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第2章 三角形
一、知识点梳理
知识梳理:
一般三角形 直角三角形
条件 边角边（SAS）,角边角（ASA） 斜边、直角边（HL）
边边边（SSS）,角角边（AAS）
性质 对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、
对应线段（如对应边上的高、中线、对应角平分线）相等
备注 判定三角形全等必须至少有一组对边相等
注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角
（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。
技巧平台：
证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些
条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法
根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：
已知条件 寻找的条件 选择的判定方法
两角 夹边或任一边 ASA或AAS
一角及其对边 任一角 AAS
一角及邻边 角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角 SAS或ASA或AAS
两边 夹角或另一边或直角 SAS或SSS或HL
二、例题讲解
A
例1.（SSS）如图，已知AB=AD，CB=CD,那么∠B=∠D吗？为什么？
分析：要证明∠B=∠D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所
在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接
C
B D
AC边即可构造全等三角形。
解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，
△ABC≌△ADC（SSS）， ∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）
点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时
根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。
例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，
证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而
∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△ACD求得。 A
证明： D是BC的中点， BD=CD
在△ABD与△ACD中，
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B D C
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△ABD≌△ACD(SSS)， ∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
∠ADB+∠ADC= （平角的定义）
A
∠ADB=∠ADC= ， AD⊥BC（垂直的定义）
D E
例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.
分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。
证明：在△ABE与△ACD中, B C
△ABE≌△ACD(SAS), ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：
DF=CE.
分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。
D C
证明： AE=BF(已知)
AE+EF=BF+FE,即AF=BE
A E F B
在△DAF与△CBE中,
△DAF≌△CBE(SAS), DF=CE（全等三角形的对应角相等）
点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即
AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。
练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需
添加辅助线）。
A
D
O
C
B
例5.（ ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：
AB=DE.
分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证
△ABC≌△DEF的条件。
A D
证明: AB∥DE, ∠B=∠DEF.
又 BE=CF， BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC与△DEF中, B E C F
△ABC≌△DEF(ASA), AB=DE.
例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B,求
D
证：△ABC≌△CDE.
分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件， A
由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。
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证明： AC∥DE， ∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.
又 ∠ACD=∠B, ∠B=∠D.
在△ABC与△CDE中, ,
△ABC≌△CDE(AAS).
解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题
的解题关键。
例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A= ,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D
作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.
分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三
角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用
“三点定形法”知，连接BE即可。
A
证明：连接BE.
E
ED⊥BC于D, ∠EDB= .
在Rt△ABE与Rt△DBE中，
B D C
Rt△ABE≌Rt△DBE(HL), AE=ED.
解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。
特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。
三、课堂同步练习 A
1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？为什么？
C
B D
2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD≌△CBE.
A
C D
B E
3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.
A
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B D C
4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
A D
C B
5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.
6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
D C
O
A B
7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
A
B F C E
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8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。
9. 已知 ,求证：
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