4
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1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）打夯亦称“夯实”，俗称“打地基”。打夯原为建住宅时对地基以人力方
式用夯锤进行夯实，防止房屋建造后因墙底松软导致的墙体塌陷或裂纹。如图所示，在某次打夯过程中，
两人通过绳子同时对夯锤各施加一个大小均为F 的力，力的方向都与竖直方向成α 角，夯锤离开地面H
后两人同时停止施力，最后夯锤下落把地面砸深h。以地面为零势能面，重力加速度大小为g。则（
）
A．两人施力时夯锤所受的合外力大小为
，方向竖直向上
B．两人停止施力前夯锤上升过程中加速度大小为
，方向竖直向上
C．夯锤具有重力势能的最大值为
D．夯锤砸入地面过程中，对地面的平均冲击力大小为
【答案】A
【详解】A．两人施力时夯锤所受的合外力大小为
方向竖直向上，故A 正确；
B．两人停止施力前夯锤上升过程中加速度大小为
方向竖直向上，故B 错误；
C．夯锤上升过程中由动能定理
以地面为零势能面，夯锤具有重力势能的最大值
故C 错误；
D．夯锤砸入地面过程中由动能定理
03 针对训练
5
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解得
故D 错误。
故选A。
2．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，在风洞实验室中，从A 点以水平速度
向左抛出一个质量为m 的小
球（可视为质点），小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A
点正下方的B 点处，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球离A、B 所在直线的最远距离为
B．小球从A 点运动到B 点的总时间为
C．A、B 两点间的距离为
D．小球的最大速率为
【答案】C
【详解】A．对小球进行分析，竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做双向匀变速直线运动，在水
平方向根据牛顿第二定律有
当水平方向速度减为0 时，小球距离AB 直线最远，利用逆向思维有
解得
故A 错误；
B．小球从A 运动到B 过程，水平方向上，根据速度公式有
6
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解得
故B 错误；
C．根据位移公式有
结合上述解得
故C 正确；
D．结合上述可知，小球做类斜抛运动，小球运动到B 点时速率最大，根据动能定理有
解得
故D 错误。
故选C。
3．（2025·贵州·模拟预测）巴黎奥运会网球女单决赛中，中国选手郑钦文以2：0 战胜克罗地亚选手维基
奇夺冠。这是中国运动员史上首次赢得奥运网球单打项目的金牌。某次郑钦文将质量为m 的网球击出，
网球被击出瞬间距离地面的高度为h，网球的速度大小为
，经过一段时间网球落地，落地瞬间的速度
大小为
，重力加速度为g，网球克服空气阻力做功为
。则下列说法正确的是（ ）
A．击球过程，球拍对网球做功为
B．网球从被击出到落地的过程，网球动能的增加量为mgh
C．网球从被击出到落地的过程，网球的机械能减少
D．
【答案】D
【详解】A．击球过程，根据动能定理有
即球拍对网球做功为
，故A 错误；
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B．网球从被击出到落地，根据动能定理有
故B 错误；
C．根据功能关系可知，网球从被击出到落地，网球的机械能减少
，故C 错误；
D．根据动能定理有
解得
故D 正确。
故选D。
4．（2024·山东淄博·一模）为了节能环保，地铁站的进出轨道通常设计成不是水平的，列车进站时就可以
借助上坡减速，而出站时借助下坡加速。如图所示，为某地铁两个站点之间节能坡的简化示意图（左右
两边对称，每小段坡面都是直线）。在一次模拟实验中，一滑块（可视为质点）以初速度
从A 站M
处出发沿着轨道运动，恰能到达N 处。滑块在两段直线轨道交接处平稳过渡，能量损失忽略不计，滑块
与各段轨道之间的动摩擦因数均相同，不计空气阻力。重力加速度为g，则根据图中相关信息，若要使
滑块恰能到达B 站P 处，该滑块初速度的大小应调整为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】质量为m 的物体在长度为s、倾角为
的粗糙斜面上滑行时，克服摩擦力做功
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是斜面底边的长度，则滑块从M 恰好到N 由动能定理得
解得
若要使滑块从M 恰能到达B 站P 处，设该滑块初速度的大小应调整为，由动能定理得
解得
故选B。
5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）（多选题）如图所示，在光滑的斜轨道底端平滑连接着一个半径为
R、顶端有缺口的光滑圆形轨道，A 点、B 点在同一水平面上，P 点是最低点，
。一质量为
m 的小球由斜轨道上某高度处静止释放，由轨道连接处进入圆形轨道。重力加速度为g，不考虑机械能
的损失，下列说法正确的是（ ）
A．若小球滑到P 点时速度大小为
，则此处轨道对小球作用力的大小为4mg
B．若小球滑到P 点时速度大小为
，则小球滑到A 点时速度大小为
C．若小球恰好能通过圆形轨道内A 点，则小球在斜轨道上静止释放的高度为
D．若小球从圆形轨道内A 点飞出后恰好从B 点飞入圆形轨道，则小球经过B 点时的速度大小为
【答案】BD
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【详解】A．小球在P 点，根据牛顿第二定律有
则此处轨道对小球作用力的大小为
故A 错误；
B．小球从圆形轨道最低点P 滑到A 点，由动能定理有
解得
故B 正确；
C．若小球恰好能通过圆形轨道内A 点，根据牛顿第二定律有
对小球从释放到A 点，根据动能定理有
解得
故C 错误；
D．小球从圆形轨道内A 点飞出后做斜抛运动到B 点，竖直方向有
水平方向有
解得
故D 正确。
故选BD。
6．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，半径为
的四分之一圆弧形光滑轨道AO 和水平轨道ON
平滑连接，水平轨道上有一右端固定的足够长轻质弹簧，弹簧处于原长状态且左端恰好位于O 点，弹
簧的劲度系数
。质量
的滑块自A 点由静止开始下滑，滑块与水平轨道间的滑动摩擦
力等于相同位置时弹簧弹力的
，滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能为
，x 为弹簧的形变量，k 为劲度系数。取
。求：
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（1）滑块第一次经过O 点时对圆弧轨道的压力大小；
（2）滑块第二次在水平轨道上速度减为零时距O 点的距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由动能定理知
在O 点有
代入得
由牛顿第三定律知，滑块第一次经过O 点时对圆弧轨道的压力大小为
。
（2）设第一次距离
点为
，滑块与水平轨道间的滑动摩擦力等于相同位置时弹簧弹力的
，当速度
减为0 时，动能定理知
返回过程中，设光滑轨道上升高度为，弹性势能转化为动能，则
滑块第二次在水平轨道上速度减为零时，设位移为
，则
代入得
7．（2024·甘肃平凉·三模）如图所示，固定在竖直面内的光滑圆弧轨道 PQ 在Q 点与水平面相切，其圆心
为O、半径为R，圆弧对应的圆心角
。一可视为质点的质量为m 的小物块从S 点以水平初速度
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）抛出，恰好在P 点沿切线方向进入圆弧轨道，最后滑上水平面在C 点停下来。已知小物块与水平面间
的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力，
，求：
（1）S、P 两点间的竖直高度；
（2）Q、C 两点间的距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小物块从S 到P 做平抛运动，恰好在P 点沿切线方向进入圆弧轨道，此时有
解得小物块在P 点的竖直分速度为
竖直方向有
解得S、P 两点间的竖直高度为
（2）小物块在P 点的速度为
小物块从P 点到C 点过程，根据动能定理可得
解得Q、C 两点间的距离为
8．（2024·山东·模拟预测）如图，水平地面与圆心为
、半径
的固定竖直圆弧轨道相切于
点，
该轨道的圆心角为
，
为圆弧轨道的最高点。一质量
的物块静止于水平地面上的
点处，
、
之间的距离
。现对物块施加一水平向右的恒力，当物块到达
点时撤去该力。已知物
块经过
点后再经过
后落到地面上，物块可视为质点，忽略空气阻力及一切摩擦，重力加速度
取
，
，
。求：
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(1)物块落地点与
点之间的水平距离；
(2)恒力
的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）物块通过
点后在竖直方向上做竖直上抛运动，有
解得
物块
在水平方向上做匀速运动，有
解得
（2）由
点至
点对物块由动能定理有
解得
9．（2024·陕西西安·模拟预测）某校科技组利用图甲所示装置研究过山车运动项目中所遵循的物理规律，
图中Q 为水平弹射装置，AB 为倾角
的倾斜轨道，取A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，水平
向左为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，Q 可在坐标平面内移动，BC 为水平轨道，
为竖直圆
轨道，
为足够长倾斜轨道，各轨道均平滑连接。已知滑块质量为m，圆轨道半径为R，倾斜轨道AB
长为
，滑块与倾斜轨道AB 间动摩擦因数
随滑块与A 点距离l 的变化关系如图乙所示。BC 长为
2R，滑块与BC 间动摩擦因数
，其余各段轨道均光滑。弹射装置弹出的滑块均能无碰撞从A 点
切入倾斜轨道AB，滑块可视为质点。求：
（1）弹出点的纵坐标y 与横坐标x 之间应满足的函数关系式；
（2）弹出点的横坐标x 为多大时，滑块从A 点切入后恰好过最高点D。（结果可用根号表示）
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由平抛运动可知
，
而根据入射速度沿着斜面向下可得
解得
（2）滑块恰好通过最高点
，满足
由于动摩擦因数
与
成线性关系，
过程摩擦力做功可用平均力来求解，从
到圆轨道最高点，由
动能定理得
又
联立解得
，
10．（2024·云南曲靖·二模）如图所示为某滑雪场滑道示意图。滑雪运动员及装备（可视为质点）的质量
为
，运动员从平台上水平飞出后恰好能从A 点沿圆弧切线进入竖直面内的光滑圆弧滑道ABC，
并沿滑道滑上与圆弧滑道在C 点相切的粗糙倾斜直滑道CD，CD 滑道足够长。已知圆弧滑道半径为
，圆心为O，AO 连线与竖直方向夹角为
，AO 与CO 连线互相垂直。平台与A 点之间的
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高度差为
。取重力加速度大小
，
，
，不计空气阻力。求：
（1）运动员离开平台瞬间的速度大小；
（2）运动员第一次运动到圆弧滑道最低点B 时，受到的支持力大小；
（3）为保证运动员不从A 点滑离圆弧滑道，运动员与CD 段之间动摩擦因数的最小值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设运动员在A 点竖直方向的分速度为vy，
在A 点
解得
（2）运动员在A 点的速度大小
从A 点到B 点由动能定理可得
在B 点对运动员进行受力分析可得
解得
（3）运动员恰好不从A 点滑离轨道时，运动员与粗糙轨道之间动摩擦因数最小。从A 点到C 点由动能
定理可得
设从C 点向上滑动距离x 后运动员速度减为零，据动能定理可得
运动员从A 点进入圆弧滑道到回到A 点的过程，由动能定理可得
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解得
11．（2024·福建福州·模拟预测）如图甲所示，一物块放置在水平台面上，在水平推力F 的作用下，物块
从坐标原点O 由静止开始沿x 轴正方向运动，F 与物块的位置坐标x 的关系如图乙所示。物块在x=2m 处
从平台飞出，同时撤去F，物块恰好由P 点沿其切线方向进入竖直圆轨道，随后刚好从轨道最高点 M
飞出。已知物块质量
，物块与水平台面间的动摩擦因数为
轨道圆心为O，半径为
，MN 为竖直直径，
，重力加速度
，
，不计空气阻力。求：
（1）水平推力F 做的功；
（2）物块运动到P 点时的速度大小；
（3）物块在圆轨道上运动时克服摩擦力做的功。
【答案】（1）11J；（2）
；（3）
【详解】（1）由F 与物块的位置坐标x 的关系图像面积分析可知当物块运动到x=2m 处时所做的功
（2）设物块运动到x=2m 处时的速度为v，由动能定理
可得
依题意，物块从平台飞出后做平抛运动，且从P 点沿切线方向进入圆轨道，设物块运动到P 点时的速度
为
，可得物块在P 点的速度
（3）设物块恰好由轨道最高点M 飞出时的速度为
，由圆周运动知识
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可得
设物块在圆轨道时，克服摩擦力做的功为
，由动能定理
可得
12．（2024·江苏·模拟预测）如图所示为滑板运动的训练场地，半径为R 的冰制竖直圆弧轨道最低点为C，
最高点为D，D 点的切线沿竖直方向，圆弧轨道左端与倾角为θ 的冰制斜面相切，为保证运动员的安全，
在AB 间铺有长度为4L 的防滑材料，当长度为L 的滑板全部处于AB 内时，恰能保持静止，其余部分摩
擦不计。一次训练时，教练员在AB 之间推动运动员到滑板离开B 点，运动员从D 点滑出，竖直上升到
最高点E，E 点与D 点的距离为
，下落后沿轨道返回。运动员和滑板总质量为m，运动员始终站在滑
板的正中间，滑板对斜面压力均匀。滑板长度和运动员身高远小于圆弧半径，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
（1）防滑材料与滑板之间的动摩擦因数；
（2）运动员和滑板在圆弧轨道最低点C 受到轨道支持力的大小；
（3）为保证运动员和滑板在轨道上只做一次往返滑行，滑板离开B 点时的速度范围。
【答案】（1）tanθ；（2）4mg；（3）
【详解】（1）防滑材料与滑板间的动摩擦因数为μ，根据平衡条件可得mgsinθ=μmgcosθ
解得μ=tanθ
（2）设运动员在轨道最低点C 的速度大小为vC，对运动员从C 到E 的过程，根据动能定理可得
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在C 点处，根据牛顿第二定律可得
联立解得FN=4mg
（3）保证运动员在滑道上只做往返一次滑行，设滑板离开B 点时的最小速度为v1，则运动员返回AB
时，滑板右端恰好可以与B 点重合。根据题意可知，滑板与AB 接触长度为x 时，其所受滑动摩擦力大
小为
由上式可知Ff-x 图像是一条过原点的倾斜直线，图像与坐标轴围成的面积表示Ff 做功的绝对值，所以从
滑板刚进入AB 区域到恰好全部进入到AB 区域的过程中，其摩擦力做的功为
根据动能定理可得
解得
设滑板离开B 点时的最大速度为v2，则运动员返回到AB 时，滑板左端恰好与A 点重合，根据动能定理
可得
解得
为保证运动员在滑道上只做往返一次滑行，滑板离开B 点时的速度需要满足
18
