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知识点13：物体的动力学问题
考点一：物体在五类光滑斜面上运动的特点及应用
题型一：“等高斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
等高斜面模型的特点：倾角越小，时间越长。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可知倾角越小，时间越长，图中t1＞t2＞t3.
【典例1 基础题】如图所示，一物体分别从高度相同、倾角不同的三个光滑斜面顶端由静
止开始下滑。下列说法正确的是( )
A．滑到底端时的速度相同 B．滑到底端所用的时间相同
C．在倾角为30°的斜面上滑行的时间最短 D．在倾角为60°的斜面上滑行的时间最短
【典例1 基础题】【答案】D
【解析】关系式v＝可知物体从高度相同的斜面滑到底端时的速度大小相同，但方向不同，
选项A 错误；由关系式t＝ 可知物体在倾角θ＝60°的斜面上滑行时间最短，选项D 正确。
题型二：“同底斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
同底斜面模型的特点：倾角45°时，时间最短。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可见θ＝45°时时间最短，图中t1＝t3＞t2.
【典例2 基础题】如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板P 处，上部架
在横杆上．横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ 可变．将小物块
由平板与竖直杆交点Q 处静止释放，物块沿平板从Q 点滑至P 点所用的时间t 与夹角θ 的
大小有关．若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t 将( )
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A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【典例2 基础题】【答案】D
【解析】设PQ 的水平距离为L，由运动学公式可知＝gt2sin θ，可得t2＝，可知θ＝45°时，
t 有最小值，故当θ 从由30°逐渐增大至60°时下滑时间t 先减小后增大．故选D.
【典例2 基础题对应练习】一间新房即将建成，现要封顶，若要求下雨时落至房顶的雨滴
能最快地淌离房顶(假设雨滴沿房顶下淌时做无初速度、无摩擦的运动)，则必须要设计好
房顶的高度，下列四种情况中最符合要求的是( )
【典例2 基础题对应练习】【答案】C
【解析】如图，设房顶宽为2b，高度为h，斜面倾角为θ。由图中几何关系有h＝btan θ
由运动学关系可得t＝ .联立解得t＝，可见，当θ＝45°时，t 最小，选项C 正确。
题型三：“等时圆”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的
最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运
动所用的时间。
类型一：单个竖直圆圆周内同顶端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，
如图所示。
在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上
如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝d sin
α ，所以运动时间为t0＝
＝＝.
【典例3a 基础题】如图所示，竖直半圆环中有多条起始于A 点的光滑轨道，其中AB 通过
环心O 并保持竖直．一质点分别自A 点沿各条轨道下滑，初速度均为零．那么，质点沿各
轨道下滑的时间相比较( )
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A．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同
B．质点沿着与AB 夹角越大的轨道下滑，时间越短
C．质点沿着轨道AB 下滑，时间最短
D．轨道与AB 夹角越小（AB 除外），质点沿其下滑的时间越短
【典例3a 基础题】【答案】A
【解析】由图中等时圆可知tAD＝tAC＝tAB，故选A.
【典例3a 基础题对应练习】如图为竖直面内的一个圆，从圆上最高点P 到圆上A、B 两个
斜面PA 和PB，斜面与竖直方向夹角为α 和β，α
β，物块从P 点由静止释放，沿PA 经时
间t1到A，沿PB 经时间t2到B，则( )
A．若不计摩擦，则t1=t2 B．若不计摩擦，则t1
t2
C．若有摩擦且动摩擦因数相同，则t1
t2 ，D．若有摩擦且动摩擦因数相同，则t1
t2
【典例3a 基础题对应练习】【答案】AC
【解析】AB.物块从P 点由静止释放，弦PA 长度为
，若斜面光滑，物体沿PA 下
滑时加速度为
，因此从P 运动到A 的过程中，由运动学知识，有
，运动的时间
，可知下滑的时间与倾角
大小无关，
即沿PB 下滑时间与PA 相同，故A 正确；B 错误；BC.若斜面有摩擦且动摩擦因数相同，
则物块沿PA 下滑时加速度
，
从P 运动到A 的过程中，有
，
可得运动时间
，可知倾角越大时，运动时间越长，由于
，因此
从P 到A 的运动时间比从P 到B 运动时间长，即t1
t2，故C 正确，D 错误。
故选AC。
类型二：单个竖直圆圆周内同底端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相
等，如图所示。
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如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝d sin
α ，所以运动时间为t0＝
＝＝.
即物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等。
【典例3b 基础题】(多选)如图所示，让物体分别同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下
滑，沿光滑的弦轨道P1A、P2A 滑到A 处，P1A、P2A 与竖直直径的夹角分别为θ1、θ2。则(
)
A．物体沿P1A、P2A 下滑加速度之比为sin θ1∶sin θ2
B．物体沿P1A、P2A 下滑到A 处的速度之比为cos θ1∶cos θ2
C．物体沿P1A、P2A 下滑的时间之比为1∶1
D．若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cos θ1∶cos θ2
【典例3b 基础题】【答案】BCD
【解析】将物体的重力分别沿光滑的弦轨道P1A、P2A 方向和垂直轨道方向分解，则沿光滑
的弦轨道P1A、P2A 方向分力分别为m1gcos θ1和m2gcos θ2，其加速度分别为gcos θ1和gcos
θ2，若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cos θ1∶cos θ2，选项D 正确；两物
体沿P1A、P2A 下滑加速度之比为cos θ1∶cos θ2，选项A 错误；因为弦轨道长度L＝dcos
θ，由L＝at2，解得t＝ ，由速度公式v＝at 可得，物体沿P1A、P2A 下滑到A 处的速度之比
为cos θ1∶cos θ2，选项B、C 正确。
【典例3b 基础题对应练习】 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有
AM、BM、CM 三条光滑固定轨道，其中A、C、M 三点处于同一个圆上，C 是圆上任意一
点，A、M 分别为此圆与y 轴、x 轴的切点，B 点在y 轴上且在A 点上方，O′为圆心。现将
a、b、c 三个小球分别从A、B、C 点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M 点。如所用
时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC的大小关系是( )
A．tA<tC<tB B．tA＝tC<tB
C．tA＝tC＝tB D．由于C 点的位置不确定，无法比较时间大小关系
【典例3b 基础题对应练习】【答案】B
【解析】由等时圆模型可知，A、C 在圆周上，B 点在圆周外，故tA＝tC<tB，B 正确。
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类型三：双竖直圆周内斜面模型应用
【知识思维方法技巧】
基本规律：两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均为切点，物体沿不同的光滑弦上端由静
止开始滑到下端所用时间相等，如图所示。
即在竖直面内两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切．各斜面过两圆的公共切点且顶
端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置．有t＝2 ，与θ 无关。
考点二：单个物体的多运动过程问题
【知识思维方法技巧】
单物体多运动过程动力学计算的技巧：
（1）将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
（2）对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图，根据
“子过程”“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
（3）分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助
方程．联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1 基础题】机动车礼让行人是一种文明行为．如图所示，质量m＝1.0×103 kg 的汽车
以v1＝36 km/h 的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s＝20 m 处，驾驶员发现小
朋友排着长l＝6 m 的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前．假
设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间．
（1）求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；
（2）若路面宽L＝6 m，小朋友行走的速度v0＝0.5 m/s，求汽车在斑马线前等待小朋友全
部通过所需的时间；
（3）假设驾驶员以v2＝54 km/h 超速行驶，在距离斑马线s＝20 m 处立即刹车，求汽车到
斑马线时的速度．
【典例1 基础题】【答案】(1)4 s 2.5×103 N (2)20 s (3)5 m/s
【解析】(1)根据平均速度t1＝，解得刹车时间t1＝4 s，刹车加速度a＝
根据牛顿第二定律Ff＝ma，解得Ff＝2.5×103 N.
(2)小朋友通过马路所用时间t2＝，等待时间t＝t2－t1＝20 s.
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(3)根据v－v2＝2as，解得v＝5 m/s.
【典例1 基础题对应练习】某次滑雪训练中，运动员(可视为质点)站在水平雪道上第一次
利用滑雪杖对雪面的作用获得水平推力F＝84 N 而从静止向前滑行，其作用时间为t1＝1.0
s，撤去水平推力F 后经过时间t2＝2.0 s，然后第二次利用滑雪杖对雪面的作用获得同样的
水平推力，作用距离与第一次相同．已知该运动员连同装备的总质量为m＝60 kg，在整个
运动过程中受到的滑动摩擦力大小恒为Ff＝12 N，求：
(1)第一次利用滑雪杖对雪面的作用获得的速度大小及这段时间内的位移；
(2)该运动员第二次撤去水平推力后滑行的最大距离．
【典例1 基础题对应练习】【答案】(1)1.2 m/s 0.6 m (2)5.2 m
【解析】(1)运动员第一次利用滑雪杖对雪面的作用获得的加速度为a1＝＝1.2 m/s2.
第一次利用滑雪杖对雪面的作用获得的速度大小v1＝a1t1＝1.2 m/s，位移x1＝a1t＝0.6 m.
(2)运动员停止使用滑雪杖后做匀减速直线运动，加速度大小为a2＝＝0.2 m/s2.
第一次撤去水平推力后经过时间t2＝2.0 s，速度变为v1′＝v1－a2t2＝0.8 m/s.
第二次利用滑雪杖获得的速度大小为v2，则v－v1′2＝2a1x1.
第二次撤去水平推力后滑行的最大距离x2＝＝5.2 m.
题型二：斜面式多过程运动模型
【典例2 基础题】物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水
平面成24°角，长度l1＝4 m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接．若货物从倾斜滑轨
顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为μ＝，货物可视为质点(取cos 24°＝
0.9，sin 24°＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2)．
(1)求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小；
(2)求货物在倾斜滑轨末端时速度v 的大小；
(3) 若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2 m/s ，求水平滑轨的最短长度l2.
【典例2 基础题】【答案】(1)2 m/s2 (2)4 m/s (3)2.7 m
【解析】(1)根据牛顿第二定律可得mgsin 24°－μmgcos 24°＝ma1代入数据解得a1＝2 m/s2
(2)根据运动学公式有v2＝2a1l1解得v＝4 m/s
(3)根据牛顿第二定律有μmg＝ma2根据运动学公式有vmax
2－v2＝－2a2l2，代入数据联立解得
l2＝2.7 m.
【典例2 基础题对应练习】一质量为m＝2 kg 的滑块能在倾角为θ＝30°的足够长的斜面上
以a＝2.5 m/s2匀加速下滑．如图所示，若用一水平向右恒力F 作用于滑块，使之由静止开
始在t＝2 s 内能沿斜面运动位移x＝4 m．(g 取10 m/s2)求：
(1)滑块和斜面之间的动摩擦因数μ；
(2)恒力F 的大小．
【典例2 基础题对应练习】【答案】(1) (2) N 或 N
【解析】(1)根据牛顿第二定律可得mgsin 30°－μmgcos 30°＝ma，解得μ＝.
(2)滑块沿斜面做匀加速直线运动，有加速度向上和向下两种可能．由x＝a1t2，得a1＝2
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m/s2，当加速度沿斜面向上时Fcos 30°－mgsin 30°－μ(Fsin 30°＋mgcos 30°)＝ma1，代入
数据得F＝ N 当加速度沿斜面向下时mgsin 30°－Fcos 30°－μ(Fsin 30°＋mgcos 30°)＝ma1
代入数据得F＝ N.
题型三：竖直式多过程运动模型
【典例3 基础题】水平地面上方A 处有一小物块，在竖直向上的恒力F 作用下由静止开始
竖直向上运动，如图所示．经过时间t 到达B 处，此时撤去力F，又经过2t 时间物块恰好
落到地面．已知重力加速度大小为g，A 处离地面的高度h＝gt2，忽略空气阻力，则物块的
质量为( )
A. B． C. D．
【典例3 基础题】【答案】A
【解析】物块在力F 作用下做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，上升高
度为h1，末速度大小为v1，则h1＝at2，v1＝at；撤去力F 后物块做竖直上抛运动，则－(h1
＋h)＝v1·2t－g(2t)2，联立解得a＝g，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，得m＝，A 正确．
【典例3 基础题对应练习】如图所示，四旋翼无人机是一种能够垂直起降的小型遥控飞行
器，目前得到越来越广泛的应用．一架质量m＝2 kg 的无人机，其动力系统所能提供的最
大升力F＝36 N，运动过程中所受空气阻力大小恒为f＝4 N．g 取10 m/s2.
(1)无人机在地面上从静止开始，以最大升力竖直向上起飞．求在t＝5 s 时离地面的高度h.
(2)当无人机悬停在距离地面高度H＝100 m 处时，由于动力设备故障，无人机突然失去升
力而坠落．求无人机坠落地面时的速度v.
【典例3 基础题对应练习】【答案】(1)75 m (2)40 m/s
【解析】(1)设无人机上升时加速度为a，由牛顿第二定律得：F－mg－f＝ma，解得a＝6
m/s2，由h＝at2，解得h＝75 m.
(2)设无人机坠落过程中加速度为a1，由牛顿第二定律得：mg－f＝ma1，解得a1＝8 m/s2，
由v2＝2a1H，解得v＝40 m/s.
题型四：圆环直杆式多过程运动模型
类型一：水平式运动模型
【典例4a 基础题】(多选)如图，穿在水平直杆上质量为m 的小球开始时静止。现对小球沿
杆方向施加恒力F0，垂直于杆方向施加竖直向上的力F，且F 的大小始终与小球的速度成
正比，即F＝kv(图中未标出)。已知小球与杆间的动摩擦因数为μ，小球运动过程中未从杆
上脱落，球上小孔直径略大于直杆直径，且F0>μmg。下列说法正确的是( )
A．小球先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动直到静止
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B．小球先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，直到最后做匀速运动
C．小球的最大加速度为
D．小球的最大速度为
【典例4a 基础题】【答案】BCD
【解析】本题考查受约束的直线运动。由牛顿第二定律有F0－μ(mg－kv)＝ma，小球在F0
作用下向右做加速运动，随着速度的增加，向上的力F 越来越大，导致杆对小球的弹力越
来越小，摩擦力越来越小，加速度越来越大，当F＝mg 时，弹力减小到零，摩擦力减小到
零，此时加速度达到最大值，最大加速度a＝，C 正确；接下来，F>mg 杆对小球的弹力向
下，随速度的增加，F 越来越大，杆对小球的弹力越来越大，摩擦力越来越大，加速度越
来越小，当摩擦力增大到与拉力F0相等时，小球匀速运动，因此小球的加速度先增大后减
小，最后做匀速运动，B 正确，A 错误；小球取得最大速度时，F0＝μ(F－mg)，而F＝
kv，可求得最大速度v＝，故D 正确。
类型二：斜面式运动模型
考点三：物体动力学的图象问题
【知识思维方法技巧】
单个物体动力学图象问题的解题的方法：
（1）函数斜率面积法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数
表达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的如－t、x－v2、
at、Ft、Fa 图像等要注意这种转化。
①x－t 图象的斜率表示速度的大小及方向，纵轴截距表示t＝0 时刻的初始位置，横轴截距
表示位移为零的时刻。
②v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度，v－t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
③a－t 图线与t 轴所围的“面积”代表速度改变量。
④由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知－t 图象的斜率为a，纵轴截距为v0。
⑤由v2－v0
2＝2ax 可知v2＝v0
2＋2ax，故v2－x 图象斜率为2a，纵轴截距为v0
2。
⑥由v2－v＝2ax 得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v0
2。
⑦由x＝at2，可知x－t2图线的斜率表示a。
（2）函数数据代入法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中
的特殊位置或特殊时刻或特殊情况的特殊数据代入函数公式进行计算。
题型一：根据动力学情境选择动力学图象问题
【典例1 基础题】一物块静止在粗糙的水平桌面上。从某时刻开始，物块受到一方向不变
的水平拉力作用，假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a 表示物块的加
速度大小，F 表示水平拉力的大小。能正确描述F 与a 之间的关系的图象是( )
【典例1 基础题】【答案】C
【解析】当拉力F 小于最大静摩擦力时，物块静止不动，加速度为零，当F 大于最大静摩
擦力时，根据F－f＝ma 知，随F 的增大，加速度a 增大，故选项C 正确。
【典例1 基础题对应练习】如图所示，M 为AB 的中点，人用水平恒力推着物体由A 运动
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到M，然后撤去推力让物体自由滑到B 停下．以推力的方向为正方向，则物体由A 到B 过
程中的位移x、速度v、合力F、加速度a 与时间t 的关系图像可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【典例1 基础题对应练习】【答案】B
【解析】物体在水平面上从A 到M 做匀加速直线运动，位移—时间图像为开口向上的抛物
线的一部分，撤去推力后物体做匀减速直线运动，位移—时间图像为开口向下的抛物线的
一部分，故A 错误；物体在水平面上从A 到M 做匀加速直线运动，撤去推力后物体做匀减
速直线运动，由于到达B 点的速度为零，则物体在前后两段的平均速度相等，位移也相等，
故物体在AM 段和MB 段的运动时间相等，物体做匀加速和匀减速直线运动的加速度大小
相等，方向相反，故物体在AM 段和MB 段所受合外力大小相等，方向相反，B 正确，C、
D 错误．
题型二：根据运动学图象分析计算动力学的问题
类型一：根据运动学xt 图象分析计算动力学的问题
【典例2a 基础题】一质量为m 的乘客乘坐竖直电梯下楼，其位移s 与时间t 的关系图像如
图所示．乘客所受支持力的大小用FN表示，速度大小用v 表示．重力加速度大小为g.以下
判断正确的是( )
A．0～t1时间内，v 增大，FN>mg B．t1～t2时间内，v 减小，FN<mg
C．t2～t3时间内，v 增大，FN<mg D．t2～t3时间内，v 减小，FN>mg
【典例2a 基础题】【答案】D
【解析】根据st 图像的斜率表示速度可知，0～t1时间内v 增大，t2～t3时间内v 减小，t1～t2
时间内v 不变，B、C 错误；0～t1时间内速度越来越大，加速度向下，处于失重状态，则
FN<mg，A 错误；t2～t3时间内，速度逐渐减小，加速度向上，处于超重状态，则FN>mg，
D 正确．
类型二：根据运动学vt 图象分析计算动力学的问题
【典例2b 基础题】（多选）受水平外力F 作用的物体，在粗糙水平面上做直线运动，其v
t 图线如图2 所示，则下列说法正确的是( )
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A．在0～t1时间内，外力F 大小不断增大
B．在t1时刻，外力F 为零
C．在t1～t2时间内，外力F 大小可能不断减小
D．在t1～t2时间内，外力F 大小可能先减小后增大
【典例2b 基础题】【答案】CD
【解析】0～t1时间内，物体先做匀加速直线运动，然后做加速度减小的加速运动，由F1－
Ff＝ma1，a1先恒定不变后减小，可知外力先恒定不变后不断减小，A 错；由图线斜率可知
t1时刻的加速度为零，故外力大小等于摩擦力大小，B 错；t1～t2时间内，物体做加速度增
大的减速运动，若外力方向与物体运动方向相同，由Ff－F2＝ma2，a2增大，可知外力逐渐
减小，若外力方向与物体运动方向相反，由Ff＋F3＝ma2，a2增大，可知外力逐渐增大，又
由于在t1时刻，外力F 大小等于摩擦力Ff的大小，所以F 可能先与物体运动方向相同，大
小逐渐减小，减小到0 后再反向逐渐增大，故C、D 对．
【典例2b 基础题对应练习】沿固定斜面下滑的物体受到与斜面平行向上的拉力F 的作用，
其下滑的速度－时间图线如图所示。已知物体与斜面之间的动摩擦因数为常数，在0～5
s、5～10 s、10～15 s 内F 的大小分别为F1、F2和F3，则( )
A．F1<F2 B．F2>F3 C．F1>F3 D．F1＝F3
【典例2b 基础题对应练习】【答案】A
【解析】由题图可知，0～5 s 内加速度a1＝0.2 m/s2，方向沿斜面向下，设斜面倾角为θ，物
体与斜面之间的动摩擦力为f，根据牛顿第二定律有mgsin θ－f－F1＝ma1，F1＝mgsin θ－
f－0.2m；5～10 s 内加速度a2＝0，根据牛顿第二定律有mgsin θ－f－F2＝ma2，F2＝mgsin
θ－f；10～15 s 内加速度a3＝－0.2 m/s2，方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律有mgsin θ－
f－F3＝ma3，F3＝mgsin θ－f＋0.2m。故可得：F3>F2>F1，选项A 正确。
类型三：根据运动学v2－x 图象分析计算动力学的问题
类型五：根据运动学a－t 图象分析计算动力学的问题
【典例5e 基础题】如图甲所示，一个物体放在粗糙的水平地面上．从t＝0 时刻起，物体在
水平力F 作用下由静止开始做直线运动．在0 到t0时间内物体的加速度a 随时间t 的变化规
律如图乙所示．已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等．则( )
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A．在0 到t0时间内，物体的速度逐渐变小
B．t0时刻，物体速度增加到最大值
C．在0 到t0时间内，物体做匀变速直线运动
D．在0 到t0时间内，力F 大小保持不变
【典例5e 基础题】【答案】B
【解析】由题图乙可知，加速度随时间逐渐减小，方向不变，所以加速度方向始终与速度
方向相同，物体做加速运动，故A 错误；当加速度减为零时，速度最大，所以t0时刻，物
体速度增加到最大值，故B 正确；加速度逐渐减小，所以物体不是做匀变速直线运动，故
C 错误；根据F－Ff＝ma，可知，a 减小，Ff不变，所以F 减小，故D 错误．
【典例5e 基础题对应练习】（多选）一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a 随时间
t 变化的图线如图所示，以竖直向上为a 的正方向，则人对地板的压力( )
A．t＝2 s 时最大
B．t＝2 s 时最小
C．t＝8.5 s 时最大
D．t＝8.5 s 时最小
【答案】AD
【解析】人受重力mg 和支持力FN的作用，由牛顿第二定律得FN－mg＝ma。由牛顿第三
定律得人对地板的压力FN′＝FN＝mg＋ma。当t＝2 s 时a 有最大值，FN′最大；当t＝8.5 s 时
a 有最小值，FN′最小，选项A、D 正确。
题型三：根据动力学图象分析计算动力学的问题
【知识点的理解与应用】
首先要根据具体的物理情境，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量
间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而
由图像给出的信息求出未知量。
类型一：根据动力学a－F 图象分析计算动力学的问题
【典例3a 基础题】（多选）一个物块放在粗糙的水平面上，现用一个很大的水平力推物块，
并且推力不断减小，结果物块运动中的加速度a 随推力F 变化的图像如图所示。重力加速
度g＝10 m/s2下列说法正确的是( )
A．物块的质量为0.5 kg
B．物块与水平面间的动摩擦因数为0.2
C．当推力F 减小为2 N 时，物块的速度最大
D．当推力F 减小为0 时，物块的速度为零
【典例3a 基础题】【答案】BC
【解析】选由物块运动中的加速度a 随推力F 变化的图像可知，当推力F＝2 N 时，加速度
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为零，运用牛顿第二定律，F－μmg＝0；当F＝0 时，加速度a＝－2 m/s2，运用牛顿第二
定律，－μmg＝－ma，联立解得：μ＝0.2，m＝1.0 kg。即物块与水平面间的动摩擦因数为
0.2，物块的质量为1.0 kg，选项A 错误，B 正确。用一个很大的水平力推物块，并且推力
不断减小，物块做加速度逐渐减小的加速运动，当推力F 减小为2 N 时，物块的速度最大，
选项C 正确。当推力F 减小为0 时，物块做减速运动，物块的速度不为零，选项D 错误。
【典例3a 基础题对应练习】如图甲所示，用一水平外力F 推物体，使其静止在倾角为θ 的
光滑斜面上。逐渐增大F，物体开始做变加速运动，其加速度a 随F 变化的图像如图乙所
示。取g＝10 m/s2。根据图中所提供的信息不能计算出的是( )
A．物体的质量 B．斜面的倾角
C．使物体静止在斜面上时水平外力F 的大小 D．加速度为6 m/s2时物体的速度
【典例3a 基础题对应练习】【答案】D
【解析】对物体受力分析，受推力、重力、支持力，如图所示
x 方向：Fcos θ－mgsin θ＝ma ①
y 方向：FN－Fsin θ－mg·cos θ＝0 ②
从aF 图像中取两个点(20 N,2 m/s2)，(30 N,6 m/s2)代入①式解得：m＝2 kg，θ＝37°
因而A、B 可以算出；
当a＝0 时，可解得F＝15 N，因而C 可以算出；
题中并未说明力F 随时间变化的情况，故无法求出加速度为6 m/s2时物体的速度大小，因
而D 不可以算出。
类型二：根据动力学F－t 图象分析计算动力学的问题
【典例3b 基础题】如图1 所示，有一质量m＝200 kg 的物件在电机的牵引下从地面竖直向
上经加速、匀速、匀减速至指定位置．当加速运动到总位移的时开始计时，测得电机的牵
引力随时间变化的F-t 图线如图所示，t＝34 s 末速度减为0 时恰好到达指定位置．若不计绳
索的质量和空气阻力，求物件：
(1)做匀减速运动的加速度大小和方向；
(2)匀速运动的速度大小；
(3)总位移的大小．
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【典例3b 基础题】【答案】(1)0.125 m/s2 竖直向下 (2)1 m/s (3)40 m
【解析】(1)牛顿第二定律mg－FT＝ma，得a＝g－＝0.125 m/s2，竖直向下．
(2)运动学公式v＝at2＝1 m/s.
(3)匀速上升的位移h1＝vt1＝26 m，匀减速上升的位移h2＝t2＝4 m，总位移h＝＝40 m.
【典例3b 基础题对应练习】水平地面上质量为1 kg 的物块受到水平拉力F1、F2的作用，
F1、F2随时间的变化如图所示，已知物块在前2 s 内以4 m/s 的速度做匀速直线运动，g 取
10 m/s2，则( )
A.物块与地面的动摩擦因数为0.2 B.3 s 末物块受到的摩擦力大小为3 N
C.4 s 末物块受到的摩擦力大小为1 N D.5 s 末物块的加速度大小为3 m/s2
【典例3b 基础题对应练习】【答案】BC
【解析】在0～2 s 内物体匀速运动，则摩擦力f＝3 N，则μ＝＝0.3，选项A 错误；2 s 后物
体做减速运动，加速度a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，则经过
t＝＝2 s，即4 s 末速度减为零，则3 s 末物块受到的摩擦力大小为3 N，4 s 末物块受到的摩
擦力为静摩擦力，大小为6 N－5 N＝1 N，选项B、C 正确；物体停止后，因两个力的差值
小于最大静摩擦力，则物体不再运动，则5 s 末物体的加速度为零，选项D 错误。
题型四：根据其他图象分析计算动力学的问题
考点四：物体动力学的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界或极值条件的标志:
①题目中有“刚好”“恰好”“正好”“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，即表
明题述的过程存在着极值临界点.
②题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起
止点”，而这些起止点往往对应临界状态.
③题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.
（2）解决动力学临界极值问题的常用方法：
①极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确
解决问题的目的。
②物理分析法：通过对物理过程的分析，寻找过程中变化的物理量。探索物理量的变化规
律。确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
③数学分析法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解决临界极值问题。
题型一：速度的临界极值问题
【典例1 基础题】公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离．当前车突然停止时，
后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰．通常情况下，
人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1 s．当汽车在晴天干燥沥青路面上以108
km/h 的速度匀速行驶时，安全距离为120 m．设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因
数为晴天时的.若要求安全距离仍为120 m，求汽车在雨天安全行驶的最大速度．
【典例1 基础题】【答案】20 m/s
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【解析】设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ0，刹车时汽车的加速度大小为
a0，安全距离为s，反应时间为t0，由牛顿第二定律和运动学公式得μ0mg＝ma0，s＝v0t0＋
式中，m 和v0分别为汽车的质量和刹车前的速度．设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩
擦因数为μ，依题意有μ＝μ0，设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a，安全行驶的最
大速度为v，由牛顿第二定律和运动学公式得μmg＝ma，s＝vt0＋，联立并代入题给数据得
v＝20 m/s(72 km/h)
题型二：位移的临界极值问题
【典例2 基础题】质量为m＝1 kg、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过O 点
时速度为v＝4 m/s，此时对物块施加F＝6 N 的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，
物块刚好能回到O 点。已知与桌面间动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)此过程中物块到O 点的最远距离；
(2)撤去F 时物块到O 点的距离。
【典例2 基础题】【答案】(1)1 m (2) m
【解析】(1)物块向右做匀减速运动时，设物块向左的加速度大小为a1，物块与O 点的最远
距离为x1，则有F＋μmg＝ma1解得a1＝8 m/s2；由v2＝2a1x1，可得x1＝1 m。
(2)物块向左运动过程中，有力F 作用时做匀加速运动，设加速度大小为a2，最大速度大小
为v1，加速位移大小为x2，撤去拉力F 后做匀减速运动，设加速度大小为a3，减速位移大
小为x3，则有F－μmg＝ma2，解得a2＝4 m/s2，μmg＝ma3，解得a3＝2 m/s2，由v＝
2a2x2，v＝2a3x3，x2＋x3＝x1，联立解得x3＝ m，即撤去F 时物块到O 点的距离为 m。
【典例2 基础题对应练习】如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ 可以随意改变，当θ＝
30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.如图乙，若让该小物块从木板的
底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s 沿木板向上运动，随着θ 的改变，小物块沿木
板向上滑行的距离x 将发生变化，重力加速度g 取10 m/s2.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ 角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值.
【典例2 基础题对应练习】【答案】(1) (2)θ＝60° m
【解析】(1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝Ff，Ff＝μmgcos
θ
联立解得：μ＝.
(2)当θ 变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a，则－mgsin θ－μmgcos θ＝
ma，
由0－v0
2＝2ax 得x＝，令cos α＝，sin α＝，即tan α＝μ＝，故α＝30°，又因x＝当α＋θ
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＝90°时x 最小，即θ＝60°，所以x 最小值为xmin＝＝＝ m.
题型三：加速度的临界极值问题
【典例3 基础题】高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加
速度不超过( )
A. 2.0 m/s2
B. 4.0 m/s2
C. 6.0 m/s2
D. 8.0 m/s2
【典例3 基础题】【答案】B
【解析】书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度即Ffm＝
μmg＝mam，解得am＝μg＝4 m/s2，书相对高铁静止，故若书不滑动，高铁的最大加速度为
4 m/s2，B 正确，A、C、D 错误。
题型四：外力作用时间的临界极值问题
题型五：外力的临界极值问题
考点五：二个物体多运动过程问题
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1 基础题】一辆车厢长为4 m 的卡车沿水平路面行驶，在车厢正中央沿行驶方向放
置一根长2 m、质量均匀的细钢管，钢管与车厢水平底板间的动摩擦因数为0.3，重力加速
度g 取10 m/s2。
（1）若卡车以18 m/s 的速度匀速行驶，为了使车厢前挡板不被撞击，求刹车时加速度的最
大值？
（2）若车厢无后挡板，卡车从静止开始匀加速运动，加速度大小为4 m/s2，则经多长时间
钢管开始翻落？
【典例1 基础题】【答案】(1)3.06 m/s2 (2)2 s
【解析】(1)若车厢前挡板恰好不被撞击，则卡车在刹车过程中的位移大小x1＝，对钢管有
μmg＝ma2，解得钢管的加速度大小a2＝μg＝3 m/s2，钢管的位移大小x2＝＝54 m 又由运动
关系可知x2－x1＝，联立以上各式可得am＝ m/s2≈3.06 m/s2。
(2)从卡车开始加速到钢管开始翻落的过程中，卡车的位移x1′＝at2，钢管的位移x2′＝a2t2，
又由运动关系可得x1′－x2′＝＋，联立解得t＝2 s。
题型二：斜面式多过程运动模型
题型三：竖直式多过程运动模型
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