压轴23 概率与统计综合问题的3 大核心题型
统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建
模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、
统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
题型01 概率与统计图表的综合
1.（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A 地区和B 地区随机抽取了
500 名和100 名用户进行问卷评分调查，将评分数据按
40,50 ，
50,60 ，…，
90,100 分组整理得到如下
频率分布直方图：
(1)从A 地区抽取的500 名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60 分的概率；
(2)从B 地区评分为
80,100 的样本中随机抽取两名，记评分不低于90 分的用户人数为X，求X 的分布列和
数学期望；
(3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A 地区评分的平均值估计为
1
m ，A，B 两地区评分的平均值估计为m ，比较
1
m 与m 的大小关系．（直接写出结论）
【解】（1）设事件M：从A 地区抽取的500 名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于60 分．
技法指导
统计图表与概率综合问题的求解策略
（1）正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据；
（2）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型
（函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；
（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策
与判断.
由频率分布直方图可知，A 地区抽取的500 名用户中评分不低于的人数为
500
(0.025
0.035
0.015
0.005)
10
400
´
+
+
+
´
=
，
所以
400
(
)
0.8
500
P M
=
=
．
（2）B 地区评分为[80,100]的样本用户共有100
(0.01
0.005) 10
15
´
+
´
=
人，
其中评分不低于90分的人数为5 人．
由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2．
2
10
15
2
C
3
(
0)
C
7
P X =
=
=
，
1
1
0
15
5
2
1
C C
10
(
1)
C
21
P X =
=
=
，
2
2
15
5
C
2
(
2)
C
21
P X =
=
=
．
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
3
7
10
21
2
21
则X 的数学期望
3
10
2
2
0
1
2
7
21
21
3
EX =
´
+ ´
+ ´
=
.
（3）
1m
m
>
．
根据频率分布直方图A 地区评分的平均值为
1
45
0.05
55
0.15
65
0.25
75
0.35
85
0.15
95
0.05
70.5
m =
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
，
B 地区评分的平均值为
1
45 0.1 55 0.2
65 0.3
75 0.25
85 0.1 95 0.05
67
m
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
=
<
，
所以A，B 两地区评分的平均值
1
m
m
<
；
2.（2025·广东广州·三模）为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高
一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20 名学生，对他们的成绩（百分制）
进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
人数
1
2
3
4
10
高二年级成绩频率分布直方图
(1)从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90 分的概率；
(2)用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量X 表示这三
人中成绩不低于90 分的人数，求X 的分布列和数学期望．
【解】（1）从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90 分的概率为10
1
20
2
=
.
从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90 分的概率为0.025 10
0.25
´
=
.
所以从高一和高二样本中各抽取1 人，这两人的成绩都不低于90 分的概率为：1
1
0.25
2
8
´
=
.
（2）根据题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.
当
0
X =
时，即这三个人中成绩都低于90 分，此时概率为：
1
1
1
9
0
1
1
2
4
4
32
P X
æ
ö æ
ö
=
=
´
-
´
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
.
当
1
X = 时，即这三个人中成绩只有1 人的成绩是不低于90 分的，此时概率为：
1
2
1
1
1
1
1 3
15
1
1
1
C · ·
2
4
4
2
4 4
32
P X
æ
ö æ
ö
=
=
´
-
´
-
+
´
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
.
当
2
X =
时，即这三个人中成绩只有2 人的成绩是不低于90 分的，此时概率为：
1
2
1
1
1
1
1
1
7
2
C · 1
2
4
4
2
4
4
32
P X
æ
ö
=
=
´
-
´
+
´
´
=
ç
÷
è
ø
.
当
3
X =
时，即这三个人的成绩都是不低于90 分的，此时概率为：
1
1
1
1
3
2
4
4
32
P X =
=
´
´
=
.
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
9
32
15
32
7
32
1
32
所以数学期望为
9
15
7
1
0
1
2
3
1
32
32
32
32
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
= .
题型02 概率与独立性检验的综合
3.（2025·辽宁本溪一模）电信诈骗是指通过电话､网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实
施远程､非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取
得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联
表所示.
是否熟悉“反诈”知识
性别
不熟悉
熟悉
合计
男
24
16
40
女
12
48
60
合计
36
64
100
(1)依据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关？
(2)为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩
X 近似服从正态分布
86,9
N
，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计
本次知识竞赛预期的平均成绩；
(3)为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，
活动规则如下：每人需回答3 道题，每答对一道题获得30 元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道
题的概率均为2
3 ，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为Y 元，求Y 的期望
E Y 和方差
D Y .
参考公式
2
2
,
.
n ad
bc
x
n
a
b
c
d
a
b
c
d
a
c
b
d
-
=
=
+
+ +
+
+
+
+
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考数据：若随机变量
2
~
,
,
X
N m s
则
0.6827,
2
2
0.9545,
3
3
0.9973.
P
X
P
X
P
X
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
s
-
£
£
+
»
-
£
£
+
»
-
£
£
+
»
【解】（1）零假设为
0
H ：该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别无关，
技法指导
独立性检验与概率综合问题的解题思路
本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2×2
列联表，并按照公式求得χ2 的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
经计算得
2
2
0.001
100 (24 48 12 16)
50
16.667
10.828
40 60 36 64
3
x
c
´
´
-
´
=
=
»
>
=
´
´
´
，
所以依据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，推断
0
H 不成立，
即可认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）因为
1
1
0.6827
(
)
0.15865
2
2
2
2
P
X
P X
m
s
m
s
m
s
-
£
£
+
<
-
=
-
=
-
»
，
又
86
m »
，
3
s »
，
故本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86
3
-
=83.
（3）记小王答对题的数量为Z ，则
30
Y
Z
=
，由题意得
2
3, 3
Z
Bæ
ö
~
ç
÷
è
ø ，
则
2
2
1
2
3
2,
3
3
3
3
3
E Z
D Z
= ´
=
= ´
´
=
，所以
30
30 2
60
E Y
E Z
=
=
´
=
，
2
900
900
600
3
D Y
D Z
=
=
´
=
.
4.（2025·上海静安·三模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机
调查了200 位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2 列联表所示（单位：人）.
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
3t
100
女性
t
合计
60
(1)求t 的值，试根据小概率
0.01
a =
的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；
(2)从样本中筛选出5 名男性和3 名女性共8 人作为代表，这8 名代表中有2 名男性和2 名女性非常喜欢“赶
大集”.现从这8 名代表中任选3 名男性和2 名女性进一步交流，记X 为这5 人中非常喜欢“赶大集”的人数，
求X 的分布列及数学期望
E X .
参考公式：
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
a
0.1
0.05
0.01
…
xa
2.706
3.841
6.635
…
【解】（1）由题意可知：
3
60
100
t
t
+
-
=
，解得
20
t =
，
2×2 列联表如下：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
60
40
100
女性
80
20
100
合计
140
60
200
2
2
200
60 20
80 40
140 60 100 100
c
´
´
-
´
=
´
´
´
2
200 2000
9.524
6.635
140 60 100 100
´
=
»
>
´
´
´
.
根据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，
则X
m
n
=
+
，且X 的所有可能取值为1，2，3，4.
3
1
1
3
2
1
3
2
5
3
C C C
2
1
1
0,
1
C C
30
15
P X
P m
n
=
=
=
=
=
=
=
，
1
2
1
1
3
2
2
3
2
1
3
2
3
2
3
2
5
3
5
3
C C C C
C C
13
2
1,
1
0,
2
C C
C C
30
P X
P m
n
P m
n
=
=
=
=
+
=
=
=
+
=
，
2
1
1
1
1
2
2
2
3
2
1
2
3
2
3
2
3
2
5
3
5
3
C C C C
C C C
12
2
3
2,
1
1,
2
C C
C C
30
5
P X
P m
n
P m
n
=
=
=
=
+
=
=
=
+
=
=
，
2
1
2
2
3
2
3
2
5
3
C C C
3
1
4
2,
2
C C
30
10
P X
P m
n
=
=
=
=
=
=
=
.
所以X 的分布列为
X
1
2
3
4
P
1
15
13
30
2
5
1
10
所以
2
13
12
3
38
1
2
3
4
30
30
30
30
15
E X = ´
+ ´
+ ´
+ ´
=
.
题型03 概率与回归分析的综合
5.（2025·山东淄博·二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强
技法指导
回归分析与概率综合问题的解题思路
（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某
随机变量的概率（范围）、均值、方差等；
（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解
时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地
区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x（x＝t﹣2014）
1
2
3
4
5
销量y（万辆）
10
12
17
20
26
(1)计算销量y 关于年份代码x 的线性相关系数r，并判断是否可以认为y 与x 有较强的线性相关关系（若
|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y 关于x 的线性回归方程：若不是，说明理由；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该
地区100 位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40 名，购
置新能源汽车的有30 名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源
汽车，请问这位车主是女性的概率．
附：若
1
1
2
2
(
,
),(
,
),
x y
x
y
L为样本点，
相关系数公式：r
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
x
x
y
y
x
nx
y
n y
=
=
=
=
=
=
-
-
-
=
=
-
×
-
-
×
-
å
å
å
å
å
å
；y
b x
a
=
+
$
$
$ 为回归方程，则
1
1
2
2
2
1
1
(
)
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
x
x
x
nx
=
=
=
=
-
-
-
=
=
-
-
å
å
å
å
$
，a
y
b x
=
-
$
$
．
【解】（1）由题意得
1 (1
2
3
4
5)
3
5
x =
+
+ +
+
=
，
1 (10 12 17
20
26)
17
5
y =
+
+
+
+
=
，
2
1
1
5
5
2
1
5
295
55
(
)
164
i
i
i
i
i
i
i
x y
x
y
y
=
=
=
=
=
-
=
å
å
å
，
，
，
5
1
5
5
2
2
2
2
1
1
5
295
5 3 17
40
40
0.976
0.75
41
41
55
5 3
164
5
i
i
i
i
i
i
i
x y
x y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
×
- ´ ´
=
=
=
>
»
>
- ´
´
-
-
å
å
å
，
因此，销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系：
5
1
2
5
2
1
5
295
5 3 17
ˆ
4
55
45
5
i
i
i
i
i
x y
x y
b
x
x
=
=
-
×
- ´ ´
=
=
=
-
-
å
å
，
ˆ
17
4 3
5
a
y
bx
=
-
=
- ´ =
，
y 关于x 的线性回归方程为ˆ
4
5
y
x
=
+
.
（2）由题意知，该地区100名购车车主中，男车主有70 名，女性车主有30名，购置新能源汽车的男性车主
有30名，购置新能源汽车的女性车主有15名．
“一位车主购得新能源汽车”记作事件A ，“车主是女性”记作事件B ，
一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为：
15
1
100
30
15
3
100
100
P AB
P B A
P A
=
=
=
+
6.（2026·河南郑州二模）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的
臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5 名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：
x
159
165
170
176
180
y
67
71
73
76
78
(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；
(3)从5 名样本成年男性中任取2 人，记这2 人臂长差的绝对值为X，求
E X ．
参考数据：
5
1
62194
i
i
i
x y
=
=
å
，
5
2
1
8.6
i
i
y
y
=
-
=
å
，
282
16.8
»
参考公式：相关系数
1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
-
=
-
-
å
å
å
，回归方程$
$
y
a
bx
=
+ $ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为
1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
-
å
å
$
，$a
y
bx
=
- $
．
【解】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得
5
1
850
i
i
x
=
=
å
，
170
x =
，
5
1
365
i
i
y
=
=
å
，
73
y =
，
5
2
2
2
2
2
2
1
11
5
0
6
10
282
i
i
x
x
=
-
=
+
+
+
+
=
å
，
5
2
1
8.6
i
i
y
y
=
-
=
å
，
5
5
5
1
1
1
62194 170 73 5
144
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
x
y
=
=
=
-
-
=
-
=
-
´
´
=
å
å
å
，
∴
5
1
5
5
2
2
1
1
144
0.997
16.8 8.6
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
-
-
=
=
»
´
-
-
å
å
å
．
因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y
与x 的关系．
（2）由
73
y =
及（1）得
5
1
5
2
1
144
24
0.51
282
47
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
=
=
»
-
å
å
$
，
$
24
73
170
13.81
47
a
y
bx
=
-
=
-
´
» -
$
，
所以y 关于x 的回归方程为$
13.81 0.51
y
x
= -
+
．
（3）X 的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，
2
5
2
1
2
C
5
P X =
=
=
，
2
5
1
1
3
C
10
P X =
=
=
，
2
5
1
1
4
C
10
P X =
=
=
，
2
5
2
1
5
C
5
P X =
=
=
，
2
5
1
1
6
C
10
P X =
=
=
，
2
5
1
1
7
C
10
P X =
=
=
，
2
5
1
1
9
C
10
P X =
=
=
，
2
5
1
1
11
C
10
P X =
=
=
,
X 的分布列
X
2
3
4
5
6
7
9
11
P
1
5
1
10
1
10
1
5
1
10
1
10
1
10
1
10
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
27
2
3
4
5
6
7
9
11
5
10
10
5
10
10
10
10
5
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+
´
=
1.（2025·云南曲靖一模）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100 名学生的体重（单位：kg）得到如
下频数分布表：
分组
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
频数
5
25
40
20
10
(1)估计样本的中位数；
(2)从样本
60,70 和
70,80 中按分层抽样抽取学生6 人，再从这6 人中随机抽取3 人，其中体重在
60,70 ，
70,80 的人数分别为x ，y ，记X
x
y
=
-
．
（i）求X 的分布列及期望；
（ii）求
(2
1)
D
X +
．
【解】（1）因为5
25
30
50
+
=
<
，5
25
40
70
50
+
+
=
>
，
故样本的中位数落在
60,70 内，
又40
2
20,30
20
50
¸
=
+
=
，故中位数为60
70
65
2
+
=
（2）（i）
60,70 和
70,80 的人数比为40: 20
2:1
=
，
分层抽样抽取学生6 人中，
60,70 和
70,80 的人数分别为
2
6
4
2 1
´
=
+
和
1
6
2
2 1
´
=
+
，
故这6 人中随机抽取3 人，x 的可能取值为3,2,1，对应的y 的取值为0,1,2 ，
所以X 的可能取值为3,1, 1
- ，
3
4
3
6
C
1
3
C
5
P X =
=
=
，
2
1
4
2
3
6
C C
3
1
C
5
P X =
=
=
，
1
2
4
2
3
6
C C
1
1
C
5
P X = -
=
=
，
故X 的分布列为
X
3
1
1
-
P
1
5
3
5
1
5
期望为
1
3
1
3
1
1
1
5
5
5
E X = ´
+ ´
+ -
´
= ，
（ii）由（i）知
2
2
2
1
3
1
8
3 1
1 1
1 1
5
5
5
5
D X =
-
´
+
-
´
+ - -
´
=
，
所以
32
2
1
4
5
D
X
D X
+
=
=
．
2．（2025·江苏徐州二模）某品牌新能源汽车在某城市2024 年1 月至5 月的销售量如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
销售量y/辆
32
48
63
80
107
(1)求y 关于x 的经验回归方程；
(2)用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3 的一对数据为“异常数据”，现从这5 对数
据中任取3 对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X 的概率分布和数学期望．
附：经验回归直线
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x
=
=
-
-
=
=
-
-
å
å
．
【解】（1）由表格可得，
1
1
(1
2
3
4
5)
3,
(32
48
63
80 107)
66
5
5
x
y
=
+
+ +
+
=
=
+
+
+
+
=
，
5
5
2
1
1
4 1 0 1
4
10,
68 18
0 14
82
182
i
i
i
i
i
x
x
x
x
y
y
=
=
-
=
+ +
+ +
=
-
-
=
+
+
+
+
=
å
å
，
所以
5
1
5
2
1
182
ˆ
ˆ
ˆ
18.2,
66 18.2 3
11.4
10
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x
=
=
-
-
=
=
=
=
-
=
-
´ =
-
å
å
，
故y 关于x 的经验回归方程是ˆ
18.2
11.4
y
x
=
+
．
（2）当
1
x = 时，ˆ
18.2 1 11.4
29.6
y =
´ +
=
，残差的绝对值为| 29.6
32 | 2.4
3
-
=
<
；
当
2
x =
时，ˆ
18.2 2 11.4
47.8
y =
´ +
=
，残差的绝对值为| 47.8
48| 0.2
3
-
=
<
；
当
3
x =
时，ˆ
18.2 3 11.4
66
y =
´ +
=
，残差的绝对值为| 66
63| 3
-
=
；
当
4
x =
时，ˆ
18.2 4 11.4
84.2
y =
´ +
=
，残差的绝对值为|84.2
80 | 4.2
3
-
=
>
；
当
5
x =
时，ˆ
18.2 5 11.4
102.4
y =
´ +
=
，残差的绝对值为|102.4 107 | 4.6
3
-
=
> ．
所以“异常数据”为第四对和第五对共2 对数据，
故“异常数据”的对数X 的所有可能取值为0，1，2，
3
2
1
1
2
3
3
2
3
2
3
3
3
5
5
5
C
1
C C
3
C C
3
(
0)
, (
1)
, (
2)
C
10
C
5
C
10
P X
P X
P X
=
=
=
=
=
=
=
=
=
，
所以X 的概率分布如下：
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
数学期望
1
3
3
6
(
)
0
1
2
10
5
10
5
E X =
´
+ ´
+ ´
=
．
3．（2025·海南·模拟预测）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁
路线l 上有自东向西依次编号为1，2，…，21 的21 个车站．
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10 和11 两个站点多次乘坐列车P 的旅客中，随机抽取100 名旅
客，得出数据（不完整）如下表所示：
车站编
号
满
意
不满
意
合
计
10
35
50
11
30
合计
55
完善表格数据并计算分析：依据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度
与车站编号有关联？
(2)根据以往调图经验，列车P 在编号为8 至14 的终到站每次调图时有1
4 的概率改为当前终到站的西侧一站，
有3
4 的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11 的列车P 经历
了3 次调图，第3 次调图后的终到站编号记为X ，求X 的分布列及均值．
附
2
2
(
)
:
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
．
a
0.1
0.01
0.001
xa
2.706
6.635
10.828
【解】（1））补充列联表如下：
车站编
号
满
意
不满
意
合
计
10
35
15
50
11
20
30
50
合计
55
45
100
零假设为
0
H ：旅客满意程度与车站编号无关，则
2
2
100
35 30
20 15
100
6.635
55 45 50 50
11
c
´
´
-
´
=
=
>
´
´
´
，
所以根据小概率值
0.01
a =
的独立性检验，推断
0
H 不成立，
即认为旅客满意程度与车站编号有关联.
（2）由题X 的可能取值为8，10，12，14，
则
3
3
27
8
4
64
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
；
2
1
3
3
1
27
10
C
4
4
64
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
；
2
2
3
1
3
9
12
C
4
4
64
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
；
3
1
1
14
4
64
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以X 的分布列为
X
8
10
12
14
P
27
64
27
64
9
64
1
64
所以
27
27
9
1
8
10
12
14
9.5
64
64
64
64
E X = ´
+
´
+
´
+
´
=
．
4．（2025·甘肃白银·二模）从全校学生中随机选取100 人，统计了他们在寒假期间，一周参加体育锻炼的时
间（单位：小时），分别位于区间[2,4) ，[4,6)，[6,8) ，[8,10) ，[10,12) ，
12,14 ，用频率分布直方图表示
如图，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．
(1)求a 的值，并估计全校学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间位于区间[8,12)的概率；
(2)完成2 2
´ 列联表，并依据小概率值
0.1
a =
的独立性检验，能否认为性别与学生在寒假期间一周参加体育
锻炼的时间有关联？
(3)以频率作为概率，从全校学生中随机选取3 人，记X 表示这3 人寒假期间一周参加体育锻炼的时间在区
间[10,12) 的人数，求X 的分布列和数学期望
(
)
E X ．
锻炼时间
[2,10)
10,14
合计
男生
30
女生
25
合计
100
附：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
．
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解】（1）由题意可得
2
0.05
0.075
5
0.2
1
0.025
a
a
a
a
+
+
+
+
+
= Þ
=
，
所以估计全校学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间位于区间[8,12)的概率为
2 5
0.2
0.65
a +
=
.
（2）位于区间
2,10 的概率为
2
0.05
0.075
5
0.55
a
a
+
+
+
=
，故该区间范围的学生有100 0.55
55
´
=
，
位于区间
10,14 的概率为
2 0.2
0.45
a
+
=
，故该区间范围的学生有100 0.55
45
´
=
，
故2 2
´ 列联表如下：
锻炼时间
2,10
10,14
合计
男生
30
30
60
女生
25
15
40
合计
55
45
100
零假设
0
H ：性别与学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间无关联，
则由表格数据可得
2
2
0.1
100 30 15
25 30
50
2.706
60 40 45 55
33
a
c
=
´
-
´
=
=
<
´
´
´
，
所以依据小概率值
0.1
a =
的独立性检验，没有充分依据推断
0
H 不成立，即我们推断
0
H 成立，
所以认为性别与学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间无关联.
（3）由题寒假期间一周参加体育锻炼的时间在区间[10,12) 的概率为0.4 ，
则
0,1,2,3
X =
，且
3,0.4
X
B
~
，
所以
3
1
2
3
0
0.6
0.216,
1
C 0.4 0.6
0.432
P X
P X
=
=
=
=
=
´
=
，
2
2
3
3
2
C 0.4
0.6
0.288,
3
0.4
0.064
P X
P X
=
=
´
=
=
=
=
，
所以X 的分布列为：
P
0
1
2
3
X
0.216
0.432
0.288
0.064
所以
(
)
3 0.4
1.2
E X = ´
=
.
5．（2026·陕西商洛·二模）汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产．一根藤，牵起千年的记忆，也
编织出乡村振兴的新图景．汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道，藤编产品销量逐年增长．该工坊
为了科学规划生产，统计了2021-2025 年藤编产品的销量数据如下表：
年份/
t 年
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
2020
x x
t
= -
1
2
3
4
5
销量y /万件
6
7
10
12
15
(1)统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该工坊2026
年藤编产品的销量；
(2)已知该工坊2025 年售出的藤编产品中，有9 万件通过线上售出，用频率估计概率，现从2025 年售出的
藤编产品中随机抽取4 件，求其中线上售出数量X 的分布列及数学期望．
附：
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
为回归直线方程，其中
1
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x
=
=
-
-
=
=
-
-
å
å
，
．
【解】（1）
1
2
3
4
5
6
7 10 12 15
3
10
5
5
x
+
+ +
+
+
+
+
+
=
=
=
=
，y
5
1
1 6
2 7
3 10
4 12
5 15
173
i
i
i
x y
=
= ´ + ´ + ´
+ ´
+ ´
=
å
，
5
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3
4
5
55
i
i
x
=
=
+
+
+
+
=
å
，
所以
5
5
1
1
5
5
2
2
2
2
1
1
5
173
5 3 10
2.3
55
ˆ
5 3
5
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
x y
b
x
x
x
x
=
=
=
=
-
-
-
×
- ´ ´
=
=
=
=
- ´
-
-
å
å
å
å
，
10
ˆ
ˆ
2.3 3
3.1
a
y
bx
=
-
=
-
´ =
，
所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ
2.3
3.1
y
x
=
+
；
当2026 年时，即
6
x =
时，
9
ˆ
2.3 6
3.1
16.
y =
´ +
=
，
所以预测该工坊2026 年的藤编产品的销量约为16.9 万件．
（2）该工坊2025 年售出的藤编产品中，有9 万件通过线上售出，用频率估计概率，
所以2025 年售出的藤编产品中，通过线上售出的概率为9
3
15
5
=
，
由题意可知：
3
~
4, 5
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø，
所以
0
4
0
4
3
3
16
0
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
1
3
1
4
3
3
96
1
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
2
2
2
4
3
3
216
2
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
3
1
3
4
3
3
216
3
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
4
0
4
4
3
3
81
4
C
1
5
5
625
P X
æ
ö æ
ö
=
=
-
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
所以其中线上售出数量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
16
625
96
625
216
625
216
625
81
625
数学期望
3
12
4
5
5
E X =
´
=
.
6．（2026·重庆·一模）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100 名学生的物理成绩，整理得到如图所
示的频率分布直方图．
(1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60% 的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生
本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
(2)从成绩位于区间
80,90 和
90,100 的答卷中，采用分层抽样随机抽取7 份，再从这7 份中随机抽取3 份，
设成绩在
90,100 的答卷份数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．
【解】（1）由题意
10
0.005
0.010 2
0.020
0.025
1
a
´
+
´ +
+
+
= ，解得
0.030
a =
，
成绩在
90,100 的频率为0.1，在
80,90 的频率为0.25，在
70,80 的频率为0.3，
因为0.1 0.25
0.35,0.1 0.25
0.3
0.65
+
=
+
+
=
，
所以选报物理方向的最低分x 在
70,80 内，则
80
0.03
0.25
0.1
0.6
x
-
´
+
+
=
，
解得
72
x »
，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72 分．
（2）由题可知，成绩在区间
80,90 的频数为100 0.025 10
25
´
´
=
，
成绩在区间
90,100 的频数为100 0.010 10
10
´
´
=
，
利用分层抽样，从中抽取7 份，成绩在
80,90 的频数为
7
25
5
25 10
´
=
+
，
成绩在
90,100 的频数为
7
10
2
25 10
´
=
+
，
再从这7 份答卷中随机抽取3 份，X 的所有可能取值为0,1,2 ，
0
3
1
2
2
1
2
5
2
5
2
5
3
3
3
7
7
7
C
C
C
C
C
C
10
2
20
4
5
1
0
,
1
,
2
C
35
7
C
35
7
C
35
7
P X
P X
P X
×
×
×
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
，
故X 的分布列为：
X
0
1
2
P
2
7
4
7
1
7
所以X 的数学期望为：
2
4
1
6
0
1
2
7
7
7
7
E X =
´
+ ´
+ ´
=
．
7．（2026·河北承德·一模）2025 年9 月3 日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争
胜利80 周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义
情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了
100 名学生进行调查，已知女生中有15 名喜欢军事，男生中有3
5 的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有2
3 是
男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选
出一道，选择题与填空题出现的频率之比为2:1，已知学生答对选择题的概率为3
4 ，答对填空题的概率为
1
2 ，每次答题互不影响．
喜欢军事
不喜欢军事
合计
男生
女生
15
合计
(1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值
0.001
a =
的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性
别有关；
(2)若每位学生答3 题，求该学生答对题数X 的分布列和数学期望．
附：
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
．
a
0.01
0.005
0.001
xa
6.635
7.879
10.828
【解】（1）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为2:1，
且有15 名女生喜欢军事，所以有30 名男生喜欢军事，
因为男生中有3
5 的人喜欢军事，所以男生共有50 名，故不喜欢军事的男生有20 名，
完善后的列联表如下：
喜欢军事
不喜欢军事
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
零假设为
0
H ：该校学生喜欢军事与性别无关．
2
2
0.001
100(30
35
20 15)
100
9.091
10.828
45 55 50
50
11
x
c
´
-
´
=
=
»
<
=
´
´
´
，
根据小概率值
0.001
a =
的
2
c 独立性检验，没有充分证据推断
0
H 不成立，
因此可以认为
0
H 成立，即该校学生喜欢军事与性别无关．
（2）学生答对任意一题的概率为2
3
1
1
2
3
4
3
2
3
´
+
´
=
，
X 的可能取值为0，1，2，3，且
2
3, 3
X
Bæ
ö
ç
÷
è
ø
:
，
3
0
3
1
1
0
C
3
27
P X
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
è
ø
，
2
1
3
1
2
6
1
C
3
3
27
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
3
1
2
12
2
C
3
3
27
P X
æ
ö
=
=
´
´
=
ç
÷
è
ø
，
3
3
3
2
8
3
C
3
27
P X
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
27
6
27
12
27
8
27
数学期望
1
6
12
8
0
1
2
3
2
27
27
27
27
E X =
´
+ ´
+
´
+ ´
=
．
8．（2026·江苏镇江·一模）AI 幻觉，是指AI 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，
AI 幻觉率是指AI 模型产生AI 幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14 个使用率较高的AI 模型，其幻觉率如
下表所示：
AI
模
型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
幻
觉
率
1.3%
1.8%
2.9%
1.5%
1.9%
2.9%
0.7%
0.9%
1.6%
2.4%
0.8%
1.6%
2.4%
2.8%
(1)从表中提供的AI 模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率；
(2)从表中提供的幻觉率小于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X 表示其中幻觉率小于
．．1.3% 的模型个数，
求随机变量X 的分布列和数学期望.
【解】（1）14 个AI 模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5 个，
所以幻觉率低于2%的概率为
5
9
1 14
14
-
=
.
（2）幻觉率低于2%的AI 模型中共9 个，其中低于1.3%的模型有3 个，故
0,1,2,3
X =
3
6
3
9
C
20
0
C
84
P X =
=
=
，
1
2
3
6
3
9
C C
45
1
C
84
P X =
=
=
，
2
1
3
6
3
9
C C
18
2
C
84
P X =
=
=
，
3
3
3
9
C
1
3
C
84
P X =
=
=
,
故分布列为
X
0
1
2
3
P
20
84
45
84
18
84
1
84
故
20
45
18
1
0
1
2
3
1
84
84
84
84
E X =
´
+ ´
+ ´
+ ´
= .
9．（2026·湖南邵阳·二模）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所
学校共抽取120 名学生.通过测验得到如下数据：甲校50 名学生中有10 名学生的数学成绩优秀；乙校70 名
学生中有10 名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.
单位：人
数学成绩
学校
不优秀
优秀
合计
甲校
10
50
乙校
10
70
合计
表（一）
(1)完成表（一）列联表，依据小概率值
0.1
a =
的
2
c 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率
有差异？
(2)已知甲、乙两所学校利用AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数
学不优秀学生成绩有效转化的概率为1
3 ，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为
1
2 .若从甲、乙两所学
校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1 名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生
数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d
c
-
=
+
+
+
+
，其中n
a
b
c
d
=
+
+ +
.
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【解】（1）列联表如下：
单位：人
数学成绩
学校
不优秀
优秀
合计
甲校
40
10
50
乙校
60
10
70
合计
100
20
120
零假设为
0
H ：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
2
2
2
0.1
120
40 10
60 10
120
200
24
2.706
50 70 100 20
50 70 100 20
35
x
c
´
´
-
´
´ -
=
=
=
<
=
´
´
´
´
´
´
.
根据小概率值
0.1
a =
的
2
c 独立性检验，没有充分证据推断
0
H 不成立，
因此可以认为
0
H 成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异.
（2）设事件A = “利用AI 自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，
事件
1
B = “该学生来自甲校”，事件
2
B = “该学生来自乙校”，则
1
2
5
P B
=
，
2
3
5
P B
=
，且
1
1
3
P A B
=
，
2
1
2
P A B
=
，
则
1
1
2
2
2
1
3
1
13
( )
5
3
5
2
30
P A
P B
P A B
P B
P A B
=
+
=
´
+
´
=
，
所以该学生数学成绩有效转化的概率为13
30 .
10．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y
（单位：万元）的关系，统计了最近10 场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
10
10
10
1
1
1
50,
400,
2200
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x y
=
=
=
=
=
=
å
å
å
，
10
2
1
300
i
i
x
=
=
å
.
(1)求销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额10 万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部
分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x 万元（0
10
x
£
£
），主播佣金激励投
入（10
x
-
）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t 万元的销售额为（
2
12t
t
-
）万元；平台流量推广的效
果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a
=
+
中，
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
-
-
=
-
å
å
，
ˆ
ˆa
y
bx
=
-
.
【解】（1）由题意知，样本量
10
n =
，
10
1
1
50
5
10
10
i
i
x
x
=
=
=
=
å
，
10
1
1
400
40
10
10
i
i
y
y
=
=
=
=
å
,
根据公式变形得回归系数：
10
1
10
2
2
2
1
10
2200 10 5 40
200
4
300 10 5
10
ˆ
50
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x
=
=
-
-
´ ´
=
=
=
=
-
´
-
å
å
,
则
40
4 5
20
ˆ
ˆa
y
bx
=
-
=
- ´
=
，
因此，销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程为：ˆ
4
20
y
x
=
+
；
（2）方案一：全部投入平台流量推广，即
10
x =
代入回归方程得销售额：
4 10
20
60
ˆy =
´
+
=
万元；
方案二：投入x 万元到流量推广，
10
t
x
=
-
万元到主播佣金，且0
10
x
£
£
，
总销售额为流量销售额加佣金销售额：
2
2
4
20
12 10
10
12
40
y
x
x
x
x
x
=
+
+
-
-
-
= -
+
+
，
对称轴为
6
x =
，在定义域[0,10]内，最大值为
2
6
12 6
40
76
max
y
= -
+
´ +
=
万元，
因为 76
60
>
，所以投入6 万元到平台流量推广，4 万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76 万元。
综上可得：分配6 万元投入平台流量推广、4 万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为76 万元.
