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第 24 章 圆过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，OC与⊙O相交于点D，连结AD，若
∠A=24°，则∠C的度数为（ ）
A．24° B．42° C．48° D．52°
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周
角定理．根据切线的性质定理得到∠OBC=90°，由圆周角定理得到∠BOC=2∠A，由
直角三角形的性质即可求出∠C．
【详解】解：∵AB是⊙O直径，BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥AB，
∴∠OBC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×24°=48°，
∴∠C=90°−48°=42°．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．三个点可以确定一个圆 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识．根
据垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、确定一个圆的条件判断各选项即可．
【详解】解：A、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项符合题意；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；D、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．已知点P与⊙O在同一平面内，⊙O的半径为6，若PO=8，则点P与⊙O的位置关系
是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．点P在圆上或圆外
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握当r<d时，点在圆外；当r=d时，点在
圆上；当r>d时，点在圆内是解题的关键．
根据点与圆的位置关系求解作答即可．
【详解】解：由题意知，r=6，d=8，
∴6<8，即r<d，
∴点P在圆外，
故选：C．
1
4．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧（弧所在圆
2
的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC,AC相交于点D，E，连
接AD．若BD=DC,AE=4,AD=5，则AB的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到
AD=DC=BD=5，则可知A,B,C三点在以D为圆心BC直径的圆上，进而得到
∠BAC=90°，由勾股定理求出AB即可．
【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，
∵AD=5
∴DC=AD=5，
∵BD=DC，∴AD=DC=BD=5，
∴A,B,C三点在以D为圆心BC直径的圆上，
∴∠BAC=90°，
∵AE=4，
∴AC=8
∴AB=❑√BC2−AC2=6．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答
关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
5．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD=50°，
则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】连接OC，先根据圆的切线的性质可得∠OCD=90°，从而可得∠OCA=40°，
再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接OC，
∵ CD ⊙O
直线 与 相切，
∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=50°，
∴∠OCA=40°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解
题关键．
6．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理即可得．
【详解】解：∵∠C=55°，
∴由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=110°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直
角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关
键．
8．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转
结束时，点A的坐标为（ ）
A．(❑√3,−1) B．(−1,−❑√3) C．(−❑√3,−1) D．(1,❑√3)
【答案】B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的
坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝❑√AO2−AP2＝❑√3，
∴A（1，❑√3），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（❑√3，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，−❑√3）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（−❑√3，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，❑√3）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，−❑√3），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关
键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为
（ ）
A．❑√3 B．❑√6 C．3 D．2❑√3
【答案】C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的
性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
1
∵∠BOC= ×360°＝60°，
6∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则
∠BOD的度数是（ ）
A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD
的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【详解】解：∵∠DCE=65°，
∴∠DCB=180°−∠DCE=180°−65°=115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∴∠BAD=65°，
∴∠BOD=2∠BAD=2×65°=130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题
的关键．
11．如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．
若AB=4,BC=5，则阴影部分的面积是（ ）41 41
A． π−20 B． π−20 C．20π D．20
4 2
【答案】D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB,BC的半圆的面积加上矩形的面积减去
直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵矩形ABCD内接于⊙O，AB=4,BC=5
∴AC2=AB2+BC2
(AB) 2 (BC) 2 (AC) 2
∴阴影部分的面积是S +π× +π× −π
矩形ABCD 2 2 2
1
S +π× (AB2+BC2−AC2)
矩形ABCD 4
=S
矩形ABCD
=4×5=20，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=❑√2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上
运动时，△PAB面积的最大值是（ ）A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出OA=OB=2，确定AB=2❑√2，再由题意得出
当PO的延长线恰好垂直AB时，垂足为点E，此时PE即为三角形的最大高，连接DO，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=−2，当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0),B(0,−2)，
∴OA=OB=2，
∴AB=❑√OA2+OB2=2❑√2，
∵△PAB的底边AB=2❑√2为定值，
∴使得△PAB底边上的高最大时，面积最大，
点P为CD的中点，当PO的延长线恰好垂直AB时，垂足为点E，此时PE即为三角形的最
大高，连接DO，
∵CD=❑√2，⊙O的半径为1，
❑√2
∴DP=
2
❑√2
∴OP=❑√OD2−DP2=
，
2∵OE⊥AB，
1
∴OE= AB=❑√2，
2
3❑√2
∴PE=OE+OP= ，
2
1 3❑√2
∴S = ×2❑√2× =3，
△PAB 2 2
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，
确定出高的最大值是解题关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，
若∠ADC=20°，则∠BAD= °．
【答案】35
【分析】由题意易得∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC=20°，则有∠BAC=70°，然后
问题可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵A´C=A´C，∠ADC=20°，
∴∠ADC=∠ABC=20°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=35°；
2
故答案为35．
【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
14．如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接OB，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD=60°，则∠OAE=30°，结
合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接OB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∵OD⊥AB，
∴A´D=B´D，∠OEA=90°，
1
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=60°，
2
∴∠OAE=90°−60°=30°，
1 1
∴OE= OA= ×2=1，
2 2
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD=60°是解
题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，
则MD的长是 ．【答案】4
13
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由勾股定理确定AB=13，半径为 ，利
2
用垂径定理确定OM⊥AC，且AD=CD=6，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=12,BC=5，
∴AB=13，
1 13
∴AO= AB= ，
2 2
∵点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，
∴OM⊥AC，且AD=CD=6，
5
∴OD=❑√AO2−AD2=
，
2
∴MD=OM−OD=AO−OD=4，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用
这些知识点是解题关键．
16．如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为
cm2．（结果保留π）
【答案】1500π
1
【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S= lr代值求解即可得到答案．
2【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，
1 1
∴烟囱帽的侧面积S= lr= ×2π×30×50=1500π（cm2），
2 2
故答案为：1500π．
1
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S= lr，熟记扇形面积公式是解决问题
2
的关键．
17．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高
CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
【答案】26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出
半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10厘米，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的
关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且
∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD,PE，则PD+PE的最小值为
．
【答案】8
【分析】根据∠BEC=90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE进行转化．
【详解】设点O为BC的中点，由题意可知，点E在以BC为直径的半圆O上运动，
作半圆O及线段BC关于AB的对称图形（半圆O′），点O的对称点为O′，点E的对称点为
E′，
连接O′E′，PE′，则PE=PE′，
易知当点D，P，E′，O′共线时，PD+PE的值最小，为DE′的长，
如图所示，
在Rt△DCO′中，CD=AB=8，CO′=6，
∴DO′=10
又∵O′E′=2
∴DE′=DO′−O′E′=8，即PD+PE的最小值为8
【点睛】本题考查线段和最短问题，轴对称的性质，以及圆周角定理等知识，解题的关键
是将PE进行转化．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B，求证：直线
CD与⊙O相切．
【答案】见详解
【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠ODA+∠ADC=90°，则CD⊥OD，
再由切线的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODA+∠ADC=90°，
即∠CDO=90°，
∴CD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等
知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
20．（8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的
半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．(1)求证：OF=EC；
(2)若∠A=30°，BD=2，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接OE，根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩
形的性质证明OF=EC即可；
1
（2）根据题意，结合（1）可知OE= BD=1，再由直角三角形中“30°角所对的直角边
2
是斜边的一般”的性质，可推导AO=2OE=2，最后由AD=AO−DO计算AD的长即可．
【详解】（1）解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，∠C=90°，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC；
（2）∵BD=2，
1 1
∴OE= BD= ×2=1，
2 2
∵∠A=30°，OE⊥AC，∴AO=2OE=2×1=2，
∴AD=AO−DO=2−1=1．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等
知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键．
21．（8分）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，
过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长．
【答案】△PEF的周长是24．
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，代入PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ
＋PF即可求出答案．
【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA＝PB＝12cm，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长是：PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF，
＝PE＋EB＋PF＋FA＝PB＋PA＝12＋12＝24，
答：△PEF的周长是24cm．
【点睛】本题主要考查对切线长定理的理解和掌握，能根据切线长定理得出PA＝PB、EB＝
EQ、FQ＝FA是解此题的关键．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线与点
C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．
【答案】(1)相切，见解析
(2)DE=6
【分析】（1）先证得：∠ODC=∠ODE=90°，再证△ODE≌△OBE，得到
∠OBE=∠ODE=90°，即可求出答案；
（2）设半径为r；则：r2+42=(2+r) 2，即可求得半径，再在直角三角形CBE中，利用勾
股定理BC2+BE2=CE2，求解即可．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵CD为⊙O切线，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
又∵OE∥AD，
∴∠DAO=∠EOB，∠ADO=∠EOD，
且∠ADO=∠DAO，∴∠EOD=∠EOB，
在△ODE与△OBE中；
∵¿，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∴直线BE与⊙O相切．
（2）设半径为r；
则：r2+42=(2+r) 2，得r=3；
在直角三角形CBE中，BC2+BE2=CE2，
(2+3+3) 2+DE2=(4+DE) 2，解得DE=6
【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练
掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（10分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交
⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交
AC于点M．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BF=2
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝
∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则 ABM是等边三角形，所以∠M＝
60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证△明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝90°，
∴∠M＋∠DAM＝90°，∠ABM＋∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三
角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角
所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（10分）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距
今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几
何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为A´B．桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26m，设A´B
所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．
连接OB．
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【答案】(1)AD=BD
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为19m
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．【详解】（1）解：∵半径OC⊥AB，
∴AD=BD．
故答案为：AD=BD．
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB=26，CD=5，
1 1
∴BD= AB= ×26=13，OD=OC−CD=R−5，
2 2
在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD2，
即R2=132+(R−5) 2，
解得R=19.4，
∴R≈19，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为19m．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是
解题关键．
25．（10分）（1）课本再现：在⊙O中，∠AOB是A´B所对的圆心角，∠C是A´B所对的
圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分
类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置
1
关系中任选一种情况证明∠C= ∠AOB；
2
（2）知识应用：如图4，若⊙O的半径为2，PA,PB分别与⊙O相切于点A，B，
∠C=60°，求PA的长．
【答案】（1）见解析；（2）2❑√3
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰
三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得
∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．
【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
1
∴∠ACB= ∠AOB；
2
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
1
∴∠ACB= ∠AOB；
2
（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
1 1
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO= ∠APB= （180°-120°）=30°，
2 2
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA= ❑√42−22=2❑√3
【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本
题的关键．
26．（10分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比
为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．
将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．
（结果保留π）【答案】（1）∠BAC=90°；（2）S =（100-25π）cm2．
阴影
【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 E´F弧长，利用弧长公式求n=90°即
可；
（2）由AB=AC，∠BAC=90°，可得 ABC为等腰直角三角形，由AD⊥BC可求
△
1
BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S BAC= BC×AD，利用扇形面积公式求
2
△
S =25π，利用面积差求S 即可．
扇形EF 阴影
【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，
x nπ×2x
∴E´F弧长=2π× = ，
2 180
∴n=90°，
∴∠BAC=90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ABC为等腰直角三角形，
∵△AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
1 1
∴S BAC= BC×AD= ×20×10=100cm2，
2 2
△
90×π×102
∴S = =25π，
扇形EF 360
∴S = S -S =（100-25π）cm2．
阴影 BAC 扇形EF
△
【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，
利用割补法求阴影面积是解题关键．
