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查漏补缺 07 圆中的计算及其综合（7 大题型）
考点一： 圆中的角度、线段计算问题
【题型一】圆中常见的角度计算问题
1）圆中角度定理都有一个大前提--在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对
应结论是不正确的
1）遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线
①作同弧所对的两个圆周角；
②作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；
③连接多个半径，构造等腰三角形.
2）圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三
角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理
证明.
3）圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四
边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
4）在同圆中，已知弧中点是最常见的给等弧的方式.
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【中考真题】
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，
交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（ ）
A．61° B．63° C．65° D．67°
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得
1
∠AOC=∠BOC=42°，利用圆周角定理求得∠D= ∠AOC=21°，再利用三角形的外角性质即可求
2
解．
【详解】解：∵半径OC⊥AB，
∴A´C=B´C，
∴∠AOC=∠BOC=42°，∠AOB=84°，
∵A´C=A´C，
1
∴∠D= ∠AOC=21°，
2
∴∠OED=∠AOB−∠D=63°，
故选：B．
2．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且A´B=B´C=C´D，点P在
C´D上，若∠PCB=130°，则∠PBA等于（ ）
A．105° B．100° C．90° D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接OB，OC，证明△AOB和△BOC都是
等边三角形，求得∠BPC=30°，利用三角形内角和定理求得∠PBC=20°，据此求解即可．
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【详解】解：连接OB，OC，
∵AD是半圆O的直径，A´B=B´C=C´D，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴△AOB和△BOC都是等边三角形，
∴∠OBC=∠OBA=60°，
∵B´C=B´C，
1
∴∠BPC= ∠BOC=30°，
2
∵∠PCB=130°，
∴∠PBC=180°−130°−30°=20°，
∴∠PBO=60°−20°=40°，
∴∠PBA=40°+60°=100°，
故选：B．
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连
接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出
1
∠B= ∠AOD=40°，有圆的切线定理可得出∠BAC=90°，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
2
【详解】解：∵A´D=A´D，
1
∴∠B= ∠AOD=40°．
2
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∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°−40°=50°．
故选：D．
4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于
点M，则∠AMF的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角
形的性质，连接OC、OE、OD，设CD与EF相交于点N，由圆的内接正多边形的性质可得
∠COD=90°，∠COE=72°，即得∠DOE=∠COD−∠COE=18°，即可由圆周角定理得
1
∠DCE= ∠DOE=9°，进而由三角形内角和定理得∠DNM=∠CNE=63°，再由直角三角形两锐角
2
互余得到∠AMF=∠DMN=27°，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接OC、OE、OD，设CD与EF相交于点N，
∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴∠COD=360°÷4=90°，∠COE=360°÷5=72°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−72°=18°，
1 1
∴∠DCE= ∠DOE= ×18°=9°，
2 2
(5−2)×180°
∵∠CEF= =108°，
5
∴∠CNE=180°−108°−9°=63°，
∴∠DNM=∠CNE=63°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DMN=90°−63°=27°，
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∴∠AMF=∠DMN=27°，
故选：B．
5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，
∠AOC=128°，则∠CDE等于（ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所
对的圆心角等于圆周角的2倍可求得∠ABC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出
∠CDE=∠ABC，即可得到答案．
【详解】解：∵∠ABC是圆周角，与圆心角∠AOC对相同的弧，且∠AOC=128°，
1 1
∴∠ABC= ∠AOC= ×128°=64°，
2 2
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠ABC=64°，
故选：A．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，
则n= ．
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【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理
得∠AOB=36°，再根据正n边形的边数n=360°÷中心角，即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，
∴n=360°÷36°=10，
故答案为：10．
7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，
过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC
的度数为 ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接OC，利用等边
对等角得出∠OAB=∠OBA=20°，∠OCB=∠OBC，利用切线的性质可求出∠OBC=∠OCB=55°，
然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接OC，
∵OA=OB=OC，∠AOB=140°，
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1
∴∠OAB=∠OBA= (180°−∠AOB)=20°，∠OCB=∠OBC，
2
∵CP是切线，
∴∠OCP=90°，即∠OCB+∠BCP=90°，
∵∠BCP=35°，
∴∠OBC=∠OCB=55°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠ABC=105°，
故答案为：105°．
8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，C´D=D´B，AB，CD的
延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
【答案】(1)见详解
(2)45°
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等
知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB=∠E，等量代换可
得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．
（2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，即
∠CAE=2α，由相似三角形的性质可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根据圆内接四边形的性质可得出
2α+2α+90°=180°，即可得出α的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵C´D=D´B
∴∠CAD=∠DAB，
∵DE=AD，
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∴∠DAB=∠E，
∴∠CAD=∠E，
又∵∠C=∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）连接BD，如下图：
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
设∠CAD=∠DAB=α，
∴∠CAE=2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA
∴∠ADC=∠CAE=2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
即2α+2α+90°=180°，
解得：α=22.5°
∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°
【模拟训练】
1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为A´E的中点，则∠ABF=（ ）
A．9° B．12° C．18° D．36°
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是
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解题关键．连接OA,OE,OF，先求出∠AOE=72°，再求出∠AOF=36°，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接OA,OE,OF，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
360°
∴∠AOE= =72°，
5
∴A´E的度数为72°，
∵点F为A´E的中点，
1
∴A´F的度数为 ×72°=36°，
2
∴∠AOF=36°，
1
由圆周角定理得：∠ABF= ∠AOF=18°，
2
故选：C．
⏜
2．（2025·广东清远·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是
BD
的中点，∠A=60°，则∠COD
的度数为（ ）
A．30° B．35° C．60° D．65°
【答案】C
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理的应用，由圆心角、弧、弦的关系定理推出
1 1
∠COD=∠BOC= ∠BOD，由圆周角定理得到∠A= ∠BOD，于是∠COD=∠A=60°．
2 2
⏜
【详解】解：∵点C是
BD
的中点，
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1
∴∠COD=∠BOC= ∠BOD，
2
1
∵∠A= ∠BOD，
2
∴∠COD=∠A=60°．
故选：C．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在6×6的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，
且∠EFC=112°，则∠ACE的度数为（ ）
A．65° B．66° C．67° D．68°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．先判定△ABC是
等腰直角三角形，求得∠ACB=45°，由四边形BCFE是圆内接四边形，求得∠CBE=68°，再根据圆周
角定理求得∠BCE=22°，据此求解即可．
【详解】解：连接AB，BC，BE，CE，
由格点图可知BC为直径，
∴∠BAC=∠BEC=90°，
∵AB=AC=√22+22=2√2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
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∵四边形BCFE是圆内接四边形，
∴∠CBE=180°−∠EFC=68°，
∴∠BCE=90°−∠CBE=22°，
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=67°，
故选：C．
4．（2025·河北邯郸·二模）如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，
连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则sin∠BCD的值为 ．
√5 1
【答案】 / √5
5 5
【分析】根据条件证得∠BID=∠IBD，可得ID=BD，由AB是⊙O的直径，得到BD⊥AD，由于
OI⊥AD，于是求得AD=2ID，设BD=ID=x，根据勾股定理即可得到AB= √5x ，根据三角函数即
可得出答案．
【详解】解：连接BI，
∵ I △ABC
点 是 的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵ C´D=C´D，
∴∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
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∴ID=BD，
∴设ID =BD=x,
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵OI⊥AD，
∴AI=DI，
∴AD=2DI=2x，
∴AB= √BD2+AD2=√x2+(2x) 2=√5x，
∵ B´D=B´D，
∴∠BCD=∠BAD，
BD x √5
∴ sin∠BCD=sin∠BAD= = = ，
AB √5x 5
√5
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外
角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能正确作出辅助线并求出AD=2ID是解此题的关键．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，过四边形ABCD的顶点A，C，D的圆，分别交AB,BC于点E，F.
若∠B=50°，∠D=104°，则E´F的度数为 ❑∘.
【答案】52
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键．
连接CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，再根据三角形的外角性质计算求出∠ECF，得到答案．
【详解】解：如图，连接CE，
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∵ AECD
四边形 为圆内接四边形，
∴∠AEC+∠D=180°，
∵∠D=104°，
∴∠AEC=180°−104°=76°，
∵∠AEC是△CEB的外角，∠B=50°，
∴∠ECF=∠AEC−∠B=76°−50°=26°，
∴E´F的度数为：26°×2=52°，
故答案为：52．
6．（2025·陕西西安·二模）如图，点A,B,C,D均在圆O上．若∠A=56°，A´D=2A´B=2C´D，则
∠ACB的度数为 ．
【答案】31°
【分析】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，连接AD，取A´D中点E，连接AD，EC，
先由圆周角定理得∠ECD=∠ACE=∠ACB=∠CAD，再由圆内接四边形的性质得
∠DAB+∠BCD=180°，进而可求解．
【详解】解：如图，取A´D中点E，连接AD，EC，
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∵A´D=2A´B=2C´D，
∴A´E=E´D=A´B=C´D，
∴∠ECD=∠ACE=∠ACB=∠CAD，
设∠ECD=∠ACE=∠ACB=∠CAD=α，
∴∠ACD=∠ECD+∠ACE=2α，∠BCD=∠ECD+∠ACE+∠ACB=3α，
∠BAD=∠CAD+∠BAC=α+56°
∵点A,B,C,D均在圆O上，
∴ABCD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∴α+56°+3α=180°，
解得∠ACB=α=31°，
故答案为：31°．
【题型二】垂径定理
【基础模型】在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD与点E
C C
O E O E
图示：A B A B
D D
模型结论：CE=DE，
【模型进阶】①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分 .
模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二得二”，解题过程中应灵活运
用该定理.
常见辅助线做法（考点）：
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1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二.
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
【中考真题】
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为4√3，点C在⊙O上，OC⊥AB，
∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解
题关键．由垂径定理可得AD=2√3，由圆周角定理可得∠AOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出
⊙O的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，
∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，
1
∴AD= AB=2√3，
2
∵∠ABC=30°
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=2√3，
AD
∵sin∠AOD= ，
OA
AD 2√3
∴OA= = =4
sin60° √3 ，即⊙O的半径为4，
2
∵OP=5>4，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
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2．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图，A´B是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB．“会圆术”给出A´B
M N2
的弧长l的近似值计算公式：l=AB+ ．当OA=4，∠AOB=60°时，则l的值为（ ）
OA
A．11−2√3 B．11−4√3 C．8−2√3 D．8−4√3
【答案】B
【分析】连接ON,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即
可．
【详解】连接ON，根据题意，A´B是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
得ON⊥AB，
∴点M，N，O三点共线，
∵OA=4，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4,∠OAN=60°，ON=OAsin60°=2√3，
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M N2 (4−2√3) 2
∴l=AB+ =4+ =11−4√3．
OA 4
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解
题的关键．
3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2√3，则OC=
（ ）
A．1 B．2 C．2√3 D．4
【答案】B
【分析】连接OB，由圆周角定理得∠AOB=60°，由OA⊥BC得，∠COE=∠BOE=60°，
CE
CE=BE=√3，在Rt△OCE中，由OC= ，计算即可得到答案．
sin60°
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵∠ADB=30°
， ，
∴∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，
∵ OA⊥BC，
1 1
∴∠COE=∠BOE=60°，CE=BE= BC= ×2√3=√3，
2 2
在Rt△OCE中，∠COE=60°，CE=√3，
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CE √3
∴OC= = =2
sin60° √3 ，
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂
径定理，添加适当的辅助线．
4．（2024·江西·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦
DE⊥AB，将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
【答案】2−√3或2+√3或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DE≤AB，可得DE=1或2，利用勾股定理
进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵AB为直径，DE为弦，
∴ DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE=1或2，
当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB
∴将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
当DE=1时，且在点C在线段OB之间，
如图，连接OD，
1
此时OD= AB=1，
2
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∵DE⊥AB
，
1 1
∴DC= DE= ，
2 2
√3
∴OC=√OD2−DC2=
，
2
2−√3
∴BC=OB−OC= ，
2
∴BF=2BC=2−√3；
当DE=1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
2+√3
同理可得BC= ，
2
∴BF=2BC=2+√3，
综上，可得线段FB的长为2−√3或2+√3或2，
故答案为：2−√3或2+√3或2．
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB
的两侧，E是OB上一点（OE>BE），连接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如图1，若BE=1，CE=√5，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD=2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
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【答案】(1)3
(2)见解析
1
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出∠OBC=∠OCB= (180°−∠BOC)，结合
2
∠BOC=2∠BCE，可得出∠OBC+∠BCE=90°，在Rt△OCE中，利用勾股定理求解即可；
1
（2）法一：过O作OF⊥BD于F，利用垂径定理等可得出BF= BD=OE，然后利用HL定理证明
2
Rt△CEO≌Rt△OFB，得出∠COE=∠OBF，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接AD，证明△CEO∽△ADB，得出∠COE=∠ABD，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵OC=OB，
1
∴∠OBC=∠OCB= (180°−∠BOC)，
2
∵∠BOC=2∠BCE，
1
∴∠OBC= (180°−2∠BCE)=90°−∠BCE，即∠OBC+∠BCE=90°，
2
∴∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2，
∴OC2=(OC−1) 2+(√5) 2 ，
解得OC=3，
即⊙O的半径为3；
（2）证明：法一：过O作OF⊥BD于F，
1
∴BF= BD，
2
∵BD=2OE
∴OE=BF，
又OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，
∴Rt△CEO≌Rt△OFB(HL)，
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∴∠COE=∠OBF，
∴BD∥OC；
法二：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=√AB2−BD2=√(2OC) 2−(2OE) 2=2√OC2−OE2=2CE，
OC CE OE 1
∴ = = = ，
AB AD BD 2
∴△CEO∽△ADB，
∴∠COE=∠ABD，
∴BD∥OC．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全
等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸（注：1尺=10寸），则圆柱形
木材半径是（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】B
1
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理：由垂径定理，可知AD=BD= AB，设⊙O的半径为r寸，在
2
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Rt△AOD中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：OC⊥AB，AB=1尺=10寸；
1
∴AD=BD= AB=5寸，
2
设⊙O的半径为r寸，则：OA=OC=r寸，
∴OD=OC−CD=(r−1)寸，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得：r2=52+(r−1) 2，
∴r=13；即：圆的半径为13寸；
故选：B．
2．（2025·陕西西安·一模）如图，在⊙O中，CD是垂直于直径AB的弦，垂足为E，若∠ABC=22.5°，
OC=6，则弦CD的长为（ ）
A．8√2 B．6√2 C．5√3 D．4√3
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的
应用是解题的关键．由OB=OC，则∠OCB=∠ABC=22.5°，根据外角性质可得
1
∠COA=2∠ABC=45°，又⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CEO=90°，CE=DE= CD，然后证明
2
OE=CE，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC=22.5°，
∴∠COA=2∠ABC=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
1
∴∠CEO=90°，CE=DE= CD，
2
∴∠OCE=90°−45°=45°=∠COE，
∴OE=CE，
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∴OE2+CE2=OC2，
∵OC=6，
∴2CE2=62，
∴CE=OE=3√2，
∴CD=2CE=6√2，
故选：B．
3．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的
几何图形．已知AC=BD=5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD=16cm，⊙O
的半径r=10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】D
【分析】连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F.利用垂径定理，勾股
定理求出OE，EF，再求出FG可得结论．
本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题．
【详解】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F.
∵AC⊥CD BD⊥CD
， ，
∴AC∥BD，
∵AC=BD，
∴四边形ACDB是平行四边形，
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∵BD⊥CD，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=16cm，
∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
1
∴AE=EB= AB=8cm，
2
∴OE=√OA2−AE2=√102−82=6cm，
∴EF=OF−OE=10−6=4cm，
∵EG=AC=BD=5cm，
∴FG=EG−EF=5−4=1cm，
∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，
故选：D．
4．（2025·广西来宾·一模）如图， ⊙O的直径AB=10，⊙O的弦CD⊥AB于点P，且BP=2，则CD的
长为（ ）
A．4 B．4√5 C．6 D．8
【答案】D
1
【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接OC，则OC= AB=5，OP=3，利用勾股定
2
理即可求得PC，最后由CD=2PC完成解答．
【详解】解：连接OC，
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1
则OC=OB= AB=5，
2
∴OP=3，
由勾股定理得：PC=√OC2−OP2=√52−32=4
∴CD=2PC=8
故选：D．
5．（2025·河南南阳·一模）边长为2√3的等边三角形ABC内接于⊙O，长度为2的线段CD绕点C在平面
内旋转．当点D落在⊙O上时BD的长为 ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形．分当点D在B´C上和点D在A´C上两种情况讨论，利用垂径
定理求得半径为2，推出△OCD是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：当点D在B´C上时，连接OC，作OE⊥BC，垂足为E，连接OD，
∵OE⊥BC，
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1
∴BE=CE= BC=√3，
2
∵等边三角形ABC内接于⊙O，
1
∴∠OCE= ∠ACB=30°，
2
CE √3
OC= = =2
∴ cos30° √3 ，
2
∵CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°−∠OCB=30°，
∴BC⊥OD，
∵OE⊥BC，
∴点E在半径OD上，
∴OD是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=2；
当点D在A´C上时，
同理，OB=OC=OD=CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴BD=2+2=4，
综上，BD的长为2或4．
故答案为：2或4．
6．（2025·上海金山·二模）圆O是△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，如
果BC=3，那么MN= ．
3
【答案】
2
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【分析】本题主要考查了垂径定理和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握“垂直于弦的直径平分
弦”以及“三角形的中位线等于第三边的一半”．
根据垂径定理可知点N和点M分别为AC,AB的中点，根据中位线定理即可进行求解．
【详解】解：∵OM⊥AB,ON⊥AC，
∴点N和点M分别为AC,AB的中点，
∵ BC=3，
1 3
∴MN= BC= ，
2 2
3
故答案为： ．
2
7（2025·安徽亳州·二模）在⊙O中，AB为⊙O的弦，连接OA，OB，∠ABO=30°，
(1)如图1，若半径OC⊥AB于点D，CD=1，求弦AB的长；
(2)如图2，MN为⊙O的切线，点P为切点，且MN∥OB，过点P作PF⊥AB于点F，与半径OB相交于
点E．若⊙O的半径是3，求OE的长．
【答案】(1)2√3
(2)√3
【分析】（1）根据垂径定理可得AB=2BD，再根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可得
OB=2OD，进而可列2OD=OD+1，解得OD=1，OB=2，再根据勾股定理可得弦AB的长．
（2）连接OP，由切线的性质，平行线的性质，可得∠BOP=∠BFE=90°，再由对顶角相等可得
∠EPO=∠ABO=30°，即可由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可得PE=2OE，由勾股定
理可得OE=√3．
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【详解】（1）解：∵OC⊥AB，
∴AB=2BD．
∵∠ABO=30°，
∴OB=2OD．
∵OB=OC，OC=OD+CD，CD=1，
∴2OD=OD+1．
∴OD=1，OB=2，
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=√OB2−OD2=√22−12=√3，
∴AB=2BD=2√3．
（2）解：如图，连接OP．
∵MN ⊙O
为 的切线，
∴OP⊥MN，即∠OPN=90°．
∵MN∥OB，
∴∠BOP=∠OPN=90°．
∵PF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠BOP=∠BFE=90°，
∵∠BEF=∠PEO，∠ABO=30°，
∴∠EPO=∠ABO=30°，
∴PE=2OE．
在Rt△PEO中，由勾股定理得PE2=PO2+OE2，
即(2OE) 2=32+OE2，
解得OE=√3．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，平行线的性质，对顶角相等，直角三角形中
30°所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题型三】弧长与扇形面积
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1）熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给
条件求得.
2）当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式 ；当已知弧长l、半径R求扇
形的面积时，选用公式
3）圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合
实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个.
【中考真题】
1．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学
校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，
OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面一侧
绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．
25
A． π B．75π C．125π D．150π
3
【答案】C
【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．本题主要考查了扇形面
积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由题知，
120⋅π⋅202 400
S = = π(cm2)，
扇形OAC 360 3
120⋅π⋅52 25
S = = π(cm2)，
扇形OBD 360 3
400 25
所以山水画所在纸面的面积为： π− π=125π(cm2 )．
3 3
故选：C．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
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A．6π B．12π C．15π D．24π
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面
积π×底面半径×母线长．
【详解】解：S =πrl=π×3×4=12π，
侧
故选：B．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是
5，则该圆锥的体积是（ ）
3√11 √11 2√6
A． π B． π C．2√6π D． π
8 8 3
【答案】D
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧
长相等是解题关键，设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，
进而得出r=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，
∵圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，且扇形的半径l是5，
72π×5
∴扇形的弧长为 =2π，
180
∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
∴2πr=2π，
∴r=1，
∴圆锥的高为√52−12=2√6，
1 2√6
∴圆锥的体积为 π×12×2√6= π，
3 3
故选：D．
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是A´B上一点，
连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则A´C的长为（ ）
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π π π
A． B． C． D．π
6 3 2
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC，根据
OD=DC，BD⊥OC，易证△OBC是等腰三角形，再根据OB=OC，推出△OBC是等边三角形，得到
∠BOC=60°，即可求出∠AOC=20°，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接BC，
∵ OD=DC BD⊥OC
， ，
∴OB=BC，
∴ △OBC是等腰三角形，
∵ OB=OC，
∴ OB=OC=BC，
△OBC是等边三角形，
∴ ∠BOC=60°，
∵ ∠AOB=80°，
∴ ∠AOC=∠AOB−∠BOC=20°，
∵ OA=3，
20×3π π
∴ A´C= = ，
180 3
故选：B．
5．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长
为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
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C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求
解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的底面圆周长为2π×30=60π厘米，
1
∴圆锥的侧面积为 ×60π×40=1200π平方厘米，
2
故选：C．
32．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心
角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】1cm
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公
式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为Rcm，弧长为lcm，
90π×R2
由题意得： =4π，
360
解得：R=4（负值舍去），
1
则 l×4=4π，
2
解得：l=2π，
∴圆锥的底面圆的半径为：2π÷(2π)=1(cm)，
故答案为：1cm．
6．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，
点M为BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N，则∠NMC= 度；将扇
形MCN纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【答案】 40 2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据
平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=110°，再根据三角形的内角和定理可得∠CBD=20°，然后根据
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等腰三角形的性质可得∠BNM=∠CBD=20°，最后根据三角形的外角性质可得∠NMC的度数；先利用
弧长公式求出扇形MCN的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形MCN的弧长求解即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∵∠BDC=50°，
∴∠CBD=180°−∠BCD−∠BDC=20°，
1
由圆的性质可知，MB=MN=MC= BC=18cm，
2
∴∠BNM=∠CBD=20°，
∴∠NMC=∠BNM+∠CBD=40°，
40×π×18
∴扇形MCN的弧长为 =4π(cm)，
180
∴圆锥的底面圆半径为4π÷2π=2(cm)，
故答案为：40；2．
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，
图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和
10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．
【答案】108
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为3×2π×1=6πcm，
n°×π×10
∴ =6π，
180
解得：n=108．
故答案为：108
8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．
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(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A B C ，画出平移后的图形，并直接写出点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)将△A B C 绕点B 逆时针旋转90°得△A B C ．画出旋转后的图形，并求点C 运动到点C 所经过的
1 1 1 1 2 1 2 1 2
路径长．
【答案】(1)作图见解析，B (3，2)
1
(2)作图见解析，π
【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，
（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，
（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，C 运动到点C 所经过的路径长即为弧长即可可求解
1 2
【详解】（1）解：△A B C 如下图所示：
1 1 1
由图可知：B (3，2)；
1
（2）解：△A B C 如上图所示：
2 1 2
π×B C ×90° π×2×90°
C 运动到点C 所经过的路径为： 1 1 = =π
1 2 180 180
【模拟训练】
1．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将边AD绕点A顺时针旋转，使点
⏜
D正好落在BC边上的点D'处，则 DD'的长为（ ）
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π 2π 4π
A．π B． C． D．
2 3 3
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，特殊角的锐角三角函数、弧长公式，首先根据矩形的性质可以得到：
∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，根据特殊角的锐角三角函数可得：∠DAD'=∠AD'B=30°，再根据
弧长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，
由旋转可知AD'=AD=4，
又∵AB=2，
AB 2 1
∴sin∠AD'B= = =
，
AD' 4 2
∴∠AD'B=30°，
∴∠DAD'=∠AD'B=30°，
30 1 2
∴DD
⏜ '的长为
360
×2πr=
12
×2π×4=
3
π．
故选：C．
2．（2025·云南保山·模拟预测）孩子为妈妈制作一个圆锥形生日帽，已知帽子的底面直径为12cm，展开
后的侧面是一个扇形，扇形的半径为20cm．则该圆锥形生日帽的侧面积是（ ）
A．40πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2
【答案】D
1
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算．圆锥体的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积S= lr（l为扇形弧
2
长，r为扇形半径）进行计算即可．
1 1
【详解】解：圆锥体的侧面积为S= lr= ×12π×20=120π(cm2 )．
2 2
故选：D
3．（2025·云南·模拟预测）若一个圆锥的侧面展开图的面积为128πcm2，圆锥的母线与其底面圆的半径之
比为2:1，则这个圆锥的母线长为（ ）
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A．4cm B．8cm C．8√3cm D．16cm
【答案】D
【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解
即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，则：母线长为2rcm，由题意，得：
1
×2πr⋅2r=128π，
2
∴r=8（负值舍去），
∴母线长为2×8=16cm；
故选：D．
4．（2025·福建龙岩·一模）滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，
定滑轮半径为12cm，现需将重物拉升12.56cm（π取3.14），则滑轮旋转的情况为（ ）
A．顺时针旋转60° B．逆时针旋转60°
C．顺时针旋转120° D．逆时针旋转120°
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升12.56cm时，即弧长是12.56cm，设旋转的角度是n°，利
用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：∵滑轮的半径是12cm，
设旋转的角度是n°，
n×12×3.14
由题意得： =12.56，
180
解得：n=60，
∴滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为60°，
故选：B．
5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AC的长为半径画弧，
2
得到C´E，连接AC，AE，若C´E的长为 π，则正六边形的边长为（ ）
3
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√3 2√3
A．2 B．2√3 C． D．
3 3
【答案】D
【分析】设正六边形ABCDEF的边长为x，则AB=BC=x，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出
∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得
1 √3
到AH=CH，BH= x，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH= x，得到AC=√3x，再根据弧长公式
2 2
列方程求解即可．
【详解】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，
(6−2)×180°
∴AB=BC=x，∠ABC=∠BAF= =120°，
6
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
1 1
∴∠BAC= (180°−∠ABC)= ×(180°−120°)=30°，
2 2
过B作BH⊥AC于H，
1 1
∴AH=CH，BH= AB= x，
2 2
√3
在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2= x，
2
∴AC=√3x，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，
2
∵C´E的长为 π，
3
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60π⋅√3x 2
∴ = π，
180 3
2√3
解得x= ，
3
2√3
正六边形的边长为 ．
3
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用．
6．（2025·甘肃·一模）一个吊灯的外罩呈圆锥形（如图1），如图2是这个吊灯的外罩的主视图，则该吊灯
外罩的侧面积是 cm2．（结果保留π）
【答案】240π
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥母线长，以及扇形面积公式．
根据图形可知圆锥底面半径为12cm，圆锥的高为16cm，求出圆锥母线长为20cm，再由求圆锥的侧面公
式即可求解．
【详解】解：根据图形可知，圆锥底面半径为24÷2=12(cm)，圆锥的高为16cm，
∴圆锥母线长为：√162+122=20(cm)，
∴该吊灯外罩的侧面积是π×12×20=240π(cm2)，
故答案为：240π．
7．（2025·河北邯郸·一模）如图，量角器的直径AB=10cm，点A对应0°刻度，点B对应180°刻度，AB
的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心为点O，点P为AB右下方⊙O上一点，弧BP所对应的圆心角为
60°，射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕点P逆时针旋转一周，射线PQ与⊙O，AB分
别相交于点C，点D．
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(1)当点C处的刻度为70°时，直接写出∠CPB的度数；
(2)当射线PQ刚好经过点O时，求PQ在量角器上扫过部分的面积；
(3)当射线PQ旋转至与⊙O相切时，求射线PQ旋转的时间．
【答案】(1)55°
25
πcm2
(2)
3
(3)当射线PQ旋转至与⊙O相切时，射线PQ旋转的时间为30秒或66秒
【分析】本题考查扇形面积公式，圆心角度数，圆周角定理，切线性质等．
（1）连接OC，点C处的刻度为70°时，继而得到邻补角∠BOC=110°，再利用圆周角定理即可得到本
题答案；
（2）连接PO并延长，交⊙O于点C，后得到∠BOC=120°，再利用扇形面积公式即可得到；
（3）过点P作Q″O'⊥PO，利用切线性质分两种情况讨论，继而得到答案．
【详解】（1）解：连接OC，点C处的刻度为70°时，
∵∠AOC=70°
， ，
∴∠BOC=110°，
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1
∴∠CPB= ∠BOC=55°；
2
（2）解：如图，连接PO并延长，交⊙O于点C，
∵∠POB=60°
， ，
∴∠BOC=120°，
∴PQ在量角器上扫过部分为扇形BOC，
120π×52 25
∴S = = πcm2；
扇形BOC 360 3
（3）解：过点P作Q″O'⊥PO，
∴∠Q'PC=∠Q″PC=90°
， ．
∵∠POB=60°，
情况一：∴∠BPQ'=∠Q'PC+∠CPB=150°．
∴射线PQ旋转的时间为150°÷5=30秒；
情况二：∴∠BPQ″=30°．
∴射线PQ转过的角度为330°．
∴射线PQ旋转的时间为330°÷5=66秒，
综上所述，当射线PQ旋转至与⊙O相切时，射线PQ旋转的时间为30秒或66秒．
【题型四】不规则图形面积的计算
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1）求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转
化为规则图形的面积．
【中考真题】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为
（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
【答案】A
【分析】连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．证明△MDO≌△N D'O(ASA)，推出
S =S ，利用S =S −S 即可求解．
四边形MDNO △DD'O 阴影 扇形EOF △DOD'
【详解】解：如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．
∵∠MOD+∠DON=∠NOD'+∠DON=60°
，
∴ ∠MOD=∠NOD'，
∵在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，∠B=120°，
∴∠ADC=∠B=120°，OD⊥AC，
1
∴∠MDO=∠COD= ∠ADC=60°，
2
∵∠DOD'=60°，
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∴∠DD'O=60°，
∴∠DD'O=∠MDO=60°，
∵OD=OD，
∴ △MDO≌△N D'O(ASA)，
∴S =S ．
四边形MDNO △DD'O
∵∠CDO=60°，
1 1 √3 √3
∴DO=CD⋅cos∠CDO= CD= AB=1,AO=CO=CD⋅sin∠CDO= CD= AB=√3，
2 2 2 2
60π×(√3) 2 √3 π √3
∴S =S −S =S −S = −= ×12= − ．
阴影 扇形EOF 四边形MDNO 扇形EOF △DOD' 360 4 2 4
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，
构造三角形全等，利用S =S −S 是解题的关键．
阴影 扇形EOF △DOD'
2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的
圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
4 4 2 4 √3
A． π−√3 B． π C． π−√3 D． π−
3 3 3 3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面
积公式是关键．
如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，得三角形AOO'是等边三角形，求出
2π
AB=√3，S =S −S = −√3，再根据S =S +S ，即可解答．
弓形AO' 扇形AOO' △AOO' 3 阴影 弓形AO' 扇形AO'O
【详解】解：如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，
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∵OA=OO'=AO'=2，
∴三角形AOO'是等边三角形，
1
∴∠AOO'=60°，OB= OO'=1，
2
∴AB=√22−12=√3
60π×22 1 2π
S ❑ =S ❑ −S ❑ = −2×√3× = −√3,
弓形 AO' 扇形 AOO' △ AOO' 360 2 3
∴
2π 2π 4π
∴S =S +S = −√3+ = −√3．
阴影 弓形AO' 扇形AO'O 3 3 3
故选：A．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有
且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8π B．16√3−4π
C．32−4π D．16√3−8π
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得AC=2AD=8，由勾股定理得出
AB=4√3，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．
【详解】解：连接AC，
根据题意可得AC=2AD=8，
∵矩形ABCD，∴AD=BC=4，∠ABC=90°，
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在Rt△ABC中，AB=√AC2−BC2=4√3，
90π×42
∴图中阴影部分的面积=4×4√3−2× =16√3−8π．
360
故选：D．
4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面
的面积（ ）
1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点O作
1 1 √3
OD⊥AB于D，由垂径定理得AD=BD= AB= m，由勾股定理得OD= m，又根据圆的直径为2米
2 2 2
可得OA=OB=AB，得到△AOB为等边三角形，即得∠AOB=60°，再根据淤泥横截面的面积
=S −S 即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
扇形AOB △AOB
1 1
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，则AD=BD= AB= m，∠ADO=90°，
2 2
∵圆的直径为2米，
∴OA=OB=1m，
∴在Rt△AOD中，OD=√OA2−AD2=
√
12−
(1) 2
=
√3
m，
2 2
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∵OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴淤泥横截面的面积=S −S =
60π×12
−
1
×1×
√3
=
(1
π−
√3)
m2 ，
扇形AOB △AOB 360 2 2 6 4
故选：A．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点
D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
√2
(2)若sin∠CFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
【答案】(1)见解析
(2)2π−4
【分析】（1）连接OC，由折叠的性质得∠DBC=∠EBC，∠BEC=∠CDB=90°，再证明OC∥BE，
推出FC⊥OC，据此即可证明CF是⊙O的切线；
（2）先求得∠CFB=45°，在Rt△COD中，求得CD=OD=2√2，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
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∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB，
∴∠DBC=∠EBC，∠BEC=∠CDB=90°，
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠EBC=∠OCB，
∴OC∥BE，
∴∠FCO=∠BEC=90°，
∴FC⊥OC于点C，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
√2
（2）解：∵sin∠CFB= ，
2
∴∠CFB=45°，
由（1）得∠FCO=90°，
∴∠FOC=90°−∠CFB=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
∵AB=8，
1 1
∴OC= AB= ×8=4，
2 2
在Rt△COD中，∠AOC=45°，
√2
∴CD=OD=OCsin∠AOC=4× =2√2，
2
1 1
∴S = OD⋅CD= ×2√2×2√2=4，
△COD 2 2
45
∴S = ×π×42=2π，
扇形AOC 360
∴S =S −S =2π−4．
阴影 扇形AOC △COD
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合
三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交
BA延长线于点D，点E为C´B上一点，且A´C=C´E．
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(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
9√3
(2)3π−
4
【分析】（1）如图1，连接OC．则∠OCD=90°，即∠DCA+∠OCA=90°．由AB为直径，可得
∠ACB=90°，即∠1+∠OCA=90°．则∠DCA=∠1．由OC=OB，可得∠1=∠2．由A´C=C´E，可
得∠2=∠3．则∠DCA=∠3．进而可证DC∥AE．
（2）如图2，连接OE、BE．由EF垂直平分OB，可得OE=BE．则△OEB为等边三角形．
∠BOE=60°，∠AOE=120°．由OA=OE，可得∠OAE=∠OEA=30°．由DC∥AE，可得
∠D=∠OAE=30°．∠DOC=60°．证明△AOC为等边三角形．则∠OCA=60°，OA=OC=AC．
∠DCA=30°．则∠D=∠DCA．DA=AC=OA=OC=OE=3．EF=OE⋅sin60°．
1 120π×32
S = AO⋅EF．S = ，再根据S =S −S ，计算求解即可．
△OAE 2 扇形OAE 360 阴影 扇形OAE △OAE
【详解】（1）证明：如图1，连接OC．
图1
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，即∠DCA+∠OCA=90°．
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠OCA=90°．
∴∠DCA=∠1．
∵OC=OB，
∴∠1=∠2．
∵A´C=C´E，
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∴∠2=∠3．
∴∠DCA=∠3．
∴DC∥AE．
（2）解：如图2，连接OE、BE．
图2
∵EF垂直平分OB，
∴OE=BE．
又∵OE=OB，
∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE=60°，∠AOE=120°．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°．
∵DC∥AE，
∴∠D=∠OAE=30°．
又∵∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°．
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形．
∴∠OCA=60°，OA=OC=AC．
∴∠DCA=30°．
∴∠D=∠DCA．
∴DA=AC=OA=OC=OE=3．
3√3
∴EF=OE⋅sin60°= ．
2
1 9√3
∴S = AO⋅EF= ．
△OAE 2 4
120π×32
又∵S = =3π，
扇形OAE 360
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9√3
∴S =S −S =3π− ，
阴影 扇形OAE △OAE 4
9√3
∴阴影部分的面积为3π− ．
4
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判
定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的
性质定理、正确添加辅助线是解题的关键．
【模拟训练】
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为
（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
【答案】A
【分析】连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．证明△MDO≌△N D'O(ASA)，推出
S =S ，利用S =S −S 即可求解．
四边形MDNO △DD'O 阴影 扇形EOF △DOD'
【详解】解：如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．
∵∠MOD+∠DON=∠NOD'+∠DON=60°
，
∴ ∠MOD=∠NOD'，
∵在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，∠B=120°，
∴∠ADC=∠B=120°，OD⊥AC，
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1
∴∠MDO=∠COD= ∠ADC=60°，
2
∵∠DOD'=60°，
∴∠DD'O=60°，
∴∠DD'O=∠MDO=60°，
∵OD=OD，
∴ △MDO≌△N D'O(ASA)，
∴S =S ．
四边形MDNO △DD'O
∵∠CDO=60°，
1 1 √3 √3
∴DO=CD⋅cos∠CDO= CD= AB=1,AO=CO=CD⋅sin∠CDO= CD= AB=√3，
2 2 2 2
60π×(√3) 2 √3 π √3
∴S =S −S =S −S = −= ×12= − ．
阴影 扇形EOF 四边形MDNO 扇形EOF △DOD' 360 4 2 4
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，
构造三角形全等，利用S =S −S 是解题的关键．
阴影 扇形EOF △DOD'
2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的
圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
4 4 2 4 √3
A． π−√3 B． π C． π−√3 D． π−
3 3 3 3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面
积公式是关键．
如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，得三角形AOO'是等边三角形，求出
2π
AB=√3，S =S −S = −√3，再根据S =S +S ，即可解答．
弓形AO' 扇形AOO' △AOO' 3 阴影 弓形AO' 扇形AO'O
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【详解】解：如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，
∵OA=OO'=AO'=2，
∴三角形AOO'是等边三角形，
1
∴∠AOO'=60°，OB= OO'=1，
2
∴AB=√22−12=√3
60π×22 1 2π
S ❑ =S ❑ −S ❑ = −2×√3× = −√3,
弓形 AO' 扇形 AOO' △ AOO' 360 2 3
∴
2π 2π 4π
∴S =S +S = −√3+ = −√3．
阴影 弓形AO' 扇形AO'O 3 3 3
故选：A．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有
且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8π B．16√3−4π
C．32−4π D．16√3−8π
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得AC=2AD=8，由勾股定理得出
AB=4√3，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．
【详解】解：连接AC，
根据题意可得AC=2AD=8，
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∵矩形ABCD，∴AD=BC=4，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=√AC2−BC2=4√3，
90π×42
∴图中阴影部分的面积=4×4√3−2× =16√3−8π．
360
故选：D．
4．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面
是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面
的面积（ ）
1 √3 1 √3 2 1 1
A． π− B． π− C． π−√3 D． π−
6 4 6 2 3 6 4
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点O作
1 1 √3
OD⊥AB于D，由垂径定理得AD=BD= AB= m，由勾股定理得OD= m，又根据圆的直径为2米
2 2 2
可得OA=OB=AB，得到△AOB为等边三角形，即得∠AOB=60°，再根据淤泥横截面的面积
=S −S 即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
扇形AOB △AOB
1 1
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，则AD=BD= AB= m，∠ADO=90°，
2 2
∵圆的直径为2米，
∴OA=OB=1m，
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∴在Rt△AOD中，OD=√OA2−AD2=
√
12−
(1) 2
=
√3
m，
2 2
∵OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴淤泥横截面的面积=S −S =
60π×12
−
1
×1×
√3
=
(1
π−
√3)
m2 ，
扇形AOB △AOB 360 2 2 6 4
故选：A．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点
D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
√2
(2)若sin∠CFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
【答案】(1)见解析
(2)2π−4
【分析】（1）连接OC，由折叠的性质得∠DBC=∠EBC，∠BEC=∠CDB=90°，再证明OC∥BE，
推出FC⊥OC，据此即可证明CF是⊙O的切线；
（2）先求得∠CFB=45°，在Rt△COD中，求得CD=OD=2√2，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
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∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB，
∴∠DBC=∠EBC，∠BEC=∠CDB=90°，
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠EBC=∠OCB，
∴OC∥BE，
∴∠FCO=∠BEC=90°，
∴FC⊥OC于点C，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
√2
（2）解：∵sin∠CFB= ，
2
∴∠CFB=45°，
由（1）得∠FCO=90°，
∴∠FOC=90°−∠CFB=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
∵AB=8，
1 1
∴OC= AB= ×8=4，
2 2
在Rt△COD中，∠AOC=45°，
√2
∴CD=OD=OCsin∠AOC=4× =2√2，
2
1 1
∴S = OD⋅CD= ×2√2×2√2=4，
△COD 2 2
45
∴S = ×π×42=2π，
扇形AOC 360
∴S =S −S =2π−4．
阴影 扇形AOC △COD
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合
三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
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6．（2024·四川乐山·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交
BA延长线于点D，点E为C´B上一点，且A´C=C´E．
(1)求证：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
9√3
(2)3π−
4
【分析】（1）如图1，连接OC．则∠OCD=90°，即∠DCA+∠OCA=90°．由AB为直径，可得
∠ACB=90°，即∠1+∠OCA=90°．则∠DCA=∠1．由OC=OB，可得∠1=∠2．由A´C=C´E，可
得∠2=∠3．则∠DCA=∠3．进而可证DC∥AE．
（2）如图2，连接OE、BE．由EF垂直平分OB，可得OE=BE．则△OEB为等边三角形．
∠BOE=60°，∠AOE=120°．由OA=OE，可得∠OAE=∠OEA=30°．由DC∥AE，可得
∠D=∠OAE=30°．∠DOC=60°．证明△AOC为等边三角形．则∠OCA=60°，OA=OC=AC．
∠DCA=30°．则∠D=∠DCA．DA=AC=OA=OC=OE=3．EF=OE⋅sin60°．
1 120π×32
S = AO⋅EF．S = ，再根据S =S −S ，计算求解即可．
△OAE 2 扇形OAE 360 阴影 扇形OAE △OAE
【详解】（1）证明：如图1，连接OC．
图1
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，即∠DCA+∠OCA=90°．
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠OCA=90°．
∴∠DCA=∠1．
∵OC=OB，
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∴∠1=∠2．
∵A´C=C´E，
∴∠2=∠3．
∴∠DCA=∠3．
∴DC∥AE．
（2）解：如图2，连接OE、BE．
图2
∵EF垂直平分OB，
∴OE=BE．
又∵OE=OB，
∴△OEB为等边三角形．
∴∠BOE=60°，∠AOE=120°．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°．
∵DC∥AE，
∴∠D=∠OAE=30°．
又∵∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°．
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形．
∴∠OCA=60°，OA=OC=AC．
∴∠DCA=30°．
∴∠D=∠DCA．
∴DA=AC=OA=OC=OE=3．
3√3
∴EF=OE⋅sin60°= ．
2
1 9√3
∴S = AO⋅EF= ．
△OAE 2 4
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120π×32
又∵S = =3π，
扇形OAE 360
9√3
∴S =S −S =3π− ，
阴影 扇形OAE △OAE 4
9√3
∴阴影部分的面积为3π− ．
4
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判
定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的
性质定理、正确添加辅助线是解题的关键．
考点二： 圆与直线的位置关系
【题型一】切线性质与判定综合
1）给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.
2）给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的
外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”.
3）当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的
半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”.
4）运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角
形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
【中考真题】
1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，
切点分别为C，D．若AB=10,PC=12，则sin∠CAD等于（ ）
12 13 13 12
A． B． C． D．
5 12 5 13
【答案】D
【分析】连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP，
PC=PD，OP平分∠CPD，根据等腰三角形的性质得到OP⊥CD，则∠COB=∠DOB，根据圆周角
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1
定理得到∠CAD= ∠COD，所以∠COB=∠CAD，然后求出sin∠COP即可．
2
【详解】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，
∵PC PD ⊙O C D
， 与 相切，切点分别为 ， ，
∴OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴ C´B=D´B，
∴∠COB=∠DOB，
1
∵∠CAD= ∠COD，
2
∴∠COB=∠CAD，
∵AB=10,
∴AO=OC=OB=5,
∵OC=5,PC=12
∴在Rt△OCP中，OP=√OC2+PC2=√52+122=13，
PC 12
∴sin∠COP= = ，
OP 13
12
∴sin∠CAD= ．
13
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB，以D为圆心，AD为半
AB 1
径的弧恰好与BC相切，切点为E．若 = ，则sinC的值是（ ）
CD 3
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2 √5 3 √7
A． B． C． D．
3 3 4 4
【答案】B
【分析】作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求
解在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到DE，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，
∵AD⊥AB，AB∥CD，
∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，
∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，
∴AB为⊙D的切线，
由题意，BE为⊙D的切线，
∴DE⊥BC，AB=BE，
AB 1
∵ = ，
CD 3
∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
则BF=AF−AB=CD−AB=2a，BC=BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2=CD2−CE2=9a2−x2，
在Rt△BFC中，FC2=BC2−BF2=(a+x) 2−(2a) 2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2−x2=(a+x) 2−(2a) 2，
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解得：x=2a或x=−3a（不合题意，舍去），
∴CE=2a，
∴DE=√CD2−CE2=√9a2−4a2=√5a，
DE √5a √5
∴sinC= = = ，
DC 3a 3
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运
用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于
点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
【答案】(1)见解析
4
(2)
5
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，根据等腰三角形三线合一可知，AO⊥BC，AO平分
∠BAC，结合AC与半圆O相切于点D，可推出ON=OD，得证；
（2）由题意可得出∠OAC=∠COD，根据OF=OD，在Rt△ODC中利用勾股定理可求得OD的长度，
CD
从而得到OC的长度，最后根据sin∠OAC=sin∠COD= 即可求得答案．
OC
【详解】（1）证明：连接OA、OD，作ON⊥AB交AB于N，如图
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∵△ABC O BC
为等腰三角形， 是底边 的中点
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC
∵AC与半圆O相切于点D
∴OD⊥AC
由∵ON⊥AB
∴ON=OD
∴AC是半圆O的切线
（2）解：由（1）可知AO⊥BC，OD⊥AC
∴∠AOC=90°，∠ODC=90°
∴∠OAC+∠OCA=180°−∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°−∠ODC=90°
∴∠OAC=∠COD
CD
∴sin∠OAC=sin∠COD=
OC
又∵ OF=OD，CF=2
∴在Rt△ODC中，CD=4，OC=OF+FC=OD+2
∵ OC2=CD2+OD2，
∴ (OD+2) 2=42+OD2
解得：OD=3
CD CD 4 4
∴sin∠OAC=sin∠COD= = = =
OC OD+2 3+2 5
4．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，
与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC．
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(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若DE=2，GH=3，求D´E的长l．
【答案】(1)见解析
2π
(2)
3
【分析】（1）连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，根据等腰三角形的性质得AO为∠BAC的平分线，
再根据⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径得OM=OD，进而根据切线的判定可得到结论；
（2）过点E作EN⊥AB于点N，先证△ODE≌△OGF得到DE=GF=2，进而得到FH=1，再证
△BNE≌△CHF得到EN=FH=1，然而在Rt 中利用三角函数可求出∠EDN=30°，进而得△ODE
△DEN
为等边三角形，据此得∠DOE=60°，OD=OE=DE=2，则∠DOF=120°，最后得到弧长公式即可得
到答案．
【详解】（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，
∵AB=AC O BC
， 是 的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵ ⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径，
∴OD为⊙O的半径，
∴OD⊥AB，
又OM⊥AC，
∴ OM=OD，
即OM为⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线；
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
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∵ O ⊙O
点 为 的圆心，
∴OD=OG,OE=OF，
在△ODE和△OGF中，
¿，
∴△ODE≌△OGF(SAS)，
∴DE=GF，
∵DE=2,GH=3，
∴GF=2，
∴FH=GH−GF=3−2=1，
∵AB=AC，O是BC的中点，
∴OB=OC,∠B=∠C，
又OE=OF，
∴BE=CF，
∵GH⊥AC,EN⊥AB，
∴∠BNE=∠CHF=90°，
在△BNE和△CHF中，
¿，
∴△BNE≌△CHF(AAS)，
∴EN=FH=1，
在Rt 中，DE=2,EN=1，
△DEN
EN 1
∴sin∠EDN= = ，
DE 2
∴∠EDN=30°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODE=90°−∠EDN=90°−30°=60°，
又OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠DOE=60°,OD=OE=DE=2，
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∴∠DOF=180°−∠DOE=180°−60°=120°，
60π×2 2π
∴l= = ．
180 3
【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形
的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关
键．
5．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点
C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC=PA．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD⋅OC=PA⋅OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
8
(3)8√3− π
3
【分析】（1）连接PO，证明△PAO≌△PCO，即可得证；
OC PA
（2）根据sinD= = ，即可得证；
OD PD
（3）根据圆周角定理得出∠COD=2∠CAB=60°，进而勾股定理求得CD，根据
S =S −S ，即可求解．
阴影 △OCD 扇形OBC
【详解】（1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
如图所示，连接PO
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在△PAO与△PCO中，
¿
∴△PAO≌△PCO (SSS)
∴∠PCO=∠PAO=90°
∵C为⊙O上的一点．
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PC是⊙O的切线；
∴OC⊥PD，
OC PA
∴sinD= =
OD PD
∴PD⋅OC=PA⋅OD
（3）解：∵B´C=B´C，∠CAB=30°，OD=8
∴∠COD=2∠CAB=60°，
∵OC⊥PD
∴∠D=30°，
1
∴OC= OD=4
2
∴CD=4√3，
1 60
∴S =S −S = ×CO×CD− π×CO2
阴影 △OCD 扇形OBC 2 360
1 1
= ×4×4√3− ×42π
2 6
8
=8√3− π
3
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇
形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【模拟训练】
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1．（2024·湖北·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径
的弧恰好与BC相切，切点为E，若AB=1，BC=3，则阴影部分的面积是（ ）
5 3 5 5
A．4√5− π B．2√5− π C．2√5− π D．3√5− π
4 4 4 4
【答案】C
【分析】连接DB、DE，根据切线的判定可证AB是⊙D的切线，再根据切线长定理可得AB=BE=1，
∠ABD=∠EBD，由切线的性质可得DE⊥BC，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得
DC=BC=3，可得EC=2，再利用勾股定理求得AD=DE=√5，然后根据阴影部分的面积
1
=S − S 计算即可求解．
梯形ABCD 4 ⊙D
【详解】解：连接DB、DE，
∵AD⊥AB，AD是⊙D的半径，
∴AB是⊙D的切线，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=BE=1，EC=BC−BE=3−1=2，∠ABD=∠EBD，DE⊥BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠EBD=∠BDC，
∴DC=BC=3，
在Rt△DEC中，DE=√32−22=√5，
∴AD=DE=√5，
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1
∴阴影部分的面积=S − S
梯形ABCD 4 ⊙D
1 1
= (1+3)√5− π(√5) 2
2 4
5
=2√5− π．
4
故选：C．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练
掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．
2．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，
3
过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD= ，则线段AE
5
的长是（ ）
24 19 22
A． B．5 C． D．
5 4 5
【答案】A
【分析】连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到
OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF=5，然后在Rt△AEF中利用正弦
定义可求出AE的长．
【详解】解：连接OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
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∵DF为切线，
∴OD⊥DF，
∴AE⊥EF，
在Rt△ODF中，
OD 3
∵sin∠CFD= = ，OD=3，
OF 5
∴OF=5，
在Rt△AEF中，
AE 3
∵sin∠F= = ，
AF 5
3 24
∴AE= (3+5)=
5 5
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．
3．（2024·河南郑州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在边AB上，OA=2，以
O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积为
．
1 1
【答案】√2+ π/ π+√2
2 2
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【分析】连接OD，过OH⊥AC于H点，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，则
√2
OH= OA=√2，再根据切线的性质得到OD⊥BC，于是可判断OD∥AC，所以
2
∠EOD=∠BAC=45°，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积
=S +S 进行计算．
△AOD 扇形DOE
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的性质和扇形的面积
计算．
【详解】解：连接OD，过OH⊥AC于H点，如图，
∵∠C=90° AC=BC
， ，
∴∠CAB=45°，
√2 √2
∴OH= OA= ×2=√2，
2 2
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠EOD=∠BAC=45°，
1 45×π×22 1
∴阴影部分的面积=S +S = ×2×√2+ =√2+ π．
△AOD 扇形DOE 2 360 2
1
故答案为：√2+ π．
2
4．（2022·上海虹口·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是BC的中点，连接AE，点O
是线段AE上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值
范围是 ．
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5 15
【答案】 BE，
∴∠BAE<∠BEA
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE<∠DAE，
∵∠AFO=∠ABE=90°，∠FAO=∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
AO OF OF×AE 1×5 5
∴ = ，即AO= = = ，
AE BE EB 3 3
∵∠DAE>∠BAE，
∴若⊙O与AD相切时，和AB一定相交；
若⊙O与AB相切时，和AD一定相离．
5
同理当⊙O与BC相切于点M时，连接OM，OM=1，计算得EO= ，
4
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5 15
∴此时AO=5−EO=5− = ，
4 4
5 15
∴当 b>c，则BC长为（ ）
ac
A．b B．a−b C．a+c−b D．
b
【答案】B
【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出
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∠OED=∠OGD=90°,DG=DE，证明Rt△OED≌Rt△OGD(HL)，进而得出∠AOD=∠ODE，即
可得到AO=AD=b，同理可证OB=BC，由AB=a得到OB=AB−AO=a−b，即可得到答案．
【详解】解：连接OD,OC，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，切点分别为
E、G、F，如图，连接OF、OE、OG，
则∠OED=∠OGD=90°,DG=DE，
∵OD=OD，
∴Rt△OED≌Rt△OGD(HL)
∴∠ODE=∠ODG，
∵AB∥CD，
∴∠AOD=∠ODG，
∴∠AOD=∠ODE，
∴AO=AD=b，
同理可证，OB=BC，
∵AB=a，
∴OB=AB−AO=a−b，
∴BC=OB=a−b，
故选：B．
5．（2025·四川成都·一模）如图，在正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，在正方形区域内
任意取一点P，则点落在阴影部分的概率是 ．
5−π
【答案】
8
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【分析】取BC中点O，设AE与以BC为直径的半圆的切点为F，设正方形的边长为2，CE=x，结合题意
易知AB切半圆O于点B，CD切半圆O于点C，AE切半圆O于点F，由切线长定理可知AB=AF=2，
CE=EF=x，进而可得AE=2+x，DE=2−x，在Rt△ADE中，利用勾股定理解得x的值，再计算阴影
部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可．
【详解】解：如下图，取BC中点O，设AE与以BC为直径的半圆的切点为F，
设正方形的边长为2，CE=x，
2
则有AB=BC=CD=AD=2，半圆的半径r= =1，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
2
∵BC为直径，
∴AB切半圆O于点B，CD切半圆O于点C，
∵AE切半圆O于点F，
∴AB=AF=2，CE=EF=x，
∴AE=AF+EF=2+x，DE=CD−CE=2−x，
∴在Rt△ADE中，可有AD2+DE2=AE2，
1
即22+(2−x) 2=(2+x) 2，解得x= ，
2
1 3
∴DE=2− = ，
2 2
∵正方形的边长为2，
∴正方形ABCD的面积S =22=4，
1
1 1 3 5−π
阴影部分的面积S =S −S −S =4− ×π×12− × ×2= ，
2 1 半圆O △ADE 2 2 2 2
S 5−π
∴在正方形区域内任意取一点P，则点落在阴影部分的概率P= 2= ．
S 8
1
5−π
故答案为： ．
8
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【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴
影部分面积是解题关键．
6．（2025·北京·一模）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，OP交⊙O于点C，四边形AEOP是平
行四边形，若PB=8，则PC= ，劣弧E´C= ．
【答案】 8√2−8/−8+8√2 6π
【分析】根据切线长定理得PA=PB，结合平行四边形的性质推得∠AOP=45°、
∠EAP=∠EOP=135°，通过三角函数可求得PC的长，通过弧长公式可求得劣弧E´C的长．
【详解】解：如图，连接OA，
∵PA PB ⊙O A B
， 分别与 相切于点 ， ，
∴PA=PB=8，∠OAP=90°，
∵四边形AEOP是平行四边形，
∴PA=OE=OA=OC=8，EA∥OP，
180°−∠OAP
∴∠AOP=∠APO= =45°=∠EAO，
2
∴∠EAP=∠EAO+∠OAP=∠EOP=45°+90°=135°，
135π×8
∴劣弧E´C= =6π，
180
AP √2
∵在Rt△OAP中，sin∠AOP=sin45°= = ，
OP 2
∴OP=√2AP=8√2，
∴PC=OP−OC=8√2−8．
故答案为：8√2−8，6π．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，平行四边形的性质，弧长公式，特殊角的三角函数值，
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熟练掌握切线长定理是解题关键．
7．（2025·山东滨州·一模）【初步发现】
如图1，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，与AC，BC相切于点E,F,AD=5,BD=6，求
△ABC的面积．
解：设线段CE的长为x，根据切线长定理得AE=AD=5,BF=BD=6,CF=CE=x，
在Rt△ABC中，
根据勾股定理得(x+5) 2+(x+6) 2=(5+6) 2，
整理得x2+11x=30，
1 1
所以S = ×(x+5)(x+6)= (x2+11x+30)=30．
△ABC 2 2
请同学们想一想AD⋅BD=5×6=30，△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
【深入探索】
（1）已知：如图2，△ABC的内切圆与AB相切于点D，与AC，BC相切于点E,F,AD=a,BD=b．
①若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于ab；
②若AC⋅BC=2ab，求证：∠C=90°．
【拓展延伸】
（2）已知：△ABC的内切圆与AB，AC，BC相切于点D,E,F,∠C=60°,AD=6,BD=7．请直接写
出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）42√3
【分析】（1）先设CE=x，根据切线长定理得CE=CF=x，AE=AD=a，BF=DB=b，再根据勾股定
1
理，得(x+a) 2+(x+b) 2=(a+b) 2，整理，得x2+(a+b)x=ab，然后根据S = AC⋅BC，整体代入
△ABC 2
可得答案；
（2）先由AC⋅BC=2ab，得(x+a)(x+b)=2ab，整理，得x2+(a+b)x=ab，再求出AC2+BC2，最
后根据勾股定理逆定理可得答案；
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（3）作AG⊥BC，在Rt△ACG中，根据特殊角三角函数值分别表示出AG，CG，再根据
1
BG=BC−CG，然后根据勾股定理得x2+13x=126，最后根据S = BC⋅AG整体代入可得答案．
△ABC 2
【详解】设CE=x，根据题意，CE=CF=x．
（1）由题意得AE=AD=a，BF=DB=b，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得(x+a) 2+(x+b) 2=(a+b) 2，
整理，得x2+(a+b)x=ab，
1 1 1 1
所以S = AC⋅BC= (x+a)(x+b)= [x2+(a+b)x+ab]= (ab+ab)=ab；
△ABC 2 2 2 2
（2）由AC⋅BC=2ab，得(x+a)(x+b)=2ab，
整理，得x2+(a+b)x=ab，
∴AC2+BC2=(x+a) 2+(x+b) 2
=2[x2+(a+b)x]+a2+b2
=2ab+a2+b2
=(a+b) 2
=AB2．
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
（3）如图，过点A作AG⊥BC于点G．
依题意，AD=AE,CE=CG,BD=BF，
设CG=CE=x，
√3 1
在Rt△ACG中，AG=AC⋅sin60°= (x+6)，CG=AC⋅cos60°= (x+6)，
2 2
1 1
∴BG=BC−CG=(x+7)− (x+6)= x+4．
2 2
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在Rt△ABG中，根据勾股定理，得 [√3 (x+6) ] 2 + (1 x+4 ) 2 =(6+7) 2，
2 2
整理，得x2+13x=126，
1 1 √3 √3 √3
∴S = BC⋅AG= (x+7)⋅ (x+6)= (x2+13x+42)= (126+42)=42√3．
△ABC 2 2 2 4 4
【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，求三角形的面积，整体代入
思想等，理解题目中给出的解题方法是解题的关键．
8．（2025·安徽合肥·一模）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点
D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E．
(1)证明：点D是A´B的中点．
(2)若点E是BC的中点，求∠APC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30度
【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和
垂径定理等知识进行推理和计算．
（1）利用切线长定理证明△APC≌△BPC，从而得出∠ACP=∠BCP，得到A´D=B´D即可得结果；
（2）通过点E是BC中点推出AE⊥BC，AB=AC，由（1）得△APC≌△BPC，AC=BC，△ABC是
等边三角形，得到∠ACB=60°，再结合圆的性质和平行线性质，求出∠APC的度数．
【详解】（1）证明：∵ PA、PB分别切圆O于A、B，
∴ PA=PB，∠APC=∠BPC．
又∵ PC=PC，
∴ △APC≌△BPC，
∴ ∠ACP=∠BCP
∴ A´D=B´D，即点D是A´B的中点．
（2）∵点E是BC的中点
∴ AE⊥BC，
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∴AE垂直平分BC，连接AB，则AB=AC，
由（1）得△APC≌△BPC，
∴AC=BC
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°
1
∴ ∠BCP=∠ACP= ∠ACB=30°
2
∵ PA是圆O的切线，
∴ PA⊥AE，
∴PA∥BC
∴ ∠APC=∠BCP=30°
【题型三】圆的综合
【中考真题】
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC中，AB=4√2，D为AB中点，∠BAC=∠BCD，
√2
cos∠ADC= ，⊙O是△ACD的外接圆．
4
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径．
【答案】(1)BC=4
4√7
(2)⊙O的半径为
7
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．
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BC BA
（1）易证△BAC∽△BCD，得到 = ，即可解答；
BD BC
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，在Rt△AED中，通过解
AC AB
直角三角形得到DE=1，AE=√7，由△BAC∽△BCD得到 = =√2．设CD=x，则AC=√2x，
CD BC
CE=x−1，在Rt△ACE中，根据勾股定理构造方程，求得CD=2，AC=2√2，由∠AFC=∠ADC得
到sin∠AFC=sin∠ADC，根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠BCD，∠B=∠B，
∴△BAC∽△BCD．
BC BA
∴ = ，即BC2=AB⋅BD
BD BC
∵AB=4√2，D为AB中点，
1
∴BD=AD= AB=2√2，
2
∴BC2=AB⋅BD=4√2⋅2√2=16
∴BC=4．
（2）解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
DE √2
∵ Rt△AED cos∠CDA= =
AD 4
在 中， ．
又∵AD=2√2，
∴DE=1．
∴在Rt△AED中，AE=√AD2−DE2=√7．
∵△BAC∽△BCD，
AC AB
∴ = =√2．
CD BC
设CD=x，则AC=√2x，CE=CD−DE=x−1．
∵在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
∴(√2x) 2=(x−1) 2+(√7) 2 ，即x2+2x−8=0，
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解得x =2，x =−4（舍去）．
1 2
∴CD=2，AC=2√2．
∵A´C=A´C，
∴∠AFC=∠ADC．
CF为⊙O的直径，
∴∠CAF=90°．
AC AE √14
∴sin∠AFC= =sin∠CDA= = ．
CF AD 4
8√7 4√7
∴CF= ，即⊙O的半径为 ．
7 7
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，
弦AB交MC于点H．点A在M´C上，点B在N´C上，∠OND+∠AHM=90°．
(1)求证：MH⋅CH=AH⋅BH．
(2)求证：A´C=B´C．
3
(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧N´D的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN= ，
5
求NG的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
21
(3)
5
【分析】（1）证明△AMH∽△CBH即可；
（2）连接OC，交AB于点F，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；
（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可．
【详解】（1）∵ ∠ABC和∠AMC是A´C所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠AMC，
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∵ ∠AHM=∠CHB，
∴△AMH∼△CBH，
AH MH
∴ = ，
CH BH
∴MH⋅CH=AH⋅BH．
（2）连接OC，交AB于点F，
∵ MC ND MC∥ND
与 为一组平行弦，即： ，
∴ ∠OND=∠OMC，
∵ OM=OC，
∴ ∠OMC=∠OCM，
∵ ∠OND+∠AHM=90°，
∴ ∠OCM+∠AHM=∠OCM+∠CHB=90°，
∴ ∠HFC=90°，
∴ OC⊥AB，
∴ OC是AB的垂直平分线，
∴ A´C=B´C．
（3）连接DM、DG，过点D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G'，连接G'D、G'N，
∵ DG=DG' ∠G'ND=∠GND
， ，
^ ⏜
∴ DM=DG' ，
∴ DG'=DM，
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∴ DG=DM，
∴ △DGM是等腰三角形，
∵ DE⊥MN，
∴ ¿=ME，
∵ DN∥CM，
∴ ∠CMN=∠DNM，
∵ MN为直径，
∴ ∠MDN=90°，
∴ ∠MDE+∠EDN=90°，
∵ DE⊥MN，
∴ ∠DEN=90°，
∴ ∠DNM+∠EDN=90°，
3
∴ sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN= ，
5
在Rt△MND中，MN=15，
MD 3
∴ sin∠DNM= = ，
MN 5
MD 3
∴ = ，
15 5
∴ MD=9，
3 ME
在Rt△MED中，sin∠EDM= = ，
5 MD
ME 3
∴ =
9 5
27
∴ ME= ，
5
27 21
∴ NG=MN−MG=MN−2ME=15−2× =
5 5
21
∴ NG=
5
21
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相
似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形．
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3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，
AB=4，PB=3．
(1)填空：∠PBA的度数是_________，PA的长为_________；
(2)求△ABC的面积；
(3)如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是A´C上一点，AE=5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于
EF
点F,G，求 的值．
FG
【答案】(1)90°，5；
96
(2)
25
7
(3)
18
【分析】（1）根据切线性质和勾股定理分别求解即可；
12
（2）由面积法求出BC= ，再利用勾股定理求AC，则△ABC的面积可求；
5
AC AE EC
（3）先证明△EAC∽△PAG，得到 = = ，利用AE=5EC，分别得到GP=1，AB=BG进而
AG AP GP
64√2
计算AG=4√2，AF= ，在分别求出EF,FG则问题可解；
25
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，
∴∠PBA的度数是90°；
∵AB=4，PB=3，
∴PA=√AB2+PB2=√42+32=5；
故答案为：90°，5；
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（2）如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠PCB=90°，
∵AB=4, PB=3, PA=5，
1 1
∴由面积法 AB⋅PB= AP⋅BC，
2 2
12
∴BC=
5
∴AC=√AB2−BC2=
√
42−
(12) 2
=
16
，
5 5
1 16 12 96
∴S = × × = ；
△ABC 2 5 5 25
（3）方法一：如图，
由∠ACB=∠ABP=90°
∴∠APB=∠ABC
∵∠FEC=∠ABC
∴∠FEC=∠APB
∴∠AEC=∠APG
∵∠EAC=∠PAG
∴△EAC∽△PAG
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AC AE EC
∴ = =
AG AP GP
设EC=x, AE=5x
∵AP=5
∴GP=1
∴BG=BP+PG=3+1=4
∴AB=BG
∴△ABG是等腰直角三角形，AG=4√2
16
∵AC= ，
5
2√2
∴x=
5
∴AE=5x=2√2
∵∠GAB=45°
∴△FAD是等腰直角三角形
AD AC
∵cos∠CAD= = ，
AC AB
16
AD 5
∴ = ，
16 4
5
64
∴AD= ，
25
64√2
∴AF= ，
25
14√2
∴EF=AF−AE= ，
25
36√2
∴FG=AG−AF= ，
25
EF 14 36 7
∴ = √2: √2= ．
FG 25 25 18
方法二：如图
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由∠ACB=∠ADC=90°
∴∠ACD=∠ABC
∵∠FEC=∠ABC
∴∠FEC=∠ACD
∴∠AEC=∠ACF
∵∠EAC=∠CAF
∴△EAC∽△CAF
AC AE EC
∴ = =
AF AC FC
设EC=x,AE=5x
16
∵AC=
5
16
∴FC= ，
25
64 48
∵AD= , CD=
25 25
16 48 64
∴FD=FC+CD= + =
25 25 25
∴AD=DF
64
∴△ADF是等腰直角三角形，AF= √2
25
2√2
∴x=
5
∴AE=5x=2√2
14√2
∴EF=AF−AE=
25
∵∠FAD=45°
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∴△GAB是等腰直角三角形，AG=4√2，
36√2
∴GF=AG−AF=
25
EF 14 36 7
∴ = √2: √2= ．
FG 25 25 18
【点睛】本题考查了圆的切线的性质和相似三角形的性质和判定，解答关键是根据条件证明三角形相似，
再根据相似三角形的性质解答问题．
4．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直
线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆
上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
⏜
(1)如图1，当AB=6，
BP
的长为π时，求BC的长．
AQ 3 BC
(2)如图2，当 = ，B´P=P´Q时，求 的值．
AB 4 CD
√6 PQ
(3)如图3，当sin∠BAQ= ，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
4 BP
【答案】(1)2√3
3
(2)
4
√10
(3)
4
【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出∠BOP度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC
的长．
（2）根据等弧所对圆周角相等推出∠BAC=∠DAC，再根据角平分线的性质定理推出CF=CB，利用直
角三角形的性质即可求出∠FCD=∠BAQ，通过等量转化和余弦值可求出答案．
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PQ AP BP AP
（3）根据三角形相似的性质证明△APQ∽△ADC和△APB∽△ABC，从而推出 = 和 = ，
CD AD BC AB
利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案
【详解】（1）解：如图1，连接OP，设∠BOP的度数为n．
⏜
∵AB=6 π
BP
， 的长为 ，
n⋅π⋅3
∴ =π．
180
∴n=60，即∠BOP=60°．
1
∴∠BAP= ∠BOP=30°．
2
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°．
AB
∴BC= =2√3．
√3
（2）解：如图2，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB
为直径，
∴∠BQA=90°．
AQ 3
∴cos∠BAQ= = ．
AB 4
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∵B´P=P´Q，
∴∠BAC=∠DAC．
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF=CB．
∵∠BAQ+∠ADB=90°，∠FCD+∠ADB=90°，
∴∠FCD=∠BAQ．
BC FC 3
∴ = =cos∠FCD=cos∠BAQ= ．
CD CD 4
√10
（3）解： ，理由如下：
4
如图3，连接BQ，
∵AB⊥BC BQ⊥AD
， ，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠ADB+∠BAD=90°，
∴∠ABQ=∠ADC，
∵∠ABQ=∠APQ，
∴ ∠APQ=∠ADC．
∵∠PAQ=∠CAD，
∴△APQ∽△ADC，
PQ AP
∴ = ．①
CD AD
∵∠BAP=∠BAC，∠ABC=∠APB=90°，
∴△APB∽△ABC，
BP AP
∴ = ．②
BC AB
∵BC=CD，
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PQ AB
①÷②得， = =cos∠BAQ．
BP AD
√6
∵sin∠BAQ= ，
4
√10
∴cos∠BAQ= ．
4
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、
切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关
计算公式．
【模拟训练】
1．（2025·北京·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交
AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙O的切线；
HG 2
(2)连接OH交DF于G，若 = ，OA=1，求AF的值．
OG 3
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角，掌
握相关知识点是解题关键．
（1）连接OD，根据等边对等角的性质，得到∠C=∠ODB，从而得出AC∥OD，即可证明结论；
2
（2）连接BF，先证明△EGH∽△DGO，△BDO∽△BCA，从而得到EH= ，BC=2BD，再结合直
3
径所对的圆周角是直角，得到DH∥BE，推出△CDH∽△CBE，从而得出点H是CE的中点，求出
2 AF AE
AE= ，最后证明△FAE∽△FOD，得到 = ，即可求出AF的值．
3 OF OD
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB=AC，
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∴∠C=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠C=∠ODB，
∴AC∥OD，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
又∵OD是半径，
∴DH是⊙O的切线
（2）解：如图，连接BF，
∵OA=1
，
∴AC=AB=2OA=2，OD=OA=1，
∵AC∥OD，
∴△EGH∽△DGO，△BDO∽△BCA，
HG EH 2 BD OB 1
∴ = = ， = = ，
OG OD 3 BC AB 2
2
∴EH= ，BC=2BD，
3
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BE，
∴△CDH∽△CBE，
CH CD 1
∴ = = ，
CE BC 2
∴CE=2CH，即点H是CE的中点，
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4
∴CE=2EH= ，
3
4 2
∴AE=AC−CE=2− = ，
3 3
∵AC∥OD，
∴△FAE∽△FOD，
AF AE
∴ = ，
OF OD
2
AF 3，
∴ =
AF+1 1
∴AF=2．
【点睛】
2．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交成的锐角为
60°．若AC=10,BD=8，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，O为圆心，AB为⊙O直径，AB=200m，规划部门计划在空地内建
一个牡丹园，根据设计要求：点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，DF与GE交于点C，且DF⊥EG，
四边形DEFG为牡丹园，设AC的长为x(m)，牡丹园DEFG的面积为S(m2)．
①求S与x之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够
用？
【答案】（1）平行四边形ABCD的面积为20√3cm2；（2）①S=−x2+200x+10000(0≤x≤200)；②政
府的预算一定够用，理由见解析．
【分析】1）过点D作DH⊥AC于点H，由题意可知，∠DOC=60°，根据解直角三角形求出DH=2√3，
即可求解；
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√2
（2）①在Rt△CMO中，CO=AO−AC=(100−x)m，在Rt△CMO中，求出 OM= (100−x)m，在
2
√ [√2 ] 2
Rt△OME中，求出EM= 1002− (100−x) ，再根据三角形面积公式即可求解；
2
②设种植牧丹园的总费用为W元，W =−20(x−100) 2+40000，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点D作DH⊥AC于点H，由题意可知，∠DOC=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴OD= BD=4cm，
2
√3
在Rt△DHO中，DH=OD⋅sin60°=4× =2√3cm，
2
1 1
∴S =2S =2× AC⋅DH=2× ×10×2√3=20√3cm2 ，
▱ABCD △ADC 2 2
∴平行四边形ABCD的面积为20√3cm2；
（2）①如图，连接OE、OG，过点O作OM⊥EG，
∵AB=200m，
∴☉O的半径为100m，
∴OE=OA=OB=100m
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由题可知点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，
∴DE⊥AB,GF⊥AB，∠DCA=∠ECA，
∵EG⊥DF，即∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠ECA=45°，
∴∠OCM=∠ECA=45°，
∵OM⊥CM，
∴在Rt△CMO中，∠MCO=∠COM=45°，
∴CM=MO，
∵AC=xm，
∴CO=AO−AC=(100−x)m，
在Rt△CMO中，CO2=CM2+OM2=2OM2，
√CO2 √2
∴OM= = (100−x)m，
2 2
∴在Rt△OME中，EM2=OE2−OM2，
√ [√2 ] 2
∴EM= 1002− (100−x) (m)，
2
∵OG=OE,OM⊥EG，
∴GM=ME，
√ [√2 ] 2
∴≥=2ME=2 1002− (100−x) (m)，
2
1 1
∵S = |GE|⋅|DC|，S = |GE|⋅|CF|，
△DGE 2 △FGE 2
1 1
∴S=S +S = |GE|⋅|DC|+ |GE|⋅|CF
△DGE △FGE 2 2
1
= |GE|⋅(|DC|+|CF|)
2
1
= |GE|⋅|DF|，
2
∵点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，
∴DF=≥¿，
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2
1 1 { √ [√2 ] 2}
∴S= |GE| 2= × 2 1002− (100−x)
2 2 2
1 [ 1 ]
= ×4 1002− (100−x) 2
2 2
=−x2+200x+10000，
∴S=−x2+200x+10000(0≤x≤200)；
②设种植牧丹园的总费用为W元，
由①可知，W =(−x2+200x+10000)×20
=−20x2+4000x+200000
=−20(x−100) 2+400000，
∵0≤x≤200，
∴当x=100时，W取最大值，最大值为W =400000，
当0≤x<100时，W随x的增大而增大，
当100AB，点M是
ABC
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的
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中点，即CD=DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG，∵M是AB´C的中点，∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，∴△MAB≌△MCG，∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，∴BD=DG，∴AB+BD=CG+DG，即CD=DB+BA
(1)【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=10,BC=16，点M是AB´C的中点，MD⊥BC
于点D，求BD的长；
(2)【变式探究】如图3，若点M是A´C中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、BD、AB之间
存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=12，
⊙O的半径为10，求AD长．
【答案】(1)3
(2)AB+CD=BD，证明见解析；
(3)2√2或14√2．
【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理
解阿基米德折弦定理是解题关键．
（1）根据阿基米德折弦定理求解即可；
（2）在BC上取BG=BA，连接MA、MB、MC、MG，证明△ABM≌△GBM(SAS)，得到GM=CM，
再根据等腰三角形三线合一的性质，得到CD=DG，即可得出结论；
（3）先利用圆周角和勾股定理，求得AC=16，再分两种情况讨论：当点D在AC上方时，过点D作
DM⊥AC于点M，连接OD、CD；②当点D在AC下方时，过点D作DN⊥AC于点N，结合上述结论
分别求解即可．
【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，CD=DB+BA，
∵AB=10,BC=16，
∴AB+BC=26，
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1
∴DB+BA= (AB+BC)=13，
2
∴BD=3；
（2）解：AB+CD=BD，证明如下：
如图3，在BC上取BG=BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵ A´C
点M是 中点，
∴AM=CM，
∴∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△GBM中，
¿，
∴△ABM≌△GBM(SAS)，
∴AM=GM，
∴GM=CM，
∵DM⊥BC，
∴CD=DG，
∴CD=BD−BG=BD−AB，即AB+CD=BD；
（3）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵⊙O的半径为10，
∴BC=20，
∵AB=12，
由勾股定理得：AC=√BC2−AB2=16，
∴AC+AB=16+12=28，
①当点D在AC上方时，如图4−1，过点D作DM⊥AC于点M，连接OD、CD，
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∵∠DAC=45°
，
∴∠BAD=135°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BOD=90°，
∴∠COD=∠BOC=90°，
∴C´D=B´D，即点D是BA´C的中点，
∴CM=AM+AB
1
∴CM= (AC+AB)=14，
2
∴AM=2，
∴AD=√AM2+DM2=√2AM=2√2；
②当点D在AC下方时，如图4−2，过点D作DN⊥AC于点N，
∵∠DAC=45° ∠BAC=90°
， ，
∴∠BAD=∠CAD，
∴B´D=C´D，即点D是B´C的中点，
由（2）可知，AN=CN+AB，
1
∴AN= (AC+AC)=14，
2
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在Rt△∧¿中，AD=√2AN=14√2，
综上可知，AD长为2√2或14√2．
5．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】
（1）如图①，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，OA长度为5，根据
PA≥OA−OP，得到点P到点A的最短距离为_____________；
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边
BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P．求点P到点C的最短距离．
【问题解决】
（3）如图③，某老小区有一个矩形ABCD活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善
居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在BC上取一点E，在AE上留一条小
路与小路BD交于点F，并将AF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，FG与CD交于点H，连接
AH，AH与BD交于点K，在△AKF处建一个人工湖，已知AB=400m，AD=300m，BD=500m．为
满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的
△AKF？若存在，求△AKF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）2√5−2；（3）存在，△AKF面积的最小值为19200
【分析】本题考查了正方形、勾股定理、圆、旋转、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆、全等
三角形、相似三角形的性质；
（1）结合题意，当P，O，A三点共线时，AP最小值，从而得到答案；
（2）根据题意得BM=CN，在根据全等三角形的性质，通过证明△ABM≌△BCN，推导得
∠APB=90°，在结合圆的性质，得P点在以AB为直径的圆上，当P，O，C三点共线时，PC有最小值；
再结合正方形和勾股定理计算，即可得到答案；
（3）根据圆的性质，得∠HAF=∠FDH为定值，再根据相似三角形的性质，通过证明△KOS∽△BDC，
KO KS OS 6
得 = = ，设⊙O的半径为r，从而计算得KF= r，结合一元一次不等式，当A，O，F共线
BD BC DC 5
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时，即可得到答案．
【详解】（1）当P，O，A三点共线时，AP有最小值为OA−OP=5−3=2，
故答案为：2；
（2）根据题意，得BM=CN，
又∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，
△ABM和△BCN中，
¿，
∴△ABM≌△BCN(SAS)，
∴∠CBN=∠BAM．
∵∠ABP+∠CBN=90°，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°．
∴P点在以AB为直径的圆上．
如图，取AB的中点O，连接OP，PC，OC．
∴PC≥OC−OP．
当P，O，C三点共线时，PC有最小值为OC−OP，
∵已知正方形ABCD的边长为4，
AB
∴OP= =2，BC=4，
2
∴OC=2√5．
∴PC的最短距离为2√5−2．
（3）存在．
如图，作△AFK的外接圆⊙O，连接OA，OK，OF，过点A作AR⊥BD，垂足为R，过点O作
OS⊥BD，垂足为S．
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∵∠AFH=∠ADH=90°，
∴四边形ADHF四点共圆．
∴∠HAF=∠FDH为定值．
∵OS⊥KF，
∴∠KOS=∠FOS，KS=SF．
∵∠KOF=2∠KAF=2∠FDH，
∴∠KOS=∠FDH．
又∵∠OSK=∠BCD=90°，
∴△KOS∽△BDC．
KO KS OS
∴ = = ，
BD BC DC
设⊙O的半径为r，
r KS OS
∴ = = ，
500 300 400
3 4
∴KS= r=SF，OS= r．
5 5
6
∴KF= r．
5
1 1
∵S = AB⋅AD= BD⋅AR，
△ABD 2 2
∴AR=240．
4 400
由图可知AO+OS≥AR，即r+ r≥240，解得r≥ ．
5 3
1 1 6 400
∴S = KF⋅AR= × r×240=144r≥144× =19200．
△AKF 2 2 5 3
当A，O，F共线，即AK=AF时取等号，即△AKF面积的最小值为19200．
120
