文档内容
24.1.3 圆周角
【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】
【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【考点4圆内接四边形的综合运用】
【考点5 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条
弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=
1
圆心角） C
2
B O
A
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 D C
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O
【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】
【典例1】如图，△BDC内接于圆O，AC为圆O的直径，连接AB，若∠ACB=40°，则
∠D的度数为（ ）
A．20° B．25° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理及其推
论是解题的关键．先由直径所对圆周角等于90度，求出∠BAC=50°，从而由圆周角定理
得∠D=∠BAC=50°，最后由圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=40°，
∴∠BAC=50°，
∴∠D=∠BAC=50°，
故选：C．【变式1-1】如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB=60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径
所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，同弧或等弧所对的圆周角相等得到
∠CDB=∠A=60°，进一步计算即可解答．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CDB=60°，
∴∠A=∠CDB=60°，
∴∠ABC=90°−∠A=30°，
故选：A．
【变式1-2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上，若
∠ACB=56°，则∠ADC的度数为（ ）
A．17° B．34° C．56° D．68°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握等弧所对的圆周角相等．
根据圆周角定理得到∠BAC=90°，然后利用互余计算出∠ABC的度数，根据圆周角定理，
从而得到∠ADC的度数．
【详解】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90∘，
∴∠ABC=90°−∠ACB=90°−56°=34°，∵A´C=A´C，
∴∠ADC=∠ABC=34°．
故选B．
【变式1-3】如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点E，连接AC，BD，若∠A=32°，则
∠B的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．62°
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理应用，先根据垂径定
理得出AB⊥CD，再根据同弧所对的圆周角相等，得出∠D=∠A=32°，即可求出结果．
【详解】解：∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，
∴∠DEB=90°，
∵B´C=B´C，
∴∠D=∠A=32°，
∴∠B=90°−∠D=58°，
故选：B．
【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【典例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若A´C=B´C，∠BDC=50°，则
∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．150°【答案】B
【分析】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等
于它的内对角是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=50°，再根据等
腰三角形的性质得出∠ABC=50°，根据圆内接四边形的性质即可求出∠ADC．
【详解】解：∵∠BDC=50°
∴∠BAC=∠BDC=50°
∵A´C=B´C，
∴∠ABC=∠BAC=50°
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°−∠ABC=130°；
故选：B．
【变式2-1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是圆上一点，连接OD，
BD，CD．若DC平分∠ODB，∠BCD=20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，
是解题的关键．根据圆周角定理得出∠BOD=2∠BCD=40°，根据等腰三角形的性质得
1 1
出∠ODB=∠OBD= (180°−40°)=70°，根据角平分线得出∠CDB= ∠ODB=35°，
2 2
根据圆周角定理得出答案．
【详解】解：∵∠BCD=20°，
∴∠BOD=2∠BCD=40°，
∵OB=OD，
1
∴∠ODB=∠OBD= ×(180°−40°)=70°，
2
∵DC平分∠ODB，1
∴∠CDB= ∠ODB=35°，
2
∵B´C=B´C，
∴∠CAB=∠CDB=35°．
故选：C．
【变式2-2】如图，圆上依次有A,B,C,D四个点，AC,BD交于点P，连接AD,AB,BC，
若∠ACB=40°，则∠ADB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等．熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关
键．
根据同弧所对的圆周角相等求解作答即可．
【详解】解：∵A´B=A´B，
∴∠ADB=∠ACB=40°，
故选：B．
【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【典例3】如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若A´C=B´C，∠AOC=36∘，则
∠D=（ ）
A．9∘ B．18∘ C．36∘ D．45∘
【答案】B【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接OB，由A´C=B´C可得
∠BOC=∠AOC=36°，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接OB，
∵A´C=B´C，
∴∠BOC=∠AOC=36°，
1
∴∠D= ∠BOC=18°，
2
故选：B．
【变式3-1】如图，AB，CE是⊙O的两条直径，D是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若
∠ABC=34°，则∠CED的度数为（ ）
A．26° B．28° C．34° D．56°
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理得到
1 1
∠ABC= ∠AOC，∠CED= ∠COD．连接OD，由圆周角定理求出∠AOC=68°，
2 2
由邻补角的性质得到∠BOC=180°−68°=112°，由圆心角、弧、弦的关系得到
1 1
∠BOC=∠COD= ∠BOC=56°，由圆周角定理即可求出∠CED= ∠COD=28°．
2 2
【详解】解：连接OD，1
∵∠ABC= ∠AOC ∠ABC=34°
2
， ，
∴∠AOC=68°，
∴∠BOC=180°−68°=112°，
∵D是劣弧BC的中点，
1
∴∠BOC=∠COD= ∠BOC=56°，
2
1
∴∠CED= ∠COD=28°．
2
故选：B
【变式3-2】如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是弧AC的中点，则
∠D的度数是（ ）
A．60° B．35° C．30.5° D．30°
【答案】D
【分析】本题主要考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根
1
据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB= ∠AOC=60°，再根据圆周角定理解答．
2
【详解】解：连接OB，如图所示：∵点B是弧AC的中点，
1
∴∠AOB= ∠AOC=60°，
2
1
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=30°，
2
故选：D．
【变式3-3】如图，AB，CD是⊙O的直径，E是B´C的中点，DE⊥AB，∠CDE的度
数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，弧与圆心角之间的关系，先由三线
合一定理得到∠BOE=∠BOD，再证明∠COE=∠BOE得到
1
∠COE=∠BOE=∠BOD=60°，则由圆周角定理可得∠D= ∠COE=30°．
2
【详解】解：∵OE=OD，DE⊥AB，
∴∠BOE=∠BOD，
∵E是B´C的中点，
∴E´C=B´E，
∴∠COE=∠BOE，
∴∠COE=∠BOE=∠BOD=60°，
1
∴∠D= ∠COE=30°，
2故选：B．
知识点3 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形
D
C
∴
B
A E
【考点4 圆内接四边形的综合运用】
【典例4】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC=110°，则∠BOC的度数为
（ ）
A．110° B．120° C．70° D．140°
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形对角互补，得到∠BAC=70°，由圆周角定理即可求解，
本题考查了，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵ABCD内接于⊙O，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∴110°+∠BAC=180°，即：∠BAC=180°−110°=70°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°，
故选：D．
【变式4-1】如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，P为劣弧AB上一点，则∠APB度
数是（ ）A．80° B．50°或130° C．100° D．130°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．记D为优弧AB上一点，连接AD，BD，利用圆周角定理
得∠ADB=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠APB的度数．
【详解】解：记D为优弧AB上一点，连接AD，BD，
∵ ∠AOB=100°
，
∴∠ADB=50°，
∵四边形ADBP为圆的内接四边形，
∴∠APB=180°−∠ADB=130°，
故选：D．
【变式4-2】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ADC=32°，则∠BAC=
°．
【答案】58
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，连接BC，由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，又由∠ADC=32°可得∠ABC=32°，进而即可求解，正确作出辅助
线是解题的关键．
【详解】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠ABC=∠ADC=32°，
∴∠BAC=90°−32°=58°，
故答案为：58．
【变式4-3】如图，∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，连接OB、OD，若
∠BOD=144°，则∠BCE的度数为 °．
【答案】72
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据题意得到
∠BCE+∠BCD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，根据同角的补角相等和圆周角定理
1
即可得到∠BCE=∠BAD= ∠BOD=72°．
2
【详解】解：∵∠BCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠BCE+∠BCD=180°，∠BAD+∠BCD=180°
1
∴∠BCE=∠BAD= ∠BOD=72°
2
故答案为：72【考点5 求外接圆直径】
【典例5】如图，圆O是矩形ABCD的外接圆，若AB=❑√3，BC=1，则图中阴影部分的面
积是（ ）
π π
A．4π−❑√3 B．π−❑√3 C． −❑√3 D． +❑√3
2 2
【答案】B
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助
线．
连接AC，首先根据题意得到点O是AC的中点，然后利用勾股定理求出AC=2，
1
AO=CO= AC=1，然后利用阴影部分的面积=S −S 代数求解即可．
2 ⊙O 矩形ABCD
【详解】如图所示，连接AC，
∵圆O是矩形ABCD的外接圆，
∴点O是AC的中点
∵∠B=90°，AB=❑√3，BC=1，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√(❑√3) 2+12=2
1
∴AO=CO= AC=1
2
∴阴影部分的面积=S −S =π⋅AO2−AB⋅BC=π×12−❑√3×1=π−❑√3．
⊙O 矩形ABCD
故选：B．
【变式5-1】如图，⊙O为正方形ABCD的外接圆，若BC=2，则⊙O的面积为（ ）A．2π B．3π C．4π D．8π
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，得出AB=BC=2，AB⊥BC，再根据勾股定理，得出
AC=2❑√2，再根据正方形的性质，得出OA=OC=❑√2，进而得出⊙O的半径为❑√2，再
根据圆的面积公式，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，AB⊥BC，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AC2=8，
解得：AC=2❑√2，
1
∴OA=OC= ×2❑√2=❑√2，
2
∴⊙O的半径为❑√2，
∴⊙O的面积为：πr2=π×(❑√2) 2=2π．
故选：A
【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本
题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【变式5-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC:∠ADC=2:1,AB=2 ，点C为
B´D的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E=60∘，则⊙O 的面积是（ ）A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据
等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为B´D的中点，
可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再
根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是 O的内接四边形，
∴∠CBE＝⊙∠ADC，∠BCE＝∠A
∵∠ABC:∠ADC=2:1
∴∠ABC:∠CBE=2:1
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵∠E=60∘
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为B´D的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴⊙O的面积是=π×22=4π
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
【变式5-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长
为（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根
据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边
形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．一、单选题
1．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE弧为100°，则∠AOC的度数为
（ ）
A．30° B．39° C．40° D．45°
【答案】C
【分析】连接OE，利用等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质计算即可.
【详解】连接OE，
解：∵CE弧为100°，
∴∠COE=100°，
∵OC=OE，
180°−100°
∴∠OCE=∠OEC= =40°，
2
∵CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质，熟练掌握平行
线的性质，圆的性质是解题的关键.2．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，且BD是直径，点C为优弧BDA的中点，连接
AB，AC，BC．若∠ABD=60°，则∠CBD的度数为（ ）
A．20° B．15° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等
知识，连接AD，得出∠BAD=90°，∠ADB=90°−∠ABD=30°，进而根据同弧所对
的圆周角相等，得出∠C=∠ADB=30°，根据点C为优弧BDA的中点，得出AC=BC，
进而根据三角形内角和定理得出∠ABC=∠BAC=75°，进而根据
∠CBD=∠ABC−∠ABD，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AD，
∵BD是直径，∠ABD=60°，
∴∠BAD=90°，∠ADB=90°−∠ABD=30°
∵A´B=A´B
∴∠C=∠ADB=30°
∵点C为优弧BDA的中点，
∴A´C=B´C
∴AC=BC，
1
∴∠ABC=∠BAC= (180°−∠C)=75°
2
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=75°−60°=15°，
故选：B．
3．如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB交⊙O于点D，连接AD，∠D＝54°，
则∠C的度数为（ ）A．36° B．54° C．72° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握垂径定理和圆周角
定理是解题的关键.
根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出∠AOD的度数，根据垂径定理深圳
市出∠AOB的度数，根据圆周角定理得出结果.
【详解】解：如图，连接OA,OB，
∵OA=OB=OD，∠D=54°，
∴∠AOD=180°−2∠D=72°．
又∵OD⊥AB，
∴A´D=B´D，
∴∠AOB=2∠AOD=144°，
1
∴∠C= ∠AOB=72°．
2
故选：C．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=110°，则∠ABC的度数为（ ）A．125° B．120° C．115° D．110°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，熟练掌握基础知识是解题的关
键．
1
由圆周角定理可求出∠D= ∠AOC=55°，，再根据圆内接四边形对角互补可求出
2
∠ABC的度数即可解题．
【详解】解：∵∠AOC=110°，
1 1
∴∠D= ∠AOC= ×110°=55°，
2 2
又∵ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC=180°−∠D=180°−55°=125°，
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的弦，CD交AB于点E，且OD=DE，连
接BC．若∠BAC=15°，则∠ODC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【分析】由直径所对的圆周角等于90°可得出∠ACB=90∘，由三角形内角和得出
∠ABC，设∠BCE=x，由圆周角定理可知∠BOD=2x，由等边对等角可得出
∠DEO=∠BOD=2x，由对顶角相等可得出∠CEB=∠DEO=2x，由三角形内角和定
理可得出关于x的一元一次方程，求解出 x=35∘，再利用三角形内角和定理可得出
∠ODC的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘．
∵∠BAC=15∘，
∴∠ABC=90∘−∠BAC=75∘．
设∠BCE=x，则∠BOD=2x，
∵OD=DE，
∴∠DEO=∠BOD=2x，
∴∠CEB=∠DEO=2x，
∴x+2x+75∘=180∘，
解得x=35∘，
∴∠DEO=∠BOD=70∘，
∴∠ODC=180∘−2×70∘=40∘．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，等边对
等角等知识，掌握这些知识是解题的关键．
6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠ABC=60°，则∠BDC的度数为
（ ）
A．30° B．15° C．45° D．28°
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，连接AC，根据直径所对的
圆周角是直角可得∠ACB=90°，进而得到∠CAB=30°，再由圆周角定理即可得到
∠BDC的度数，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CAB=90°−60°=30°，
∴∠BDC=∠CAB=30°，
故选：A．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABO=30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出
∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【详解】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=30°，
∴∠AOB=180°−2∠ABO=120°，
1
∴∠ACB= ∠AOB=60°．
2
故选：B．
8．如图，C、D是AB 为直径的半圆上的点，且C是BD弧的中点，∠BAD=50°， 则
∠D的度数为（ ）A．115° B．105° C．100° D．95°
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，连接BD，由圆周角定理的推论推出∠ADB=90°，
∠BDC=∠BAC=25°，即可得到∠ADC=90°+25°=115°．解题的关键是由圆周角定
理推出∠ADB=90°，∠BDC=∠BAC=25°．
【详解】解：连接BD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵C是BD弧的中点，
1 1
∴∠BAC=∠CAD= ∠BAD= ×50°=25°，
2 2
∴∠BDC=∠BAC=25°，
∴∠ADC=90°+25°=115°．
故选：A．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径OD⊥AC于点E，连接CD，若∠ABC=72°，
则∠EDC的度数是（ ）
A．64° B．54° C．46° D．36°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，连接AD，由圆内接四边形的性质得出∠ADC=108°，由垂径定理得出
AE=CE，∠AED=∠CED=90°，由线段垂直平分线的性质得出AD=CD，最后由等腰
三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接AD，
，
则∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=108°，
∵OD⊥AC，
∴AE=CE，∠AED=∠CED=90°，
∴AD=CD，
1
∴∠EDC=∠EDA= ∠ADC=54°，
2
故选：B．
二、填空题
10．如图，AB是⊙O的直径，B´C=C´D=D´E，∠AOE=66°，那么∠BOC= .
【答案】38°/38度
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，熟练掌握“同圆或等圆中等弧所对的圆心角相
等”是解题的关键．先求得∠EOB的度数，由B´C=C´D=D´E可求得
∠BOC=∠COD=∠DOE，继而可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵ ∠AOE=66°，
∴ ∠EOB=180°−∠AOE=114°，
∵ B´C=C´D=D´E，1
∴ ∠BOC=∠COD=∠DOE= ∠EOB=38°．
3
故答案为：38°．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，若∠A=150°，则
∠DCE的度数为 ．
【答案】150°/150度
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠DCB=180°，再由同角的补角相等即可得
出结果．
本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∠DCE+∠DCB=180°，
∴∠DCE=∠A=150°，
故答案为：150°．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线BD过点O，若∠ABD=65°，则
∠ACB的度数为 °．
【答案】25
【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出∠BCD=90°，∠ACD=65°，根
据角的和差求解即可．
【详解】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠ABD=65°，∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=65°，
∵∠ACB＋∠ACD=∠BCD，
∴∠ACB=25°，
故答案为：25．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若
∠BOD=124°，则∠ACD= °．
【答案】28
1
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ACD= ∠AOD．
2
1
由邻补角的性质得到∠AOD=56°，由圆周角定理求出∠ACD= ∠AOD=28°．
2
【详解】解：∵∠BOD=124°，
∴∠AOD=180°−124°=56°，
1
∴∠ACD= ∠AOD=28°．
2
故答案为：28．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，
OC⊥BD，若∠A等于50°，则∠ADB的度数为 ．
【答案】25°/25度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求
出∠BCD=130°，根据垂径定理得到B´C=D´C，进而求出∠CDB=∠CBD，根据角平
分线的定义解答即可．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=50°，
∴∠BCD=180°−∠A=130°，
∵OC⊥BD，
∴B´C=D´C，
1
∴∠CDB=∠CBD= ×(180°−130°)=25°，
2
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB=25°，
故答案为:25°.
三、解答题
15．如图，⊙O中，A´B=A´C，∠C=70°，求∠A的度数．
【答案】40°
【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系、三角形内角和定理等知识点，掌握同圆中等
弧所对的圆周角相等成为解题的关键；
根据同圆中等弧所对的圆周角相等可得∠B=∠C=70°,再根据三角形内角和定理进行计算
即可解答．
【详解】解：∵⊙O中，A´B=A´C，∠C=70°，
∴∠B=∠C=70°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−70°−70°=40°．
16．如图，在⊙O中，B´D=A´C，求证：
(1)A´B=C´D；(2)∠B=∠C．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点
为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等．
（1）由B´D=A´C，可知B´D−A´D=A´C−A´D，得到A´B=C´D；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系由A´B=C´D，得到∠AOB=∠COD，然后利用等腰三角
形底角相等即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵B´D=A´C，
∴B´D−A´D=A´C−A´D
∴A´B=C´D；
（2）证明：∵A´B=C´D，
∴∠AOB=∠COD，
又∵OA=OB=OC=OD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D，
即∠B=∠C．
17．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是A´B的中点．
(1)求证：四边形OACB为菱形；
(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√3
【分析】（1）求出等边三角形AOC和等边△OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出
答案；
（2）求出AC=OA=AP，再求出∠PCO=90°，∠ACP=∠APC=30°，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴OA=AC，同理OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形AOBC是菱形；
（2）解：∵△OAC是等边三角形，
∴∠OCA=∠OAC=60°，OA=AC，
又∵OA=AP，圆O的半径R=1，
∴OA=AP=AC=1，
∴∠ACP=∠APC，
∵∠ACP+∠APC=∠OAC，
1
∴∠ACP=∠APC= ∠OAC=30°，
2
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=60°+30°=90°，
∴△OPC是直角三角形，
∵OC=1，OP=OA+AP=2，
∴PC=❑√OP2−OC2=❑√22−12=❑√3．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理、菱形的判定与性质、等
边三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
18．如图所示，AB是圆O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交圆O于点C、D．(1)若∠AOD=50°，求∠DOB的度数；
(2)若AB=2❑√5，ED=1，求圆O的半径长．
【答案】(1)∠DOB的度数是50°；
(2)圆O的半径长为3．
【分析】（1）根据垂径定理可得A´D=B´D，从而可得∠AOD=∠BOD=50°，即可解答；
1
（2）根据垂径定理可得AE= AB=❑√5，然后设圆O的半径长为r，再在Rt△AOE中，
2
利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ∵AB是圆O的一条弦，OD⊥AB，
∴ A´D=B´D，
∴∠AOD=∠BOD=50°，
∴∠DOB的度数是50°；
（2）解：∵AB是圆O的一条弦，OD⊥AB，
1
∴AE= AB=❑√5，
2
设圆O的半径长为r，
在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，
∴r2=(r−1) 2+(❑√5) 2 ，
∴r=3，
∴圆O的半径长为3．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是
解题的关键．
