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10. 带电粒子在电场中的偏转问题
一、带电粒子在匀强电场中的偏转
带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝＝＝
②离开电场时的偏移量：y＝at2＝
③离开电场时的偏转角：tan θ＝＝
例题1. （2024·浙江温州·二模）如图所示，加速电场的两极板P、Q 竖直放置，间距为d，
电压为
。偏转电场的两极板M、N 水平放置，两极板长度及间距均为L，电压为
。
P、Q 极板分别有小孔A、B，AB 连线与偏转电场中心线BC 共线。质量为m、电荷量为q
的正离子从小孔A 无初速度进入加速电场，经过偏转电场，到达探测器（探测器可上下移
动）。整个装置处于真空环境，且不计离子重力。下列说法正确的是（ ）
A．离子在加速电场中运动时间为
B．离子在M、N 板间运动时间为
C．离子到达探测器的最大动能为
D．为保证离子不打在M、N 极板上，
与
应满足的关系为
1
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练1. （2024·江苏扬州·二模）如图所示，质子和
粒子分别从
点由静止开始经过M、N
板间的电场加速后，从
处垂直射入偏转电场。质子落在感光板上的
点，则
粒子（
）
A．落在点，速度方向与质子的相同
B．落在点，速度方向与质子的不同
C．落在点左侧，速度方向与质子的相同
D．落在点右侧，速度方向与质子的不同
二、两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏
转角总是相同的．
证明：在加速电场中有qU0＝mv0
2
在偏转电场偏移量y＝at2＝··()2
偏转角θ，tan θ＝＝
得：y＝，tan θ＝
y、θ 均与m、q 无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的
中点，即O 到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
例题2.喷墨打印机的简化模型如图所示，墨计微滴（重力不计）从墨盒喷出，经带电室带
负电后，以速度v 沿轴线垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，纸面关于轴线对称，
通过调节信号输入使微滴可以带不同的电荷量q，改变偏转电压U 及两极板的极性均可改
变墨汁微滴打在纸上的位置，乃至能够恰好使微滴可以打在纸上的最高点和最低点。如果
极板长度为L，板间距离为d，极板右端到纸面的距离为
，纸张最高点到最低点的距离为
2d，则（ ）
2
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A．在微滴带负电时，要使微滴打在纸张的下部，应使上极板为正极
B．如果板间电压一定，要使微滴打在纸张上时的偏移量加倍，则微滴的电荷量要加倍
C．如果以中央轴线为准，上下增大板间距离，可以提高微滴偏移的灵敏度
D．要使微滴打在纸张的最高点或最低点，则微滴带电荷量与板间电压的关系应满足
练2.如图所示为示波管中偏转电极的示意图，相距为d、长度为L 的极板AC、BD 加上电
压U 后，可在两极板之间（设为真空）产生匀强电场。在左端距两板等距离处的O 点，有
一电荷量为－q、质量为m 的粒子以某一速度沿与板平行射入，不计重力，下列说法正确
的是（ ）
A．入射粒子向下偏转
B．入射速度大于
的粒子可以射出电场
C．若粒子可以射出电场，则入射速度越大，动能变化越大
D．若粒子可以射出电场，则射出电场时速度方向的反向延长线过O 点
例题3.如图所示，在边长为L 的正方形ABCD 区域内有电场强度大小为E 的匀强电场，图
中竖直平行的直线为匀强电场的电场线（方向未知）。一电荷量为q、质量为m 的带负电
粒子，从A 点以某一初速度沿AB 边、垂直电场方向进入电场，经过电场中的P 点并从BC
边上的Q 点离开电场，带电粒子通过Q 点的速度方向与水平方向的夹角为53° ，已知
∠PAD=60° ，忽略空气的阻力，不考虑带电粒子受到的重力，取sin 53°=0. 8，cos53° =0.6.
下列说法正确的是（ ）
3
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A．带电粒子从A 点运动到Q 点的过程中，电场力所做的功为
B．带电粒子从A 点运动到Q 点的过程中，电场力所做的功为
C．带电粒子从A 点运动到P 点的时间为
D．带电粒子从A 点运动到P 点的时间为
练3. （2024·山西·二模）如图所示，半径为R 的虚线圆在竖直面内，O 是圆心，AC、BD
分别为竖直和水平直径，E 是弧AD 的中点，F 是弧BC 的中点，电场强度为
的匀强电场
竖直向下，甲、乙两个带电粒子（重力忽略不计）质量均为m，带电量的绝对值均为q，
先让甲从C 点以初速度
水平抛出，经过一段时间
运动到B 点，再让乙从E 点以初速度
水平抛出，经过一段时间
运动到F 点，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙均带负电
B．B、C 两点间的电势差与E、F 两点间的电势差之比为
4
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C．甲在B 点的速度以及乙在F 的速度与水平方向的夹角均为
D．
三、功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv0
2，其中Uy＝
y，指初、末位置间的电势差．
例题4. （2023·辽宁大连·一模）如图所示，在xoy 平面内有一匀强电场，方向未知，两个
相同的粒子a 和b 在坐标原点O 以大小相等的速率v 射入电场。粒子a 的速度沿x 轴正方向，
粒子b 的速度与x 轴正方向成45°斜向右下方，两粒子质量均为m，重力不计。当粒子a 的
速度方向竖直向下时，速度大小为v，由此可知（ ）
A．电场方向与x 轴负方向成45°斜向左下
B．该过程粒子b 的速度方向也改变了
C．该过程粒子b 的电势能减少了
D．该过程粒子b 的速度先减小后增大
练4. （2022·安徽合肥·模拟预测）固定的足够长斜面顶端有一个质量为m、电荷量为q 的
带正电荷的小球，以速度v0平抛。整个装置处在竖直向下的匀强电场之中，场强大小E＝
，小球从抛出到落到斜面的时间为t1，重力做功为WG1，电势能减少量为Ep1，落到斜
面上时的动能为Ek1；若将电场方向改为竖直向上，其他条件不变，小球从抛出到落到斜面
的时间为t2，重力做功为WG2，电势能增加量为Ep2，落到斜面上时的动能为Ek2，则下列关
系式不正确的是（ ）
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A．t1：t2=1：3
B．Ek1：Ek2=1：1
C．WG1：WG2=1：1
D．Ep1：Ep2=1：3
四、带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转
重力场和电场复合场沿竖直方向，带电粒子以垂直复合场方向进入复合场，做类平抛运动
沿等效重力场做初速度为零的匀加速速直线运动，沿初速度方向做匀速直线运动。
例题5. （2024·江西赣州·模拟预测）如图所示，在立方体的塑料盒内，其中AE 边竖直，
质量为m 的带正电小球（可看作质点），第一次小球从A 点以水平初速度
沿AC 方向抛
出，小球在重力作用下运动恰好落在G 点。M 点为BC 的中点，小球与塑料盒内壁的碰撞
和小球与塑料盒边长的碰撞为弹性碰撞（碰撞后平行平面或边长的速度分量保持不变，垂
直平面或垂直边长的速度分量大小不变，方向相反），落在底面不反弹。则下列说法正确
的是（ ）
A．第二次将小球从A 点沿AB 方向，以
的水平初速度抛出，与边BF 碰撞后，小球
最终落在F 点
B．第二次将小球从A 点沿AM 方向，以
水平初速度抛出，小球将和CG 边发生碰
撞
C．若又在空间增加沿AD 方向的匀强电场，第三次将小球从A 点沿AB 方向水平抛出，
6
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要使小球落在G 点，初速度为
D．若又在空间增加沿AB 方向的匀强电场，第三次将小球从A 点沿AD 方向水平抛出，
要使小球落在G 点，电场力大小为2mg
练5. （2023·全国·模拟预测）如图所示，AB 和BC 是固定在匀强电场中的两个挡板，两挡
板与竖直方向夹角相同且AC 两个端点之间的距离为
，B 到AC 的距离为
，从任一挡板
的顶点抛出带电荷量为
的小球。电场方向竖直向下，大小为
，重力加速度为
，
下列说法正确的是（ ）
A．将小球平抛出去，可以竖直达到
点
B．将小球以
平抛出去，可以垂直打到对面挡板
C．将小球从
点斜抛出去，能到达对面挡板上
点的最小抛出速度为
D．撤去电场前后，均将小球以能打到对面挡板顶点的最小速度斜抛出去，小球运动的
最高点与
所在水平面的最大距离变小
五、带电粒子在交变电场中的偏转
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方
波)的情形．
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向
的分运动具有周期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正
确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移
等．
3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对
称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿
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过电场时可认为是在匀强电场中运动．
例题6. （2024·辽宁·一模）如图（a）所示，两平行正对的金属板间距为d，两板间所加电
压如图（b）所示。在两板左侧中间位置O 点有一个粒子源，能沿两板中轴线
向外持
续射出质量为m、电荷量为
初速度为
的粒子。已知极板长度为4d，不计粒子重力及
粒子间的相互作用，
时刻两板间电场方向竖直向下，此时射入板间的粒子恰好能从极
板右侧射出，则（ ）
A．
时刻射入极板间的粒子离开电场时沿电场方向的位移为d
B．
时刻射入极板间的粒子离开电场时速度方向仍沿
方向
C．
时刻射入极板间的粒子将打在极板上
D．粒子从右侧射出时的最大动能为
练6. （2023·云南·模拟预测）如图甲，一带电粒子沿平行板电容器中线MN 以速度v 平行
于极板进入（记为
时刻），同时在两板上加一按图乙变化的电压。已知粒子比荷为
k，带电粒子只受静电力的作用且不与极板发生碰撞，经过一段时间，粒子以平行极板方向
的速度射出。则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子射出时间可能为
B．粒子射出的速度大小为
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C．极板长度满足
D．极板间最小距离为
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．如图所示，一充电后与电源断开的平行板的两极板水平放置，板长为
，板间距离为
，
距板右端
处有一竖直屏
。一带电荷量为
、质量为
的质点以初速度
沿中线射入两
板间，最后垂直打在
上，重力加速度大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．两极板间电压为
B．质点通过电场过程中电势能减少
C．若仅增大初速度
，则该质点不可能垂直打在
上
D．若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在
上
2．有一带电的平行板电容器，内部存在匀强电场，有两个带正电的粒子，它们所带电荷量
相等，某时刻两粒子以垂直电场线的初速度进入电场，经电场偏转后从电容器另一端离开
电场。不计粒子重力以及粒子间作用力。关于两种带正电的粒子在电场中的运动情况，下
面说法正确的是（ ）
A．两粒子一定同时离开电场
B．只要两粒子质量相同，它们一定从同一位置离开电场
C．只要两粒子初速度相同，它们一定从同一位置离开电场
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D．只要两粒子初动能相同，它们一定从同一位置离开电场
3．如图所示，竖直平面内有竖直方向的匀强电场（图中未画出）和竖直放置的光屏。光屏
左侧水平距离为L 处的S 点放置点光源和不带电的小球A（可视为质点）。质量为m 的带
电小球B 贴着光屏向下运动，当B 与点光源在同一高度时，水平抛出小球A，发现A 的影
子总与B 重合。已知重力加速度g，不计阻力，以下说法正确的是（ ）
A．小球B 受到的电场力方向竖直向上，且电场力大小为
B．小球B 做匀减速直线运动，加速度为
C．抛出小球A 时，B 球与A 球的速度关系为
D．小球A、B 相遇时，B 球与A 球的速度关系为
4．如图甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示。
时刻，
质量为m 的带电微粒以初速度
沿中线射入两板间，
时间内微粒匀速运动，T 时刻微
粒恰好经金属板边缘飞出。微粒运动过程中未与金属板接触。重力加速度的大小为g。关
于微粒在
时间内运动的描述，正确的是（ ）
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A．末速度大小为
B．重力的冲量为零
C．克服电场力做功
D．重力势能增加了
5．在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极
板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e 的电子以速度v0（v0接近光速的
）从
两极板左端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相
比交变电流的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则在任意0.2s 内
（ ）
A．当
时，所有电子都能从极板的右端射出
B．当
时，将没有电子能从极板的右端射出
C．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间
之比为1：2
D．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时
间之比为
6．在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极
板间加一电压如图乙，质量为m，电荷量为e 的电子以速度v0从两极板左端中点沿水平方
向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比电压变化的周期可忽略
不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则（ ）
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A．当
时，所有电子都能从极板的右端射出
B．当
时，将没有电子能从极板的右端射出
C．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间
之比为1：2
D．当
时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间
之比为1：
二、多选题
7．水平台边缘O 处一质量为m、带电量为+q 的小球，以与水平面成30°角的速度斜向上抛
出，在竖直面上运动，整个空间有一匀强电场（图中未画出），小球所受电场力与重力等
大。小球先后以速度大小v1、v2两次抛出，分别落在倾角为60°的斜面上的a、b 两点，两
次运动时间分别为t1、t2且小球机械能的增量相同，其中落到a 点时小球速度与斜面垂直。
已知O、b 两点等高且水平距离为L，重力加速度为g，空气阻力不计，则（ ）
A．a、b 两点电势为
B．小球落到a 时的速度大小为2v1
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C．两次运动的时间关系为
D．落到斜面上a、b 两点时增加的机械能为
8．如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d 的平行金属板P、Q，两板间距为d，两板
间加上如图乙所示最大值为U0且周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P 板处有一粒子源
A，自t＝0 时刻开始连续释放初速度大小为v0、方向平行于金属板的相同带电粒子，t＝0
时刻释放的粒子恰好从Q 板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期T＝
，粒子质量为
m，不计粒子重力及相互间的作用力，则（ ）
A．在t＝0 时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为v0
B．粒子的电荷量为
C．在t＝
T 时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了
mv0
2
D．在t＝
T 时刻进入的粒子刚好从P 板右侧边缘离开电场
三、解答题
9．如图甲所示，极板A、B 间是加速电场，从A 板O 处的放射源连续无初速度地释放质量
为m、电荷量为e 的电子，经电场加速后射向偏转极板C、D 的中心线。C、D 两板长度为
L、间距为d，两板之间加有如图乙所示的交变电压，
时间段内极板C 的电势高于极
板D 的电势。电子被加速后离开加速电场的速度
，电子不会打到偏转极板上。
（1）极板A、B 间的加速电压；
（2）对于
时刻进入偏转电场的电子，离开偏转电场时的侧移距离；
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（3）对于
时刻进入偏转电场的电子，离开偏转电场时的侧移距离。
10．如图所示，两平行金属板A、B 长
，两板间距离
，A 板比B 板电势高
400V，一带正电的粒子电荷量
，质量
，沿两板中心线RO 以初速度
飞入平行金属板，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS 间的无电场区域
后，进入固定在O 点的点电荷Q 形成的电场区域，（设界面PS 右边点电荷的电场分布不
受界面的影响），已知两界面MN、PS 相距为
，D 是中心线RO 与界面PS 的交点，
粒子穿过界面PS 后的运动过程中速率保持不变，最后打在放置于中心线上的荧光屏bc 上
E 点。（E 点未画出，静电力常数
，粒子重力忽略不计）
（1）求粒子到达PS 界面时离D 点多远？
（2）确定点电荷Q 的电性并求其电荷量的大小。（结果保留三位有效数字）
（3）求出粒子从进入平行板电场到E 点运动的总时间。
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