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专题07 简谐运动的综合运用（含引力场、电磁场
中的运用）
【命题解读】
简谐运动作为机械振动中最简单的一种振动形式，其回复力与位移关系是其最明显的特点，所以经常与弹
簧的弹力、库仑力、导棒切割磁感线时所受培力、万有引力进行综合考察。
【命题预测】
近几年高考中简谐运动的综合应用考察频率非常高。2026 年高考中考察的概率非常大，且出现简谐运动原
模型（即弹簧振子、单摆）的机率不大，大概率与电磁学或换个装置的简谐运动，需要考生能识别出简谐
运动。
题型01 弹簧振子
1．（2026·四川成都·二模）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在
竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，
如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置下方
C．从
至
，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为
【答案】B
【详解】A．由题图乙知，
时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为
，故A 错
误；
B．由题图乙知，
时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，故B 正确；
C．由题图乙知，从
至
，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，
动能减小，故C 错误；
D．由题图乙知，周期
，则角频率
则
随变化的关系式为
，故D 错误。
故选B。
2．（2026·山东日照·一模）小明同学通过查阅资料得知，做简谐运动的物体回复力满足
（k 为常
数，x 为物体偏离平衡位置的位移），能量满足
，系统总能量E 为一常量。如图所示，劲
度系数为k 的轻弹簧一端固定在倾角
的光滑斜面上，另一端与质量为m 的小球相连，小球沿斜面方
向做简谐运动。已知当弹簧处于原长时，小球的动能为最大动能的
，重力加速度为g，不计空气阻力。
下列说法中正确的是（ ）
A．小球的振幅为
B．小球的最大速度为
C．小球的最大加速度为2g
D．弹簧的最大弹性势能为
【答案】B
【详解】A．小球受力平衡时有
解得
设最大动能为
，则总能量为
弹簧处于原长时，小球的动能为最大动能的
，则有
解得
，故A 错误；
B．由
解得
，故B 正确；
C．根据牛顿第二定律有
解得
，故C 错误；
D．弹簧形变量最大为
最大弹性势能为
，故D 错误；
故选B。
3．（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）如图所示，在水平放置的平行光滑横杆上有两个相同的弹簧振子。
把P 和Q 两个小球拉到相同的位置，先释放P 球，当它第一次到达平衡位置O 时再释放Q 球，在接下来的
运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．在某一时刻P 和Q 将具有相同的动量与相同的位移
B．在某一时刻P 和Q 将具有不同的动量与相同的位移
C．在某一时刻P 和Q 将具有相同的加速度和相同的动能
D．在某一时刻P 和Q 将具有不同的加速度和相同的动能
【答案】BCD
【详解】AB．据题意，两球振动的相位差为
，振动图像如图所示
在一个周期内，有两个位移相同的时刻（振动图像交点）；同时刻两球位移相同时，图像斜率不同，速度
方向不同，动量不同，故A 错误，B 正确；
C．由振动图像可知在一个周期内，有两个位移相同的时刻（振动图像交点），弹簧压缩或者伸长量相同，
两球位移相同，两球加速度相同；由机械能守恒可知，弹簧伸长量或者压缩量相同的地方，两球动能相同，
故C 正确；
D．如图中的
时刻，两球加速度等大反向时，速度大小相同，动能相同，故D 正确。
故选BCD。
4．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，截面为直角三角形的斜面体固定在水平面上，两斜面
光滑，斜面倾角分别为30°和60°，左侧斜面底端固定一挡板，物块a 紧挨挡板放置，斜面顶端固定一轻质
定滑轮，轻绳一端连接物块a，一端跨过定滑轮与劲度系数为k 的弹簧上端连接，弹簧的下端连接物块b。
初始状态，用手托住物块b（处于P 处），使两物块a、b 均静止，弹簧处于原长且轻绳刚好伸直，轻绳和
弹簧都与斜面平行。现释放物块b，物块b 从P 运动到最低点Q 的过程中，物块a 恰好没有离开挡板。已
知弹簧的弹性势能表达式
（x 为弹簧形变量），物块a 的质量为M，重力加速度为g，下列说法
正确的是（ ）
A．物块b 被释放瞬间，其加速度大小为
B．物块a、b 的质量之比为
C．弹簧的最大弹性势能为
D．物块b 运动到PQ 中点时速度大小为
【答案】AD
【详解】AB．由题意可知，物块b 在PQ 之间做简谐运动，在P 点加速度大小为
由对称性可知，物块b 在Q 点的加速度大小也为
，根据牛顿第二定律有
解得
，故A 正确，B 错误；
C．物块由P 到Q 的过程，由机械能守恒可知重力势能减少量等于弹簧弹性势能的增加量，设PQ 的长度
为x，则
解得
所以弹性势能为
，故C 错误；
D．从P 点到PQ 中点，由能量守恒定律得
解得
，故D 正确。
故选AD。
题型02 单摆模型
5．（2026·重庆·模拟预测）图1 中，用一轻质细线将一可视为质点的小球悬挂在天花板上，其摆动周期为
T1；图2 中，用一轻质细线将该小球挂在光滑固定的斜面上，使其紧贴斜面摆动，摆动周期为T2；图3 中，
用两根等长的轻质细线将该小球悬挂在水平天花板上，使其沿垂直纸面方向摆动，摆动周期为T3。若所有
摆动均视为单摆运动，且所有细线长度相同，重力加速度均为g，则（ ）
A．T2>T1>T3
B．T1>T3>T2
C．T1>T2>T3
D．T2>T1=T3
【答案】A
【详解】设细线长度为L，图2 斜面倾角为
，图3 中两线夹角为
，则图1、图2、图3 单摆周期分别为
，
，
综上可知
。
故选A。
6．（2025·浙江杭州·一模）如图所示的装置可以模拟波的形成过程。半径为
的圆柱面最低处的母线
沿水平方向，母线
和
距
很近且关于
对称。完全相同的1 到10 号小球（可视为质点）锁定
在
上，间距均为
。
时刻，由静止释放球1，此后每隔
时间（g 为重力加速度）依次由静止
释放所有小球。若忽略一切摩擦，则（ ）
A．
时刻，球1 回到出发点
B．球1 首次到达
时，球5 位于最低点
C．该“波”的“波长”为
D．该“波”的“波速”为
【答案】C
【详解】A．小球在圆柱面上的运动可等效为单摆运动，圆柱面的半径
相当于摆长，所以该单摆的周期
公式为
时刻，球1 由静止释放，因为
所以
时刻，球1 是到达与出发点对称的
，并非回到出发点，故A 错误；
B．由A 选项可知，球1 首次到达
的时间为
，由于相邻小球释放的时间间隔为
，故球5
比球1 晚释放的时间为
即球5 释放的时间为
，所以球1 首次到达
时，球5 刚被释放，并非位于最低点，故B 错误；
C．波的“波长”是指相邻两个同相位质点间的距离。由于小球释放的时间间隔为
所以相邻两个运动状态相同的小球间距为
，即该“波”的“波长”为
，故C 正确；
D．根据波速的公式可得该“波”的“波速”为
，故D 错误。
故选C。
7．（2025·浙江·模拟预测）如图所示为一架杆线摆，由一根轻杆、一条轻绳和一个钢球安装在铁架台的立
柱上构成，用几本同样厚度的物理课本将铁架台的底座右端垫高。杆与立柱之间的连接机构可以沿水平和
竖直方向自由转动，初状态下杆与立柱垂直，钢球静止。现给钢球以垂直于杆的微小水平冲量，杆线摆做
一定周期的摆动。忽略各种能量耗散。下列说法正确的是（ ）
A．杆线摆的周期与钢球的质量成正比
B．书本较少时，周期的平方与书的本数成反比
C．减少书的本数，静止时杆对钢球的作用力更小
D．静止时若突然剪断绳，剪断后瞬间钢球的加速度沿着剪断前绳收缩的方向
【答案】B
【详解】A．此杆线摆等效为在倾角为
的光滑斜面上的单摆，其周期为
，与钢球的质量无
关，故A 错误；
B．书本数
越少，倾角
越小；倾角
较小时，
正比于书本数
；
杆线摆的周期为
，所以
正比于
正比于
，故书本较少时，周期的平方与书的本
数成反比，故B 正确；
C．钢球受重力
、沿着绳方向的拉力
和沿着杆的弹力
平衡，三个力构成封闭三角形，其中绳拉力和
杆弹力夹角不变，利用动态平衡知识构建圆周角如图
减少书的本数，弹力方向向上摆动，所以杆对钢球的作用力变大，故C 错误；
D．静止时若突然剪断绳，剪断后瞬间杆的弹力会突变，钢球的加速度不会沿着剪断前绳收缩的方向，故
D 错误。
故选B。
8．（多选）（2026·广东江门·一模）单摆在小角度范围内摆动，摆球0 时刻从最高点由静止释放，摆动过
程中动能和重力势能随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．实线表示的是重力势能的变化
B．虚线表示的是重力势能的变化
C．单摆的周期为
D．在
至
时间内，小球受到的回复力增大
【答案】BD
【详解】AB．单摆小角度摆动时，重力势能和动能相互转化，机械能守恒。0 时刻摆球从最高点由静止释
放，此时重力势能最大，动能为0。摆球向最低点运动时，重力势能减小，动能增大；到达最低点时动能
最大，重力势能最小。所以
图像中实线表示的是动能的变化，虚线表示的是重力势能的变化，故A 错
误，B 正确；
C．由题图可以看出，
时间内摆球从最低点运动到了最高点，所用时间应该是单摆周期的
，即
所以单摆的周期为
，故C 错误；
D．由C 选项可知，
时间内摆球从最低点运动到了最高点，其位移增大，则由回复力与位移的关系
可知，此过程小球受到的回复力增大，故D 正确。
故选BD。
题型03 变型“弹簧振子”
9．（2025·浙江·一模）如图所示，
点左侧水平面光滑，右侧水平面粗糙。一块质量为
、长为
的
匀质木板静止在
点左侧，且右端距离
点为
，木板在大小为
的恒力
作用下由静止沿水平面运动，
当木板右端到达
点时立即撤去恒力
，已知
点右侧水平面与木板间的动摩擦因数为0.2，则（ ）
A．木板的加速度先不变后减小
B．木板不能全部进入
点右侧区域
C．木板加速时间大于减速的时间
D．若恒力
大小变为
，木板做减速运动的时间减小
【答案】C
【详解】A．撤去恒力
前，由牛顿第二定律
可知木板做匀加速直线运动；撤去恒力
后，在木板
全部进入Ｏ点右侧前，设木板向右滑动的位移为x，则木板所受摩擦力为
可得加速度为
所以木板加速度增加，选项A 错误；
B．恒力F 做功
木板进入Ｏ点右侧过程中，摩擦力做功为
由动能定理可知木板全部进入Ｏ点右侧时，速度刚好减为0，选项B 错误；
C．木板匀加速过程加速度不变，减速过程加速度增大，故匀加速过程的平均速度小于减速过程的平均速
度，所以木板加速时间大于减速的时间，选项C 正确；
D．木板进入Ｏ点右侧的过程中，由于所受合外力为
所以木板运动恰好为
的简谐运动，若恒力F 大小变为
，则进入Ｏ点时的初速度减小，但仍为
的
简谐运动，运动时间不变，选项D 错误。
故选C。
10．（2025·四川广安·模拟预测）如图甲所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几圈细铁丝后竖直悬浮静止
在装有盐水的杯子中，木筷下端到水面的距离为
，现把木筷竖直向上提起一段距离后放手，忽略水的黏
滞阻力及水面高度变化，以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，木筷下端的位移y 随时间t 变化的图
像如图乙所示。已知盐水的密度为ρ，木筷的横截面积为S，木筷下端到水面的最小距离为
。则（ ）
A．
和
时刻木筷速度相同
B．木筷做简谐运动的振幅为
C．木筷（含铁丝）的质量为
D．木筷在
时间内运动的路程为
【答案】C
【详解】A．由图乙可知木筷运动周期为
，
和
时刻相差
，运动速度大小相同，但方向相反，故
A 错误；
B．由简谐运动可知，木筷静止时的位置为其做简谐运动的平衡位置，下端到水面的距离为
，振动到正
向最大位移处，到水面的距离最小，为
，可得振幅
，故B 错误；
C．木筷（含铁丝）静止在平衡位置时，所受重力与浮力相等，即
解得
，故C 正确。
D．木筷振动方程的一般形式为
其中
，
，
代入得
时，有
结合图乙可知，木筷在
时间内运动的路程为
故D 错误。
故选C。
11．（多选）（2025·湖南·一模）如图，光滑的竖直墙面上A 处和B 处各有一个钉子，二者处于同一水平
高度，间距为l，有一轻质弹性绳，原长为l，劲度系数为k，一端由A 处钉固定，另一端系有一质量为
的小球，其中g 为重力加速度，B 处钉恰好处于弹性绳下面，钉子和小球都可视为质点，现将小球水平向
右拉伸到与A 处钉距离为2l 的C 点，将小球由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在水平和竖直两个方向的分运动均为简谐运动
B．小球将与B 处钉发生碰撞
C．小球的运动轨迹为一条直线
D．当小球第一次运动至B 处钉的正下方时，其速度方向水平向左
【答案】AC
【详解】A．以B 点为原点，向右为
轴正方向，向下为
轴正方向，对小球进行受力分析
在水平方向的受力为
竖直方向的受力为
两个力均满足简谐运动的表达式，水平简谐分运动的平衡位置在
处，竖直简谐分运动的平衡位置在
处，故A 正确；
B．由力的表达式可知两个方向的振动周期相等。若小球能够与B 处钉相碰，则在水平方向上，小球由最
大位移处C 点运动到B 点即平衡位置，历时
在竖直方向上，若小球能够与B 处钉相碰，历时
，水平方向和竖直方向不能同时到达B 点，故B 错误；
C．设水平方向的位移满足
水平方向的速度为对应位移的导数
初始时
，
，
代入位移表达式得到
代入速度表达式得到
由
可知
取
的整数倍，由于初始位置在平衡位置右方，与横坐标正方向相同，取
联立解得
同样的，设竖直方向的位移满足
竖直方向的速度为对应位移的导数
初始时
，
，
代入位移表达式得到
代入速度表达式得到
由
可知
取
的整数倍，由于初始位置在平衡位置上方，与纵坐标正方向相反，取
联立解得
因此小球的水平位置坐标可表示为
竖直位置坐标可表示为
运动轨迹所满足的方程为
是一次函数，图像为直线，故C 正确；
D．当小球第一次运动至B 处钉正下方时，历时
，此时小球在竖直方向上的分速度达到最大值，不可
能水平向左，故D 错误。
故选AC。
12．（多选）（2025·安徽合肥·一模）在古代，儿童常喜欢玩一种叫“吹豆”的游戏，儿童用手竖直握住
两端开口且中空的秸秆，上端口放一粒黄豆，通过秸秆的下端向上用嘴吹气，从上端口喷出的气流可以将
黄豆吹停在端口的正上方。若喷出的气流对豆的冲力F 正比于气流相对于豆的速率v，即
（
为已
知恒量）；而气流速率随高度增大而减小，关系满足
（
为气流从上端口喷出速率且不变，
为已知恒量，h 为离上端口高度），本题黄豆受到的力只考虑冲力和重力，重力加速度为g，以下说法正
确的是（ ）
A．恰好悬停在上端口处的黄豆的质量为
B．黄豆被吹停的高度与黄豆的质量成反比
C．若质量为m 的黄豆恰好悬停在上端口，则更换为质量为
的黄豆轻放在上端口后，上升的最大高
度为
D．两粒不同的黄豆两次吹停的高度分别为
、
，且
，则它们的质量差为
【答案】AC
【详解】A．由于恰好悬停，所以秸秆对黄豆的弹力为0，则
得
，故 A 正确；
B．悬停时有
解得
，故B 错误；
C．对于质量为
的黄豆，有
对于质量为
的黄豆放在端口处有
两式联立解得
，方向竖直向上，由于冲力
随增大而线性减小，因此黄豆做简谐运动，由对称性可
知，在最高点
，方向竖直向下，所以在最高点气流速率
，即
则
，故C 正确；
D．对高度为
的黄豆有
对高度为
的黄豆有：
则
，故D 错误。
故选AC。
13．（多选）（2026·陕西商洛·二模）如图所示，风洞中有一满足胡克定律的轻质橡皮筋，橡皮筋一端固
定在A 点，另一端跨过轻杆OB 上固定的定滑轮连接一质量为m 的小球，小球穿过水平固定的杆。小球在
水平向右的风力作用下从C 点由静止开始运动，滑到E 点时速度恰好为零。已知橡皮筋的自然长度等于
AB，初始时A、B、C 在一条竖直线上，BC 的长度为L，D 为CE 的中点，小球与杆之间的动摩擦因数为
0.4，重力加速度为g，风力大小始终为F=mg，橡皮筋的劲度系数为
，橡皮筋始终在弹性限度内，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中，摩擦力大小保持不变
B．小球运动到D 点时速度最小
C．小球最后静止在与C 点相距
处
D．从小球开始运动到停止，小球与杆之间因摩擦产生的热量为
【答案】AD
【详解】A．设小球运动到任意点P 时，BP 与水平方向的夹角为θ，则橡皮筋竖直向上的分力
故小球受到的摩擦力为
由此可知，摩擦力与θ 无关，保持恒定，故A 正确；
B．设CP 的长度为x，则橡皮筋沿水平方向的分力
小球在水平方向受到的合外力
，
水平方向的合外力与位移x 呈线性关系，类似简谐运动，根据对称性，D 为CE 的中点，故小球在该位置
速度最大，故B 错误；
C．当
时，有
则CE 的长度为
小球在E 点，橡皮筋的水平拉力
因
，小球向左运动，设平衡位置距离C 点的距离为x0，则有
解得
此时
根据对称性小球向左运动的最大距离为
此时橡皮筋的水平拉力
因
，故小球恰好停在D 点，故C 错误；
D．从小球开始运动到小球停止，系统的发热量为
，故D 正确。
故选AD。
14．（多选）（2025·江苏连云港·一模）如图所示，两根相同弹性轻绳一端分别固定在
点，自然伸长
时另一端恰好处于图中光滑定滑轮上的
，将轻绳自由端跨过定滑轮连接质量为
的小球，
、
在同一水平线上，且
。现将小球从
点由静止释放，沿竖直方向运动到
点时速度恰好为
零。已知
两点间距离为
为
的中点，重力加速度为
，轻绳形变遵循胡克定律且始终处于弹性
限度内，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球在
点的加速度为
B．小球在
段减少的机械能等于在
段减少的机械能
C．小球从
运动到
的时间小于从
运动到
的时间
D．若仅将小球质量变为
，则小球到达
点时的速度为
【答案】D
【详解】A．根据题意分析知，小球在
两点间做简谐运动，根据对称性知，
点的加速度大小等于
点的加速度，
点小球所受合力等于重力，故加速度大小为
，故A 错误；
C．根据A 项分析知，小球在
两点间做简谐运动，根据运动的对称性知，小球从
运动到
的时间
等于从
运动到
的时间，故C 错误；
B．根据功能关系知小球减少的机械能等于弹力对小球做的负功，设小球在
点时伸长量为
，则小球在
段克服弹力做功
在
段克服弹力做功
联立知
故小球在
段减少的机械能不等于在
段减少的机械能，故B 错误；
D．小球从
过程，根据系统机械能守恒
若仅将小球质量变为
，则根据系统机械能守恒
联立解得小球到达
点时的速度为
故D 正确。
故选D。
题型04 简谐运动与万有引力的综合
15．（2025·湖南·模拟预测）假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳
对壳内物体的万有引力为零。若在地球内部，以地心O 为圆心、
为半径挖一条圆形隧道，如图所示。现
使一小球在隧道内做匀速圆周运动，且不与隧道壁接触，小球可视为质点，不考虑隧道宽度与阻力。已知
地表重力加速度为g，则其在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得，在地球表面有
体积为
设地球的平均密度为
，地球的质量
联立解得
小球在地球内部半径为
的隧道运动时由万有引力提供向心力
解得
其中
，
联立解得，小球在隧道中做匀速圆周运动的速度大小为
故选A。
16．（多选）（2025·河南·一模）“蛟龙号”载人潜水器由中国自行设计、自主集成研制工作。蛟龙号载
人潜水器的最大下潜深度为
，这一数据来源于其2012 年在马里亚纳海沟创下的中国载人深潜纪录。
某同学设计了一个可以监测“蛟龙号”深潜器下潜深度的装置，在“蛟龙号”深潜器中悬挂一个单摆，通
过观测单摆周期的变化来判断“蛟龙号”深潜器下潜深度的变化情况。“蛟龙号”深潜器全程匀速运动，
假定地球的密度均匀，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零。下列判断正确的是（ ）
A．若发现单摆摆动变慢，则说明“蛟龙号”深潜器正在上升
B．若发现单摆摆动变慢，则说明“蛟龙号”深潜器正在下潜
C．“蛟龙号”深潜器上升到海面时，单摆的周期最大
D．“蛟龙号”深潜器上升到海面时，单摆的周期最小
【答案】BD
【详解】AB．在海平面处的重力加速度满足
在下潜深度为的重力加速度满足
式中
表示下潜深度为以下的地球的质量，
表示下潜深度为处的重力加速度，而
，
解得
而单摆周期
所以若发现单摆摆动变慢，周期变大，重力加速度变小，说明“蛟龙号”深潜器正在下潜，故A 错误，B
正确；
CD．由以上分析可知，“蛟龙号”深潜器上升到海面时，重力加速度最大，所以单摆的周期最小，故C
错误，D 正确。
故选BD。
17．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，
点和
点位于地球直径的两侧，假设两点间
存在一细直隧道。飞船甲从
点由静止开始仅在引力作用下在隧道内运动，经时间
后第一次到达
点。
飞船乙从
点沿近地轨道环绕地球运动，经时间
后也第一次到达
点。已知地球半径为
，地表的重力
加速度为
，不计一切阻力，则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0，简谐振动周期
，
为振动物体质量，
为回复力系数）（ ）
A．时间
内，飞船甲中的人先失重，再超重
B．当甲到地心的距离为
时，其所受合力为
，式中
为其质量
C．飞船甲的最大速度
D．两飞船从
到
的时间
【答案】CD
【详解】A．相对于地心，飞船甲的加速度总是指向地心，即总是竖直向下，可知，时间
内，飞船甲中
的人一直处于完全失重状态，故A 错误；
C．由于均匀球壳内部引力处处为0，则飞船甲在地心时所受引力为0，令飞船相对于地心的位移大小为
x，地球质量为M，则有
其中
解得
可知，引力大小与x 成正比，方向与位移x 方向相反，即飞船甲做简谐运动，其在平衡位置O 点的速度达
到最大值，由于引力与位移成线性关系，根据动能定理有
在地球表面有
解得
，故C 正确；
B．若
为甲的质量，结合上述可知，当甲到地心的距离为
时，其所受合力为
在地球表面有
解得
，故B 错误；
D．结合上述，对甲有
根据简谐运动的规律有
甲简谐运动的周期
解得
飞船乙从A 点沿近地轨道环绕地球运动，则有
解得
根据题意有
，
解得
，故D 正确。
故选CD。
18．（25-26 高三上·北京通州·期中）万有引力定律揭示了天体运动与地球上物体的运动遵循相同的物理规
律。设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球可视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转的影响。
已知：质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零；物体做简谐运动的周期
，其中
为物体的质量，k 为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
(1)近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R，求其做匀速圆周运动的周期T。
(2)如图所示，设想在地球内部距地心h（
）处挖一条光滑直线通道AB，其中
点为通道中心。从A
点由静止释放一质量为m 的物体（可视为质点），在不计空气阻力的条件下：
a．证明该物体在通道中做简谐运动；
b．求该物体从A 点第一次运动到通道中心
点所经历的时间t。
【答案】(1)
(2)a．见解析；b．
【详解】（1）设地球的质量为M，对卫星有
又因为近地卫星
解得
（2）a．物体在运动的某一瞬间，如图所示
设半径为r 的球体质量为
因为质量分布均匀的球壳对空腔内的物体的万有引力为零，所以质量为m 的物体在距离地心r 处受到的万
有引力大小为
故万有引力在AB 通道方向的分力大小为
该力与x 成正比，所以物体做简谐运动。
b．由之前的分析可知，物体做简谐运动，令
当
时有
根据万有引力与重力的关系有
解得
则物体从A 点运动到
B 点的时间为
题型05 电场中的简谐运动
19．（2026·山东烟台·一模）如图所示，在真空中A、B 两点处固定两个电荷量均为Q 的正点电荷，C 点为
A、B 连线的垂直平分线上的一点，O 点为A、B 连线的中点，将一电荷量为q、质量为m 的负点电荷从C
点由静止释放，A、B 两点间的距离为L，O、C 两点间的距离为d，且
。已知质量为m 的物体做简
谐运动所受回复力与位移的关系为
，振动的周期为
，不计负点电荷的重力，静电力常
量为k，则该负点电荷的振动周期为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【详解】设正电荷Q 与负电荷q 的连线与y 轴的夹角为
，则负电荷q 受到的电场力大小为
由几何关系得
联立得
又L>>d，则
又
提供负电荷q 做简谐振动的回复力，根据
则
因为
所以
故选A。
20．（2026·湖南·一模）真空中有两个点电荷，电荷量均为-q（q>0），固定于相距为2r 的P1、P2两点，O
是P1P2连线的中点，M 点在P1P2连线的中垂线上，距离O 点为r，N 点在P1P2连线上，距离O 点为x
（x≪r），已知静电力常量为k，则下列说法不正确的是（ ）
A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O 点的距离为
r
B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为
C．在M 点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小
D．在N 点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动
【答案】A
【详解】AB．如图所示
设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A 处产生的场强的方向与竖直方向的夹角为θ（0＜θ≤
），由点电
荷的场强公式可知，P1处的点电荷在A 处产生的电场强度大小
根据对称性及场强的叠加原理可知，A 点的合场强大小为E=2E1cosθ
可得
由数学导数知识可知，当
时，E 有最大值，且最大值为
此时A、O 之间的距离为
故A 错误，B 正确；
C．在M 点放入一电子，从静止释放，电子将受向上的电场力从而向上运动，由于r＞h，则电子向上运动
的过程中所在位置的电场强度一直变小，所受的电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C 正确；
D．以O 点为坐标原点，以沿P1P2连线向右为正方向建立x 轴，当电子在坐标x'处时，电子受到的电场力
为
当x'≪r 时，有
F 与x'的方向相反，大小成正比，又O、N 之间的距离x≪r，所以在N 点放入一电子，从静止释放，电子
的运动可视为简谐运动，O 点为平衡位置，所受电场力充当回复力，故D 正确。
此题选择不正确的，故选A。
21．（2025·浙江·一模）竖直方向的圆柱形区域内存在沿竖直轴线方向的磁场，磁感应强度的表达式为
（ω 未知），其产生的感生电场满足
，r 为某点到圆心O 点的距离。如图所示，
现将一光滑绝缘细管固定于某一水平截面内，沿管方向设为x 轴。管内有一质量为m，电荷量为q 的小球，
t=0 时小球从A 点静止释放，已知
，
，
，小球恰好以
为平衡位置做简谐运
动。管的内径远小于d，小球直径略小于管的内径，简谐运动周期公式为
。则ω 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】感生电场的表达式为
，则小球受到的电场力为
设小球所在位置到圆心O 的连线与
的夹角为
，则由几何关系可得电场力沿细管方向的分力大小为
又因为
代入上式解得
所以小球做简谐运动的回复力为
其中负号表示回复力与位移方向相反。已知简谐运动回复力的表达式为
又因为简谐运动的位移表达式为
其中
为简谐运动的振幅。所以小球以
为平衡位置做简谐运动时，其比例系数
满足
根据几何关系有
联立解得
所以
联立解得
故选D。
22．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，在A、B 处各固定一个带正电的点电荷
、
，且
。O 点
为AB 连线的中点。一带正电的粒子在M 点由静止释放，最远可运动到N 点，不计粒子的重力。下列说法
正确的是（ ）
A．M 点和N 点电势相等
B．M 点和N 点关于O 点对称
C．粒子在MN 间做简谐运动
D．粒子在运动过程中机械能守恒
【答案】A
【详解】A．由动能定理
得
又
得
故A 正确；
B．因为
，且
M 点和N 点一定不关于O 点对称，故B 错误；
C．设带正电的粒子距
、
距离分别为
、
，设
、
两电荷间距离为
。
得
该带正电的粒子所受的合力大小
不满足回复力大小与位移成正比的条件，故带电粒子在MN 间不做简谐运动，故C 错误；
D．粒子在运动过程中，有静电力做功，机械能不守恒，故D 错误。
故选A。
23．（多选）（2026·广东·一模）如图所示，空间内存在竖直向下的匀强电场，弹簧上端固定，下端悬挂
一个带电的小球，小球静止时位于O 点，此时弹簧处于原长。向下把小球拉到M 点由静止释放，小球最高
上升到N 点（图中没有标出）。小球运动过程中电荷量不变，小球的质量为
，
的长度为
，弹簧始
终处于弹性限度内，空气阻力不计，重力加速度为
。下列说法正确的有（ ）
A．小球带正电
B．小球从M 点到N 点的过程，电场力对小球做正功
C．小球从M 点到N 点的过程，小球的机械能守恒
D．小球从M 点到N 点的过程，小球的电势能减少了
【答案】BD
【详解】A．小球静止在O 点时弹簧处于原长，说明此时小球的重力与电场力平衡，即
所以小球所受的电场力方向竖直向上，由于电场方向竖直向下，因此小球带负电，故A 错误；
B．小球从M 点到N 点的过程，电场力始终竖直向上，所以电场力对小球做正功，故B 正确；
C．由功能关系可知，小球机械能的变化由弹簧弹力和电场力做功决定。小球从M 点到N 点的过程中，弹
簧弹力对小球做功的总和为零，但电场力对小球做正功，因此小球的机械能不守恒。故C 错误；
D．小球的运动为简谐运动，由于小球的重力与电场力平衡，所以小球所受的合力为弹簧弹力，平衡位置
为O 点，根据简谐运动的对称性可知，O 点为M、N 的中点，则有
所以小球从M 到N 的竖直位移为
则电场力做的功为
电场力做正功，电势能减少，且电势能的减少量等于电场力做功的值，所以小球从M 点到N 点的过程，小
球的电势能减少了
，故D 正确。
故选BD。
24．（2025·广西南宁·一模）如图所示，相距为d 的带电小球A、B 固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，所
带电量分别为
和
，
。若杆上还套有一质量为m 的带电小环C，带电体A、B 和C 均可视为点
电荷。
(1)求小环C 的平衡位置；
(2)若小环C 带电量为
，将小环拉离平衡位置一段距离后由静止释放，且该距离远小于d。试证明小环C
受到的电场力大小F 与偏离平衡位置的位移大小x 成正比；
[提示：数学公式
；当
时，则
]
(3)将小环C 拉离平衡位置一小段远小于d 的距离l 后由静止释放，求小环C 运动过程的最大速率。
【答案】(1)距A 的距离为
，距B 的距离为
处
(2)见解析
(3)
【详解】（1）设小环C 带电量为
，根据电性可知C 放在平衡位置处距A 的距离为
，距B 的距离为
，平衡时合力为零，得
解得
则C 的平衡位置在距A 为
，距B 的距离
处。
（2）若小环带电量为
，将小环拉离平衡位置左侧一小距离
后，小环C 合力为
其中
，
根据近似关系，当
时，
证明小环C 受到的电场力与距离成正比。
（3）设小环的最大速率为
，取一小段位移
，对应的电场力为
，小环运动过程中受到的电场力与位
移成正比，可得
根据动能定理可得
解得
题型06 电磁感应中的简谐运动
25．（多选）（2026·江西·模拟预测）如图，水平面内有相距为d 的足够长的平行金属导轨，磁感应强度
为B 的匀强磁场垂直于导轨平面，导轨右端与电感线圈相连，线圈的自感系数为L。一长度略大于d 的金
属棒以
的速度从左端滑上导轨，金属棒质量为m，所有电阻及摩擦均不计，已知简谐运动的周期公式为
。则有（ ）
A．金属棒刚滑上导轨时刻，回路电流最大
B．金属棒速度减为零的时刻，线圈自感电动势最大
C．金属棒向右运动的最大距离为
D．金属棒从滑上导轨到速度减为零的时间为
【答案】CD
【详解】A．金属棒刚滑上导轨时，自感电动势最大，回路电流强度为零，故A 错误；
B．金属棒速度为零时，回路电流最大，自感电动势为零，故B 错误；
C．由自感电动势与动生电动势等大反向可知
，
在
时间内
，
线框所受安培力为
，
设金属棒向右最大位移为S，则有：
，
得
，故C 正确；
D．线框所受安培力为
，
故线框所受合外力与位移x 成正比，且方向与位移方向相反，则线框做简谐运动，
由简谐运动周期公式可得
，故D 正确
故选CD。
26．（多选）（2026·四川德阳·二模）如图所示，间距为d 的足够长平行光滑金属导轨竖直放置，导轨上
端接有自感系数为L 的电感线圈，导轨处于垂直导轨平面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。现将
一根质量为m 的导体棒从导轨上某处紧贴导轨由静止释放，金属棒运动过程始终与导轨垂直且与导轨接触
良好，重力加速度为g，不考虑电磁辐射，不计一切电阻。在金属棒运动过程中，下列说法正确的是（
）
A．导体棒在导轨上做变加速运动，直至匀速下滑
B．导体棒在导轨上做往复运动
C．导体棒的最大动能为
D．导体棒中最大电流为
【答案】BD
【详解】AB．由于电路中只有电感
且无电阻，导体棒切割磁感线的电动势等于自感线圈的自感电动势，
即
对等式两边同时乘
并求和，得
，可得
解得
对导体棒由牛顿第二定律，重力向下、安培力向上，得
将
代入，得
F 与相对平衡位置的位移成正比、方向相反，说明导体棒做简谐运动，因此在导轨上做往复运动，而非匀
速下滑，故A 错误，B 正确；
C．当
时，导体棒处在平衡位置，则有
解得
导体棒做简谐运动的周期为
其中
，解得
则圆频率
简谐运动的最大速度出现在平衡位置，最大速度
其中振幅
代入得
最大动能
，故C 错误；
D．由
可知，
取最大值时
最大，
最大值为
代入得最大电流
，故D 正确。
故选BD。
27．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，PQ、MN 是两条固定在水平面内间距
的平行轨道，两轨道
在
、
处各有一小段长度可以忽略的绝缘体，绝缘体两侧为金属导轨，金属导轨电阻不计。轨道左端连
接一个
的电阻，轨道的右端连接一个“恒流源”，使导体棒ab 在
、
右侧时电流恒为
，沿轨道MN 建立x 轴，O 为坐标原点，在两轨道间存在垂直轨道平面向下的有界磁场，
区
域B 随坐标x 的变化规律为
；
区域为匀强磁场，磁感应强度大小
。开始
时，质量
、长度
、电阻
的导体棒ab 在外力作用下静止在
，
、
右侧
轨道光滑，ab 棒与
、
左侧导轨间动摩擦因数
。现撤去外力，发现ab 棒沿轨道向左运动。重力
加速度g 取
，求：
(1)撤掉外力瞬间ab 棒中的电流方向和ab 棒的加速度大小；
(2)撤掉外力后，ab 棒由静止运动到
处的速度大小；
(3)若ab 棒最终停在
处，其运动的总时间为多少。（已知：质量为m 的物体做简谐运动时，回
复力与物体偏离平衡位置的位移满足
，且振动周期
，结果可保留
）
【答案】(1)电流的方向从b 到a，
(2)
(3)
（或
）
【详解】（1）由题可知，ab 棒沿轨道向左运动，即受到了向左的安培力作用，根据左手定则判断，电流
的方向从b 到a，对棒ab，由牛顿第二定律
解得
（2）ab 棒由静止运动到
处，ab 棒受安培力随位移线性变化，所以
对棒ab，从开始到
过程，由动能定理
得
（3）在
区域中，棒受到的合力为
由简谐振动的性质可知棒ab 以
处为平衡位置作简谐振动，
周期为
则在
区域中的运动时间为
在棒ab 穿过左侧匀强磁场
过程中
由动量定理
代入
解得
得
则全程总时间
28．（2026·山东滨州·一模）如图甲所示，金属矩形框abcd 放置在水平光滑桌面边缘，ab 边长为
，bc
边长为x0，电阻大小为r，以桌面边缘一点O 为坐标原点，沿桌面建立x 轴，垂直桌面建立y 轴。空间中存
在平行y 轴的匀强磁场，磁感应强度B 随x 轴按正弦规律变化，沿x 轴每经过x0为一个周期，磁感应强度
的最大值为B0，如图乙所示。
(1)若金属矩形框在外力作用下，沿x 轴以速度v0匀速运动x0，求该过程中外力做的功W。
(2)如图丙所示，若轻细线的一端系在bc 边的中点，另一端连接一轻质弹簧，弹簧的另一端悬挂一重物。
磁场中每点的磁感应强度均随时间按正弦规律变化，周期为T0，且沿x 轴的负方向相位依次滞后。重物做
简谐运动，金属框始终处于静止状态，已知重力加速度为g。求重物质量m。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）磁感应强度随
的变化关系为：
线框沿
方向长度为
，当线框运动到
边位于
处时，
边位于
处，则
动生电动势：
边电动势
边电动势
两个电动势同向叠加，总电动势：
线框匀速运动，动能不变，外力做功全部转化为焦耳热。线框运动
的总时间
，正好等于电动势的
一个周期，正弦交流电一个周期的焦耳热为：
（2）磁感应强度随时间和位置的关系为：
（沿
负方向相位依次滞后）
线框的总磁通量为：
由法拉第电磁感应定律，感应电动势
感应电流
线框受到的沿
方向安培力：
代入
化简得：
线框静止，安培力的恒定分量平衡重物重力，即：
解得：
（交变分量作为驱动力使重物做简谐运动，符合题意）
1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）用余弦函数描述一简谐运动，已知振幅为
，周期为
，初相
，
则振动曲线为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题干的要求，用余弦函数来描述这个简谐运动时，振动方程为
其中
所以振动方程为
当
时，
当
时，
对比四个图像，只有A 图符合。
故选A。
2．（2026·湖南邵阳·二模）一轻质弹簧一端固定于竖直墙上，另一端与一质量为2kg 的物块相连，弹簧劲
度系数为100N/m，初始时物块静止于粗糙水平面上，且弹簧位于原长，物块与水平面间动摩擦因数为
0.5，现物块在一水平向左的外力F 作用下缓慢向左移动0.5m，然后撤去外力，不计空气阻力，已知简谐
振动的周期
，弹簧弹性势能表达式
，重力加速度
，则下列说法正确的是（
）
A．外力F 做的功为12.5J
B．撤去外力F 后，物块向右运动的最大距离为1m
C．从释放物块到最终静止经历的时间为
D．从释放物块到最终静止产生的热量为10J
【答案】C
【详解】滑动摩擦力
。
A．缓慢移动过程中，根据功能关系，外力
做的功等于弹性势能增加量与克服摩擦力做功之和，即
，故 A 错误。
B．撤去外力后，物块向右运动，设向右运动到最远点距离原点
，根据能量守恒定律有
解得
则向右运动的最大距离为
，故B 错误。
C．简谐运动周期
物块从释放，第一次向右运动到
处速度减为零，历时
此时弹簧弹力
物块将向左运动。根据能量守恒定律有
解得
此时弹簧弹力
物块静止。历时
总时间
，故 C 正确。
D．全过程产生的热量等于克服摩擦力做的总功，总路程
产热
，故 D 错误。
故选C。
3．（多选）（2025·浙江台州·一模）图甲是水下灯光装置简化图，轻质弹簧下端固定在水池底部，上端连
接一点光源，点光源静止在O 点，其在水面上的投影位置为
。现让点光源在竖直方向做
简谐运动，其振动图像如图乙所示，y 表示偏离平衡位置的位移，规定向上为正方向，水的折射率为
。
下列说法中正确的是（ ）
A．
时，点光源处于失重状态
B．光斑边缘的振动周期为
C．光斑的最大面积为
D．光斑边缘上某点振动的振幅为
【答案】AC
【详解】A．0.75s 时，点光源向上减速，加速度向下，属于失重，A 正确；
B．光斑边缘即光刚好发生全反射的位置，当点光源在最低点时，光斑边缘距离最远，当点光源在最高点
时，光斑边缘距离最近，故光斑边缘的振动周期与光源的振动周期相同，由图乙可知光源振动周期为2s，
故光斑边缘的振动周期也为2s，故B 错误；
C．设光从水中射出空气发生全反射的临界角为C，根据全反射临界角公式
，光源在最低点时，
光斑的面积最大，此时
，由几何关系
,光斑的最大面积为
，C
正确；
D．根据几何关系可得光斑振幅满足
，光斑边缘上某点振动的振幅为
，故D 错误。
故选AC。
4．（2026·辽宁大连·一模）如图所示，一列总质量为m（视为质量分布均匀），长为L 的火车，从光滑
水平面以初速度v0沿光滑斜面上滑，若斜面光滑，则当火车完全运动到斜面上时速度刚好减为0，已知斜
面倾角
，忽略水平面与斜面连接处损失的能量，火车同一时刻各部分速度大小均相同，以水平地面
为零势能面，重力加速度为g，则该过程中（ ）
A．火车的初速度
B．若斜面上的车厢长度为x（x <L），则此时火车的重力势能
C．若斜面上的车厢长度为x（x <L），则此时火车的速度
D．火车上升过程的总时间
【答案】D
【详解】A．当火车完全运动到斜面上时速度刚好减为0，根据动能定理，有
解得火车的初速度
，故A 错误；
BC．根据题意可知，火车在斜面上的质量为
斜面上的火车其重心位置为
此刻火车具有的重力势能为
而根据动能定理有
联立解得
，故BC 错误；
D．取沿斜面向上为正方向，当列车冲上斜坡的长度为
时，列车所受合外力
由此可知，列车做的是简谐振动，其周期为
可知火车上升过程的总时间为
，故D 正确。
故选D。
5．（2025·浙江·一模）真空中有两个点电荷，电荷量均为
q（q>0），固定于相距为2r 的P1、P2两点，O
是P1P2连线的中点，M 点在P1P2连线的中垂线上，N 点在P1P2连线上，M、N 两点距离O 点都为x（
）。已知静电力常量为k，不计电子重力，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．电子在M 点的电势能大于在N 点的电势能
B．在N 点静止释放的电子，其运动可视为简谐运动
C．在M 点静止释放的电子，其运动可视为简谐运动
D．P1P2中垂线上电场强度的最大值为
【答案】B
【详解】A．根据两等量负点电荷连线和中垂线电场分布特点可知，中垂线上场强方向由M 点指向O 点，
连线上场强方向由O 点指向N 点，根据沿电场方向电势降低可知，M 点电势高于O 点电势，O 点电势高于
N 点电势，则M 点的电势高于N 点的电势，根据
电子带负电，在M 点的电势能小于在N 点的电势能，故A 错误；
B．在N 点静止释放的电子，根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子运动过程中，O 点为平衡位置，
可知当发生位移x 时，粒子受到的电场力为
由于
，原式整理可得
在N 点静止释放的电子，其运动可视为简谐运动，故B 正确；
C．在M 点静止释放的电子，可知当发生位移x 时，粒子受到的电场力为
显然，当x 较小时，不满足简谐振动回复力F=-kx，故C 错误；
D．设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A 处产生的场强与竖直向下的夹角为
，则根据场强的叠加原理
可知，A 点的合场强为
由数学导数知识可知，当
时，电场强度的最大值为
，故D 错误。
故选B。
6．（多选）（2026·陕西商洛·一模）如图所示，带电荷量为
的球1 固定在倾角为30°绝缘光滑斜
面上的a 点，其正上方L 处固定一带电荷量为－Q 的球2，斜面上距a 点L 处的b 点有质量为m 的带电球
3，球3 与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b 点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为
，球2、3 间的静
电力大小为
；现迅速移走球1，球3 沿斜面向下运动．球的大小不计，重力加速度为g，下列说法正确
的是（ ）
A．球3 可能带负电
B．球3 在a、b 间做简谐运动
C．球3 运动到a 点时的速度大小为
D．球3 在a 点的加速度大小是在ab 中点的4 倍
【答案】CD
【详解】A．由题意可知三小球构成等边三角形，弹簧处于压缩状态，故球1 和3 之间一定是斥力，故球3
带正电，A 错误；
BC．球3 运动至a 点时，弹簧的伸长量等于
，由对称性可知，球2 对3 的库仑力做功为0，弹簧弹力做
功为0，据动能定理有
解得
球3 在a 点速度不为零，可见不可能在a、b 间做简谐运动，B 错误、C 正确；
D．设球3 的电荷量为q，在b 点有
设弹簧的弹力为F，沿斜面方向有
解得
球3 运动至a 点时，弹簧的弹力等大反向，则有
解得
而球3 运动至ab 中点时，弹簧弹力为0，在沿斜面方向有
解得
，D 正确。
故选CD。
7．（多选）（2026·江西南昌·一模）如图所示，倾角为
、间距为
的光滑导轨的上端连接一自感系数为
的线圈，空间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为
的匀强磁场，现将一根质量为
的导体棒
从导轨上某处由静止释放，由于电路中的总电阻极小，此后导体棒在导轨上做简谐运动，导体棒的最大速
度与周期和振幅的关系为
，重力加速度大小为
，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒简谐运动的振幅为
B．导体棒的最大速度为
C．回路中的最大电流为
D．导体棒简谐运动的周期为
【答案】BC
【详解】导体棒运动时，感应电动势
自感电动势
电路总电阻极小，故
即
积分得
，即
（以平衡位置为原点，位移为
）。
导体棒受力：
代入
，平衡位置处
，得
即平衡位置位移
以平衡位置为新原点，位移为
，则
，代入得：
即简谐运动回复力
角频率
A．导体棒从静止释放，初始位置为最大位移处，振幅
，A 错误。
B．简谐运动最大速度
代入
、
得
，B 正确。
C．根据前面分析，可知最大电流
代入
，得
，C 正确。
D．简谐运动周期
，D 错误。
故选BC。
8．（多选）（2026·湖南·模拟预测）荡秋千是一项少数民族传统体育项目，蕴含了丰富的物理知识。为了
将秋千越荡越高，专业运动员会在秋千到达最低点时完全蹲下，达到最高点时完全站起来，如此反复。若
蹲下、站起的节奏太快或太慢都会导致秋千越来越低。某秋千可看作一摆长为
的单摆，设人质量为
60kg，秋千和绳质量不计，初始时候人从最低点以0.5m/s 的速度被推出，推出后再开始起立。已知无人时
秋千单摆的运动周期为
，人从最低点开始站起，再蹲下到最低点的运动周期为
，整个运动过程都在可
近似为单摆的范围内，忽略空气阻力，重力加速度取
，则（ ）
A．这一荡秋千的原理类似共振，且
B．不考虑人身高的影响，推出瞬间秋千板对人的支持力为605N
C．秋千第一次到达最高点时比推出时升高了1.25cm
D．
【答案】BD
【详解】A．若蹲下、站起的节奏太快或太慢都会导致秋千越来越低，表明只有当人蹲下、站起的周期与
无人时秋千单摆固有周期
之比为一定值时，秋千才会越荡越高，即这一荡秋千的原理类似共振，由于人
在秋千到达最低点时完全蹲下，达到最高点时完全站起来，而人从最低点开始站起，再蹲下到最低点的运
动周期为
，则有
解得
，故A 错误；
B．不考虑人身高的影响，推出瞬间，对人进行分析有
解得F=605N，故B 正确；
C．秋千和绳质量不计，令秋千第一次到达最高点时，人的重心上升的高度为h，则有
解得h=1.25cm
由于在上述过程中，人由蹲下到站立，人重心上升的高度大于秋千板上升的高度，即秋千第一次到达最高
点时比推出时上升的高度小于1.25cm，故C 错误；
D．根据单摆周期公式有
由于
解得
，故D 正确。
故选BD。
9．（多选）（2026·河北邯郸·一模）如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，用长为
的轻质绝缘
细线将质量为
、电荷量为
的带正电小球（视为点电荷）悬挂于
点。将小球拉至
点由静止释放（细
线绷直），小球恰能运动至
点正下方的
点。已知
与竖直方向的夹角为
，重力加速度大小
为
，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A 点运动到B 点的过程中机械能守恒
B．小球经过B 点时的加速度不为0
C．电场强度大小为
D．小球运动的周期为
【答案】BD
【详解】A．小球从
点运动到
点的过程中，电场力做负功，小球的机械能减小，故A 错误；
C．小球从A 点运动到B 点的过程中，根据动能定理，有
解得
，故C 错误；
B．因为
，根据题意可知小球将在A 点与B 点之间做简谐运动，所以小球运动到B 点时速度为零，
而加速度不为零，故B 正确；
D．小球的等效重力加速度为
小球运动的周期为
，故D 正确。
故选BD。
10．（多选）（2026·辽宁·模拟预测）如图甲所示，摆长为的单摆固定在力传感器下端
点，摆球做小幅
度摆动，传感器实时测量摆线拉力大小
随时间的变化图像如图乙所示。已知地球半径为
，引力常量
为
，不计地球自转及空气阻力的影响，则（ ）
A．地球表面的重力加速度
B．摆球质量
C．地球质量
D．地球的第一宇宙速度
【答案】AC
【详解】A．单摆的周期是拉力大小变化周期的
倍，即周期为
，根据周期公式有
解得
，故A 正确；
B．设小球摆动到最高点时绳子与竖直方向的夹角为
，则在最高点
在最低点
由机械能守恒有
联立可得
代入
得
，故B 错误；
C．地球表面物体所受重力等于万有引力，则有
可得
代入
得
，故C 正确；
D．第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，由万有引力提供向心力有
可得
代入
得
，故D 错误。
故选AC。
11．（多选）（2026·重庆·一模）如图所示，两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，
放在固定的光滑斜
面上， 斜面倾角为
两小球通过劲度系数为
的轻质弹簧相连，放在倾角为
带有挡板
的另一固定光滑斜面上。现用手控制住
，使细线刚好拉直但无拉力，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，
且
球与挡板接触。开始时整个系统处于静止状态，现释放
球， 在运动过程中
球恰好不离开挡板。
已知
的质量为
，
的质量为
，重力加速度为
，细线与滑轮之间的摩擦不计，
。则（ ）
A．初始时，弹簧形变量大小为
B．M 球的质量为
C．P 沿斜面下滑的最大位移大小为
D．Q 沿斜面上滑时的最大动能为
【答案】BD
【详解】A．对小球
受力分析可知，小球
仅受重力和斜面的支持力无法平衡，则弹簧对小球
有沿斜
面向上的弹力，则初始时弹簧处于压缩状态，设压缩量为
，由
沿斜面方向受力平衡可得
解得
，故A 错误；
B．以
、
整体为研究对象，会做简谐运动，则在
最高点和最低点时刻，
、
整体合外力大小相等
方向相反，设此时弹簧弹力大小为
，有
解得
而此时为
球恰好不离开挡板，对
受力分析沿斜面方向有
解得
，故B 正确；
C．
在最高点时
在最低点，设弹簧伸长量为
，则
解得
即
沿斜面下滑的最大位移大小为
，故C 错误；
D．Q 沿斜面上滑具有最大动能时，
、
整体合外力为
，设弹簧伸长量为
，则有
解得
此时弹簧伸长量和最开始压缩量一样，故弹性势能一样。设此时速度为，对
、
系统由机械能守恒可
得
解得
则
沿斜面上滑时的最大动能为
，故D 正确。
故选BD。
12．（2025·四川泸州·一模）如图所示，质量
的激光发射器悬挂在劲度系数
的轻质弹
簧下端，发射器右侧竖直放置一块直径
的半圆柱形玻璃砖。发射器静止时，激光恰好从圆心
点
射入玻璃砖。已知玻璃砖对该激光的折射率
，激光与水平方向的夹角始终为
，光在真空中的
传播速度
，激光与玻璃砖在同一竖直面内，取重力加速度
，结果可用根号表示。
(1)求从圆心
点射入的激光在玻璃砖中的折射角大小；
(2)求从圆心
点射入的激光在玻璃砖中的传播时间；
(3)向下拉动发射器一段距离后释放，发射器做简谐运动，照射到半圆柱形玻璃砖的激光恰好都能从圆弧面
射出。已知弹簧振子的周期公式为
（其中
为振子的质量，
为弹簧的劲度系数），以向下为
正方向，以最低点释放为零时刻，求发射器做简谐运动的振动方程（即位移与时间的关系）。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如下图所示，由圆心射入的激光，在玻璃砖中的折射角
根据折射定律
解得
（2）激光在玻璃砖中的传播速度
射入的激光在玻璃砖中的传播时间
解得
（3）如图所示，激光恰好都能从圆弧面射出，玻璃砖恰好发生全反射的光路如图所示
由几何关系可得
根据
在
中，根据正弦定理
在
中，根据正弦定理
得
故弹簧振子的振幅为
根据
可得
弹簧振子的振动方程
13．（2026·福建·一模）如图甲所示为一智能电动升降机，兴趣小组受升降机启发，设计了如图乙所示的
升降机示意图。间距L=2m 的金属导轨M'M、N'N 固定在绝缘水平面上，MN 端接有一智能电源。电阻
R=2Ω 的相同均匀导体棒ab、cd 通过绝缘轻杆组成“H”字形，其整体质量m=1kg，“H”字形平放在导轨上，
ab 棒中点通过细绳绕过滑轮与一质量M=2kg 的货物相连，cd 棒的中心右侧某位置固定有一劲度系数k=
N/kg 的绝缘轻弹簧（初始时处于原长，左端位于P 点）。整个装置处于磁感应强度B=1T，方向竖直
向下的匀强磁场中。某次测试中，t=0 时，货物正以v0=2m/s 匀速上升，t=1s 时货物脱钩，当货物上升到最
高点时（未碰到滑轮），cd 棒刚好运动至P 点。已知cd 棒每经过一次P 点，智能电源的电流方向会发生
改变，但电流大小始终不变。所有摩擦阻力与空气阻力均不计，除导体棒外其他电阻均不计，弹簧振子周
期
，取
=3，求：
(1)货物匀速上升时，通过智能电源的电流大小I；
(2)cd 棒运动到P 点前瞬间智能电源的输出电压U；
(3)从t=1s 至cd 棒第二次运动到P 点，流过cd 棒的电荷量q；
(4)从t=0 至cd 棒第三次运动到P 点，智能电源输出的总能量E。
【答案】(1)
(2)22V
(3)
(4)
【详解】（1）货物匀速上升，对货物与“H”字形，有
解得
（2）货物脱钩，货物到最高点时间
对导体棒动量定理有
解得
向右未碰到弹簧时有
解得
（3）导体棒碰到弹簧后所受合力与位移关系如图所示
设弹簧最大压缩量为
。根据动能定理
解得
从
点开始，“H”字形与弹簧组成系统在水平面内做简谐运动，其平衡位置在
点左侧，设弹簧最大形变
量为
，有
解得
因此，振幅
根据周期公式
解得周期
“H”字形从接触弹簧到离开弹簧
流过导体棒的电荷量
（4）第一次到P 点前，导体棒焦耳热
与弹簧接触期间，导体棒焦耳热
第二次经过P 点到第三次经过P 点，由动量定理可知
解得
导体棒焦耳热
货物与“H”字形总机械能的变化量
总能量
解得
