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12.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)画圆弧、定半径：
从磁场的边界点或轨迹与磁场边界的“相切点”等临界点入手；充分应用圆周运动
相互垂直的“速度线”与“半径线”．
①过粒子运动轨迹上任意两点M、N(一般是边界点，即“入射点”与“出射点”)，
作与速度方向垂直的半径，两条半径的交点是圆心O，如图甲所示．
②过粒子运动轨迹上某一点M(一般是“入射点”或“出射点”)，作与速度方向垂
直的直线，再作M、N 两点连线(弦)的中垂线，其交点是圆弧轨道的圆心O，如图乙
所示．
(2)确定几何关系：
在确定圆弧、半径的几何图形中，作合适辅助线，依据圆、三角形的特点，应
用勾股定理、三角函数、三角形相似等，写出运动轨迹半径r、圆心角(偏向角)θ，
与磁场的宽度、角度，相关弦长等的几何表达式．
(3)确定物理关系：
相关物理关系式主要为半径r＝，粒子在磁场的运动时间t＝T＝T(圆弧的圆心角
φ 越大，所用时间越长，与半径大小无关)，周期T＝.
例题1. 中国近20 年来在粒子物理实验与粒子探测技术领域取得了很大进展。某研究学者
在做粒子探测实验时，将一个电量为
的粒子，自匀强磁场a 点向左水平射出，当它
运动到b 点时，与一个带电量为
静止的粒子发生碰撞并结合为一个新粒子，不考
虑粒子的重力，试分析接下来新粒子的运动轨迹是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】带正电粒子在b 点与一带负电的静止粒子碰撞合为一体，此过程满足动量守恒，
碰撞后新粒子的速率、质量虽然与碰撞前不同，但动量mv 与碰撞前相同，带电量变为
。
设碰撞前带正电粒子的动量为p，则其在磁场中做匀速圆周运动的半径为
碰撞后新粒子的总动量仍为p，带电量变为
，则
所以碰撞后的新粒子做匀速圆周运动的半径比碰撞前带电粒子的半径大，根据左手定则可
判定碰撞后新粒子从b 点开始向下偏转。
故选A。
练1. 如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d 点垂直于磁场方
向射入，沿曲线dpa 打到屏MN 上的a 点。若该微粒经过p 点时，与一个静止的不带电微
粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN 上。微粒所受重力均可忽略，下列说法正确
的是（ ）
2
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A．微粒带负电
B．碰撞后，新微粒运动轨迹不变
C．碰撞后，新微粒运动周期不变
D．碰撞后，新微粒在磁场中受洛伦兹力变大
【答案】B
【解析】A．根据粒子的偏转方向，由左手定则可判断粒子带正电，故A 错误；
B．带电粒子和不带电粒子相碰，遵守动量守恒，故总动量不变，总电量也保持不变，则
解得
由
解得
动量p、电荷量q 都不变，可知粒子碰撞前后的轨迹半径r 不变，故轨迹不变，故B 正确；
C．由周期公式
可知，因碰撞后粒子质量增大，故粒子运动的周期增大，故C 错
误；
D．由洛伦兹力公式
可知，由于碰撞后粒子速度减小，所以碰撞后，新微粒在磁场
中受洛伦兹力减小，故D 错误。
故选B。
二、 带电粒子在有界磁场中的运动
3
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1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
例题2. 在xOy 平面的0≤y<a 的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相等的大量质子
从原点O 均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的三分之二，不计质
子间相互作用，则质子在磁场中的临界轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】根据洛伦兹力提供向心力可得
可知速率相等的大量电子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场
上边界射出的电子数占电子总数的三分之二，则从磁场上边界射出的电子的发射角度范围
有
则根据电子的偏转轨迹和几何关系可得能从上边界射出的电子的发射角度在
，故图
像D 可能正确。
故选D。
练2. 分别带正、负电荷的A、B 两个粒子，以相等速率从匀强磁场的直线边界上的M、N
点分别以60°和30°（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从M、N 两点之间的P 点射出，
已知MP 与PN 长度之比为
：2，如图所示。设边界上方的磁场范围足够大，不计两带电
粒子相互作用，则A、B 两粒子的比荷之比为（ ）
A．2：1
B．3：2
C．2：3
D．1：2
【答案】A
【解析】依题意，两粒子在磁场中均做匀速圆周运动，部分轨迹如图
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由几何关系可得
又
根据两粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得
联立，解得
则A、B 两粒子的比荷之比为2:1。
故选A。
例题3. 如图所示，边长为L 的正方形区域
内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度为B。一带电粒子以速度v 从D 点射入磁场，速度方向与
边夹角为
，垂直
边射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
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A．粒子一定带正电
B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中的运动时间为
D．减小粒子的速度，粒子不可能从
边射
出
【答案】C
【解析】A．由图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子带
负电，故A 错误；
B．如图所示
根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力
联立解得粒子的比荷
故B 错误；
C．由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为
，粒子在磁场中的运动时
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间
故C 正确；
D．根据
可得
可知速度减小，粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，由作图法可知当速度减小到一定值
时，粒子可以从
边射出，故D 错误。
故选C。
练3. 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果
在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰好从e 点射出，不计粒子重力，
则（ ）
A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d 点射出
B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出
C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，将从d 点射出
D．只改变粒子的速度大小使其分别从e、d、f 点射出时，从f 点射出运动时间最长
【答案】A
【解析】A．带电粒子在匀强电场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，如图所示，
可得
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可得
如果粒子的速度增大为原来的二倍，磁感应强度不变，由上式可知，圆周半径将变为原来
的二倍，由几何知识可知，粒子将从d 点射出，A 正确；
B．设正方向的边长为2a，则粒子从e 点射出时，轨迹的半径为
。如果粒子的速度增
大为原来的三倍，磁感应强度不变，由
可知，圆周半径将变为原来的三倍，即为
，如图所示。
设
，由几何关系可知
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因此轨迹半径
B 错误；
C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，由
可知，半径减小
为原来的
，因此不可能从d 点射出，C 错误；
D．粒子在磁场中运动的周期为
若只改变粒子的速度大小使其分别从e、d、f 点射出时，所用时间为
α 为轨迹所对的圆心角，可知从f 点射出运动时间最小，D 错误。
故选A。
三、带电粒子在匀强磁场中的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至
少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立
几何关系求解．
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，
故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对
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应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P 为入射点，M 为出射点．此时在磁场中运动时最短．
例题4. 如图所示，半径为R 圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于
纸面向外。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子由M 点沿与过该点的直径成30°角的方向
射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子的运动速度大小为
B．粒子在磁场中运动的时间为
C．若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变
D．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长
【答案】C
【解析】A．根据题意作出粒子运动轨迹图
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根据几何关系可知半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故A 错误；
B．根据几何关系可知圆心角为120°，则运动时间为
故B 错误；
C．只改变粒子的速度方向，不改变粒子的速度大小，则粒子轨迹圆的半径保持不变；则粒
子轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的交点构成菱形，故粒子出磁场时速度方向
不变，故C 正确；
D．若增大粒子的运动速度，则半径增大，轨迹如图
根据几何关系可知圆心角减小，则粒子在磁场中的运动时间变小，故D 错误。
故选C。
练4. 如图所示，以O 为圆心、半径为R 的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场。圆上有A、C、D 三点，从A 点沿半径AO 方向射入一个带电粒子（不
计重力），入射速度为v1时，粒子恰好从C 点离开磁场。已知粒子的比荷为k，且
∠AOC=90°，∠AOD=120°，下列说法正确的是（ ）
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A．粒子在磁场中的运动时间为
B．圆形区域的半径为
C．要使粒子从D 点离开磁场，入射速度为
D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O 点
【答案】C
【解析】A．粒子从A 点进入磁场，C 点离开磁场，则粒子的速度方向改变了
，所以粒
子在磁场中的运动时间为
故A 错误；
B．粒子从A 点进入磁场，C 点离开磁场，根据几何知识可知，粒子的轨迹半径
而粒子在磁场中的运动时间为
联立可得，圆形区域的半径为
故B 错误；
C．粒子从C、D 点离开磁场的运动轨迹如下图所示
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根据几何知识可得
，
根据洛伦兹力提供向心力有
联立可得
即要使粒子从D 点离开磁场，入射速度为
，故C 正确；
D．由于
，所以若只改变入射速度方向，粒子可能经过O 点，故D 错误。
故选C。
例题5. 如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O 点为圆心，半径为R 内圆与半径为3R 外
圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A 为外圆上一点。一粒子源s 可持续发射出大小均
为v、质量为m，电荷量为q 的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
A．若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁
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感应强度最小值为
B．若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁
感应强度最小值为
C．若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的
最小值为
D．若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的
最小值为
【答案】C
【解析】AB．若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，
轨迹最大半径如图所示
根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力
磁感应强度最小值为
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故AB 错误；
CD．若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，轨迹最大半径如图
所示
根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力
磁感应强度最小值为
故C 正确，D 错误。
故选C。
练5. 来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将
会对地球上的生命带来危害．但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，
使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如
图所示，半径分别为R、2R 的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外
的匀强磁场、磁感应强度为B，一个不计重力比荷为k 的带正电粒子从大圆边缘的A 点沿
与AO 连线成某一θ 角（
）以速度v 射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v 的最
大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】粒子的临界图像，如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由余弦定理有
整理有
粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有
由题意知，其比荷为k，解得
所以其最大值为
。
故选A。
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例题6. 如下图所示，电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象
限，射入时速度方向不同，速度大小均为
，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平
面的匀强磁场，磁感应强度为
，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧
光屏与y 轴平行，下列说法正确的是（ ）
A．所加磁场范围的最小面积是
B．所加磁场范围的最小面积是
C．所加磁场范围的最小面积是
D．所加磁场范围的最小面积是
【答案】B
【解析】设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得
即
电子从y 轴穿过的范围为
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初速度沿x 轴正方向的电子沿OA 运动到荧光屏MN 上的P 点；初速度沿y 轴正方向的电子
沿OC 运动到荧光屏MN 上的Q 点；由几何知识可得
取与x 轴正方向成
角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为
，因其射
出后能垂直打到屏MN 上，故有
即
又因为电子沿x 轴正方向射入时，射出的边界点为A 点；沿y 轴正方向射入时，射出的边
界点为C 点，故所加最小面积的场的边界是以
为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图
中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为
故B 正确。
故选B。
练6. 如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直
放置的感光板从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量的带正电、电荷量为q、质量为m、
速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是
)
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A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足
，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上
【答案】D
【解析】对着圆心入射，只有轨道半径为R 的粒子出射后可垂直打在MN 上，选项A 错误；
由对称性可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，选项B 错误；
对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长所对的圆心角越小，运动时间越短，
选项C 错误；只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上，选项
D 正确．
四、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定
临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
例题7. 如图甲所示，边长为L 的正方形abcd 区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为
，
方向垂直于abed 所在平面，且周期性变化（周期T 可根据需要调整），如图乙所示，设垂
直abcd 平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在
时刻由a 点沿ab 方向射入磁场
区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且
，
关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（ ）
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A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc 方向经过c 点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d 点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f 点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc 边过g 点，则磁场变化周期一定是
【答案】D
【解析】A．要想让电子沿bc 方向经过c 点，可能的轨迹如图所示
也可以转奇数个
圆弧后到c，根据洛伦兹力充当向心力，有
可得
根据以上分析则有
（n＝0，1，2…）
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解得
（n＝0，1，2…）
故A 错误；
B．要想让经过d 点，可能的轨迹如图所示
可知，
，解得
或者先顺时针转磁场的半个周期
，之后逆时针转，从ad 方向经过d
这种情况下
解得
故B 错误；
C．要想让电子经过f 点，轨迹可能如图所示
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由几何关系可得
解得
只要满足运动时间
即可；或者如图所示
圆周周期
，每一次转过120°圆心角
解得
故C 错误；
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D．要想让电子垂直bc 边过g 点，经过偶数次偏转，每一次转过60°圆心角，圆周周期
，则有
解得
故D 正确。
故选D。
练7. 如图所示，边长为
正方形区域
内无磁场，正方形中线
将区域外左
右两侧分成两个磁感应强度均为
的匀强磁场区域，
右侧磁场方向垂直于纸面向
外，
左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为
，电荷量为
的正粒子从
中点以某一速率垂直于
射入磁场，不计粒子的重力，则关
于粒子的运动，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的最大速度为
B．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
C．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
D．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
【答案】C
【解析】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有
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解得
若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示
由几何关系可得
解得
当
时，速度最大为
当
时
当
时
则粒子的速度不可能为
。
故选C。
例题8. 如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足
够长的平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为
，
ab 间的距离为
。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周
运动的半径为
，不计电子间的相互作用和重力，
，则MN 上被电子打中
的区域的长度为（ ）
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A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【答案】C
【解析】电子从b 点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动，
如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a 点，一个打在C 点，
打在C 点的电子轨迹恰好与板相切，过b 点做MN 的垂线bD，过O1做bD 垂线O1E，由几
何知识可得
又因
所以
可得
所以MN 上被电子打中的区域的长度为
故选C。
练8. 如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均
为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠A 的角平分线
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发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有
质子均能通过D 点，已知质子的比荷
，则质子的速度不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力，则有
联立解得
所以ABD 正确，不符合题意；C 错误，符合题意；
故选C。
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（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．由
粒子打在Al27上形成的P30是不稳定的，它衰变后会成为
。将P30放射源的小孔
正对垂直纸面的圆形磁场区域的直径，假设在某段时间内只有一个P30的原子核发生衰变，
则放出粒子的径迹可能是下列图像中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，可得衰变方程为
由于衰变产物均带正电，且衰变前后动量守恒，两衰变产物向相反方向运动，进入磁场后
粒子做圆周运动，由于两粒子均带正电，且运动方向相反，因此根据左手定则可知，两粒
子的运动轨迹一定在小孔正对磁场直径的两侧，且出磁场后做均作匀速直线运动，直至打
在光屏上。
故选B。
2．如图，虚线圆形区域内、外均分布着垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强
度大小相同、方向相反，一带电粒子从圆上的
点正对圆心入射。仅改变带电粒子的入射
速率，可分别得到图甲和图乙中实线所示的运动轨迹。则甲、乙两图中粒子的入射速率之
比为（ ）
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A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】如图
设虚线圆形区域半径为，根据几何关系，可得
根据
可得
故选A。
3．如图所示，在无限长直边界CD 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，无限大挡板EF 平行于CD 放置，与CD 相距为d，带电粒子达到挡板时能够被挡板
29
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吸收，在A 处有一粒子源能够在纸面内持续发射速度大小相等的电子。当电子在纸面内沿
AO 方向垂直匀强磁场边界射入时，恰好未被EF 吸收。已知电子的质量为m，电荷量为
e，不计电子重力及电子间的相互作用。若磁感应强度大小变为原来的一半，电子速度方向
缓慢从AO 沿顺时针旋转到AD 时，在挡板上能够吸收到电子的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】ABCD．电子垂直边界射入，恰好未被EF 吸收，其运动轨迹如图甲所示，由几何
关系可知电子做圆周运动的半径为d，根据
可知，当磁感应强度变为原来的一半时，电子在磁场中做圆周运动的半径变为2d，速度方
向改变时，电子能够打到挡板上，临界的运动轨迹如图乙所示，能够吸收到电子的区域为
GH，由几何关系可得
30
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B 正确，ACD 错误。
故选B。
4．如图所示，在等腰直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁
场，O 为ab 边的中点，在O 处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率
不断
向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab 长为
，不计重力和粒子间的相互作用力。则（ ）
A．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B．从ac 边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C．粒子能从bc 边射出的区域长度为L
D．粒子能从bc 边射出的区域长度为2L
【答案】B
【解析】AB．根据
代入速度得
如图
31
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Od 与ac 垂直，有几何关系可知，Od 长为L，即最短弦长，对应最短时间，圆心角为
，
则最短时间为
又
得
A 错误，B 正确；
CD．粒子轨迹与ac 相切时，交与bc 边最远的e 点，由几何关系可知，Oe 长度为直径，则
粒子能从bc 边射出的区域eb 的长度为
，CD 错误。
故选B。
5．一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、
R 的环状区域内有方
向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从P
点沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内
做周期性运动，不计粒子重力。则该粒子的运动周期为（ ）
32
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】粒子运动的轨迹如图所示
根据几何关系有
解得
，
根据洛伦兹力提供向心力有
33
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可得
所以粒子的运动周期为
故选C。
6．如图所示，半径为R 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应
强度B，一比荷为
的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A 点以
的速度垂直直径
MN 射入磁场，恰好从N 点射出，且
，下列选项正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从N 点射出方向竖直向下
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【解析】A．粒子恰好从N 点射出，轨迹如下图所示，运动周期为
四边形AONP 的圆心角为
34
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粒子在磁场中运动的时间为
故A 错误；
B．粒子在磁场中速度偏转
，从N 点射出方向是与竖直方向呈
，故B 错误；
C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形
SCON 为菱形，由几何知识可知一定从N 点射出，故C 正确；
D．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则所加圆形磁场以AN 为直径时面积最小，
最小面积为
故D 错误。
故选C。
7．如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量
为同m、带电荷量为q 的粒子以某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的
是
A．带电粒子一定带负电荷
35
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B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
【答案】D
【解析】B．若粒子运动轨迹如图所示：
由左手定则可知，粒子带负电，粒子做圆周运动的速度最小，轨道半径最小
由牛顿第二定律得
解得
故B 错误；
AC．若粒子带正电，粒子与挡板MN 中点碰撞后恰好从Q 点射出，粒子运动轨迹如图所示：
由于粒子与挡板碰撞时方向不确定，则粒子的速度无法确定，故粒子受到挡板作用力的冲
量不定，故A、C 错误；
D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示：
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当轨迹半径等于L 时，此时转过的圆心角为
，所以在磁场中运动的时间为
故D 正确。
故选D。
8．科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为O、半径为r
的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P 是圆外
一点，
。一质量为m，电荷量为
的粒子从P 点在纸面内沿着与PO 成
角的方向射出，不计粒子重力。若要求粒子不能进入圆形区域，则粒子运动速度可
以的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若速度较小，粒子的轨迹圆如图所示，由几何关系可知在
中
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若速度较大，粒子的轨迹圆如图所示，根据几何关系可知在
中
由洛伦兹力提供向心力可知
则可知
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，
综上若要求粒子不能进入圆形区域，则粒子运动速度应满足的条件为
或
故选D。
二、多选题
9．如图所示，空间中有一个底角均为
的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应
强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c 点存在一个粒子源，可以源源不断射
出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab 边射出，速度大小
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】能够从ab 边射出的电子，半径最小为从b 点射出，如图所示
由几何关系可知
半径最大为从a 点射出，如图所示
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由几何关系可知
由牛顿第二定律有
解得
则有
为使粒子从ab 边射出磁场区域，粒子的速度范围为
故选BC。
10．如图，xOy 平面内有两个相邻的带状匀强磁场I 和匀强磁场Ⅱ，方向垂直xOy 平面向下，
磁场强度大小分别为B 和2B，磁场区域宽度分别为
和
，一电荷量为
、质量为m 的
带点粒子从y 轴P 点以与y 轴夹角
的方向进入磁场I，经过磁场I 和磁场Ⅱ后从磁场Ⅱ右
边界以与边界夹角
的方向离开磁场Ⅱ，若不计重力，则下列说法正确的是（ ）
40
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A．粒子在匀强磁场I 运动的轨迹半径是在匀强磁强Ⅱ运动轨迹半径的2 倍
B．粒子在匀强磁场Ⅱ运动的轨迹半径是在匀强磁强I 运动轨迹半径的2 倍
C．粒子的入射速度为
D．粒子的入射速度为
【答案】AC
【解析】AB．离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
所以粒子在匀强磁场I 运动的轨迹半径是在匀强磁强Ⅱ运动轨迹半径的2 倍，故A 正确，B
错误；
CD．设带电粒子在磁场I 中做匀速圆周运动的半径为r1，在磁场II 中做匀速圆周运动的半
径为r2，过P 点作入射速度的垂线，设圆心为O1，以O1为圆心、r1为半径作圆弧交于两磁
场分界线的M 点，连接MO1，设MO1与磁场分界线的夹角为
，过Q 点作出射速度的垂线
交MO1于O2点，如图：
41
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由几何关系可知
由于
联立解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
故C 正确，D 错误；
故选AC。
11．如图所示，半径为R 的一圆形区域，O 为圆心，P 为边界上的一点，区域内有垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为-q、质量为m 的相同带电粒子a、b
（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁场，粒子a 正对圆心射入，粒
子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向夹角为
。下列说法正确的是
（ ）
42
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A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
B．a 粒子在磁场中运动的时间为
C．b 粒子在磁场中运动的时间为
D．a、b 粒子离开磁场时的速度方向夹角为30°
【答案】AC
【解析】A．由洛伦兹力提供向心力，有
解得
故A 正确；
BC．粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
43
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粒子a、b 在磁场中的运动周期均为
由轨迹图可知
，
则a、b 粒子在磁场中的运动时间分别为
，
故B 错误，C 正确；
D．由图中轨迹可知，a、b 粒子离磁场时的速度方向都与OP 方向垂直，即a、b 粒子离开
磁场时的速度方向平行，故D 错误。
故选AC。
12．如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
为B，AB 边长为d，BC 边长为2d，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，在O 点有一粒
子源，可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、有同种电性的带
电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为600的粒子恰好从E 点射出磁场，
不计粒子的重力，则（ ）
A．粒于带正电
B．粒子运动的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．磁场区域中有粒子通过的面积为
【答案】BD
【解析】A．速度与OB 的夹角为60°的粒子恰好从E 点射出磁场，由粒子运动的轨迹根据
左手定则可判断，粒子带负电，A 错误；
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B．由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r=d，由牛顿第二定律
则粒子运动的速度大小为
B 正确；
C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析
可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即
最长时间为
，C 错误；
D．由图可知
磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA 区域的面积，即为
D 正确。
故选BD。
三、解答题
13．CT 技术是通过高能电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对人体进行扫描取得信息
的，其原理如图所示：半径为
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，水平放置的目
标靶长为
，靶左端点
、右端点
与磁场圆心
的距离相等、竖直距离为
。从阴
极逸出的电子（初速度可忽略），经电场加速后瞄准圆心
沿着水平方向进入磁场，经磁
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场偏转后恰好击中
点。设电子质量为
、电荷量为，电子枪的加速电压为
，不考虑
电子受到的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小。
（2）仅通过调节匀强磁场
的大小，可实现电子束在目标靶上从
到
的扫描，求
的
大小范围。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）如图所示
根据几何关系可得
由此可知电子在磁场中运动的轨迹半径为
电子在加速电场中加速，由动能定理有
由洛伦兹力充当向心力有
联立解得
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（2）由由洛伦兹力充当向心力有
可知，磁感应强度越小，电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径就越大，电子到达目标靶N
的轨迹半径如图所示
根据几何关系可得
对应的磁感应强度大小为
则可知，磁场强度取最大值时电子恰好打在目标靶M 点，当磁场强度取最小值时电子恰好
打在目标靶N 点，可得磁感应强度B 的调节范围为
14．如图所示，直角坐标系中，有一平行于y 轴长度为0.5L 的线状离子源MN，M 端在x
轴上，坐标
，离子源发射的正离子初速度大小均为
，方向平行于x 轴正方向，且
发射的正离子沿MN 均匀分布，每个离子质量为m，电荷量为q；在
、
区间内
加一垂直于纸面向里，磁感应强度大小为
的圆形边界匀强磁场，能使离子源发射的全部
正离子经过原点O，不计离子重力及离子间的相互作用。
（1）求磁感应强度
的取值范围；
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（2）若磁感应强度
取最小值，在第一象限加垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀
强磁场，在第二象限加垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场，已知
。
离子发射前，在y 轴上放置长度为0.8L 的探测板PQ，只有打到探测板左侧表面的离子才
能被探测到。
①求全部正离子经过原点O 时与y 轴正方向夹角
的范围；
②若探测板下端Q 纵坐标
，求离子探测率
（即探测板探测到的离子数占总离子
数的比例）；
③若探测板位置在y 轴上可变，Q 端纵坐标满足
，求离子探测率
与
的关系。
【答案】（1）
；（2）①
；②
；③见解析
【解析】1）离子在圆形磁场中汇聚到O，离子运动圆周半径r 等于圆形磁场的半径R，即
如图所示
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所加圆形边界磁场的半径R 满足
由洛伦兹力提供向心力得
联立可得
（2）若
时，离子圆周运动的半径为
①由
可得
即与y 轴正方向的夹角范围
49
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②若
，离子经过
、
两个磁场后在y 轴方向上离O 的距离
，则有
临界1（如图2 中轨迹①）
可得
临界2（如图2 中轨迹②）
可得
上述表示出一个临界即得
③
，分成4 个区间
i）当
时
ii）当
时
可得
则有
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iii）当
时
可得
则有
iv）当
时，离子穿过O 点后经过一个运动周期打到探测板左侧
可得
离子穿过O 点后经过两个运动周期打到探测板左侧
可得
则有
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15．如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R 和3R 的圆筒
共轴放置，轴线
水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a 与外筒
正中间的小孔b 在通过轴线的同一竖直线上，a、b 间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆
心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙
所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e 的氢离子（
）从静止加速经小孔a
从小孔b 进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为
原来的2 倍，并让一个氘核（
）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与
筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略
离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。
（1）求加速氢离子时平行板间的电压U 多大；
（2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P
（未在图中画出）与小孔b 的水平距离s 的大小；
（3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P 点时与氘核相遇，筒长
，求氢、氘核释放的时间间隔。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）过筒中间轴线的竖直截面如图所示，
氢离子的轨迹刚好与内筒相切，故其半径为
r1=2R
由洛伦兹力提供向心力
解得
由动能定理
解得加速氢离子的电压为
（2）设氘核在磁场中的运动半径为r2，速度v2，由牛顿第二定律可知
由动能定理
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解得
r2=4R
因为r2>2R，则氘核会与内筒碰撞；
通过作图可得氘核与轨迹碰撞点如图中的P 点所示，由
可知
θ=30°
由此可得P 点与小孔沿轴方向的距离为
（3）氢离子与筒的左壁垂直碰撞后原速返弹，且沿着轴做匀速直线运动，运动轨迹如图所
示
氢离子在磁场中的运动周期为
氘核在磁场中的运动周期
由上述分析可知相遇前氢原子在磁场中运动的时间为
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氘核在磁场中运动的时间
两粒子释放时的时间间隔
又
v1=v2
解得
55
