文档文本内容
2021-2022 学年八年级上期期中检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120 分，考试时间100 分钟，试题共26 题．答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的
姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021·浙江八年级期末）如图，在
中，
的延长线于点D，
的长线于点E．
于点C，延长线于点E，
于点C，下列说法错误的是（ ）
A．
是
的AB 边上的高
B．
是
的
边上的高
C．
是
的
边上的高
D．
不是
的高
【答案】A
【分析】根据高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高作答．
【详解】解：A、不符合高的概念，故错误；B、符合高的概念，故正确；
C、符合高的概念，故正确；D、符合高的概念，故正确．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的高的概念，属于基础题，比较简单．
2．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图，
为
的一个外角，点E 为边
上一点，延长
到
点F，连接
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可．
【详解】∵
，∴
，故A 选项正确，不符合题意；
由三角形外角性质即可直接得出
，故B 选项正确，不符合题意；
没有条件可以证明出
和
的关系，故C 选项错误，符合题意；
∵
，
，∴
，
∴
，故D 选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本
题的关键．
3．（2021·浙江温州市·八年级期末）如图，
，
，要说明
，需添加
的条件不能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可；
【详解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；
D、∵AC=DF，∴根据SAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；
4．（2021·黎平县第五中学）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE 交BC 于点
D，CD＝2，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
【答案】A
【分析】当DP⊥AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝
CD，问题得解.
【详解】当DP⊥AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．由作图可知：AE 平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD 的最小值为2，故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最
短解决最短问题，属于中考常考题型．
5．（2021·涿州市实验中学八年级期中）如图所示，在△ABC 中，D、E、F 分别为BC、AD、CE 的中点，
且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
A．2cm2
B．4cm2
C．6cm2
D．8cm2
【答案】B
【分析】三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三
角形的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵S△ABC＝16cm2，D 为BC 中点，∴S△ADB＝S△ADC＝
＝8cm2，
∵E 为AD 的中点，∴S△BED＝
＝4cm2，S△CED＝
＝4cm2，
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，
∵F 为CE 的中点，∴S△BEF＝
S△BEC＝4cm2，故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中线平分面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键．
6．（2021·湖南茶陵·初二期末）如果点
与
关于y 轴对称，则b 的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两点关于y 轴对称，所以它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式求值．
【解析】解：∵
与
关于y 轴对称，∴
，解得
．故选：C．
【点睛】本题考查点坐标关于坐标轴对称的性质，解题的关键在于掌握点坐标关于坐标轴对称时横纵坐标
的关系．
7．（2021·山东冠县·八年级期中）下列各组所述几何图形中，一定全等的是（ ）
A．一个角是
的两个等腰三角形 B．两个等边三角形
C．各有一个角是
，腰长都是8cm 的两个等腰三角形 D．腰长相等的两个等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定方法对选项逐一进行判断即可得.(如：SAS、ASA、AAS、HL 等).
【详解】A、因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；
B、因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；
C、因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．D、因为符合SAS，故本选项正确，故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系，还要注意
要证明三角形全等必须有边的参与.
8．（2021·广东九年级专题练习）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交BC 于点E，交BD 于
点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）
A．48°
B．36°
C．30°
D．24°
【答案】A
【详解】∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC 的中垂线交BC 于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选A．
考点：线段垂直平分线的性质．
9．（2020·西安市铁一中学初三一模）如图，点
为
的重心，则
的值是（
）．
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【分析】如图,分别延长
、
、
，交
、
、
于点
、
、
，根据三角形重心定理
得到
、
、
是
的中线，继而根据三中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求得答
案.
【解析】如图,分别延长
、
、
，交
、
、
于点
、
、
，
因为G 是三角形重心，所以
、
、
是
的中线，所以
，
即
，同理
，所以
，
即
= 1:1:1，故选C.
9．（2021·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球
（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1 号袋
B．2 号袋
C．3 号袋
D．4 号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案．
【详解】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2 号袋，故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
11．（2021·盐城市初二期中）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则
△ADE 的面积为（ ）
A．1
B．2
C．5
D．无法确定
【答案】A
【分析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D 作BC 的垂线交
BC 于G，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC 的长，即为EF 的
长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解析】过D 作BC 的垂线交BC 于G，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC=90°，∠GDC+∠FDC=90°，∴∠EDF=∠GDC，
于是在Rt△EDF 和Rt△CDG 中，
，∴△DEF≌△DCG，
∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，
所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和
面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
12．（2021·重庆市綦江中学八年级月考）如图，在
和
中，
，连接
交于点
，连接
．下列结论：①
；②
；③
平分
；④
平分
．其中正确的个数为（ ）．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明
，即可证明
;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作
于
，
于
,再证明
即
可证明
平分
.
【详解】解：∵
，∴
，即
，
在
和
中，
，∴
，∴
，①正确；
∴
，由三角形的外角性质得：
∴
°，②正确；作
于
，
于
，如图所示：
则
°，
在
和
中，
，∴
，∴
，
∴
平分
，④正确；正确的个数有3 个；故选B．
【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，
角相等.
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·河南驻马店市·八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线
平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图
形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三
角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．
【答案】对应点到对称轴的距离相等
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．
【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．
故答案为：对应点到对称轴的距离相等．
【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．
14.（2021•德城区八年级期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意
角，在边OA，OB 上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N 重合．过角尺顶点
C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依
据是
．
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS 判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐
个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，
∵在△MCO 和△NCO 中{
MO = NO
CO =CO
NC = MC
，∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，即OC 是∠AOB 的平分线．故答案为：SSS．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实
际问题是一种重要的能力，要注意培养．
15．（2021·江西萍乡初二期末）如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，
DE=2，则这个六边形的周长等于_________．
【答案】15
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，
可得到等边三角形，进而求解．
【解析】解：如图，分别作直线AB、CD、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF 的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°．
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP 都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．
∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为15．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是
非常完美的解题方法，注意学习并掌握．
16．（2021·黎平县第五中学）如图，在△ABC 中，∠ABC＝48°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线
交于点E，则∠ABE＝_____°．
【答案】24．
【分析】过点E 作EM⊥AB 于M、EN⊥BC 于N、EO⊥AC 于O，根据角平分线的性质即可得出EM＝EO
＝EN，结合EM⊥AB 于M、EN⊥BC 于N，即可得出BE 平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结
论．
【详解】解：过点E 作EM⊥AB 于M、EN⊥BC 于N、EO⊥AC 于O，如图所示．
∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E，
∴EM＝EO，EN＝EO，∴EM＝EN，
∵EM⊥AB 于M，EN⊥BC 于N，∴BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝
∠ABC＝24°．故答案为24．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质以及角平分线的定义，作垂直巧妙的利用角平分线的性质和判
定得出BE 平分∠ABC 是解题的关键．
17．（2021·重庆八中八年级期末）如图，在
中，
，M、N 为边AB、BC 上的两个动点，将
沿MN 翻折，翻折后点B 的对应点D 落在直线BC 上方，连接CD，
，且
，则当
是等腰三角形时，
_____________度．
【答案】40
【分析】连接BD，根据折叠的性质可得
，得
，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC 三种情况讨论可得结果．
【详解】解：连接BD，如图，
由折叠可得，MB=MD，BN=DN，∴
，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①当NC=DC 时，
又
∴
整理得，
故此种情况不存在；
②当DN=DC 时，
∴
解得，
∴
；∵∠AMD＞20°，∴此种情况须舍去；
③当DN=NC 时，
∵
∴
解得，
∴
综上，
的度数为
故答案为：
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分
类讨论思想是解答此题的关键．
18．（2021·云南省昆明市第十中学八年级期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线
BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A 点出发以3 厘米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着
E 点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E 经过_____秒时，△DEB 与△BCA 全等．
【答案】0,4,12,16
【分析】设点E 经过t 秒时,ΔDEB≌ΔBCA;由斜边ED=CB,分类讨论BE=AC 或BE=AB
或AE=0 时的情况,求出的值即可.
【详解】解:设点E 经过t 秒时, ΔDEB≌ΔBCA;此时AE=3t
分情况讨论:(1)当点E 在点B 的左侧时,BE=24-3t=12,
t=4;
(2)当点E 在点B 的右侧时,
①BE=AC 时,3t=24+12,
t=12;
② BE=AB 时,3t=24+24,
t=16.
(3)当点E 与A 重合时,AE=0,t=0;
综上所述,因此, 本题正确答案是:0,4,12,16.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，注意分类讨论思想的运用.
三、解答题（本大题共6 小题，共66 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2021·绵阳市八年级期中）如图，在由边长为1 的单位正方形组成的网格中，△ABC 的各顶点均在格
点上，且点A、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）．
（1）画出平面直角坐标系xOy；
（2）画出格点△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1；
（3）在y 轴上画出点Q，使△QAB 的周长最小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】(1)由A、C 的坐标可得到平面直角坐标系xOy；
(2)根据轴对称的性质找出A、B、C 对应点的位置，然后顺次连接即可；
(3)连接AB1交y 轴于点Q，此时△QAB 的周长最小．
【详解】解：（1）如图所示：所画平面直角坐标系即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示：点Q 即为所求．
【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
20．（2021·河南平顶山市·八年级期中）在ABC
中，AB
AC
，点P 在平面内，连接AP 并将线段AP
绕点A 顺时针方向旋转与
BAC
相等的角度，得到线段
AQ
，连接
BQ
．
（1）如图1，如果点P 是BC 边上任意一点，线段
BQ
和线段PC 的数量关系是 ；
（2）如图2，如果点P 为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由．请仅以图2 所示的位置关系加以证明（或说明）．
【答案】（1）
BQ
PC
；（2）成立，见解析
【分析】（1）运用“SAS”证
(
)
AQB
APC SAS
△
≌△
可得；（2）运用“SAS”证
(
)
AQB
APC SAS
△
≌△
可得．
【详解】解：（1）
QAP
BAC
，即
BAP
QAB
BAP
PAC
QAB
PAC
．
AQ
是由AP 绕点A 顺时针方向旋转得到的，
AQ
AP
．
又
AB
AC
，
(
)
AQB
APC SAS
△
≌△
，
BQ
PC
故答案为：BQ
PC
．
（2）仍然成立．证明如下：
QAP
BAC
，即
BAP
QAB
BAP
PAC
QAB
PAC
．
AQ
是由AP 绕点A 顺时针方向旋转得到的，
AQ
AP
．
又
AB
AC
，
(
)
AQB
APC SAS
△
≌△
，
BQ
PC
．
【点精】考核知识点：全等三角形的判定和性质．理解全等三角形的判定和性质是关键．
21．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在
中，D 为BC 中点，
交
的平
分线AE 于E，
于F，
交AC 的延长线于G．
（1）求证：
；（2）若
，
，求AF 的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接BE、EC，证明
即可；
（2）证明
，则
，继而求得
的长
【详解】（1）证明：如图，连接BE、EC，
∵
，D 为BC 中点，∴
，
∵
，
，且AE 平分
，∴
，
在
和
中，
，
（HL）∴
．
（2）解：在
和
中，
，
∴
（HL），∴
，
∴
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（2021·镇江市外国语学校八年级月考）如图1，已知
，A、B 两点同时从点O 出发，点
A 沿射线
运动，点B 沿射线
运动．
（1）如图2，点C 为
三条内角平分线交点，连接
、
，在点A、B 的运动过程中，
的
度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
（2）如图3，在（1）的条件下，连接
并延长，与
的角平分线交于点P，与
交于点Q．
①
与
的数量关系为____．②在
中，如果有一个角是另一个角的2 倍，求
的度数．
【答案】（1）不变，120°；（2）①
；②
或
【分析】（1）由
的和不变可知
度数不变；
（2）①利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO 和∠P 表示出∠MBP，据此可得结果；
②设
为
度，可用
表示
三个内角，分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）
的度数不变，理由如下：
点
为
三条内角平分线交点，
，
，
，
，
，
，
，即
的度数不变；
（2）①
点
为
三条内角平分线交点，
，
，
∴
，
为
的角平分线，
，∴
，
，
，整理得：
；
②设
，则
，
，
为
的角平分线，
，
，点
为
三条内角平分线交点，
，
，
，
，
中有一个角是另一个角的2 倍，分四种情况：
（1）
，则
，解得
，此时
，
（2）
，则
，解得
，此时
，
（3）
，则
，解得
，此时
，
（4）
，则
，解得
，故舍去，
中有一个角是另一个角的2 倍，
为
或
．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程等知识点，是一道较综合
的题目，难点是表示
三个内角分类讨论．
23．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC 中，点D 为AC 的中点，若∠EDF＝
120°，点E 与点B 重合，DF 与BC 的延长线交于F 点，则DE 与DF 的数量关系是
；BE＋BF 与
的BC 数量关系是
；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E 移动一定距离（如图2），DE 交AB 于E 点，DF 交BC 的延长线于F 点，其中“等
边△ABC 中，D 为AC 的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE 与DF 有怎样的数量关系？BE＋BF
与BC 之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E 移动到AB 延长线上，DE 与AB 的延长线交于E 点，DF 交BC 的延长线于F 点（如
图3），其中“等边△ABC 中，D 为AC 的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC 这
三者之间的数量关系是
．（直接写出结论即可）
【答案】（1）DE=DF，BE+BF=
BC；（2）DE=DF，BE+BF=
BC；（3）DE=DF，BF-BE=
BC
【分析】（1）点
与点
重合，即
，因为
，所以可得出三者之间的关系；
（2）过
作
交
于
点，证明
，DE=DF，ME=CF，即可得到结果；
（3）取
中点
，连接
，证明△END≌△FCD，得到DE=DF，从而判断BE、BF、BC 的关系．
【详解】解：（1）等边
中，点
为
的中点，
，
，
，
；
（2）
；
．过
作
交
于
点，
则
，
，
是等边三角形，
则
，
，则
，即：
，
在
和
中，
，
，
，
，∴
；
（3）取
中点
，连接
，如图所示
，
，
，
，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全
等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．
24．（2021·广东广州市·八年级期末）如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 是线段BC 上一个
动点，点F 在线段AB 上，且∠FDB＝1
2 ∠ACB，BE⊥DF．垂足E 在DF 的延长线上．
（1）如图2，当点D 与点C 重合时，试探究线段BE 和DF 的数量关系．并证明你的结论；
（2）若点D 不与点B，C 重合，试探究线段BE 和DF 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）BE＝1
2 FD．证明见解析；（2）BE＝1
2 FD，证明见解析．
【分析】（1）首先延长CA 与BE 交于点G，根据∠FDB= 1
2 ∠ACB，BE⊥DE，判断出BE=EG= 1
2 BG；
然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE= 1
2 BG，
可得BE= 1
2 FD，据此判断即可．
（2）首先过点D 作DG∥AC，与AB 交于H，与BE 的延长线交于G，根据DG∥AC，∠BAC=90°，判断
出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG= 1
2
BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE= 1
2 FD，
据此判断即可．
【详解】解：（1）如图，延长CA 与BE 交于点G，
∵∠FDB＝1
2 ∠ACB，∴∠EDG＝1
2 ∠ACB，
∴∠BDE＝∠EDG，即CE 是∠BCG 的平分线，
又∵BE⊥DE，∴BE＝EG＝1
2 BG，
∵∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFE＝∠CFA，
∴∠EBF＝∠ACF，即∠ABG＝∠ACF，
在△ABG 和△ACF 中，
90
ABG
ACF
AB
AC
BAG
CAF
，
∴△ABG≌△ACF（ASA），∴BG＝CF＝FD，
又∵BE＝1
2 BG，∴BE＝1
2 FD．
（2）BE＝1
2 FD，
理由如下：如图，过点D 作DG∥AC，与AB 交于H，与BE 的延长线交于G，
，
∵DG∥AC，∠BAC＝90°，∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BHG＝∠BAC＝90°，
又∵∠BDE＝1
2 ∠ACB，∴∠EDG＝∠BDG﹣∠BDE＝∠C﹣1
2 ∠C＝1
2 ∠C，∴∠BDE＝∠EDG，
在△DEB 和△DEG 中，
90
BDE
EDG
DE
DE
DEB
DEG
，
∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE＝EG＝1
2 BG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，即∠HBG＝∠HDF，
在△BGH 和△DFH 中，
HBG
HDF
HB
HD
BHG
DHF
，∴△BGH≌△DFH（ASA），∴BG＝FD，
又∵BE＝BG，∴BE＝1
2 FD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形
是本题的关键．
25．（2021·河南安阳市·八年级期末）（1）如图1，已知
中，
，
，直线l 经
过点O，
直线l，
直线l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD
之间的数量关系为______；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在
中，
，C，O，D 三点都在直线l 上，并且有
，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在
中，
，
，点A 的坐标为
，点C 的坐标为
，请
直接写出点B 的坐标．
【答案】（1）补全如图所示见解析；
；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为
．
【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD≌△OBC，则有AD=CO，OD=BC，从而可得
；
（2）利用三角形内角和易证
，再证明
，同（1）即可证明结论；
（3）过B、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．
【详解】（1）补全图1 如图所示，
；
证明：∵
，
直线l，
直线l，∴∠BCO=∠ODA=90°，∴∠BOC+∠OBC=90°，
又∵
，∴∠BOC+∠AOD=90°，∴∠OBC=∠AOD，
在△AOD 和△OBC 中
，∴△AOD≌△OBC（AAS）∴AD=CO，OD=BC，
∵
，∴
．
（2）成立．证明：如图，
∵
，
，
∴
在
和
中
∴
（AAS）
∴
，
∴
（3）点B 的坐标为
．过程如下：过B、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M、N，
同理（1）可得，CN=AM，AN=MB，∵点A 的坐标为
，点C 的坐标为
，
∴CN=AM=3，ON=2，OA=1,∴MB=AN=ON-OA=1，OM=AM-OA=2，
∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：
．
【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三
角形是解本题的关键．
26．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图1，在
中，过点
作
，且
，连接
．
（问题原型）（1）若
，且
，过点
作的
的
边上的高
，易证
，从而得到
的面积为______．
（变式探究）（2）如图2，若
，
，用含
的代数式表示
的面积，并说明理
由．
（拓展应用）（3）如图3，若
，
，则
的面积为______．
【答案】（1）32；（2）
，理由见解析；（3）16．
【分析】（1）如图1 中，由AAS 定理可证△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得
出结论；（2）如图2 中，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E，由AAS 定理可证得
△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论．
（3）如图3 中，过点A 作AF⊥BC 与F，过点D 作DE⊥BC 的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得
出BF=
BC，由条件可以得出△AFB≌△BED 就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【详解】解：（1）∵在
中，
，过点
作
且过点
作的
的
边
上的高
，∴
∴
∵
∴
．
在
与
中，
∴
，
∴
故答案为：32
（2）
理由：过点
作
延长线于点
∴
∵
，
∵
∴
．
在
与
中，
∴
，
∴
（3）如图3 中，∵
∴BF=
BC=
×8=4．
过点A 作AF⊥BC 与F，过点D 作DE⊥BC 的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
在△AFB 和△BED 中，
，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=4．
∵S△BCD=
BC•DE，∴S△BCD=
∴△BCD 的面积为16．故答案为：16
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运
用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
