文档内容
微专题 28 圆的基本性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 圆的基本概念及性质
在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
圆
成的图形叫做圆
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦
直径 经过 ① 的弦叫做直径
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧
圆周角 在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆心角 顶点在 ② 并且两边都与圆相交的角叫做圆心角
弦心距 圆心到弦的垂直距离
2. 与圆有关的性质
(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线
都是它的对称轴， ③ 是它的对称中心
(2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
3. 垂径定理及其推论
(1)定理：垂直于弦的直径 ④ 弦，并且 ⑤ 弦所对的两条弧(2022年版
课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)
(2)推论：平分弦(不是直径)的直径 ⑥ 于弦，并且 ⑦ 弦所对的两
条弧
4. 弦、弧、圆心角之间的关系
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ⑧ ，所对的弦⑨
第 1 页 共 12 页(2)推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ⑩
，所对的弦⑪
②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ⑫ ，所对
的优弧与劣弧分别⑬
5. 圆周角定理及其推论(6年6考)
定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭
(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ⑮ ；
推论 (2)直径(或半圆)所对的圆周角是 ⑯ ，90°的圆周角所对的弦是
⑰
常见
图形
及结
图① 图② 图③
论 1
∠APB＝ ∠AOB
2
如图①，已知AP是☉O的直径，点B是圆上一点(不与A，P重合)，连
应用
接AB，则有∠ABP＝90°
6. 三角形的外接圆
图示
外心 三角形外接圆圆心或三角形 ⑱ 的交点叫做外心
性质 三角形的外心到三角形的 ⑲ 的距离相等
角度关系 ∠BOC＝ ⑳ ∠A
7. 圆的内接四边形
概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形
性质
第 2 页 共 12 页(1)圆内接四边形的对角 ㉑ ，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B
＋∠D＝180°；
(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝㉒
练考点
1. 下列结论正确的是( )
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 半圆是弧
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 弧是半圆
2. 如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接O
C.
(1)若AB＝10，CD＝8，则cos ∠OCE＝ ；
(2)若CD＝4，AE＝6，则☉O的半径为 ；
(3)若☉O的半径为7，P是CD上一点，且PC＝4，PD＝6，则OP＝ .
第2题图
3. 如图，在☉O中，AB和CD是两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.
对于下列命题：
第3题图
①如果OE＝OF，那么∠AOB＝∠COD；
⏜ ⏜
②如果 ＝ ，那么OE＝OF；
AB CD
第 3 页 共 12 页③如果OE＝OF，那么AB＝CD；
④如果OE＝OF，那么OB＝CD，
其中真命题是 .
4. 如图，若AB是☉O的直径，点C在☉O上(不与A，B重合)，则∠ACB的度
数为 .
第4题图
5. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BAD＝
，∠BCD＝ .
第5题图
高频考点
考点1 圆基本性质的相关证明及计算 (6年6考)
例1 (2022广东22题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，
∠ADB＝∠CDB.
例1题图①
(1)核心设问 试判断△ABC的形状，并给出证明；[2022广东22(1)题考查]
(2)核心设问 若AB＝√2，AD＝1，求CD的长度；[2022广东22(2)题考查]
第 4 页 共 12 页⏜
(3)核心设问 如图②，连接DO并延长，交 于点G，若∠ADB＝2∠BDG，求
BC
证：AB∥DG；[2018广东24(1)题考查]
例1题图②
(4)如图③，BD交AC于点H，且AH＝OH，求sin ∠ACD的值.
例1题图③
考点2 圆内接四边形
例2 (2024珠海香洲区二模)如图，已知四边形ABCD，过点A，B，C的圆交
AD于点E，连接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，则∠DCE的度数为( )
A. 10° B. 30° C. 50° D. 60°
例2题图
变式1 (2024吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，过点B作BE∥AD，交
CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是( )
第 5 页 共 12 页变式1题图
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
真题及变式
命题点 与圆周角定理及其推论有关的计算 (6年6考)
1. (2023广东9题3分)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝( )
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第1题图
1.1变思维方式——融入中点
如图，点A，B，C，D均在☉O上，连接AB，AD，CD，CA，∠BAD＝90°，
⏜
∠ADC＝59°，若点A是 的中点，则∠BAC的度数为( )
BD
变式1.1题图
A. 31° B. 28°
C. 14° D. 4°
2. (2021广东7题3分)如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，AC＝3，
∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则☉O的直径为( )
第 6 页 共 12 页第2题图
A. √3 B. 2√3 C. 1 D. 2
2.1变条件——与内接四边形结合
如图，四边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，则AC的长为(
)
变式2.1题图
A. 5 B. 3√5
C. 2√7 D. √7＋2
拓展训练
3. (2024长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，
则☉O的半径长为( )
A. 4 B. 4√2 C. 5 D. 5√2
第3题图
新考法
4. [真实问题情境](2024凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残
缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接
⏜
AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40 cm，CD
AB
＝10 cm，则圆形工件的半径为( )
第 7 页 共 12 页第4题图
A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm
5. [数学文化](2024珠海香洲区二模)《九章算术》是我国古代数学著作，书中
记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问
径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥DC于
E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD＝ 寸.
第5题图
第 8 页 共 12 页考点精讲
①圆心 ②圆心 ③圆心 ④平分 ⑤平分 ⑥垂直
⑦平分 ⑧相等 ⑨相等 ⑩相等 ⑪相等 ⑫相等
⑬相等 ⑭一半 ⑮相等 ⑯90° ⑰直径 ⑱三条垂直平分线 ⑲三个顶点
⑳2 ㉑互补 ㉒∠BAD
练考点
1. B
4 10
2. (1) ；(2) ；(3)5
5 3
3. ①②③
4. 90°
5. 50°，130°
高频考点
例1 (1)解：△ABC为等腰直角三角形.
证明：∵AC为☉O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°.
⏜ ⏜
∵ ＝ ，
AB AB
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形；
(2)解：由(1)知△ABC为等腰直角三角形，
∵AB＝√2，
∴AC＝√2AB＝√2×√2＝2，
又∵在Rt△ACD中，AD＝1，
∴CD＝√AC2－AD2＝√22－12＝√3；
(3)证明：∵∠ADB＝∠CDB＝2∠BDG，
∴∠BDG＝∠CDG，
第 9 页 共 12 页⏜ ⏜
∴ ＝ ，
BG CG
由题意知DG为☉O的直径，
∴DG⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DG；
(4)解：如解图，连接OB，过点H作HK⊥AB，交AB于点K，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，AB＝CB，OB⊥AC，
设AB＝CB＝√2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝√(√2x)2 ＋(√2x)2＝2x，
∴OA＝OB＝x，
∵AH＝OH，
1 1
∴AH＝OH＝ OA＝ x，
2 2
√2
∴HK＝AH·sin 45°＝ x，
4
√ 1 √5
在Rt△OBH中，由勾股定理得BH＝ ( x)2＋x2＝ x，
2 2
∵∠ACD＝∠ABD，
√2
x
HK 4 √10
∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝ ＝ ＝ .
BH √5 10
x
2
例1题解图
例2 B 【解析】∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CED＝∠B＝70°，
∵∠D＝80°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝30°.
第 10 页 共 12 页变式1 C 【解析】∵BE∥AD，∠BEC＝50°，∴∠D＝∠BEC＝50°，∵四
边形ABCD内接于☉O，∴∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＝180°－50°＝
130°.
真题及变式
1. B 【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠B
⏜ ⏜
＝180°－50°－90°＝40°，∵ ＝ ，∴∠D＝∠B＝40°.
AC AC
⏜ ⏜ ⏜
变式1.1 C 【解析】如解图，连接BD，∵点A是 的中点，∴ ＝ ，
BD AB AD
1
∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝ (180°
2
⏜
－∠BAD)＝45°.∵∠ADC＝59°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝14°，∵
BC
⏜
＝ ，∴∠BAC＝∠BDC＝14°.
BC
变式1.1题解图
2. B 【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是☉O的直径，
∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3－1＝2，
1
在Rt△ADE中，∵DE＝ AD，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分
2
∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CAB＝30°，∴AD＝BD，∴点O与点E重合，
∴OA＝√AD2－OD2＝√3，∴AB＝2OA＝2√3.
第2题解图
变式2.1 C 【解析】如解图，过点A作AE⊥CD，交CD延长线于点E，∵四
边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°
－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥DE，∴DE＝AD·cos 60°＝1，AE＝
第 11 页 共 12 页AD·sin 60°＝√3，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝√AE2＋CE2
＝√(√3)2＋52＝2√7.
变式2.1题解图
1
3. B 【解析】∵圆心O到AB的距离OE＝4，∴OE⊥AB，∴AE＝ AB＝4，
2
∴在Rt△OAE中，OA＝√AE2＋OE2＝4√2.
4. C 【解析】如解图，在CD的延长线上找一点O，设点O为圆心，连接
OA，则△OAD为直角三角形，OA2＝AD2＋OD2，结合OA＝OC＝OD＋CD＝OD
＋10，AB＝40可得AD＝20，OD＝OA－10，即OA2＝202＋(OA－10)2，解得OA
＝25，即圆形工件的半径为25 cm.
第4题解图
5. 26 【解析】如解图，连接OA，设☉O的半径为r寸，则OA＝r寸，OE＝(r
1
－1)寸，∵AB⊥DC，CD为☉O直径，∴AE＝BE＝ AB＝5(寸)，在Rt△OAE中，
2
52＋(r－1)2＝r2，解得r＝13，∴直径CD的长为26寸.
第5题解图
第 12 页 共 12 页
