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秘籍10 电场中的功能关系和（φ-x、Ep-x、E-x）图像问题
一、电场中的功能关系
1.求电场力做功的方法：
(1)定义式:WAB=Flcosα=qElcosα(适用于匀强电场)。
(2)电势的变化:WAB=qUAB=q(φA-φB)。
(3)动能定理:W 电+W 其他=ΔEk。
(4)电势能的变化:WAB= -ΔEp=EpA-EpB。
2.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功,则电势能与动能之和保持不变.
(2)若只有电场力和重力做功,则电势能、重力势能、动能之和保持不变.
(3)除重力、弹力外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量.
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化.
二、几种常见的图像及性质特点
1、v t 图象
根据v t 图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方
向、电势高低及电势能变化
2、φ-x 图像
（1）电场强度的大小等于φ-x 图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x 图线存在极值,其切线
的斜率为零。
1
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（2）在φ-x 图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φ-x 图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作
出判断。
3、Ep-x 图像
（1）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负,电势能减少,电场力做正功:电势能增加,电
场力做负功。
（2）根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x 斜率的绝对值表示电场力的大小。
3、E-x 图像
（1）E-x 图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0 表示电场强度沿x 轴正方向;E<0 表示电
场强度沿x 轴负方向。
（2）在给定了电场的E-x 图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x 图
线与x 轴所围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相
结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
（3）在这类题目中,还可以由E-x 图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等
势面分布或场源电荷来处理相关问题。
【题型一】电场中的功能关系
2
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【典例1】（2024·广东韶关·二模）如图所示，空间有一正方体
，a 点固定电荷量
为
的点电荷点固定电荷量为
的点电荷，O、
分别为上下两个面的中心点，则（
）
A．b 点与c 点的电场强度相同
B．b 点与
点的电势相同
C．b 点与c 点的电势差等于
点与
点的电势差
D．将带正电的试探电荷由b 点沿直线移动到O 点，其电势能先增大后减小
【答案】CD
【详解】A．由对称性知，b 点与c 点的电场强度大小相等，但方向不同，故A 错误；
B．b 点到a 点的距离等于
点到a 点的距离，b 点到d 点的距离等于
点到d 点的距离，则b
点与
点的电势相同，若取无限远处电势为零，垂直于ad 且过
的平面为电势为零的等势
面，
点与
点关于该等势面对称，两点电势绝对值相等，一正一负，故b 点与
点的电势
不同，故B 错误；
C．由对称性知，b 点与c 点的电势差为
点与
点的电势差为
由于
则
故C 正确；
D．对试探电荷受力分析，俯视图如图所示
3
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由图可知将带正电的试探电荷由b 点沿直线移动到O 点的过程中，电场力先做负功后做正功，
其电势能先增大后减小，故D 正确。
故选CD。
【典例2】（2024·辽宁·一模）如图所示，xOy 为竖直平面内的直角坐标系，该空间存在平行
xOy 平面但方向未知的匀强电场，将一质量为
、带电量为
的小球从O 点抛出，抛出的初
速度大小均为
，抛出的方向可沿xOy 平面内的任意方向。将小球沿某一方向抛出，
一段时间后小球通过
点时速度大小为
；若将小球向另一方向抛出，一段时间
后小球通过
点时速度大小为
，则下列说法正确的是（ ）
A．O、B 两点间的电势差
B．匀强电场强度的大小为
，方向与x 轴正方向夹
斜向下
C．若将小球沿y 轴正方向抛出，小球运动过程中的最小速度为
，方向与x 轴正方向
成
斜向上
D．若小球初速度方向与x 轴正向夹
斜向上抛出，到达x 轴的时间为
【答案】CD
【详解】A．从O 到B，据动能定理可得
4
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解得，O、B 两点间的电势差为
故A 错误；
B．从O 到A，据动能定理可得
解得，O、A 两点间的电势差为
取OA 的中点C，可知B、C 为等势点，可得电场强度垂直BC 连线斜向下，即与x 轴正方向
夹角为
角斜向下，如下图所示
取从O 到B 的过程有
故B 错误；
C．将重力与电场力合成，可得它们的合力与x 轴正方向成
角斜向下。将初速度沿方向和
垂直方向分解，垂直合外力方向的速度即为运动过程中的最小速度，如下图所示
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即有
，方向与x 轴正方向成
角斜向上
故C 正确；
D．若小球初速度方向与x 轴正向夹
斜向上抛出，在竖直y 轴方向上，根据牛顿第二定律
有
可得，竖直方向上的加速度为
小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动规律可得
故D 正确。
故选CD。
【典例3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）电子光学中，一种静电透镜的简化模型如图所示。
以O 为球心的球形边界外部各处的电势均为
，内部各处的电势均为
，
。一束离轴
很近且关于轴对称的电子束以速度沿平行于轴的方向运动，在越过球形边界“壳层”的过
程中，电子运动速度将发生变化。不计电子重力及其之间的相互作用力，则下列说法正确的
是（ ）
A．电子束按图甲“会聚”
B．电子束按图乙“发散”
C．电子束在球内的速度
D．电子束在球内的速度
【答案】BD
【详解】因为球形边界外部电势为
，球形边界内部电势为
，且
，又因为电场线由
高电势指向低电势处，在球形边界处应存在一微小电场线，方向指向圆心电场，又因为粒子
为电子，受力方向应与电场线方向相反，所以在进入球形边界时受到偏离圆心的电场力，此
时在电场力的作用下使电子偏离圆心，电子束按图乙“发散”，电子运动过程中电场力做负
功，则速度减小，即
。
故选BD。
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1．（2024·河北·一模）如图所示为一沿x 轴方向的静电场的
图像，现将一质量为m、电
荷量为q 的点电荷由O 点沿x 轴正方向发出，点电荷初速度大小为
，整个运动过程中点电
荷只受电场力的作用。则（ ）
A．在x 轴上，由O 点到
处电场强度逐渐减小
B．正电荷在O 点处的电势能等于在x 轴上
处的电势能
C．如果点电荷带正电，点电荷在
处的电势能为
D．如果点电荷带负电，当
时点电荷刚好运动到
处速度减为0
【答案】D
【详解】A．根据
可知
图像的斜率表示电场强度，则在x 轴上，由O 点到
处电场强度保持不变，故A
错误；
B．根据
由于O 点处的电势高于
处的电势，则正电荷在O 点处的电势能大于在x 轴上
处的电
势能，故B 错误；
C．如果点电荷带正电，点电荷在
处的电势能为
故C 错误；
D．如果点电荷带负电，当
时，设点电荷可以运动到
处，且速度大小为，根
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据动能定理可得
解得
故D 正确。
故选D。
2．（2024·湖南衡阳·二模）如图1 所示，一质量为m、电荷量为q 的正电荷从a 点由静止释
放，仅在电场力的作用下沿直线abc 运动，其v-t 图像如图2 所示。已知正电荷在b 点处速率
为
，斜率最大，最大值为k，在c 点处的速率为v，斜率为0，则下列说法正确的是
（ ）
A．该正电荷在从a 到c 的运动过程中，电势能先减小后增大
B．b 点的电场强度大小为
，方向由b 指向c
C．ab 之间的电势差
D．从a 到c 电势逐渐升高，c 点的电势最大
【答案】B
【详解】A．该正电荷由到的过程中，物块速度逐渐增大，电场力对物块做正功，物块的
电势能逐渐减小，故A 错误；
B．由题图2 可知物块在点时加速度为
所以点的电场强度大小为
电场力方向由指向，正电荷的电场强度方向跟电场力方向相同，点的电场强度方向由
指向，故B 正确；
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C．对正电荷从到的过程，根据动能定理有
解得
故C 错误；
D．沿着电场线的方向电势逐渐降低，从到电势逐渐降低，故D 错误。
故选B。
3．（2024·山西·一模）观测带电粒子的碰撞试验，为确定碰撞生成物质的初始状态提供了理
论依据。某次观测时，让质量为
的
粒子在
时以
的初速度向静止的粒子
运动，计算
机记录下两粒子的
图像如图所示。已知
间仅存在静电力的作用且
始终未接触，
则（ ）
A．粒子
的质量为
B．0 时刻与时刻
间作用力的大小相等
C．
内，电场力对
做的功为
D．
内，
系统的电势能减少了
【答案】BD
【详解】A．由图可知，t=0 时刻有
=mv0
在t1时刻有
两粒子运动过程动量守恒，由动量守恒定律得
得
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故A 错误；
B．由图可知0 时刻与t3时刻A、B 的加速度都为0，说明此时A、B 间的作用力都为0，故B
正确；
C．时刻B 的速度为0，设A 速度为
，由动量守恒定律有
得
由动能定理有0~t2内，电场力对A 做的功为
故C 错误；
D．设时刻B 的速度为
，由动量守恒定律有
得
t1∼t3内，A、B 系统增加的动能为
即A、B 系统的电势能减少了
，故D 正确。
故选BD。
【题型二】电场中的（φ-x、Ep-x、E-x）图像问题
【典例1】（2024·江西·一模）如图所示，电荷量为
的电荷均匀地分布在半径为的绝缘环
上，
为圆环的圆心、在过
点垂直于圆环平面的轴上有一点，它与
点的距离
，在
点也有一带电荷量为
的点电荷，A 点为
的中点，随着的改变，下列图像中，A 点的
场强与相关物理量之间关系正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，对于圆环，设每个微元电荷的电荷量为
，由几何关系可知，微元电荷
到
点的距离为
，微元电荷与
点连线与水平方向的夹角为
，根据对称性和点电荷场
强公式可得，圆环在
点产生的电场为
点的点电荷在
点产生的电场为
则
点的电场强度为
可知，A 点的场强与相关物理量之间关系为
与
成正比。
故选A。
【典例2】（2024·广东东莞·模拟预测）在 x 轴方向存在一静电场，其φ-x 图像如图所示，
一电子以一定的初速度沿 x 轴从 O 点运动到 x4，电子仅受电场力，则该电子（ ）
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A．在 x1 处电势能最小
B．从 x2到 x3受到的电场力和从 x3到 x4受到的电场力方向相反
C．在 x1处受到的电场力最大
D．在 x3处电势为零，电场强度也为零
【答案】A
【详解】A．电荷在某点的电势能为
由公式可知，负点电荷在电势越大的地方，电势能越小，所以该电子在x1处的电势能最小，
故A 正确；
B． x2到 x3的场强方向向右， x3到 x4的场强方向向右，所以电子在x2到 x3和x3到 x4受到
的电场力方向都是向左，方向相同，故B 错误；
C．φ-x 图像中斜率表示电场强度，可知电子在 x1处受到的电场力为0，故C 错误；
D．φ-x 图像中斜率表示电场强度， x3处的斜率不为0，所以 x3处的电场强度不为0，故D 错
误；
故选A。
【典例3】（2024·全国·模拟预测）在轴上的
和
点固定有电荷量分别为
、
的不等量
异种点电荷，以轴正方向为电场强度的正向，得到图示中两点电荷沿连线方向上的
图
像，下列说法正确的是（ ）
A．
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B．
C．将一电子在轴上的
点由静止释放，电子将能够经过轴上的
点
D．将一电子在轴上的
点由静止释放，电子将无法到达轴上的
点
【答案】AC
【详解】AB．轴上B 点的电场强度为零，即有
可得
故A 正确，B 错误；
CD．
之间的电场强度方向为负向，
之间的电场强度方向为正向，根据
图像的面积
表示电势差，可知
，则
则电子将能够经过轴上的
点，故C 正确，D 错误。
故选AC。
1．（2024·四川南充·一模）电容器储能已经广泛应用于电动汽车，风光发电储能，电力系统
中电能质量调节。电容器储能的原理是，当电容器充电后，所带电荷量为Q，两极板间的电
势差为U，则板间储存了电能。如图是电容为C 的电容器两极板间电势差u 和所带电荷量q
的
图像，则（ ）
A．该电容器的电容C 随电荷量q 增大而增大
B．图像中直线的斜率等于该电容器电容C
C．电源对该电容器充电为Q 时，电源对该电容器做的功为QU
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D．电源对该电容器充电为Q 时，该电容器储存的电能为
【答案】D
【详解】A．电容器的电容由电容器本身来决定，与所带电荷量及两端所加电压无关，故A
错误；
B．根据电容的定义式可得
即图像的斜率为电容器电容的倒数，故B 错误；
CD．根据电功的计算公式
图像的面积表示电功，即储存的电能
解得
故C 错误，D 正确。
故选D。
2．（2024·山西朔州·二模）空间存在着沿x 轴方向的电场，取x 轴正方向为电场的正方向。
将一个质量为m、电荷量为
的粒子从坐标原点O 由静止释放，其加速度a 随位置x 变化的
图像如图所示，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．该电场为匀强电场
B．粒子运动到
位置时的速度大小为
C．粒子运动到
位置时，电场力对粒子做功的功率为
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D．从O 到
的过程，粒子的电势能减小
【答案】BD
【详解】A．不计粒子重力，粒子仅受电场力，由牛顿第二定律
由图可知，粒子运动到
位置的过程中，粒子的加速度不断增大，则场强不断增大，故该电
场为非匀强电场，故A 错误；
B．粒子运动到
位置的过程中由动能定理
由
图像的图线与坐标轴围成的面积意义可知
联立解得，此时粒子的速度为
故B 正确；
C．粒子运动到
位置时，电场力对粒子做功的功率为
故C 错误；
D．从O 到
的过程，电场力做的功为
根据电场力做功与电势能的关系
可得粒子的电势能减小
，故D 正确。
故选BD。
3．（2024·四川德阳·二模）纸面内存在沿某方向的匀强电场，在电场中取O 点为坐标原点建
立x 轴，以O 点为圆心、以R 为半径作圆，从x 轴上的a 点开始沿逆时针方向将圆四等分，
a、b、c、d 是圆周上的4 个等分点，实线ef 为一带电粒子在电场中从e 点运动到f 点的运动
轨迹，如图（a）所示；测量出圆上各点的电势、半径同x 轴正方向的夹角θ，描绘出一θ
图像如图（b）所示，下列说法正确的是（ ）
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A．粒子带负电
B．粒子从e 点运动到f 点的过程中电势能逐渐增大
C．O 点的电势为
D．电场强度的大小为
【答案】CD
【详解】A．根据图（b）可知，圆周上电势最高点和最低点所在直径与轴夹角为
，设圆
周上电势最高点为
，圆周上电势最低点为，则
直径方向为电场线方向，实线ef 为一带
电粒子在电场中从e 点运动到f 点的运动轨迹，粒子受力方向与电场方向一致，带正电，故A
错误；
B．粒子受力方向与电场方向一致，粒子从e 点运动到f 点的过程中电场力做正功，电势能逐
渐减小，故B 错误；
C．O 点的电势为
故C 正确；
D．电场强度的大小为
故D 正确。
故选CD。
4．（23-24 高二下·河北保定·开学考试）在轴上关于原点对称的、b 两点处固定两个电荷
量相等的点电荷，如图所示的
图像描绘了轴上部分区域的电场强度（以轴正方向为电
场强度的正方向）。在电场中、为轴上关于原点对称的两点，
为坐标原点，下列结论
正确的是（ ）
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A．，处为同种点电荷
B．，两点的电场强度相同
C．若将一电子从点移到点，其电场力做负功
D．
点的电场强度等于零
【答案】BC
【详解】设电荷带电量为Q，ab 间距离为2r。
A．根据给出的图像可知，在a 处为正电荷，在b 处为负电荷。故A 错误；
B．根据点电荷产生的场
及电场的叠加可知，cd 两处场强相同，电场方向由c 指向d，故B 正确；
C．已知c 点电势高于d 点电势，故将一负电子从c 点移到d 点电场力做负功，故C 正确；
D．等量异种电荷中间点电势为0，但场强不为0，故D 错误
故选BC。
5．（2024·安徽黄山·一模）如图所示，在某电场中建立x 坐标轴，一个电子仅在电场力作用
下沿x 轴正方向运动，经过a，b，c 三点，已知
。该电子的电势能
随坐标x 变
化的关系如
图像所示。则下列说法中正确的是（ ）
A．自a 到c 电场力对电子做正功
B．a 点电势高于b 点电势
C．电子在a 点加速度大于在c 点加速度
D．电子经过a 点的动能小于经过b 点的动能
【答案】ACD
【详解】A．根据题意，由图可知，从到的过程中，电子的电势能减小，则电场力对电子
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做正功，故A 正确；
B．由图可知，电子在a 点电势能高于在b 点电势能，由
可知，a 点电势低于b 点电势，
故B 错误；
C．根据
图像的斜率表示电场力，由图可知，电子在a 点所受电场力大于在c 点所受电
场力，则电子在a 点加速度大于在c 点加速度，故C 正确；
D．电子仅在电场力作用下运动，电子的电势能和动能之和保持不变，由于电子在a 点电势能
高于在b 点电势能，则电子经过a 点的动能小于经过b 点的动能，故D 正确。
故选ACD。
6．（2024·四川巴中·模拟预测）有一电场在x 轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带
正电的粒子（不计重力）从O 点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x 轴运动，则
关于该电场在x 轴上各点的电势φ、带电粒子的动能
、电势能
以及动能与电势能之和
随x 变化的图像，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A.带正电的粒子（不计重力）从O 点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿
x 轴运动，则电场力方向沿x 轴正方向，电场线方向沿x 轴正方向。沿电场线方向电势降低，
A 错误；
C.电场力做正功，动能增加，电势能减小，C 错误；
B.由
图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，由图可知，场强先减小
后增大，方向一直为正方向，电场力
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先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x 轴变化一致，B 正确；
D.由能量守恒
动能与电势能之和
不变，D 正确。
故选BD。
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