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专题 24.2 圆的有关性质--圆周角之七大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 圆周角的概念辨析】........................................................................................................................1
【考点二 圆周角定理】....................................................................................................................................3
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】....................................................................................................5
【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】................................................................................................8
【考点五 90°的圆周角所对的弦是直径】..................................................................................................11
【考点六 已知圆内接四边形求角度】..........................................................................................................13
【考点七 求四边形外接圆的直径】..............................................................................................................15
【过关检测】...........................................................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 圆周角的概念辨析】
例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周
角，选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边
与圆相交的角叫做圆周角．
【变式训练】
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中， 是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【详解】解：根据圆周角定义：可得 是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．
故选B．
【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．
【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；
B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是 的直径， 为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）A． 是 的弦 B． 是圆心角
C． 是圆周角 D．
【答案】B
【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、点C不在 上，所以AC不是 的弦，故错误，不符合题意；
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在 上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若 成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
【考点二 圆周角定理】
例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图， 是 上的三个点， ，则 度数是
．
【答案】
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解： ，
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 为 的直径，点 在 上，且 ，过点 的弦
与线段 相交于点 ，满足 ，连接 ，则 ．
【答案】20
【分析】连接 ，由圆周角定理可得 ，由等腰三角形的性质可得
，再由 结合等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
故答案为：20．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，是
解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，垂足为
E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．
【答案】1
【分析】连接 ，利用圆周角定理及垂径定理易得 ，则 ，结合已知条件，利用
直角三角形中 角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得 是解题的关键．
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图， 为⊙O的直径， ，则
的度数为 ．
【答案】65°/65度
【分析】先根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 的度数；
【详解】 为⊙O的直径，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
【变式训练】
1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图， 为 的外接圆 的直径，若
，则
【答案】 /40度
【分析】连接 ，根据圆周角定理的推论得出 ， ，然后根据角的和差计算即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周
角是直角是解题的关键．
2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且 ，
的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /43度
【分析】连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得
，再根据等边对等角得出 ，最后根据三角形的外角的性质即
可得出答案．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】
例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图， 是 的直径，弦 交 于点 ，连接 ， ．若
，则 ．
【答案】 /61度
【分析】如图，连接 ，证明 ，求出 ，可得结论．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，如果 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余可计算出 的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】（1）解： 是 的直径，
，
，
；
（2）∵ ，
∴在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是 的直径，点C，D是 上的点，且 ， 分
别与 ， 相交于点E，F．(1)求证：点D为弧 的中点；
(2)若 ， ，求 的直径．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】（1）根据圆周角定理可得 ，再由平行线的性质可得 ，从而可得
，再根据垂径定理即可得出结论；
（2）根据垂径定理可得 ，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 是直径
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D为 的中点；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径为20．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】
例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形 中， ，动点P在矩形的内部，连
接 、 ，若 ，则 的最小值是 ．【答案】 /
【分析】由 ，可知 在以 为直径的 上运动，如图，当 三点共线时， 最小，
勾股定理求 的长，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 在以 为直径的 上运动，如图，
∴当 三点共线时， 最小，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了 的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．解题的关键在于确定 的运动轨迹．
【变式训练】
1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在 中， ， ， ，D为线段 上
的动点，连接 ，过点B作 交 于点E，则在点D的运动过程中，求线段 的最小值为
．【答案】 /
【分析】根据 ，得到 ，进而得到点 在以 为直径的圆上，设 的中点为 ，连接
，交 于点 ，连接 ，则： ，当且仅当 三点共线时， 取得最小值，即点
与点 重合时， 取得最小值，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
设 的中点为 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则： ，
∴当且仅当 三点共线时， 取得最小值，此时点 与点 重合，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，求一点到圆上的距离的最小值．解题的关键是确定点 在以 为直径的圆
上．2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形 中， ， ，点F是 边上的一个动点，连
接 ，过点B作 于点G，交射线 于点E，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG
取最小值，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，如图，
∴CG最小值为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，根据题意得出点G的运动轨迹是解本题的关键．
【考点六 已知圆内接四边形求角度】
例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，
那么 ．【答案】
【分析】根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形 内接于 ， ，则
的度数是 ．
【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出 的度数，再根据圆内接四边形的对角互
补求出， 的度数．
【详解】解∶ ，
又 四边形 内接于圆，在四边形 中， ，
，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，求出圆周角的度数是解题的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为 的 中，点 ， 在圆上， ，若
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】利用等腰三角形的性质可得 ，从而利用三角形内角和定理可得 ，
然后根据圆内接四边形对角互补求出 ，再根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从
而求出 的度数．
【详解】解： ， ，
，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
，
是 的直径，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解
题的关键．
【考点七 求四边形外接圆的直径】
例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的
性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出
∠A+∠C=180°是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图， 为正方形 的外接圆，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，得出 ， ，再根据勾股定理，得出 ，再根据正
方形的性质，得出 ，进而得出 的半径为 ，再根据圆的面积公式，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ 的面积为： ．
故选：A
【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练
掌握相关的性质定理．
2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，点C为
的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及
三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为 的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝
30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是 O的内接四边形，
∴∠CBE＝⊙∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为 的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴ 的面积是=
故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
掌握相关性质及公式是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·校考三模）如图，点 、 、 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解： ， ，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， ， ，则 的长为（ ）A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据 是 的直径，可得 ，结合 ，可设 ，则 ，在
中，由勾股定理即可求出．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的求解问题，涉及到勾股定理、直径所对圆周角是直角等，灵活运用所学知识是关键．
3．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由 可求 ，再由 即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的外接圆，且 是 的直径，点D在 上，
连接 、 ，且 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 得出 ，根据 是 的直径，得出 ，最后根据
直角三角形两锐角互余，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角
的一半，直径所对的圆周角是直角．
5．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形 的宽为10，长为12，E是矩形内的动点， ，则
最小值为（ ）A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】由 知点E在以 为直径的半 上，连接 交 于点 ，当点E位于点 位置时，
线段 取得最小值，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴点E在以 为直径的半 上，
连接 交 于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段 取得最小值，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据 知点E在以
为直径的半 上是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·江苏苏州·校考二模）如图， 内接于 ， 为弧 的中点，若 ，则°．
【答案】
【分析】可得 ，由 为弧 的中点，可求 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
为弧 的中点，
，
，
；
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，弧与圆周角的关系，掌握性质是解题的关键．
7．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则
．
【答案】 /72度
【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形， ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 ， 在 上．若 ，则
度．
【答案】
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得 ，
，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解
题的关键．
9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 是 的一条弦， ，垂足为点C，交
于点D，点E在 上， ， ，则弦 的长是 ．【答案】
【分析】根据垂径定理得到 ，结合 得到 ，结合三角函数直接求解即可得
到答案；
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到 ．
10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 是 内
部的一个动点，连接 ，且满足 ，过点 作 于点 ，则 ；当线段
最短时， 的面积为【答案】
【分析】（1）由 ，得到 ，即可得到 ；
（2）首先证明点 在以 为直径的 上，连接 与 交于点 ，此时 最小，利用勾股定理求出
即可得到 ，进而即可求解．
【详解】解：（1） 在 中， ，则 ，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）设 的中点为 ，连接 ，
则 ，
点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小，
在 中， ， ， ，
，
，，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，求圆外
一点到圆的最小、最大距离．
三、解答题
11．（2023秋·九年级课时练习）如图， 内接于 ， 为 的直径． ， ，求
的长．
【答案】3
【分析】证明 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本
题的关键．
12．（2023春·江西九江·九年级校考阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直
径，A是 的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）(1)在图1中，作一个等腰 ．
(2)在图2中，作一个以 为对角线的矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，延长 、 相交于点E，根据圆周角定理及等腰三角形的性质即可得；
（2）连接 、 相交于点M，连接 ， 交于点 ，根据圆周角定理、等腰三角形的性质及矩形
的判定即可得．
【详解】（1）解：如图所示：
连接 ，延长 、 相交于点E，
∵点A是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是圆O的直径，
∴ ，
∴ ，∴ 是等腰三角形；
（2）解：矩形 如图所示：
连接 、 相交于点M，连接 ， ，交于点 ，则点 是三条中线的交点，
∴ ，
则 ，
∵点A是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是圆O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定定理等，理解题意，综合运用这些知
识点进行作图是解题关键．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为 上两定点，点A为 上一动点，过点B作
，交 于点E，点D为射线 上一动点，且 平分 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是矩形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义，可得 ，再根据圆周角定理可得 ，再根据
平行线的性质可得 ，进而得到 ，最后再根据内错角相等两直线平行，即可证明
结论；
（2）由角平分线的定义，可得 ，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得
，即 ，进而得到 ，再根据矩形的判定定理，即可得
出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：四边形 是矩形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为 的直径．∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定定理，灵活运
用相关知识是解答本题的关键．
14．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 ， ，
(1)求证： ；
(2)作 于点 ，若 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（ ）利用等角的余角相等证明即可；
（ ）利用勾股定理求出 ， ，再利用 的正弦函数求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
解法二：∵ ， 是直径，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，连接 ，在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
，
∴ ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
15．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知 为 的直径，C为 上一点， 于E，D
为弧 的中点，连接 ，分别交 于点F和点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后根据已知可得 ，从而可得
，进而可得 ，最后根据对顶角相等可得 ，从而可得
进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接 ，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得 ，然后根据 证明
，从而可得 ，进而可得 ，最后根据等弧所对的圆周角相等可得
，从而可得 ，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
16．（2023秋·九年级单元测试）定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边
所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形．(1)如图1，四边形 内接于 ， ，点C是弧 的中点，连接 ，试说明 与
是偏等三角形．
(2)如图2， 与 是偏等三角形， ， ， ， ，求
的长．
(3)如图3， 内接于 ， ， ， ，若点D在 上，且 与 是偏
等三角形， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 的值为8或
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出 ，再由公共边 即可证明 与
是偏等三角形；
（2）作 于E， 于F，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出 和 的长，设
，再根据 和勾股定理列出等式求解即可；
（3）分类讨论：①当 时和②当 时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性
质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．
【详解】（1）∵点C是弧BD的中点，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 与 是偏等三角形；
（2）作 于E， 于F，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵设 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①当 时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 符合题意，∴ ；
②当 时，
如图，过点D作 于点E，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，符合题意，
设 ，则 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上可知AD的值为8或 ．
【点睛】本题考查新定义，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知
识．理解偏等三角形的定义是解题关键．
