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第二章 三角形
1．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接
BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；并判断BE与CD的大小关系
为：BE CD．（不需说明理由）
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、
CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两
点B、E的距离．已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
2．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE= AB，AF= AC，当O沿AD
滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
3．如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已
学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
4．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且
使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直线上，
则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离，请说明理由．
15．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是
35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取
OC=35cm，画CD⊥OC，使CD=20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B
点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
6．问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°．E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西40°的A处，舰艇乙在指挥中心
南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向
以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/小时的速度各自前进2小
时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，两舰艇与指挥中心之间的夹角为
70°，试求此时两舰艇之间的距离．
7．如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，B三个景点之间的距离
相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，
M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游
客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的
时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？请说明理由．
28．如图，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过
池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使
CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
9．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮
尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并说明理由．
10．小华用四根竹棒扎成如图的风筝的框架，已知AE=DE，BE=CE，你认为小华的风筝两脚
的大小相等（即∠B=∠C）吗？请说明理由．
1．如图，把一个三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点
A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE
有什么关系？试说明你的结论．
2．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，
∠CBA=32°，求∠EFD的度数．
33．如图，要测量池塘A、B两点间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，
再过D点作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在一条直线上，这时，测量DE
的长就是AB的长，为什么？
4．小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以
C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分
线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．
5．阅读材料，解答问题：
在数学课上，李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角的平分
线，作法如下：
①如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
4小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，作法如下：
①如图2，利用三角板上的刻度，在OA和OB上
分别画点M、N，使OM=ON；
②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
请你按要求完成下列问题：
（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的方法是 ．
（2）小聪的作法正确吗？请说明理由．
（3）请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：画出图形，并简述过程和理由）
6．如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使
CD=BC，再定出BF的垂线DE，并使点A、C、E三点在同一条直线上，因此只要测得ED的长
就知道AB的长．请说明这样测量正确性的理由．
7．如图，四边形ABCD是一防洪堤坝的横截面，AE⊥CD，BF⊥CD，且AE=BF，∠D=∠C，问
AD与BC是否相等？说明你的理由．
解：在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF （ ）
∴AD=BC （ ）
8．某中学七年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一池塘，同学们想知道池塘
两端的距离．有一位同学设计了如下测量方案，设计方案：先在平地上取一个可直接到达A，
B的点E（AB为池塘的两端），连接AE，BE，并分别延长AE至D，BE至C，使ED=AE，
5EC=BE．测出CD的长作为AB之间的距离．他的方案可行吗？请说明理由．若测得CD为10
米，则池塘两端的距离是多少？
9．某班同学到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：
（I）如图（1），先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC到D，BC到E，使
DC=AC，BC=EC，最后测出DE的距离即为AB的长．
（II）如图（2），先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D
作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案（I）是否可行？ ，理由是 ；
（2）方案（II）是否切实可行？ ，理由是 ．
（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，
方案（II）是否成立？
（4）方案（II）中，若使BC=n•CD，能否测得（或求出）AB的长？理由是 ，若
ED=m，则AB= ．
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