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第二十四章 圆（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；
④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】半径相等的圆是等圆，所以①正确；
同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③正确；
平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确；
故选：B．
2．如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，连接 ， ， ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能
够灵活运用圆周角定理及其推论．
连结 ，根据直径所对圆周角可得 ，由同弧所对圆周可求出 的度数，利用直角三角
形两锐角互余求出 的度数即可．
【详解】解：连结 ，∵ 是 的直径，
，
∵
∵ ，
．
故选：A．
3．如图，在 中，满足 ，则下列对弦 与弦 大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确
作出辅助线．如图，取 弧的中点 ，连接 ， ．证明 ，再利用三角形的三边关系解
决问题．
【详解】解：如图，取弧 的中点 ，连接 ， ．
， ，
，
，，
．
故选：B．
4．数学活动课上老师请同学分组制作圆锥，并请不同小组同学根据已知数据求解相关量．如已知1组制作
的圆锥母线长为 ，底面圆的半径为 ，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长．根据题意可知，
圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ，
则 ，
解得 ，
故选A．
5．如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为 ，点 M是第三象限内圆
上一点， ，则 的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含 角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，
根据圆内接四边形对角互补得到 ，再由 的圆周角所对的弦是直径得到 是直径，求出
，进而求出 ，是解题的关键．
【详解】解：∵ 、 、 、 都在圆上， ，
∴ ，
∵ ，∴ 是 的直径， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为4，
故选：A．
6．如图， 是 的外接圆，点M是 的内心，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查三角形的内切圆的定义与性质．由点 是 的内心，得 ，
，则 ，而 ，据此求解即可得到问题的答
案．
【详解】解： 点 是 的内心，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
故选：B．7．已知在 中两条平行弦 ， ， ， 的半径是10，则AB与CD间的距离是
（ ）
A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12
【答案】B
【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当 和 位于圆心同侧时和②当 和 位于
圆心异侧时，即可求解．
【详解】解：分类讨论：①当 和 位于圆心同侧时，如图，连接 ，过点O作 于点
E，交 于点F．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即此时AB与CD间的距离是2；
②当 和 位于圆心异侧时，如图，连接 ，过点O作 于点P，延长 交 于点
Q．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ，∴ ，即此时AB与CD间的距离是14．
综上可知AB与CD间的距离是2或14．
故选B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形．
8．如图， 内切于正方形 ，边 分别与 切于点 ，点 分别在线段
上，且 与 相切．若 的面积为 ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理，勾股定理，三角形的面积，设 与 相切于点 ，
设正方形的边长为 ，由切线长定理得 ， ， ，设 ，
，在 中，由勾股定理得 ，即得 ，又由
，得 ，即得 ，得到 ，即可求
解，掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：设 与 相切于点 ，设正方形的边长为 ，
∵ 是 切线，
∴ ， ， ，
设 ， ，
在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
故选： ．
9．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为 ， ，
．给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是 ；③ ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】由六边形 是正六边形，得 ， ，
从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由 ， ，故Ⅲ中最大的
内角是 ，故②说法错误；证明 ，得
，故③说法正确．【详解】解：如图所示：
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；
∴ ， ，
∴Ⅲ中最大的内角是 ，故②说法错误；
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， 和 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可证， ，
∴ ，故③说法正确；
故选 ．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、
弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．
10．直线 与x，y轴分别交于A，B两点，P是以 为圆心，1为半径的圆上一点，连接
，则 面积的最大值为（ ）A．27 B．10 C．23 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求
出圆上的点到直线 的最大距离．
求出A、B的坐标，根据勾股定理求出 ，求出点C到 的距离，即可求出圆C上点到 的最大距离，
根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是以 为圆心，1为半径的圆上一点，
过C作 于M，连接 ，
∴ ，
∴ ，
当P，C，M在一条直线时， 最大，即 的面积最大，即 ，
∴ 面积的最大值 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在 中， ， ， ，D是 边的中点，以点C为圆心， 为半
径作圆，则点D与 的位置关系是 ．
【答案】点D在 外
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据勾股定理可求出 ，再根据直角三角形的性质求得 ，比较 与 的半径即
可解答．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵D是 边的中点，
∴ ，
即点D到圆心C的距离为 ，
∵ 的半径为 ，而 ，
∴点D在 外．
故答案为：点D在 外
12．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度数是 ．【答案】 /110度
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理得出 ，从而求出
，再由圆内接四边形对角互补计算即可得出答案．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
故答案为： ．
13．道县西洲公园是由一座三孔石拱桥将西洲与潇水西岸连在一起的．图为石拱桥的中孔侧面图，拱是圆
弧形，桥的跨径所在弦 ，拱高 ，则拱所在圆的半径为 m．
【答案】
【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理和勾
股定理；这两大定理是在圆有关运算中经常用到的．
【详解】解：依题意，拱桥的跨度 ，拱高 ，
，
利用勾股定理可得：，
即
解得 ．
即圆弧半径为 ．
故答案为：
14．如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点 ， ，若该圆的半径为12，则线
段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，
含 的直角三角形性质，是解题关键．含 的直角三角形性质：三边是 的关系．
连接 、 ，根据圆内接正六边形的性质得到 是等边三角形，得到 ，推出
， ，得到 ，得到 ，推出 ，
，得到 是等边三角形，即得 ．
【详解】连接 、 ，
∵六边形 是圆内接正六边形，圆的半径为12，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0， ）， ，点P的坐标为 ，
与y轴相切于点O，若将 沿x轴向左移动，当 与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标
．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【分析】先分别求得 与直线l相切时点P的坐标，然后再判断 与直线l相交时点P的横坐标x的取
值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【详解】如图， 与 分别切AB于D、E．
由 ， ，易得 ，则A点坐标为 ．
连接 、 ，则 、 ，则在 中， ，同理可得， ，则 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，
当 与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为 ，
横坐标为整数的点P的坐标为 、 、 ．
故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得 与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．
16．如图，已知 为 的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径 所在的直线上找一点P，连接
交 于点Q（异于点P），使 ，则 ．
【答案】 或 或
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段
延长线上时，当点P在线段 上时，当点P在线段 延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段 延长线上时，连接 ，
∵点C为半圆上的四等分点，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点P在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点P在线段 延长线上时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的直径是
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）垂径定理，得到 ，等腰三角形三线合一 ，即可得出结论；
（2）连接 ，设 的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，且 过圆心O
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 的半径是r，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ 的直径是 ．
18．如图， 中，弦 ， 相交于点 ， ．
(1)比较 与 的长度，并证明你的结论；(2)求证： ．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出 ，即可得到 ．
（2）由 证明 ，即可推出 ．
【详解】（1）解： 与 的长度相等，理由如下：
，
，
，
；
（2）证明：在 和 中，
，
，
．
19．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为 ．
(1)在图中利用直尺画出 的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；
(2)求 外接圆的面积；(3)若点E的坐标 ，点E在 外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
【答案】(1)
(2)
(3)圆内
【分析】（1）作线段 及线段 的垂直平分线，交点即为圆心D；再根据D的位置可得其坐标；
（2）连接 ，利用勾股定理求出 ，再根据面积公式计算即可；
（3）利用勾股定理求出 的长，由此判断即可．
【详解】（1）解：如图，作线段 及线段 的垂直平分线，交点即为圆心D；
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 外接圆的面积为 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵半径 ，而 ，
∴点E在 外接圆内；
【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，圆的面积的计算，正确确
定三角形外接圆的圆心是解题的关键．20．如图1，在 中， ，且 ，垂足为点E．
(1)求 的度数．
(2)如图2，连接OA，当 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，利用圆周角定理，证明 ，计算即可．
（2）连接 ，计算出 的度数，运用弧长公式求 的长即可．
本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关
键．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 的长 ．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图， 为⊙ 的直径， 、 为⊙ 上不同于 、 的两点， ，过点 作
交 的延长线于点 ，直线 与 交于点 ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)填空：
①若 ，当 时， ______；
②当 的度数为______时，四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②【分析】（1）连接 ，如图，由于 ，则根据三角形外角性质得 ，而
，所以 ，根据平行线的判定得到 平行 ，再 得到 ，
然后根据切线的判定定理得 为 的切线；
（2）①由平行线分线段成比例可得 ，即可求 的长；②根据三角形的内角和得到 ，
根据等腰三角形的性质得到 ，连接 ，根据平行线的性质得到 ，根据全等三
角形的性质得到 ，由菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
为 的切线；
（2）解：∵ ，
，
，
∵ ，
，
，
故答案为： ；
当 的度数为 时，四边形 是菱形，理由如下：
，，
，
，
，
连接 ，
是 的直径，
，而 ，
∴ ，
，
在 与 中，
，
≌ ，
，
，
∵ ，
四边形 是菱形．
故答案为： ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，圆周角定理，
等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点
A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即
可求解．
【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【点睛】本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
23．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图， 、
是 的两条半径， ，C是半径 上一动点，连接 并延长交 于D，过点D作圆的切线交 的延长线于E，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 长；
（3）当 从 增大到 的过程中，求弦 在圆内扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）
【分析】（1）连接 ，由切线的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出
，得出 ，即可得出结论；
（2）设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得出方程，解法长即可；
（3）过点 作 交 的延长线于 ，当 时， ，得出 ，
， ，当 时， ，
，即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：连接 ，如图1所示：
是 的切线，
，
，
，
、 是 的两条半径，，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
设 ，
，
，
，
，
，
即： ，
解得： ，
；
（3）解：过点 作 交 的延长线于 ，如图2所示：
当 时， ，
， ，
，
当 时， ，
， ，，
当 从 增大到 的过程中， 在圆内扫过的面积为：
．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算、
勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正方
形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适
的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
______．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为3m的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知正方形 各边上依次取点F，G，H，E，使得 ，设 ，
的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求当 取得最小值时 的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
【答案】（1） ；（2）不能，理由见解析；（3） ；当 取得最小值时 ；
（4）
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得 的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可
求解；
（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为 的圆的内接正方形
的边长为 ，进而将草坪分为 个正方形，即可求解．
【详解】（1）当喷洒半径为 时，喷洒的圆面积 ．
正方形草坪的面积 ．
故喷洒覆盖率 ．
（2）对于任意的 ，喷洒面积 ，而草坪面积始终为 ．
因此，无论 取何值，喷洒覆盖率始终为 ．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接 ，
要使喷洒覆盖率 ，即要求 ，其中 为草坪面积， 为喷洒面积．∴ 都经过正方形的中心点 ，
在 中， ， ，
∵
∴ ，
在 中，
∴
∴
∴当 时， 取得最小值，此时
解得：
（4）由（3）可得，当 的面积最小时，此时圆为边长为 的正方形的外接圆，
则当 时，圆的内接正方形的边长为
而草坪的边长为 ， ，即将草坪分为 个正方形，将半径为 的自动喷洒装置放置于9个正方
形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装 个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率
【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然
后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积
和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率
的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，
如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实
际问题的解决方案．
25．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， 的半径为2，点 是 外的一个定点，
．点 在 上，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 ．当点 在 上运动一周时，试探
究点 的运动路径．【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长 至点 ，使
，连接 ，通过证明 ，可推出点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径
的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
证明过程缺失
2°当点 在直线 上时，
易知 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形 中，点 分别为边 的中点，连接 ，点 是 中点，
点 是线段 上的任意一点， ．点 是平面内一点， ，连接 ．作点 关于点
的对称点 ，连接 ．
（1）当点 是线段 中点时，点 的运动路径长为________________．
（2）当点 在线段 上运动时，连接 ．设线段 长度的最大值为 ，最小值为 ，则
________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1） ；（2）
【分析】问题解决：延长 至点 ，使 ，连接 ．当点 在直线 外时，证明
得出 ；当点 在直线 上时，则 ，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点 是线段 中点时，点 的运动路径为2为半径的圆，由此计
算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点 的运动路径为2为半径的圆，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径
为以 为圆心，2为半径的圆，连接 交圆 于 ，此时 的长度最小；当点 与点 重合时，此时：
点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 ，连接 交圆 于 ，此时 的长度最大；分
别求出 的值即可得解．
【详解】问题解决：
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ．
1°当点 在直线 外时，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
2°当点 在直线 上时，则 ．
综上，点 的运动路径是以点 为圆心、2为半径的圆；
结论应用：
（1）由问题解决可得：当点 是线段 中点时，点 的运动路径为2为半径的圆，
∴点 的运动路径长为 ；
（2）由问题解决可得：点 的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 交圆 于 ，此时 的长度最小，
，
由题意得： ， ， ， ，
∴由勾股定理得： ，
∴线段 长度的最小值为 ；
如图，当点 与点 重合时，此时：点 的运动路径为以 为圆心，2为半径的圆，连接 ，连接
交圆 于 ，此时 的长度最大，
，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 、 、 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长度的最大值为 ，
∴ ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握
以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
