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知识点13：物体的动力学问题
考点一：物体在五类光滑斜面上运动的特点及应用
题型一：“等高斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
等高斜面模型的特点：倾角越小，时间越长。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可知倾角越小，时间越长，图中t1＞t2＞t3.
【典例1 提高题】如图所示，一个物体由A 点出发分别沿三条光滑轨道到达C1，C2，C3，
则( )
A．物体到达C1点时的速度最大
B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达C3的时间最短
D．在C3上运动的加速度最大
题型二：“同底斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
同底斜面模型的特点：倾角45°时，时间最短。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可见θ＝45°时时间最短，图中t1＝t3＞t2.
【典例2 提高题】（多选）建设房屋时，保持底边L 不变，要设计好屋顶的倾角θ，以便
下雨时落在房顶的雨滴能尽快地滑离屋顶，雨滴下滑时可视为小球做无初速度、无摩擦的
运动．下列说法正确的是( )
A．倾角θ 越大，雨滴下滑时的加速度越大
B．倾角θ 越大，雨滴对屋顶压力越大
C．倾角θ 越大，雨滴从顶端O 下滑至屋檐M 时的速度越大
D．倾角θ 越大，雨滴从顶端O 下滑至屋檐M 时的时间越短
【典例2 提高题对应练习】(多选)如图所示，光滑斜面CA、DA、EA 都以AB 为底边，三
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个斜面的倾角分别为75°、45°、30°.物体分别沿三个斜面由顶端从静止滑到底端，下列说
法中正确的是( )
A. 物体沿CA 下滑，加速度最大
B. 物体沿EA 下滑，加速度最大
C. 物体沿CA 滑到底端所需时间最短
D. 物体沿DA 滑到底端所需时间最短
题型三：“等时圆”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的
最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运
动所用的时间。
类型一：单个竖直圆圆周内同顶端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，
如图所示。
在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上
如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝d sin
α ，所以运动时间为t0＝
＝＝.
【典例3a 提高题】如图所示，在竖直平面内有半径为R 和2R 的两个圆，两圆的最高点相
切，切点为A.B 和C 分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB 长为
R，AC 长为2
R.现
沿AB 和AC 建立两条光滑轨道，自A 处由静止释放小球，已知小球沿AB 轨道运动到B 点
所用时间为t1，沿AC 轨道运动到C 点所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A. 1∶3
B. 1∶2
C. 1∶
D. 1∶
【典例3a 提高题对应练习】如图所示，斜面体ABC 的倾角为60°，O 点在C 点的正上方且
与A 点等高，现从O 点向AC 构建光滑轨道OM、ON、OP，M、N、P 分别为AC 的四等
分点．一小球从O 点由静止开始分别沿OM、ON、OP 运动到斜面上，所需时间依次为
tM、tN、tP.则( )
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A. tM＝tN＝tP
B. tM>tN>tP C. tM>tP>tN
D. tM＝tP>tN
类型二：单个竖直圆圆周内同底端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相
等，如图所示。
如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝d sin
α ，所以运动时间为t0＝
＝＝.
即物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等。
【典例3b 提高题】如图所示，ab、cd 是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位
于同一圆周上，b 点为圆周的最低点，c 点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环
(图中未画出)，将两滑环同时从a、c 处由静止释放，用t1、t2分别表示滑环从a 到b、c 到d
所用的时间，则( )
A．t1＝t2 B．t1>t2 C．t1<t2 D．无法确定
【典例3b 提高题对应练习】如图所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、
b、c、d 四个点位于同一圆周上，a 在圆周最高点，bd 为圆周的一条直径．每根杆上都套着
一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a、b、c 处静止释放，用t1、t2、t3依次表示滑环
到达d 所用的时间，则( )
A．t1<t2<t3 B．t1>t2>t3 C．t3>t1>t2 D．t1＝t2＝t3
类型三：双竖直圆周内斜面模型应用
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【知识思维方法技巧】
基本规律：两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均为切点，物体沿不同的光滑弦上端由静
止开始滑到下端所用时间相等，如图所示。
即在竖直面内两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切．各斜面过两圆的公共切点且顶
端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置．有t＝2 ，与θ 无关。
【典例3c 提高题】如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点
恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，
它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小
物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历
的时间关系为( )
A．tAB＝tCD＝tEF B．tAB>tCD>tEF
C．tAB<tCD<tEF
D．tAB＝tCD<tEF
【典例3c 提高题对应练习】如图所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点
均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个
斜槽从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为(
)
A．2∶1 B．1∶1 C．∶1 D．1∶
考点二：单个物体的多运动过程问题
【知识思维方法技巧】
单物体多运动过程动力学计算的技巧：
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（1）将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
（2）对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图，根据
“子过程”“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
（3）分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助
方程．联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1 提高题】
某市启动“机动车文明礼让斑马线”活动，交警部门为样板斑马线
配上了新型电子警察.一辆质量为2.0×103 kg 的汽车，以54 km/h 的速度沿平直道路匀速行
驶，距斑马线还有30 m 的距离时，驾驶员发现有行人通过斑马线，经过0.5 s 的反应时间，
汽车制动，开始做匀减速运动，恰好在斑马线前停住.重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求汽车制动过程中所受的合力大小；
(2)若汽车正常行驶时所受阻力为车重的，要使汽车从静止开始匀加速经10 s 使速度重新达
到54 km/h，求牵引力的大小.
【典例1 提高题对应练习】汽车在行驶中，当驾驶员发现紧急情况直至踩下制动踏板发生
制动作用之前的这段时间称为反应时间，反应时间内车辆行驶的距离称为反应距离．汽车
制动距离是指驾驶员踩下制动踏板产生作用至汽车完全停止时，轮胎在路面上出现明显的
拖痕的距离．汽车行驶的安全距离为反应距离和制动距离之和．某汽车以30 km/h 的速度
行驶在柏油路面上的制动距离为5 m，在浮雪路面上的制动距离为15 m．取g＝10 m/s2.
（1）求汽车轮胎与柏油路面间的动摩擦因数；
（2）若汽车以90 km/h 的速度在柏油路面上行驶的安全距离为60 m，求驾驶员的反应时间
（3）若汽车以90 km/h 的速度在浮雪路面上行驶，驾驶员看到前方有事故，立即制动后还
是与相距108 m 的汽车追尾，求汽车追尾瞬间的速度．
题型二：斜面式多过程运动模型
【典例2 提高题】如图甲所示，一质量m＝0.4 kg 的小物块，以v0＝2 m/s 的初速度，在与
斜面平行的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s 的时间物块由A 点运动到
B 点，A、B 之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ
＝.重力加速度g 取10 m/s2.求：
(1)物块到达B 点时速度和加速度的大小；
(2)拉力F 的大小；
(3)若拉力F 与斜面夹角为α，如图乙所示，试写出拉力F 的表达式(用题目所给物理量的字
母表示)．
【典例2 提高题对应练习】 如图所示为一种叫“控子”的游戏：让滑块从A 点由静止释放，
游戏者通过控制BC 段上的可控区域的长度，让滑块到达C 点时速度刚好为零，滑块自由
落入洞D 中即为成功。已知轨道AB、BC 可视为斜面，AB 长25 cm，BC 长1 m，CD 高20
cm，滑块在AB 段加速下滑时加速度大小为a1＝2 m/s2，在BC 段非可控区域加速下滑时加
速度大小为a2＝1 m/s2，在可控区域减速时的加速度大小为a3＝3 m/s2，滑块在B 点、可控
点前后速度大小不变，g 取10 m/s2，求：游戏成功时，
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（1）可控区域的长度L；
（2）滑块从A 到洞D 所经历的时间t。
题型三：竖直式多过程运动模型
【典例3 提高题】无人机的质量为m＝2 kg，在地面上由静止开始以最大升力竖直向上起飞
经时间t＝4 s 时离地面的高度为h＝48 m，已知无人机动力系统所能提供的最大升力为36
N，假设无人机运动过程中所受空气阻力的大小恒定，g 取10 m/s2，求：
(1)无人机运动过程中所受空气阻力的大小；
(2)当无人机悬停在距离地面高度h＝45 m 处时，无人机由于信号故障突然失去全部升力，
由静止开始竖直坠落，若无人机到达地面时速度刚好减为0，刚开始下落后经多长时间需
要立刻恢复最大升力。
【典例3 提高题对应练习】如图所示，跳伞员常常采用“加速自由降落”的方法跳伞，如
果一个质量为50 kg 的运动员在3 658 m 的高度从飞机上跳 出(初速度为零)，降落40 s 时，
竖直向下的速度达到50 m/s，假设这一运动是匀加速直线运动，取g＝10 m/s2。则：
(1)运动员受到的平均空气阻力为多大；
(2)降落40 s 时打开降落伞，此时他离地面的高度是多少；
(3)打开降落伞后，运动员受的阻力f 大于重力，且f 与速度v 成正比，即f＝kv(k 为常数)。
请简述运动员接下来可能的运动情况。
题型四：圆环直杆式多过程运动模型
类型一：水平式运动模型
【典例4a 提高题】如图，将质量m＝0.1 kg 的圆环套在固定的水平直杆上。环的直径略大
于杆的截面直径。环与杆间动摩擦因数μ＝0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上，与杆
夹角θ＝53°的拉力F，使圆环以a＝4.4 m/s2的加速度沿杆运动，求F 的大小。(取sin 53°＝
0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2)
类型二：斜面式运动模型
【典例4b 提高题】如图所示，将质量m＝1 kg 的圆环套在固定的倾斜足够长的直杆上，杆
的倾角为30°，环的直径略大于杆的截面直径。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹
角为30°的拉力F＝10 N，使圆环由静止开始沿杆加速向上运动，已知环与杆间动摩擦因
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数μ＝。求：(g 取10 m/s2)
(1)F 作用t＝2 s 时圆环的速度大小；
(2)2 s 后撤去力F，圆环继续沿杆上滑的最大距离。
考点三：物体动力学的图象问题
【知识思维方法技巧】
单个物体动力学图象问题的解题的方法：
（1）函数斜率面积法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数
表达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的如－t、x－v2、
at、Ft、Fa 图像等要注意这种转化。
①x－t 图象的斜率表示速度的大小及方向，纵轴截距表示t＝0 时刻的初始位置，横轴截距
表示位移为零的时刻。
②v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度，v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
③a－t 图线与t 轴所围的“面积”代表速度改变量。
④由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知－t 图象的斜率为a，纵轴截距为v0。
⑤由v2－v0
2＝2ax 可知v2＝v0
2＋2ax，故v2－x 图象斜率为2a，纵轴截距为v0
2。
⑥由v2－v＝2ax 得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v0
2。
⑦由x＝at2，可知x－t2图线的斜率表示a。
（2）函数数据代入法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中
的特殊位置或特殊时刻或特殊情况的特殊数据代入函数公式进行计算。
题型一：根据动力学情境选择动力学图象问题
【典例1 提高题】如图所示，E 为斜面的中点，斜面上半段光滑，下半段粗糙，一个小物
体从顶端由静止释放，沿斜面下滑到底端时速度为零．以沿斜面向下为正方向，则物体下
滑过程中的位移x、速度v、合力F、加速度a 与时间t 的关系图象可能正确的是( )
【典例1 提高题对应练习】(多选)如图所示，斜面A 固定于水平地面上，在t＝0 时刻，滑
块B 以初速度v0自斜面底端冲上斜面，t＝t0时刻到达最高点。取沿斜面向上为正方向，下
列表示滑块在斜面上整个运动过程中速度v 随时间t 变化的图象中，可能正确的是( )
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题型二：根据运动学图象分析计算动力学的问题
类型一：根据运动学xt 图象分析计算动力学的问题
类型二：根据运动学vt 图象分析计算动力学的问题
【典例2b 提高题】(多选)如图a，一物块在t＝0 时刻滑上一固定斜面，其运动的vt 图线如
图b 所示．若重力加速度及图b 中的v0、v1、t1均为已知量，则可求出( )
A．斜面的倾角 B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
【典例2b 提高题对应练习】“笛音雷”是春节期间常放的一种鞭炮，其点燃后一段时间内
的速度－时间图像如图所示(不计空气阻力，取竖直向上为正方向)，其中t0时刻为“笛音
雷”起飞时刻，DE 段是斜率大小为g 的直线．则关于“笛音雷”的运动，下列说法正确的
是( )
A．“笛音雷”在t1时刻加速度最小 B．“笛音雷”在t2时刻改变运动方向
C．“笛音雷”在t3时刻彻底熄火 D．t3～t4时间内“笛音雷”做自由落体运动
类型三：根据运动学v2－x 图象分析计算动力学的问题
【典例2c 提高题】（多选）如图甲所示，质量m＝1 kg、初速度v0＝6 m/s 的物块受水平向
左的恒力F 作用，在粗糙的水平地面上从O 点开始向右运动，O 点为坐标原点。整个运动
过程中物块速率的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，下列说法中
正确的是( )
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A．t＝2 s 时物块速度为零 B．t＝3 s 时物块回到O 点
C．恒力F 大小为2 N D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.1
【典例2c 提高题对应练习】（多选）如图甲所示，物块的质量m＝1 kg，初速度v0＝10
m/s，在一水平向左的恒力F 作用下从O 点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻F 突然反向，
大小不变，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图象如图乙所示，g＝10
m/s2.下列说法中正确的是( )
A．0～5 m 内物块做匀减速运动 B．在t＝1 s 时刻，恒力F 反向
C．恒力F 大小为10 N D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3
类型四：根据运动学－t 图象分析计算动力学的问题
【典例2d 提高题】(多选)如图甲所示，O、A、B 是光滑水平面上的三点，一物块从O 点开
始在一水平恒定拉力F 作用下，由静止开始向右做匀加速运动，物块经过A、B 两点所用
的时间为t，A、B 间的距离为x.保持O、A 两点的位置不变，改变B 点的位置，仍让该物
块从O 点由静止开始在恒力F 的作用下加速运动，多次试验后得出－t 图像如图乙所示，
则物块从O 运动到A 过程( )
A. 运动的时间为0.8 s
B. 运动的时间为1.25 s
C. 运动的加速度大小为0.4 m/s2
D. 运动的加速度大小为0.8 m/s2
【典例2d 提高题对应练习】一个质量为m＝2 kg 的物体在倾角θ＝37°粗糙的斜面上，在沿
斜面向上的拉力作用下沿斜面向上运动，物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，从t＝0 时
刻开始，物体运动的与时间t 的关系如图所示(x 为位移)，g＝10 m/s2，t＝2 s 时撤去拉力，
sin 37°＝0.6，求：
(1)拉力F 的大小；
(2)物体向上运动过程中距计时点的最大距离。
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类型五：根据运动学a－t 图象分析计算动力学的问题
【典例5e 提高题】 如图甲所示，一个m＝3 kg 的物体放在粗糙水平地面上，从t＝0 时刻
起，物体在水平力F 作用下由静止开始做直线运动．在0～3 s 时间内物体的加速度a 随时
间t 的变化规律如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等．则( )
甲 乙
A．在0～3 s 时间内，物体的速度先增大后减小
B．3 s 末物体的速度最大，最大速度为10 m/s
C．2 s 末F 最大，F 的最大值为12 N
D．前2 s 内物体做匀变速直线运动，力F 大小保持不变
【典例5e 提高题对应练习】如图甲所示，广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600 米，游客乘
坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台。若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电
梯在t＝0 时由静止开始上升，a－t 图象如图乙所示。则下列相关说法正确的是( )
A.t＝4.5 s 时，电梯处于失重状态 B.5～55 s 时间内，绳索拉力最小
C.t＝59.5 s 时，电梯处于超重状态 D.t＝60 s 时，电梯速度恰好为零
题型三：根据动力学图象分析计算动力学的问题
【知识点的理解与应用】
首先要根据具体的物理情境，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量
间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而
由图像给出的信息求出未知量。
类型一：根据动力学a－F 图象分析计算动力学的问题
【典例3a 提高题】用外力F 拉一物体使其做竖直上升运动，不计空气阻力，加速度a 随外
力F 的变化关系如图所示，下列说法正确的是( )
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A．物体的质量为 B．地球表面的重力加速度为2a0
C．当a＞0 时，物体处于失重状态 D．当a＝a1时，拉力F＝a1
【典例3a 提高题对应练习】静止在水平面上的物体，受到水平拉力F 的作用，在F 从20
N 开始逐渐增大到40 N 的过程中，加速度a 随拉力F 变化的图像如图所示，由此可以计算
出(g＝10 m/s2)( )
A．物体的质量 B．物体与水平面间的动摩擦因数
C．物体与水平面间的滑动摩擦力大小 D．加速度为2 m/s2时物体的速度
类型二：根据动力学F－t 图象分析计算动力学的问题
【典例3b 提高题】如图甲所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面，将一质量为m＝1 kg 的物体
无初速度在斜面上释放，同时施加一沿斜面向上的拉力，拉力随时间变化的关系如图乙所
示，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则
下列说法正确的是( )
A．2 s 末物体的速度是2.5 m/s B．2 s 末物体的速度是10 m/s
C．前16 s 内物体发生的位移是15 m D．前16 s 内物体发生的位移是30 m
【典例3b 提高题对应练习】某次新能源汽车性能测试中，如图甲显示的是牵引力传感器传
回的实时数据随时间变化的关系，但由于机械故障，速度传感器只传回了第25 s 以后的数
据，如图乙所示。已知汽车质量为1 500 kg，若测试平台是水平的，且汽车由静止开始做直
线运动，设汽车所受阻力恒定。求：
(1)18 s 末汽车的速度是多少？
(2)前25 s 内的汽车的位移是多少？
题型四：根据其他图象分析计算动力学的问题
【典例4 提高题】如图甲所示，一物体沿倾角为θ＝37°的固定粗糙斜面由静止开始运动，
同时受到水平向右的风力作用，水平风力的大小与风速成正比。物体在斜面上运动的加速
度a 与风速v 的关系如图乙所示，则(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)( )
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A．当风速为3 m/s 时，物体沿斜面向下运动
B．当风速为5 m/s 时，物体与斜面间无摩擦力作用
C．当风速为5 m/s 时，物体开始沿斜面向上运动
D．物体与斜面间的动摩擦因数为0.025
【典例4 提高题对应练习】（多选）如图(a)，质量m＝1 kg 的物体沿倾角θ＝37°的固定粗
糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v 成正比，
比例系数用k 表示，物体加速度a 与风速v 的关系如图(b)所示，g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A．物体沿斜面做匀变速运动 B．当风速v＝5 m/s 时，物体沿斜面下滑的速度最大
C．物体与斜面间的动摩擦因数为0.25 D．比例系数k 为 kg/s
考点四：物体动力学的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界或极值条件的标志:
①题目中有“刚好”“恰好”“正好”“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，即表
明题述的过程存在着极值临界点.
②题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起
止点”，而这些起止点往往对应临界状态.
③题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.
（2）解决动力学临界极值问题的常用方法：
①极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确
解决问题的目的。
②物理分析法：通过对物理过程的分析，寻找过程中变化的物理量。探索物理量的变化规
律。确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
③数学分析法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解决临界极值问题。
题型一：速度的临界极值问题
题型二：位移的临界极值问题
【典例2 提高题】 如图所示，一足够长的木板，上表面与木块之间的动摩擦因数为μ＝，
重力加速度为g，木板与水平面成θ 角，让小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿
木板向上运动。随着θ 的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x 将发生变化，当θ 角为何
值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
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【典例2 提高题对应练习】如图10 所示，一足够长的木板，上表面与木块之间的动摩擦因
数为μ＝0.75，重力加速度为g，木板与水平面成θ 角，让小木块从木板的底端以大小恒定
的初速率v0沿木板向上运动。随着θ 的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x 将发生变化，
当θ 角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
题型三：加速度的临界极值问题
【典例3 提高题】如图甲所示，光滑水平面上的O 处有一质量为m＝2 kg 的物体．物体同
时受到两个水平力的作用，F1＝4 N，方向向右，F2的方向向左，大小随时间均匀变化，如
图乙所示．物体从零时刻开始运动．
（1）求当t＝0.5 s 时物体的加速度大小．
（2）在t＝0 至t＝2 s 内，何时物体的加速度最大？最大值为多少？
（3）在t＝0 至t＝2 s 内，何时物体的速度最大？最大值为多少？
题型四：外力作用时间的临界极值问题
【典例4 提高题】如图所示，载货车厢通过悬臂固定在缆绳上，缆绳与水平方向夹角为
θ，当缆绳带动车厢以加速度a 匀加速向上运动时，货物在车厢中与车厢相对静止，则货物
与车厢的动摩擦因数至少为(悬臂竖直，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
( )
A.
B.
C.
D.
【典例4 提高题】有一个冰上滑木箱的游戏节目，规则是：选手们从起点开始用力推箱一
段时间后，放手让箱向前滑动，若箱最后停在有效区域内，视为成功；若箱最后未停在有
效区域内就视为失败．其简化模型如图所示，AC 是长度为L1＝7 m 的水平冰面，选手们可
将木箱放在A 点，从A 点开始用一恒定不变的水平推力推木箱，BC 为有效区域．已知BC
长度L2＝1 m，木箱的质量m＝50 kg，木箱与冰面间的动摩擦因数μ＝0.1.某选手作用在木
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箱上的水平推力F＝200 N，木箱沿AC 做直线运动，若木箱可视为质点，g 取10 m/s2.那么
该选手要想游戏获得成功，试求：
（1）推力作用在木箱上时的加速度大小；
（2）推力作用在木箱上的时间满足的条件．
题型五：外力的临界极值问题
【典例5 提高题】如图所示，一质量m＝0.4 kg 的小物块，在与斜面成某一夹角的拉力F 作
用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s 的时间物块由A 点v0＝2 m/s 的初速度运动到B
点，A、B 之间的距离L＝10 m。已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ
＝。重力加速度g 取10 m/s2。
（1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；
（2）拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？
考点五：二个物体多运动过程问题
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1 提高题】如图所示，在粗糙的水平路面上，一小车以v0＝4 m/s 的速度向右匀速行
驶，与此同时，在小车后方相距s0＝40 m 处有一物体在水平向右的推力F＝20 N 作用下，
从静止开始做匀加速直线运动，当物体运动了x1＝25 m 撤去力。已知物体与地面之间的动
摩擦因数μ＝0.2，物体的质量m＝5 kg，重力加速度g 取10 m/s2。求：
(1)在推力F 作用下，物体运动的加速度a1的大小；
(2)物体运动过程中与小车之间的最大距离；
(3)物体刚停止运动时与小车的距离d。
【典例1 提高题对应练习】为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线相距
s0和s1(s1<s0)处分别设置一个挡板和一面小旗，如图所示。训练时，让运动员和冰球都位于
起跑线上，教练员将冰球以速度v0击出，使冰球在冰面上沿垂直于起跑线的方向滑向挡板；
冰球被击出的同时，运动员垂直于起跑线从静止出发滑向小旗。训练要求当冰球到达挡板
时，运动员至少到达小旗处。假定运动员在滑行过程中做匀加速运动，冰球到达挡板时的
速度为v1。重力加速度为g。求：
(1)冰球与冰面之间的动摩擦因数；
(2)满足训练要求的运动员的最小加速度。
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题型二：斜面式多过程运动模型
【典例2 提高题】避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组
成，如图所示。竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为θ 的斜面。一辆长12 m 的载有
货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23 m/s 时，车尾位于制动坡床的底
端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4 m 时，车头距制动坡床顶端
38 m，再过一段时间，货车停止。已知货车质量是货物质量的4 倍，货物与车厢间的动摩
擦因数为0.4，货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44 倍。
货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos θ＝1，sin θ＝0.1，g＝10 m/s2。求：
（1）货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
（2）制动坡床的长度。
题型三：竖直式多过程运动模型
【典例3 提高题】热气球为了便于调节运动状态，需要携带压舱物，某热气球科学考察结
束后正以大小为v 的速度匀速下降，热气球的总质量为M，当热气球离地某一高度时，释
放质量为M 的压舱物，结果热气球到达地面时的速度恰好为零，整个过程中空气对热气球
作用力不变，忽略空气对压舱物的阻力，重力加速度为g，求：
（1）释放压舱物时热气球离地的高度h；
（2）热气球与压舱物到达地面的时间差．
【典例3 提高题对应练习】为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做
成两条质量均为m、形状不同的“A 鱼”和“B 鱼”，如图所示．在高出水面H 处分别静
止释放“A 鱼”和“B 鱼”，“A 鱼”竖直下潜hA 后速度减为零，“B 鱼”竖直下潜hB
后速度减为零．“鱼”在水中运动时，除受重力外，还受浮力和水的阻力．已知“鱼”在
水中所受浮力是其重力的10/9 倍，重力加速度为g，“鱼”运动的位移值远大于“鱼”的
长度．假设“鱼”运动时所受水的阻力恒定，空气阻力不计．求：
(1)“A 鱼”入水瞬间的速度vA1；
(2)“A 鱼”在水中运动时所受阻力fA.
(3)“A 鱼”与“B 鱼”在水中运动时所受阻力之比fA∶fB.
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