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13.带电粒子在复合场、组合场中的运动
一、常见粒子的运动及解题方法
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中
的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔
接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
例题1. （2023·浙江绍兴·二模）霍尔推进器将来可能安装在飞船上用于星际旅行，其简化
的工作原理如图所示，放电通道两端电极间存在加速电场，该区域内有与电场近似垂直的
约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例，工作时，工作物质氙气进入放电通
道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力，某次测试中，氙气被电离的比例为
，氙离子喷射速度为
，推进器产生的推力为
，推进器质量
，已知氙离子的比荷为
；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，
则（ ）
A．将该推进器用于宇宙航行时，飞船获得的加速度
B．氙离子的加速电压约为
1
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C．氙离子向外喷射形成的电流约为
D．每秒进入放电通道的氙气质量约为
【答案】B
【解析】A．将该推进器用于宇宙航行时，飞船获得的加速度
，故A 错误；
B．氙离子经电场加速，根据动能定理有
可得加速电压为
故B 正确；
D．在
时间内，有质量为
的氙离子以速度
喷射而出，形成电流为
，由动量定理可
得
进入放电通道的氙气质量为
，被电离的比例为
，则有
联立解得
故D 错误；
C．在
时间内，有电荷量为
的氙离子喷射出，则有
联立解得
2
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故C 错误。
故选B。
练1. （2023·贵州六盘水·二模）如图所示为一带电粒子探测器装置的侧视图：在一水平放
置、厚度为d 的薄板上下，有磁感应强度大小均为B 但方向相反的匀强磁场：上方的磁场
方向垂直纸面向里，而下方磁场方向垂直纸面向外。有一电荷量为q、质量为m 的粒子进
入该探测器，其运动轨迹如图中曲线所示，粒子的轨迹垂直于磁场方向且垂直穿过薄板。
如果薄板下方轨迹的半径R 大于薄板上方轨迹的半径r，设粒子重力与空气阻力可忽略不
计，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电，由O 点沿着轨迹运动至P 点
B．穿过薄板后，粒子的动能为
C．穿过薄板导致的粒子动能改变
D．粒子穿过薄板时，所受到的平均阻力大小为
【答案】C
【解析】A．粒子穿过薄板后速度会减小，由
可得半径
且
3
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可见粒子做圆周运动的半径会减小，由于
则粒子是由P 点沿着轨迹运动到O 点的，由左手定则知，粒子带正电，故A 错误；
BCD．粒子在磁场中运动时的动能
可见粒子穿过薄板前的动能前
粒子穿过薄板后的动能
则穿过薄板过程动能变化量
即穿过薄板导致的粒子动能改变了
粒子穿过薄板过程，由动能定理
解得粒子所受的平均阻力大小
故C 正确，BD 错误。
故选C。
二、电场与磁场的组合
1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，
如图甲．
4
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2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图乙．
3．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
4．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
例题2. （2021·浙江·模拟预测）如图所示，在
平面的第Ⅱ象限内有半径为
的圆分别
与
轴、
轴相切于
、
两点，圆内存在垂直于
面向外的匀强磁场。在第Ⅰ象限内
存在沿
轴负方向的匀强电场，电场强度为
。一带正电的粒子（不计重力）以速率
从
点射入磁场后恰好垂直
轴进入电场，最后从
点射出电场，出射方向与
轴正
方向夹角为
，且满足
。下列判断中正确的是（ ）
A．粒子将从
点射入第Ⅰ象限
B．粒子在磁场中运动的轨迹半径为
C．带电粒子的比荷
5
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D．磁场磁感应强度
的大小
【答案】C
【解析】AC．在M 点，根据类平抛运动规律，有
解得
故A 错误，C 正确；
BD．粒子运动轨迹如图
设O1为磁场的圆心，O2为粒子轨迹圆心，P 为粒子射出磁场的位置，则有
P′O2∥PO1
△O1O2P≌△O2O1P′
则粒子的轨道半径为
r=R
由牛顿第二定律可得
解得
6
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故BD 错误。
故选C。
练2.如图所示，在第一象限内有沿，轴负方向的匀强电场，在第二象限内有垂直纸面向外
的匀强磁场，一个速度大小为v0的带正电的重力不计的带电粒子从距O 点为L 的A 点射入
磁场，速度方向与x 轴正方向成60°时，粒子恰好垂直于y 轴进入电场，之后通过x 轴上的
C 点，C 点距O 点距离也为L。则电场强度E 与磁感应强度B 的大小比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题目表述，粒子恰好垂直y 轴进入电场可知粒子在磁场中运动半径为
由公式
得
所以磁感应强度
在匀强电场中做类平抛运动，水平位移为L，运动时间
由几何关系得
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竖直位移为
由
得
则
故选A。
例题3. （2024·贵州安顺·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 的第一、四象限存在方向沿
x 轴正方向的匀强电场，在第二、三象限的区域存在方向垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。一个带负电的粒子（重力不计）从x 轴上的A 点以大小为
的初速
度沿y 轴正方向射出，粒子在电场和磁场中运动后回到A 点。则场强E 的大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，粒子的运动轨迹如图
粒子从y 轴进入磁场时速度方向与y 轴夹角为
，则进入磁场时的速度
沿x 轴方向的速度
其中
y=v0t
粒子在磁场中运动的半径
联立解得
故选B。
练3. 2022·辽宁大连·模拟预测）如图所示，竖直放置的两块很大的平行金属板a、b，相距
为d，a、b 间的电场强度为E，今有一带正电的微粒从a 板下边缘以初速度v0竖直向上射
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入电场，当它飞到b 板时，速度大小不变，而方向变为水平方向，且刚好从高度也为d 的
狭缝穿过b 板而进入bc 区域，bc 区域的宽度也为d，所加电场强度大小为E，方向竖直向
上，磁感应强度方向垂直纸面向里，磁场磁感应强度大小等于
，重力加速度为g，则下
列关于粒子运动的说法正确的是（ ）
A．粒子在ab 区域的运动时间为
B．粒子在bc 区域中做匀速圆周运动，圆周半径r＝d
C．粒子在bc 区域中做匀速圆周运动，运动时间为
D．粒子在ab、bc 区域中运动的总时间为
【答案】D
【解析】A．粒子在ab 区域的运动时间为
，则
得
故A 错误；
B．水平方向上做匀加速运动
a＝
＝g
则
qE＝mg
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进入bc 区域，电场力大小未变，方向竖直向上，电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，
由洛伦兹力提供向心力
qv0B＝
得
r＝
代入数据得
r＝
又
故
r＝2d
故B 错误；
C．在bc 区域，粒子运动轨迹所对圆心角为α，则
运动时间
故C 错误；
D．粒子在ab、bc 区域中运动的总时间为
故D 正确。
故选D。
三、电磁流量计
电磁流量计如图30 所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液
体向左流动，导电流体中的自由电荷(正负离子)在洛伦兹力作用下横向偏转，a、b 间出
现电势差．当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差就保持稳定．
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图30
由qvB＝qE＝q 可得v＝ 流量Q＝Sv＝·＝.
例题4. （2023·天津红桥·二模）为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在
排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分
别为
和，左、右两端开口与排污管相连，如图所示。在垂直于上、下底面加磁感应强
度为
向下的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为
的相互平行且正对的电极
和
，
和
与内阻为
的电流表相连。污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出
污水排放情况。下列说法中正确的是（ ）
A．
板比
板电势高
B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小
C．污水流量大小，对电流表的示数无影响
D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大
【答案】D
【解析】A．根据左手定则，正离子往N 板偏，负离子往M 板偏，最终M 板带负电，N 板
带正电，M 板电势比N 板电势低，故A 错误；
BCD．最终正负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，可得
污水的流量
则MN 两端间的电势差为
污水流量越大，电势差越大，电流表示数越大；增加磁感应强度，电势差增大，电流表示
数也增大；污水中离子浓度越大，导线性能越好，即电阻率减小，M、N 间污水的电阻r 越
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小，其他条件不变时，回路中的电流越大，故BC 错误，D 正确。
故选D。
练4. （2023·北京东城·一模）工业上常用电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量
Q（单位时间内流过管道横截面的液体体积），原理如图甲所示，在非磁性材料做成的圆
管处加一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，当导电液体流过此磁场区域时，测出管壁上下
M、N 两点间的电势差U，就可计算出管中液体的流量。为了测量某工厂的污水排放量，
技术人员在充满污水的排污管末端安装了一个电磁流量计，如图乙所示，已知排污管和电
磁流量计处的管道直径分别为20
和10
。当流经电磁流量计的液体速度为10
时，
其流量约为280
，若某段时间内通过电磁流量计的流量为70
，则在这段时间内
（ ）
A．M 点的电势一定低于N 点的电势
B．通过排污管的污水流量约为140
C．排污管内污水的速度约为2.5
D．电势差U 与磁感应强度B 之比约为0.25
【答案】D
【解析】A．根据左手定则可知，正电荷进入磁场区域时会向上偏转，负电荷向下偏转，
所以M 点的电势一定高于N 点的电势，故A 错误；
BC．某段时间内通过电磁流量计的流量为70
，通过排污管的污水流量也是70m3/h，
由
知此段时间内流经电磁流量计的液体速度为2.5m/s，流量计半径为r=5cm=0.05m，排污管
的半径R=10cm=0.1m，流经电磁流量计的液体速度为v1=2.5
，则
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可得排污管内污水的速度约为
故BC 错误；
D．流量计内污水的速度约为v1=2.5m/s，当粒子在电磁流量计中受力平衡时，有
可知
故D 正确。
故选D。
四、 磁流体发电机
磁流体发电机如图是磁流体发电机，等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下
发生上下偏转而聚集到A、B 板上，产生电势差，设A、B 平行金属板的面积为S，相距为
L，等离子气体的电阻率为ρ，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻
为R，当等离子气体匀速通过A、B 板间时，板间电势差最大，离子受力平衡：qE 场＝
qvB，E 场＝vB，电动势E＝E 场L＝BLv，电源内电阻r＝ρ，故R 中
的电流I＝＝＝.
例题5. （2023·河北·三模）如图为磁流体发电机的示意图，间距为
d 的平行金属板A、B 之间的磁场可看成匀强磁场，磁感应强度大
小为B，板A、B 和电阻R 连接，将一束等离子体以速度v 沿垂直于磁场的方向喷入磁场，
已知金属板A、B 的正对面积为S，A、B 及其板间的等离子体的等效电阻率为
，下列说
法正确的是（ ）
A．金属板A 为正极
B．电阻R 两端的电压为
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C．电阻R 两端的电压为
D．流过电阻R 的电流大小为
【答案】B
【解析】A．根据左手定则可得，正离子向金属板B，金属板B 为正极，金属板A 为负极。
故A 错误；
D．根据稳定时，等离子体满足
该发电机的电动势为
流过电阻
的电流大小为
故D 错误；
BC．电阻
两端电压为
故B 正确；C 错误。
故选B。
练5. （2023·广东佛山·模拟预测）法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验
研究。实验装置示意图如图所示，两块面积均为的矩形平行金属板正对地浸在河水中，
金属板间距为
。水流速度处处相同大小为，方向水平向左，金属板面与水流方向平行。
地磁场磁感应强度竖直向下的分量为
，水的电阻率为
，水面上方有一阻值为
的电阻
通过绝缘导线和开关
连接到两金属板上。忽略边缘效应，则下列说法正确的是（ ）
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A．电阻
上的电流方向从里向外
B．河水流速减小，两金属板间的电压增大
C．该发电装置的电动势大小为
D．流过电阻
的电流大小为
【答案】C
【解析】A．根据题意，由左手定则可知，河水中的正离子向外面金属板偏转，外金属板
为正极，负离子向里面金属板偏转，里金属板为负极，则电阻
上的电流方向从外向里，
故A 错误；
C．设稳定时产生的感应电动势为
，两板间有一带电荷量为
的离子匀速运动受力平衡，
根据平衡条件可得
解得
故C 正确；
B．设极板间等效电阻为，由闭合回路欧姆定律可得，两金属板间电压为
可知，河水流速减小，两金属板间的电压减小，故B 错误；
D．根据题意，由电阻定律可得，极板间等效电阻为
由闭合回路欧姆定律可得，流过电阻
的电流大小为
故D 错误。
故选C。
五、霍尔效应
霍尔效应如图所示，厚度为h，宽度为d 的导体板放在垂直于磁感应强度为B 的匀强磁场
中，当电流流过导体板时，在导体板上下侧面间会产生电势差，U＝k(k 为霍尔系数)．
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例题6. （2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）利用霍尔效应可将直流电转化为交流电，如图所示，
宽度为h、厚度为d 的霍尔元件放在与它垂直的磁感应强度大小为
的磁场中
（竖直向下为磁场正方向），当恒定电流I 向右通过霍尔元件时，在它的两个表面之间会
产生霍尔电压，已知该霍尔元件中的载流子为电子，电荷量大小为e，每单位体积内有n 个
电子，下列说法正确的是（ ）
A．
时，霍尔元件上表面的电势高于下表面
B．
时，霍尔元件前侧面的电势低于后侧面
C．输出霍尔电压的表达式为
D．输出霍尔电压的有效值为
【答案】D
【解析】AB．自由电子做定向移动，
时，由左手定则可知，电子偏向后侧面，故霍尔
元件前侧面的电势高于后侧面，故AB 错误；
C．稳定时电子受到的电场力和洛伦兹力平衡，因此
又因为电流的微观表达式为
联立可得，输出霍尔电压的表达式为
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故C 错误；
D．输出霍尔电压的有效值为
故D 正确。
故选D。
练6. （2024·江西·一模）利用霍尔元件可以进行微小位移的测量，如图甲所示，在两块磁
感应强度相同、N 极相对放置的磁体缝隙中放入霍尔元件．该霍尔元件长为
，宽为
，厚
为，建立如图乙所示的空间坐标系，保持沿
方向通过霍尔元件的电流
不变，霍尔元
件沿
方向移动时，由于不同位置处磁感应强度
不同，在
表面间产生的霍尔电压
不同，当霍尔元件处于中间位置时，磁感应强度
为0，
为0，将该点作为位移的
零点，在小范围内，磁感应强度
的大小与位移的大小成正比，这样就可以把电压表改
装成测量物体微小位移的仪表，下列说法中正确的是（ ）
A．该仪表的刻度线是不均匀的
B．该仪表只能测量微小位移的大小，不能确定位移的方向
C．某时刻测得霍尔电压为
，则霍尔电场的场强大小为
D．若霍尔元件中导电的载流子为电子，则当
时，
表面电势低于
表面的电
势
【答案】C
【解析】A．根据平衡条件可得
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所以
由此可知，
与成正比，即该仪表的刻度线是均匀的，故A 错误；
B．若上表面电势高，则空穴在上表面聚集，根据左手定则可知，磁感应强度方向沿轴负
方向，说明霍尔元件靠近右侧的磁铁，位移方向向右，反之位移方向向左，所以该仪表可
以确定位移的方向，故B 错误；
C．根据电场强度与电压的关系可得，霍尔电场的电场强度大小为
故C 正确；
D．若霍尔元件中导电的载流子为电子，则当
时，磁场方向向右，根据左手定则可知，
电子偏向下表面，下表面电势低，即
表面电势高于
表面的电势，故D 错误。
故选C。
六、 回旋加速器
回旋加速器如图所示，是两个D 形金属盒之间留有一个很小的缝隙，有很强的磁场垂直穿
过D 形金属盒．D 形金属盒缝隙中存在交变的电场．带电粒子在缝隙的电场中被加速，
然后进入磁场做半圆周运动．
(1)粒子在磁场中运动一周，被加速两次；交变电场的频率与粒子在磁场中圆周运动的频率
相同． T 电场＝T 回旋＝T＝.
(2)粒子在电场中每加速一次，都有qU＝ΔEk.
(3)粒子在边界射出时，都有相同的圆周半径R，有R＝.
(4)粒子飞出加速器时的动能为Ek＝＝.在粒子质量、电量确定的情况下，粒子所能达到的最
大动能只与加速器的半径R 和磁感应强度B 有关，与加速电压无关．
例题7. （2024·黑龙江·一模）1930 年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图
所示，这台加速器由两个铜质D 形盒D1、D2构成，其间留有空隙，现对氘核（
）加速，
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所需的高频电源的频率为f，磁感应强度为B，已知元电荷为e，下列说法正确的是（ ）
A．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
B．高频电源的电压越大，氘核最终射出回旋加速器的速度越大
C．氘核的质量为
D．该回旋加速器接频率为f 的高频电源时，也可以对氦核（
）加速
【答案】D
【解析】A．根据周期公式
可知，被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而不变，故A 错
误；
B．设D 形盒的半径为R，则氘核最终射出回旋加速器的速度满足
可得
可知氘核最终射出回旋加速器的速度与高频电源的电压无关，故B 错误；
C．根据周期公式
可得氘核的质量为
故C 错误；
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D．因为氘核（
）与氦核（
）的荷质比相同，所以该回旋加速器接频率为f 的高频
电源时，也可以对氦核（
）加速，故D 正确。
故选D。
练7. （23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）应用磁场工作的四种仪器如图所示，则下列说法
中正确的是（ ）
A．甲中回旋加速器加速带电粒子的最大动能与加速电压成正比
B．乙中不改变质谱仪各区域的电场磁场时击中光屏同一位置的粒子一定是同种粒子
C．丙中通上如图所示电流和加上如图磁场时，
，则霍尔元件的自由电荷为正
电荷
D．丁中长宽高分别为a、b、c 的电磁流量计加上如图所示磁场，若流量Q 恒定，前后
两个金属侧面的电压与a、b 无关
【答案】D
【解析】A．带电粒子在回旋加速器中，根据
最大轨迹半径
最大动能为
与加速电压无关，故A 错误；
B．经过质谱仪的速度选择器区域的粒子速度v 都相同，经过偏转磁场时击中光屏同一位置
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的粒子轨道半径R 相同，有
所以不改变质谱仪各区域的电场磁场时击中光屏同一位置的粒子比荷相同，但不一定是相
同的粒子，故B 错误；
C．假设该霍尔元件是正电荷导电，根据左手定则可判断正电荷受到的洛伦兹力方向指向N
侧，所以N 侧带正电，电势高，
，不满足条件，故C 错误；
D. 经过电磁流量计的带电粒子受到洛伦兹力的作用会向前后两个金属侧面偏转，在前后两
个侧面之间产生电场，当带电粒子受到的电场力与洛伦兹力相等时稳定，有
故
故前后两个金属侧面的电压与a、b 无关，故D 正确。
故选D。
七、质谱仪
1．质谱仪原理图：
2．质谱仪工作原理
(1)加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝mv2。
(2)偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得：
qvB＝m，联立解得：r＝，如果测出半径，就可以判断带电粒子比荷的大小，如果测出半
径且已知电荷量，就可求出带电粒子的质量。
例题8. （2024·广西贵港·二模）质谱仪在物理研究中起着非常重要的作用。如图是质谱仪
的工作原理示意图。粒子源（在加速电场上方，未画出）产生的带电粒子被加速电场加速
后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的电场
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强度分别为B 和E。平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片
。平板S
下方有磁感应强度为
的匀强磁场。不计带电粒子的重力和粒子间的作用力，下列表述正
确的是（ ）
A．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
B．能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于
C．粒子打在胶片上的位置离狭缝P 越远，粒子的比荷
越大
D．某种元素同位素的原子核，打在胶片上的位置离狭缝P 越远，表明其质量数越大
【答案】D
【解析】A．根据带电粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则知，该粒子带正电，则在
速度选择器中电场力水平向右，则洛伦兹力水平向左，根据左手定则知，磁场方向垂直纸
面向外，A 错误；
B．在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有
求得
能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于
，B 错误；
CD．粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
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粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷越大；粒子所带
电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝P，粒子的轨迹半径越大，表明其质量越大，
C 错误，D 正确。
故选D。
练8. （2023·云南昭通·模拟预测）有
、
、、d 四个粒子均带正电荷且电荷量相等，质
量关系为
，四个粒子以不同的速率（
）先后从如图所示
的S 点沿虚线（虚线与两金属板平行）进入速度选择器（同时存在匀强磁场
和匀强电
场）后，只有两个粒子沿直线从速度选择器射出，经匀强磁场
偏转后分别打在
点和
点，另外两个粒子分别打在
板和
板上（图中未画出），不计粒子重力，则（ ）
A．打在
点的是粒子
B．打在
点的是d 粒子
C．偏向
板的是
粒子
D．偏向
板的是
粒子
【答案】A
【解析】AB．粒子沿直线通过速度选择器，则有
解得
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可知，沿直线通过速度选择器的粒子的速度相等，结合题意可知，只有
、两粒子能通
过速度选择器进入磁场
，粒子进入下侧偏转磁场后。由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
可知，速度大小相等、电荷量相等时，质量大的轨道半径大，则射向
的粒子的质量小一
些，可知，射向
的是粒子，射向
的是
粒子，故A 正确，B 错误；
CD．结合上述，
的速度大于
的速度，则
所受的静电力小于洛伦兹力，所以
向
板
偏转，d 的速度小于
的速度，d 所受的静电力大于洛伦兹力，所以d 向
板偏转，故CD
错误。
故选A。
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（2023·新疆阿勒泰·三模）如图所示，在
的区域存在方向沿
轴正方向的匀强电场
场强大小为
，在
的区域存在方向垂直于
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
为
。一个带负电的粒子（重力不计）从
轴上的A 点以大小为
的初速度沿
轴正方向
射出，粒子在电场和磁场中运动后回到A 点。则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设粒子类平抛的分运动匀速运动的位移为y，离开电场时瞬时速度与y 轴的夹角
，则有
粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可得
联立可得
故选B。
2．（2023·浙江金华·模拟预测）范德格拉夫静电加速器由两部分组成，一部分是产生高电
压的装置，叫作范德格拉夫起电机，加速罩（金属球壳）是半径a=0.5m 的一个铝球，由宽
度D=10cm、运动速度
的一条橡胶带对它充电，从而使金属壳与大地之间形成
500kV 的高电压。另一部分是加速管和偏转电磁铁，再加上待加速的质子源就构成了一台
质子静电加速器，如图中所示。抽成真空的加速管由20 个金属环及电阻组成（图中仅画出
电阻中的6 个），金属环之间由玻璃隔开，各环与500MΩ 的电阻串联。从质子源引出的质
子进入加速管加速，然后通过由电磁铁产生的一个半径b=10cm 的圆形匀强磁场区域引出
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打击靶核。已知质子束的等效电流为25μA，质子的比荷
。下列说法不正确的
是（ ）
A．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电场强度E=0
B．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电势
=500kV
C．要维持加速罩上500kV 的稳定电压，喷射到充电带表面上的面电荷密度
为
37.5μC/m2
D．质子束进入电磁铁，并做角度
的偏转，磁感应强度B 的大小为0.29T
【答案】D
【解析】AB．导体球静电平衡
E=0
由题意得
故AB 正确，不符合题意；
C．罩通过电阻和质子束放电。通过电阻放电电流
需要供给罩的总电流
这个电流被喷到橡胶带，而
则
故C 正确，不符合题意；
D．加速度过程，由动能定理得
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在磁场中有
粒子在磁场中轨迹如下
由几何关系得
联立解得
故D 错误，符合题意。
故选D。
3．（23-24 高三上·河北·期末）大型强子对撞机是将质子加速后对撞的高能物理设备，如图
甲所示，对撞机的主要结构由两个质子束发射器、两个半圆环轨道质子加速器和质子对撞
区域组成。半圆环轨道中的电场线是与圆环共圆心的同心圆弧，且到圆心距离相同的位置
电场强度大小相等，质子沿圆环轨道中心进入半圆环轨道后，在磁束缚装置作用下沿圆环
中心加速运动，最终在对撞区域碰撞。已知质子质量m=1.6×10-27kg、电荷量e=1.6×10-19C，
半圆环加速轨道中心处到圆心距离R=50m，该处电场强度的大小E=
×105V/m。发射器发
射出的质子初速度忽略不计。计算时取
=10，不考虑质子质量的相对论效应。若某次实
验时将右侧加速器和发射器往上平移d=0.2m，平移后对撞区域如图乙所示，质子进入对撞
区域时的位置的水平距离D=0.4m，入射点分别为A 点和B 点，其他装置不变，为了使质子
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在对撞区域恰好相撞，可以在对撞区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场。不计质子受到
的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（ ）
A．质子在所加磁场中运动的半径为0.5m
B．所加匀强磁场的磁感应强度大小为8T
C．两质子在对撞区域的磁场中各运动，
s 时相撞
D．若所加匀强磁场为两个直径相同、垂直纸面向里的匀强磁场，则每个圆形磁场的最
小面积为
m2
【答案】C
【解析】A．根据动能定理，电场力做的功等于动能的变化量，有
解得
=1×108m/s
根据题意作出粒子的轨迹如图所示，根据几何关系有
解得
r=0.25m
故A 错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力有
解得
B=4T
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故B 错误；
C．每个质子在磁场中运动的时间
s
故C 正确；
D．所加圆形磁场的直径为2R'，满足
解得
m
圆形磁场的最小面积
m2
故D 错误。
4．（2019·陕西宝鸡·模拟预测）如图所示为一种质谱仪的示意图，该质谱仪由速度选择器、
静电分析器和磁分析器组成。速度选择器中电场强度大小为E1，磁感应强度大小为B1、方
向垂直于纸面向里；静电分析器通道中心线为
圆弧，圆弧的半径（OP）为R，通道内有
均匀辐向分布的电场，在中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中有范围足够大的有界
匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带电粒子以速度v 沿直线经过
速度选择器后沿中心线通过静电分析器，由P 点垂直于边界进入磁分析器，最终打到胶片
上的Q 点，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
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A．速度选择器的极板P1的电势比极板P2的低
B．粒子的速度
C．粒子的比荷为
D．P、Q 两点间的距离为
【答案】C
【解析】A．粒子在静电分析器内沿中心线方向运动，说明粒子带正电，由左手定则可判
断出粒子在速度选择器中受到的洛伦兹力方向向上，粒子受到的电场力方向向下，故速度
选择器的极板
的电势比极板
的高，故A 错误；
B．由
可知，粒子的速度为
故B 错误；
C．由
又电场力提供向心力
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可得，粒子的比荷为
故C 正确；
D．粒子在磁分析器中做圆周运动，
为轨迹圆的直径，故
两点间的距离为
故D 错误。
故选C。
5．（2024·广东中山·模拟预测）以下装置中都涉及到磁场的具体应用，关于这些装置的说
法正确的是（ ）
A．甲图为回旋加速器，增加电压U 可增大粒子的最大动能
B．乙图为磁流体发电机，可判断出A 极板比B 极板电势低
C．丙图为质谱仪，打到照相底片D 同一位置粒子的电荷量相同
D．丁图为速度选择器，特定速率的粒子从左右两侧沿轴线进入后都做直线运动
【答案】B
【解析】A．甲图为回旋加速器，粒子做圆周运动由洛伦兹力提供向心力
得
对于同一个粒子，增大磁感应强度和加速器半径可以增大其速度，从而增大其动能，与电
压
无关。故A 错误；
B．乙图为磁流体发电机，根据左手定则可以判断，带正电的粒子向B 极板聚集，故B 极板
为正极，A 极板比B 极板电势低，故B 正确；
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C．丙图为质谱仪，粒子由加速电场加速粒子，有
做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力
联立解得
粒子经过相同得加速电场和偏转磁场，所以打到同一位置的粒子的比荷相同。故C 错误；
D．丁图的速度选择器，粒子只能从左向右运动才符合原理。比如带正电的粒子进入时，
洛伦兹力向上，电场力向下才能受力平衡。故D 错误。
故选B。
6．（2023·云南昆明·模拟预测）如图所示，两块平行板
带有异种电荷，两板中间有
垂直纸面向里的匀强磁场，不计重力的
两离子从两板的左侧沿中线做匀速直线运动，
经小孔
垂直进入另一匀强磁场（方向也垂直纸面向里），运行的半圆轨迹如图中虚线所
示，最终两离子打到了隔板上被吸收。下列说法正确的是（ ）
A．板
带负电，板
带正电
B．离子
带正电，离子
带负电
C．在右侧磁场中，离子
的运行时间大于离子
的运行时间
D．洛伦兹力对离子
做正功
【答案】B
【解析】AB．在右侧区域，根据左手定则可以判断，离子
带正电，离子
带负电，在电
场区域做匀速直线运动，则电场力等于洛伦兹力，离子
带正电，则洛伦兹力向上，电场
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力向下，场强向下，所以板
带正电，板
带负电，对离子
分析也得到相同结论，故A
错误B 正确；
C．在电场区域做匀速直线运动，则电场力等于洛伦兹力
解得
两者速度大小相同，但在右侧磁场中，离子
的路程小，所以运行时间小于离子
的运行
时间，故C 错误；
D．洛伦兹力与速度垂直，不做功，故D 错误。
故选B。
7．（2024·甘肃白银·一模）一霍尔元件的简化示意图如图所示，其长为a，宽为b，厚度为
d，单位体积内的自由电子数为n，其导电粒子是电荷量为e 的自由电子，元件中通有方向
向右的电流，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上。稳定时，霍尔元件前、后
表面间的电压为U。下列关于霍尔元件说法正确的是（ ）
A．霍尔元件前表面的电势比后表面的高B．电压U 与元件单位体积内的自由电子数n
无关
C．元件中通有的电流为
D．每个自由电子所受洛伦兹力的大小为
【答案】C
【解析】本题考查霍尔元件，目的是考查学生的推理论证能力。
A．电流方向向右，电子向左定向移动，根据左手定则，电子所受洛伦兹力垂直纸面向外，
电子打在前表面，前表面的电势比后表面的电势低，A 错误；
BC．根据平衡条件有
解得
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根据电流的微观表达式有
解得
故霍尔电压U 与元件单位体积内的自由电子数n 有关，B 错误，C 正确；
D．电子所受洛伦兹力大小
D 错误。
故选C。
8．（2023·山东潍坊·三模）如图所示，在
轴下方宽度为
的区域中，
的区域
有沿
轴正方向的匀强电场，场强
，
的区域无电场。在
和
的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
。一比荷
的带正电粒子从
点由静止释放，不计粒子重力，以下判断
正确的是（ ）
A．粒子第一次经过
轴时速度大小为
B．粒子第三次经过
轴时速度方向与
轴垂直
C．粒子第三次经过
轴时的位置坐标为
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D．粒子从开始释放到第五次经过
轴所用的时间为
【答案】D
【解析】A．粒子从M 点由静止释放经过电场加速到第一次经过
轴过程中有
得
故A 错误；
BC．根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示
设粒子经过电场加速一次后在磁场中的运动半径r1，由洛伦兹力提供向心力得
得
同理可知，粒子经过电场加速两次后在磁场中的运动半径
由图可知，粒子第三次经过
轴时速度方向与
轴不垂直，粒子第三次经过
轴时的位置
坐标不为
，故BC 错误；
D．粒子在磁场中运动的周期为
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粒子在电场中第一次加速的时间为
粒子在电场中第二次加速的时间为
粒子在无电场和磁场区域做匀速直线运动时间分别为
、
则粒子从开始释放到第五次经过
轴所用的时间为
故D 正确。
故选D。
二、多选题
9．（2024·河北邯郸·一模）如图所示，直角坐标系xOy 的x 轴上方存在匀强磁场和匀强电
场，y 轴是磁场和电场的分界线，磁场方向垂直xOy 平面向外，电场方向与y 轴平行，指向
y 轴负方向，M、P 两点的坐标为
、
。一质量为m、电荷量为q 的带正电
粒子以初速度
从P 点射入电场，经电场偏转后从M 点垂直于y 轴进入磁场，然后从x 轴
上的N 点离开磁场。已知粒子到达N 点时与x 轴负方向的夹角为60°，粒子的重力不计。下
列说法正确的是（ ）
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A．匀强电场的场强大小为
B．匀强电场的场强大小为
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】AD
【解析】AB.设P 点粒子入射时水平方向和竖直方向的速度分别为
，
，到M 点时水平
入射，则竖直速度为0，只剩下水平速度，设P 到M 的时间为，电场提供的加速度为
，
由运动学公式有
得
即入射角为45° ，在M 点速度为
，代入上面式子得
由牛顿第二定律得
得
故A 正确，B 错误；
CD.根据几何关系知粒子在磁场中运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力有
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得
故C 错误，D 正确。
故选AD。
10．（2024·湖南张家界·二模）如图所示，在xOy 平面第一象限内，直线y=0 与直线 y=x 之
间存在磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，x 轴下方有一直线CD 与x 轴平行
且与x 轴相距为a，x 轴与直线CD 之间（包含x 轴）存在沿 y 轴正方向的匀强电场，在第
三象限，直线 CD 与直线 EF 之间存在磁感应强度也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。
纸面内有一束宽度为 a 的平行电子束，如图，沿y 轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各
电子的速度随入射位置不同大小各不相等，电子束的左边界与y 轴的距离也为a，经第一象
限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入 x 轴下方的电场，最后所有电子都垂直
于 EF 边界离开磁场。其中电子质量为m，电量大小为e，电场强度大小为
则下
列说法正确的是（ ）
A．电子进入 x 轴上方磁场前的最大速度
B．电子经过直线CD 时的最小速度
C．速度最小的电子在第三象限磁场中做圆周运动的圆心坐标（
，
）
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D．直线 EF 的方程
【答案】ABD
【解析】A．根据题意分析可知，所有电子在第一象限都经历一个四分之一圆周运动后通
过原点并沿
轴方向进入
轴下方的电场，最大速度对应最大半径，则有
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得电子进入 x 轴上方磁场前的最大速度为
故A 正确；
B．电子在第一象限磁场中的最小轨迹半径为
则电子过原点并进入
轴下方的电子的最小速度为
所有电子在电场中偏转时，均做类平抛运动，故进入电场速度最小的电子，离开电场时速
度也最小，则有
，
解得
，
故B 正确；
C．速度最小的电子在电场中运动，有
，
解得
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可得经过直线CD 时的坐标为（
，
），此后在磁场中的运动半径为
电子射出CD 时速度与竖直方向的夹角满足
可得
所有电子都垂直于 EF 边界离开磁场，设电子此后在磁场中运动的圆心为（x，y）根据几
何关系可得
，
可知速度最小的电子在第三象限磁场中做圆周运动的圆心坐标（
，
），故C 错误；
D．由题意可得所有电子都垂直于EF 边界离开磁场，则所有电子运动轨迹的圆心都在EF
直线上，由以上分析可得，经过直线CD 时，设任何电子的
方向的分速度为
（
）
根据
，
可得
则电子经过直线CD 的坐标为（
，
），电子经过直线CD 的合速度为
速度方向与水平方向的夹角的正切值为
则圆心位置对应的坐标为
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因为电子垂直于直线EF 出射，所以圆心也在直线上，可得EF 直线为
故D 正确。
故选ABD。
11．（2024·湖南长沙·一模）蜜蜂飞行时依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”
字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜
蜂的运动。如图所示，空间存在范围足够大垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、
下边界分别为MN、PQ，间距为d。MN 与PQ 之间存在沿水平方向且大小始终为
的匀强电场，当粒子通过MN 进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ 进
入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为
的粒子在纸面内以初
速度
从A 点垂直MN 射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁
场Ⅰ，以速度
回到A 点，磁场Ⅱ的磁感应强度
，不计粒子重力。则下列说法正
确的是（ ）
A．粒子在水平向右的电场中运动的位移大小为d
B．粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小
C．粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的弦长为
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D．磁场Ⅰ的磁感应强度大小
【答案】CD
【解析】AB．粒子在电场中运动时，竖直方向
水平方向
则粒子在水平向右的电场中运动的位移大小为
设速度方向与PQ 成
角
故AB 错误；
C．粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动
故C 正确；
D．粒子穿过PQ 分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度
回到A 点，其运动轨迹如图，在磁
场Ⅰ中做匀速圆周运动
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由几何关系
可得磁场Ⅰ的磁感应强度大小
故D 正确。
故选CD。
12．（2024·四川·一模）在精密的电子仪器中常用磁场或电场来改变带电粒子的运动轨迹。
如图所示，直线AE 把纸面分成上下两部分，在纸面内有矩形ABCD，AB 边长为
，BC 边
长为
。一个不计重力的电子（其质量为m、电量为
）从A 点以初速度
沿DA 方向射
入，第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C 点；第二次保持AE
上方的磁场不变，而将AE 下方区域磁场改为沿AE 方向匀强电场，电子仍通过C 点．则（
）
A．匀强磁场的方向为垂直纸面向里
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
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C．电子两次从A 运动到C 所用的时间相同
D．电子两次通过C 点时速度的大小相
同
【答案】AB
【解析】A．第一次在整个平面内加垂直纸面的匀强磁场，电子恰好能通过C 点，根据左
手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，选项A 正确；
B．电子沿轨迹AGC 从C 点飞出时，则由几何关系可知
解得
根据
解得
选项B 正确；
C．若加磁场时，电子从A 到C 的时间为
若加沿AE 方向匀强电场，则电子从F 点射入下方电场做类平抛运动，到达C 点的时间
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选项C 错误；
D．若只加磁场时，电子到达C 点的速度为v0；若加电场时，电子进入电厂后因电场力做
正功，则到达C 点的速度大于v0，选项D 错误。
故选AB。
三、解答题
13．（2024·天津·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，x 轴上方区域有垂直于纸面
向里的磁场，磁感应强度为B，x 轴下方区域有水平向左的匀强电场，P 点是y 轴上的一点。
一质量为m、电荷量为q 的带电粒子以初速度v 从坐标原点O 平行于纸面射入磁场，方向
与x 轴负向的夹角为30°，从A 点射出磁场。粒子在电场中的运动轨迹与y 轴相切于P 点。
不计粒子的重力。求：
（1）A、O 两点的距离；
（2）粒子从O 点到A 点所用的时间；
（3）粒子从A 点到P 点电场力做的功。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，则带电粒子带负电，如图所示
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根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为
根据洛伦兹力提供向心力，可得
A、O 两点的距离为
（2）根据
可得粒子从O 点到A 点所用的时间为
（3）粒子在电场中的运动轨迹与y 轴相切于P 点，则
根据动能定理可得
解得
14．（2024·吉林白城·一模）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示
它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、
二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B 和沿y 轴正方向的匀强电场E，E、B 大小均未
知。质量为m、电荷量为-q 的粒子从x 轴负半轴M 点与x 轴正方向成60°射入电场，经电场
偏转后以速度v0（v0已知）从点P（0，d）垂直y 轴进入磁场，最后从N 点与x 轴正方向成
60°射出磁场，不计粒子重力。
（1）求电场强度E 的大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k 为已知常量），观察发现该粒
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子轨迹呈螺旋状，且粒子恰好从Q 点（图中未标出）垂直x 轴射出磁场，求粒子由P 点运
动到Q 点的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）带电粒子在电场中做反向类平抛运动，即在水平方向匀速直线，竖直方向匀
减速直线，竖直分速度减小到0，则
根据动能定理
联立解得
（2）带电粒子在电场中做圆周运动，根据牛顿第二定律
运动轨迹如图所示
由几何关系
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联立解得
（3）有阻力后，例子不再做圆周运动，但洛伦兹力仍提供向心力，列式为
角速度ω 保持不变，且
解得
15．（2024·湖南·二模）如图所示，在竖直平面内建立xOy 坐标系，P、A、Q1、Q2四点的
坐标分别为（-2L，0）、（-L，0）、（0，L）、（0，-L）。y 轴右侧存在范围足够大的匀
强磁场，方向垂直于xOy 平面向里。在界面PAQ1的上方存在竖直向下的匀强电场（未画
出），界面PAQ2的下方存在竖直向上的匀强电场（未画出），且上下电场强度大小相等。
在（
L，0）处的C 点固定一平行于y 轴且长为
的绝缘弹性挡板MN，C 为挡板中点，
带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y 方向分速度不变。沿x 方向分速度反向，大小不
变。质量为 m、电量为 q 的带负电粒子（不计重力）从x 轴上方非常靠近P 点的位置以初
速度v0沿x 轴正方向射入电场且刚好可以过Q1点。求：
（1）电场强度的大小、到达Q1点速度的大小和方向；
（2）磁场取合适的磁感应强度，带电粒子没有与挡板发生碰撞且能回到P 点，求从P 点射
出到回到P 点经历的时间；
（3）改变磁感应强度的大小，要使粒子最终能回到P 点，则带电粒子最多能与挡板碰撞多
少次？
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【答案】（1）
，
，与y 轴正方向成45°角；（2）
；（3）17
【解析】（1）从P 到Q1，水平方向
竖直方向
联立①②式可得
根据动能定理
可得
与y 轴正方向成45°角。
（2）要使带电粒子回到P 点，其轨迹必须具有对称性且经过Q2，由几何关系可得
在磁场中的偏转角度为
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在磁场中的运动时间为
故从P 点射出第一次回到P 点的时间
（3）当r 最小时带电粒子刚好过M 点碰撞次数最多
由几何关系可得
解得
设最多可以碰n 次，则
解得
n=17
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