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2023 年高考押题预测卷01【全国甲卷】
理科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
C
D
B
A
B
D
A
B
C
13．9 14．16 15．
16．3
【解答题评分细则】
17．解：（1）证明：因为
所以
（1 分）
所以
即
（3 分）
所以
（4 分）
（2）由余弦定理得：
（5 分）
（6 分）
又
（7 分）
所以
，
（9 分）
由角平分线定理可得，
，
（10 分）
在
中，由余弦定理得：
（11 分）
1
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所以
（12 分）
18．解：（1）
为正常工作的设备数，由题意可知
（不写不扣分）
（1 分）
（2 分）
（3 分）
（4 分）
从而
的分布列为
0
1
2
3
由
，则
（6 分，分步列1 分）
（2）设方案1 方案
､
2 的总损失分别为
，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到
，由（1）可知计算机网络断掉的概率为
，
不断掉的概率为
（7 分）
故
元（9 分）
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在
，可知计算机网络断掉的概率为
（10 分）
故
（11 分）
因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2（12 分）
19．解：（1）因为四边形
是正方形，所以
，
．
因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
（1 分）
因为
平面
，所以平面
平面
（2 分）
2
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因为
，
，所以
．
因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
（3 分）
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
（4 分）
因为
平面
，所以
．
因为BD∩DF = D，
，
平面
，所以
平面
（5 分）
因为
平面
，所以平面
平面
（6 分）
（2）由（1）知，直线
，
，
两两互相垂直，以
为坐标原点，直线
，
，
分别为
轴、
轴、轴建立空间直角坐标系
，如图，
则
，
，
，
，
（8 分，建系正确给一分）
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则有
得
所以
．
取
，得
，所以可取
（10 分）
设直线
与平面
所成的角为
，
则
（11 分）
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
（12 分，不叙述扣1 分）
3
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20．解：（1）设
的焦距为
，由题意知
,解得
（3 分）
故
的方程为
（4 分）
（2）
设
，
联立
消去
整理得
，
所以
，即
，
且
，
．（6 分）
因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，
所以
，所以
，
所以
．
所以
所以
，
整理得
（9 分）
4
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显然
不成立，所以
（10 分）
因为
，所以
，即
（11 分）
解得
，或
，
所以实数m 的取值范围为
（12 分）
21．解：（1）（1）∵
，∴
（1 分）
∵
在
上是增函数，
∴
在
上恒成立，可得
在
上恒成立（2 分）
令
，则
（3 分）
当
时，
，∴
在
上是增函数，
∴
（4 分）
∴
，解得
或
，
即实数
的取值范围是
（5 分）
（2）若
，则
．
下面证明当
时，不等式
成立，
令
，
，则
．
令
，得
，令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
（7 分）
所以当
时，
，即
①恒成立．
5
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要证当
时，
恒成立，即证
恒成立，
即证
恒成立（8 分）
结合①式，现证
成立，即证
在
上恒成立（9 分）
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
即
恒成立（11 分）
因为①②两式取等号的条件不一致，故
恒成立．
即当
时，
恒成立．（12 分）
22．解：（1）连接
，因为
是直径，所以
，
在
中，
，
，
∴
，∴点B 的极坐标为
（2 分）
在正方形OBCD 中，
，
（3 分）
∴点C 的极坐标为
（4 分）
6
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（2）设
，
，且
①（5 分）
由题意可得
的直角坐标为
，所以曲线M 的普通方程为
即
（6 分）
将
代入曲线M 的普通方程得极坐标方程为
（7 分）
当
时，O，B 两点重合，不合题意（8 分）
∴点B 的极坐标方程为
（9 分）
将①式代入得点D 的极坐标方程为
（10 分）
23．解：（1）
，
若
，则
，得2>1，即
时恒成立；（1 分）
若
，则
，得
，即
；（2 分）
若
，则
，得
，此时不等式无解. （3 分）
综上所述，
的取值范围是
.（5 分）
（2）由题意知，要使不等式恒成立，
只需
.（6 分）
当
时，
，
.（7 分）
7
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因为
，
所以当
时，
.（8 分）
于是
，解得
.（9 分）
结合
，所以
的取值范围是
.（10 分）
8
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9
