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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
通州区 2024—2025 学年第一学期九年级期末质量检测
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．
1. 在 中， ，如果 ， ，那么 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了锐角三角函数，根据正切的意义进行解答即可．
【详解】解：在 中， ，如果 ， ，
∴ ，
故选：A．
2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，
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∴∠BAC＝ ∠BOC＝60°．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半是解题的关键．
3. 关于函数 ， ， ， 的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 都有最低点
C. y随x增大而增大 D. 对称轴是y轴
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数 的图象性质是解题的关键．
根据 值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据 值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点
或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D．
【详解】解：A．函数 与 的开口向下，函数 与 开口向上，故此选项不符
合题意；
B．函数 与 的开口向下，有最高点；函数 与 开口向上，有最低点，故此
选项不符合题意；
C．函数 与 ，当 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小；函数
与 ，当 时， 随 增大而减小，当 时， 随 增大而增大；故此选项不符合
题意；
D．函数 的对称轴都是 轴，故此选项符合题意；
故选：D．
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4. 如图，以 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 交于点 ，再以 为圆心， 长为半径画弧，
两弧交于点 ，画射线 ，则 （ ）
A. B. C. D. √3
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此求解即可．
【详解】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°= ．
故选B．
的
【点睛】本题主要考查了特殊角 三角函数值，得出△ABC是等边三角形是解题的关键．
5. 如果二次函数 的图象经过点 ，那么该图象必经过点（ ）
A. B. (0,3) C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函
数的对称性解答即可；
【详解】二次函数 的图象得对称轴是直线 ，
∵二次函数 的图象经过点
∴二次函数 的图象必经过点(0,3)，
故选：B
6. 如图，AB是 的直径，点 在AB的延长线上， 切 于点 ，如果 ， ，那
么 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接 ，由切线的性
质得 ，根据等腰三角形的性质得 ，通过外角性质可得
，则 ，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】解：连接 ，
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∵ 切 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7. 为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯 可伸缩，也
可绕点 转动，其底部 离地面的距离 为 ，当云梯顶端 在建筑物 所在直线上时，底部 到
的距离 为 ，若 ，则此时云梯顶端 离地面的高度 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．
根据 的正切可得 ，而 ，进而即可求解．
【详解】解：在直角三角形 中， ，
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，
根据题意可得： ，
，
故选：A．
8. 如图，已知 及 外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是 的中点；
②直线 ， 都是 的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接 ， ， ， ， ，则 ．
对上述结论描述正确的是（ ）
A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②③正确 D. ①②③④都正确
【答案】C
【解析】
【分析】由第一步作图痕迹可知直线 是 的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周
角等于 ，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明 ，由此可得
，进而可得 ，因此可判断④错误．
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【详解】
由第一步作图痕迹可知直线 是 的垂直平分线，因此点A是 的中点，
故①正确；
∵ 是 的直径，
，
， ，
∴直线 ， 都是 的切线，
故②正确；
直线 ， 都是 的切线，根据切线长定理，可知 ，
故③正确；
， ， ，
，
∴ ，
∴ ．
∵点A是 的中点，
，
故④错误．
故选：C
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【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握
以上知识是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 如图，D、E是 边 、 上的两点，且 ， ，那么
___________．
【答案】
【解析】
【分析】通过证明 ∽ ，可求解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
10. 已知一个扇形的半径长为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角 的比，
列式求解即可得到答案，熟记扇形面积公式并正确理解是解决问题的关键．
【详解】解： 一个扇形的半径长为 ，圆心角为 ，
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这个扇形的面积为 ，
故答案为： ．
11. 已知 的直径为 ，如果在 所在平面内有一点P且 ，那么点P在 ______．
（填内、外或上）
【答案】外
【解析】
【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据直径求出半径，
即可判断出点和圆的位置关系．
的
【详解】解： 直径为 ，
的半径为 ，
，
故点P在 外．
故答案为：外．
12. 如图，在 中， ，中线 与高线 相交于点O，写出一个与 相似的三角形，
这个三角形可以是______．
【答案】 或 或 或
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形进
行判定即可．
【详解】解： ， 为中线，
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为高线，
；
，
；
；
， 为中线，
为角平分线，
；
故答案为： 或 或 或 ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 和直线 交于点O和点A．
若点A的横坐标是3，则 的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定 表示的意思是一次函数
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在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可．
【详解】解： 抛物线 和直线 交于点O和点A，且点 的横坐标是
3，
∴由函数图象可得 的解集为 ，
故答案为： ．
14. 图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度 为 ，
竖直高度 为 ，则 的半径为_____________ ．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．
由垂径定理得到 ，设 的半径为 ，则 ，
，在 中，根据勾股定理有 ，代入即可解答．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
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∴ ，
设 的半径为 ，则 ，
∴ ，
∵在 中， ，
即 ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
故答案为：10．
15. 已知二次函数 自变量 x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3
y … 5 0 0
关于x的一元二次方程 的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二
次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线 ，结合当
时， ，再进一步作答即可．
【详解】解：根据题意得：点 ， 均在二次函数 的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，
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由表格信息可得：当 时， ，
∴点 关于对称轴的对称点为点 ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
16. 小明同学想利用“ ， ， ”，这三个条件作 ．他先作出了
和 ，再作 ，那么 的长是______ ．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分 为钝角和锐角，两种情况进行讨
论求解．
【详解】解：过点 作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
当 为钝角时，则： ；
当 为锐角时，则： ；
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故答案为： 或 ．
三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题
每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幂，原式分别代入特殊角三角函数值，再计
算零指数幂，最后再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18. 已知二次函数 ．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴；
（2）请你判断点 是否在此二次函数的图象上；
（3）如果点 ， 均在该抛物线上，那么 ______ ．（填：“ ”“
”或“ ”）
【答案】（1）开口方向向下，对称轴为直线：
（2）点 在此二次函数的图象上
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键：
（1）将一般式化为顶点式，求解即可；
（2）将 代入函数解析式，求出 值，进行判断即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【小问1详解】
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解： ，
函数图象开口方向向下，对称轴为直线： ；
【小问2详解】
解： ，
当 时， ，
点 在此二次函数的图象上；
【小问3详解】
解： 抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
19. 如图，在 中． ，AD是 的中线，如果 ． ．求 的
值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，求角的余弦值，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握余弦
的定义是解题关键．由直角三角形斜边中线的性质得出 ， ，从而得出
，由勾股定理可求出 ，即得出 ．
【详解】解：∵ ， 是 的中线，
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∴ ， ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
20. 如图，菱形 的对角线 和 交于点O，分别过点A、B作 ． ． 和
交于点E．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，当 ． 时，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的
关键．
（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形 是平行四边形，根据菱形的性质得到 ，
根据矩形的判定定理得到四边形 是矩形；
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（2）根据菱形的性质得到 ，求得 ，得到 ，根据
三角函数的定义即可得到结论．
【小问1详解】
∵ ， ，
是
∴四边形 平行四边形，
∵四边形 是菱形，对角线 和 交于点O，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∵四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
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21. 如图，在 中， ．
求作：射线 ，使得 ．
小靖同学的作法如下：
①以点 为圆心， 长为半径画圆，延长 交 于点 ；
②作 的角平分线交 于点 ；
③作射线 ．
所以射线 即为所求．
请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接 ， ， 点 在 上．
BD是 的直径， ______（______）（填推理依据）
平分 ， ． ，
（______）（填推理依据）．
， ．（______）（填推理依据）． ．
【答案】（1）图见解析
（2） ，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一
【解析】
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【分析】（1）按照所给作法以及角平分线的尺规作图法补全图形即可；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得 ，由相等的圆周角所对的弧相等可得 ，由等弧
所对的圆心角相等可得 ，由三线合一可得 ，然后由垂直于同一直线的两直线
平行即可得出结论．
【小问1详解】
解：使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）如下：
【小问2详解】
证明：连接 ， ，
， 点 在 上．
是 的直径， （直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）
平分 ， ． ，
（等弧所对的圆心角相等）（填推理依据）．
， ．（三线合一）（填推理依据）． ．
故答案为： ，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一．
【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），画出直线、射线、线段，直径所对的圆周角是直角，
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角平分线的有关计算，利用弧、弦、圆心角的关系求证，根据三线合一证明，垂直于同一直线的两直线平
行等知识点，熟练掌握基本的尺规作图方法和技巧是解题的关键．
22. 在矩形 中， ，点G 为边 上一点， ， 于点E，
（1）求证 ；
（2）求证E是 的中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性
质是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得 ，进而可证明 ；
（2）根据相似三角形的性质求出 的长是解答本题的关键．
【小问1详解】
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
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∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴E是 的中点．
23. 某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角 ，打开时桌面与同一支架
的夹角 （桌面 ），已知支架 ，求桌面上升的高度约为多少？
（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据： ， ，
， ， ， ）．
【答案】桌面上升的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
做辅助线，过点 作 于点 ，交 于点 ，由三角函数求出 、 的值，即可得出答
案．
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【详解】解：过点 作 于点 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴桌面上升的高度约为 ．
24. 如图， 的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是 的中点，连结CF交 于点G，连
结 ．
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（1）求证： ．
（2）若 ， ，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 证明 ，即可得到 ；
（ 2 ） 连 结 ， 求 出 直 径 的 长 ， 即 得 半 径 ， 求 出 ， 由 （ 1 ） 知
，再求出 ，利用勾股定理求出 ，根据垂径定理即可求出 ．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，连结 ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性
质、三角形全等的判定定理是解题的关键．
25. 如图，在 中， ，O是AB的中点，到点O的距离等于 的所有点组成图形G，图
形G与边 交于点D，过点D作 于点E．
（1）依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；
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（2）CA延长线交图形G于点F，如果 ， ，求DE的长．
【答案】（1）补全图形见解析，直线DE与图形G（ ）只有一个公共点，或直线DE与 相切，证
明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线证明、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）由题意得图形G是以点O为圆心， 为半径的圆；连接 ，可证直线DE与 相切；
（2）过点O作 于点G．可得 ，推出四边形 是矩形；根据
，即可求解；
【小问1详解】
解：补全图形；
结论：直线DE与图形G（ ）只有一个公共点，或直线DE与 相切
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵点D在图形G（ ）上，
∴直线DE与图形G（ ）只有一个公共点．
【小问2详解】
解：过点O作 于点G．
∴
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （舍负），
∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）若二次函数 的图象上存在两点 ， ，其中 ，
，且 ，求m的取值范围．
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【答案】（1）此二次函数图象的对称轴是直线
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键．
（1）先求出二次函数经过点 和 ，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；
（ 2 ） 先 根 据 （ 1 ） 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 ， 再 求 出
，判断出 ， ，从而可得 ，
据此建立不等式组，解不等式组即可得．
【小问1详解】
解：对于二次函数 ，
当 时， ，
∴这个二次函数的图象经过点 ，
又∵这个二次函数的图象经过点 ，
∴此二次函数图象的对称轴是直线 ．
【小问2详解】
解：由（1）可设二次函数的解析式为 ，
∵这个二次函数的图象上存在两点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
∴ ， ，
∴
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，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
27. 在 中， ， 于点M，D是线段 上的动点（不与点
B，C，M重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段DE．
（1）如图1，如果点E在线段 上，求证： ；
（2）如图2，如果D在线段BM上，在射线 上存在点F满足 ，连接 求证：
．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即
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可．
（ 1 ） 由 旋 转 可 知 ： ， ， 进 而 得 ； 根 据
， ，可得 ；结合在 中，
，即可求证；
（2）延长 到点N，使 ，连接 可推出 ， ，证
，即可求证；
【小问1详解】
证明：∵线段 绕点D顺时针旋转 得到线段DE．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【小问2详解】
证明：如图，延长 到点N，使 ，连接
∵ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
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28. 在平面直角坐标系 中， 的半径是3．对于点P和 ，给出如下定义：过点C的直线与
交于不同的点M，N，如果点P为线段 的中点，我们把这样的点P叫做关于 的“弦中点”．
（1）如图1，已知点C(−2,0)；
①点 ， ， 中是关于 的“弦中点”的是______；
②若一次函数 的图象上只存在一个关于 的“弦中点”，求b的值；
（2）如图2，若 ，一次函数 的图象上存在关于 的“弦中点”，直接写出m的
取值范围．
【答案】（1）① ， ；② 或
（2）
【解析】
【分析】（1）①作直线 ，根据垂径定理可知 ，则可得 点在以 为圆心，1为半
径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；
②由①可知， 点在以 为圆心，1为半径的圆上，设圆心 ，由题意可知直线 与圆
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相切，过点 作 垂直直线 交于点 ，先证明 ，根据相似三角形的性质即
可求解；
（2）由（1）可知， 点在以 为直径的圆弧 上，由题意可得直线 与圆弧 相交或
相切，分两种情况求出 的值，即可得 的取值范围．
【小问1详解】
解：①作直线 ，
∵ 点是弦 的中点，
，
，
∴ 点在以 为直径的圆上，
，
∴ 点在以 为圆心，1为半径的圆上，
∵点 在该圆上，
∴点 是关于 的“弦中点”，
故答案为： ；
②由①可知， 点在以 为圆心，1为半径的圆上，设圆心 ，
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∵直线 上只存在一个关于 的“弦中点”，
∴直线 与圆 相切，
过点 作 垂直直线 交于点 ，
当直线 与 轴交于正半轴时，
∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
，
，
，
，
，
解得： 或 （舍去），
当直线 与 轴交于负半轴时，同理可得 ，
综上所述， 的值为 或 ；
【小问2详解】
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解： 由（1）可知， 点在以 为直径的圆弧 上，
∵直线 上存在关于 的“弦中点”，
∴直线 与圆 相切或相交，
过点 作 垂直直线 交于点 ，当直线 经过点 时，m取得最大值，
∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
，
，
，
∴圆 的半径为3，
， ，
，
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，
；
当直线 经过点 时，m取得最小值，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
过点 作 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得： ，
解得： ．
∴ 的取值范围 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，
勾股定理等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点 的运动轨迹是解题的关键．
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