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专题24.10 圆周角（知识讲解）
【学习目标】
1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；
2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
【要点梳理】
【知识点一】定义：顶点在圆上,角的两边都与圆相交的角。(两条件缺一不可)；
【知识点二】圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这
条弧所对的圆心角的一半。
【知识点三】圆周角定理推论：
推论1：在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等；
推论2：直径(半圆)所对的圆周角是直角；90 度的圆周角所对的弦为直径。
【知识点四】常见的辅助线作法：
① 常见辅助线：有直径可构成直角，有90 度圆周角可构成直径；
② 找圆心的方法:作两个90 度圆周角所对两弦交点)。
【知识点五】圆内接四边形性质：
1、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补。(任意一个外角等于它的内对
角)
【知识点六】补充知识点：
补充1：两条平行弦所夹的弧相等；
补充2：圆的两条弦1 在圆外相交时,所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半；（2)
在圆内相交时,所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半；
补充3：同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角,最小的是圆外角。
【典型例题】
类型一、圆周角概念
1．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
【答案】特征见分析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD 是圆周角
解：(a) 1
∠顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1 不是圆周角；
(b) 2
∠顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2 不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、
∠BAD 是圆周角．
(d) 5
∠顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5 不是圆周角；
(e) 6
∠顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6 不是圆周角.
【点拨】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交
的角叫做圆周角是解题的关键．
举一反三：
【变式】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
【答案】图（3）是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两
边没有都与圆相交，都不是圆周角．
【分析】根据圆周角的定义对各图进行判断即可．
解：图（3）顶点在圆上，并且两边都与圆相交，是圆周角．图（1）（2）的顶点没有
在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角．
【点拨】本题考查了圆周角定义，解题关键是明确顶点在圆上，并且两边都与圆相交
的角叫做圆周角．
类型二、利用圆周角定理求值或证明
2．如图，点A，B，C，D 在⊙O 上，
＝
．求证：
(1)
AC＝BD； (2) △ABE∽△DCE．
【分析】
（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．
解：(1)∵
＝
∴
＝
∴
∴BD=AC
(2)∵∠B= C
∠；∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【点拨】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．
举一反三：
【变式1】如图，在菱形ABCD 中，
，P 为AC，BD 的交点，
经过
A，B，P 三点．
(1) 求证：AB 为
的直径．
(2) 请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】
（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证；
（2）延长DA 交
于点Q，连接PQ，则PQ 即为所求，理由：连接BQ，根据AB 为
的直径，可得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得
∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆周角定理，即可求解．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵
经过A，B，P 三点．
∴AB 为
的直径；
(2)解：如图，延长DA 交
于点Q，即为所求，
理由：连接BQ，
∵AB 为
的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性
质是解题的关键．
【变式2】如图，在
中，
，以AC 为直径作⊙O 分别交AB、BC 于点
D、E，连接EO 并延长交⊙O 于点F，连接AF．
(1) 求证：
；
(2) 若
，求AF 的长．
【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）根据
，
，根据等边对等角即可得证；
（2）证明四边形
是平行四边形，连接
，根据直径所对的圆周角是直角，根
据等腰三角形的性质可得
，根据平行四边形的性质即可求得
的长．
解：(1)
，
，
，
，
，
(2)
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
连接
，
是直径，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判
定，掌握以上知识是解题的关键．
3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，D 是弧AC 的中点，延长BC 到点E，使
，连接BD，ED．
(1)求证：
；
(2)若
，
，⊙O 的直径长为 ．
【答案】(1) 见分析 (2) 10
【分析】
（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到
∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理
可得△AOD 是等边三角形，故半径为5，即可求得直径．
(1)证明：∵D 是弧AC 的中点，
∴
，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD 和△CED 中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
(2)解：连接OA，OD，如图，
∵D 是弧AC 的中点，
∴
，
∴∠ABD=∠CBD=
，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD 是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的
弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
举一反三：
【变式1】如图， A，
是半圆
上的两点，
是
的直径，
，
是
的中点．
(1) 在
上求作一点
，使得
最短；
(2) 若
，求
的最小值．
【答案】(1) 作图见分析 (2)
【分析】
（1）作出B 关于CD 的对称点
，连接
，交CD 于P 点，P 就是所求的点；
（2）延长AO 交圆与E，连接
，可以根据圆周角定理求得
的度数，根
据等腰三角形的性质求得∠A 的度数，然后在直角
中，解直角三角形即可求解．
(1)解： 作
，交圆于
，然后连接
，交CD 于P 点，P 就是所求的点；
此时：
(2) : 延长AO 交圆于E，连接
．
∵
，
∴
，
∵∠AOD=80°，B 是
的中点，
∴
．
∴
，
又∵
，
∴
．
∵AE 是圆的直径，
∴
， 而
∴直角
中，
，
∴
【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求
得
的度数是关键．
【变式2】如图，点A，B 分别在∠DPE 两边上，且
，点C 在∠DPE 平分线
上．
(1)连接AC，BC，求证：
；
(2)连接AB 交PC 于点O，若
，
，求PO 的长；
(3)若
，且点O 是
的外心，请直接写出四边形PACB 的形状．
【答案】(1)证明见分析(2)
(3)正方形，理由见分析
【分析】
（1）证明△PAC≌△PBC 即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB 于O，求得AO=3，再利用勾股定
理即可得到结论；
（3）先证明
在以O 为圆心，OP 为半径的圆上，再证明
∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°， 可得四边形
为矩形，再证明
根据正方形的判定定理即可得到结论．
(1) 证明：∵点C 在∠DPE 平分线上，
∴
，
又∵PA=PB，PC=PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS）；
(2)解：∵
∴∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB 于O；
∵PA=6，
∴AO=3，
(3)解：如图，
∵点O 是△PAB 的外心，
∴OA=OB=OP，而OP=OC，
在以O 为圆心，OP 为半径的圆上，
为圆的直径，
∴∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，
∴四边形
为矩形，
平分
∴四边形
为正方形．
【点拨】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确
定，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
类型三、 同弧或等弧所对的圆周角相等
4．已知：如图，
中，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连
接DE，若
．求证：
．
【分析】连接
，根据直径所对的圆周角是直角，可得
，根据
弦与圆周角的关系可得
，进而证明
，可得
，根据已
知条件，等量代换即可得证．
解：连接
，如图，
AB 为直径的⊙O，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了弦与圆周角的关系，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性
质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，AB 为
的直径，
，
于D，交BE 于F，连接
CB．求证：
．
【分析】连接AE，根据同圆等弧所对的圆周角相等得到
，再根据直径
所对的圆周角是直角得到
，再根据垂直的定义得到
，从而可以推出
得到
．
解：证明：连接AE，
∵
，
∴
，
∵AB 为直径，
∴
，
∴
，
∵
于D，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
∴
．
【点拨】本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，
垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
【变式2】如图，△ABC 内接于⊙O，设∠B＝α，请用无刻度的直尺按要求作图（保
留作图痕迹）．
(1) 在图①中画一个度数是2α 的圆心角；
(2) 在图②中作出∠C 的余角．
【分析】
（1）根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2 倍，分别连接OC、OA，可得
∠COA＝2α；
（2）连接OA，延长OA 交圆于P 连接PC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠PCA
＝90°，可得∠PCB 是∠ACB 的余角．
解：(1)如图①，连接OA、OC，
∵∠ABC 和∠AOC 是
所对的圆周角和圆心角，∠B＝α，
∴∠AOC=2∠ABC=2α．
∴∠AOC 即为所求．
(2)如图②，连接OA，延长OA 交圆于P，连接PC，
∵AP 为直径，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACB+∠PCB=90°，
∴∠PCB 是∠ACB 的余角，
∴∠PCB 即为所求．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；熟练掌握圆周角定理是解
题关键．
类型四、半圆或直径所对的圆周角等于90 度
5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是圆上两点，点C 是弧AB 的三等分点，
AD=6，BD=8．求BC 的长．
【答案】5
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB 和∠ACB 的度数，结合已知条
件利用勾股定理求得直径AB 的长，再根据点C 是弧AB 的三等分点得到∠BOC 的度数，进
而利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
解：∵AB 是直径
∴∠ADB=∠ACB=90°
∴AB=
∵点C 是弧AB 的三等分点
∴∠BOC=
=60°
∴∠BAC=30°
∴BC=
AB=5
【点拨】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，正确识图是解题的关键．
举一反三：
【变式1】请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留画图痕迹，不写作法）
已知四边形ABCD 内接于
，且已知
．
(1) 在图1 中已知
，在
上求作一个度数为30°的圆周角；
(2) 在图2 中，已知
，在
上求作一个度数为30°的圆周角．
【分析】
（1）连接BD，利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质可得
结合
得出答案；
（2）如图，作直径AE，连接AC，利用圆周角定理得出
进而得出答案．
(1)解：如图1，
（或
）即为所求作的角，
(2)解：如图2，
，
【点拨】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理的应用，正确应用圆周角定理是解
题关键．
【变式2】 如图，四边形ABCD 内接于
，连接AC、BD，BD 是
的直径，且
，
．求证：
．
【分析】要证
，只要证
，可先证△ABC 是等边三角形，求得
，
，即可．
解：∵
，BD 是
的直径，
∴
，
，
∵
，
∴△ABC 是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查了圆周角定理的推论及等边三角形的判定，直径所对的圆周角等于
90°，通过计算角的度数证线段相等是解决问题的关键．
类型五、90 度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆
6．已知P 是
上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上
分别有动点A、B（不与P，Q 重合），连接AP、BP．若
．
（1）如图1，当
，
，
时，求
的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ 的面积
（3）如图2，连接AB，交PQ 于点M，点N 在线段PM 上（不与P、M 重合），连接
ON、OP，若
，探究直线AB 与ON 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；见分析
【分析】
（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB 是
⊙O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；
（2）证明
是等腰直角三角形，得出
，根据
可得结论；
（3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ=∠BPQ 证得
，即可证得OQ⊥AB，然后
根据三角形内角和定理证得∠NOQ=90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON．
解：（1）连接AB，如图1，
∵
，
∴
，
∴AB 是
的直径，
∴
，
∴
的半径为
；
（2）连接AQ，BQ，如图2，
∵
∴
∵
∴
∴
是等腰直角三角形
∵
，
∴
∴
（3）
，理由如下：连接OQ，如图3，
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∴
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D，∠ABC 的平分线交AD 于
点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC 外接圆的半径．
【答案】（1）见分析；（2）△ABC 外接圆的半径：r
【分析】
（1）结合角平分线的定义，首先证明D 为弧BC 的中点，从而证得∠DBC＝∠BAE，
再利用等角对等边证明即可；
（2）在（1）的基础上，连接CD，利用等弧所对的弦相等，从而得到等腰直角三角
形，进而求解即可．
解：（1）证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴
，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：
，
∴CD＝BD＝5，
∵∠BAC＝90°，
∴BC 是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC
5
，
∴△ABC 外接圆的半径：r
．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股
定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【变式2】仅用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1 中，锐角△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于点D. 请画出△ABC 的角平分线
AM；
（2）在图2 中，点C 在半圆内，请作出△ABC 中AB 边上的高．
【答案】（1）见分析； （2）见分析．
【分析】
（1）根据垂径定理延长OD 交半圆于点E，弧BE 与弧CE 相等，则他们所对的圆周角
相等，即可求得；
（2）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°，画图即可．
解：（1）延长OD 交⊙O 于点E，连接AE 交BC 于点M，AM 即为所求；
（2）延长AC、BC 分别交半圆于点E、D，连接BE、AD 并延长交于点P，连接PC
并延长交AB 于点F，则线段CF 即为所求的高：
【点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图
−
，
一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形
的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周
角定理．
