文档文本内容
疑难杂症4 晶胞中原子的空间利用率
一、相关计算公式
晶胞中原子空间利用率=晶胞中含有粒子的体积
晶胞体积
×100%。
金属晶胞中原子空间利用率的计算
空间利用率＝球体积
晶胞体积×100%，球体积为金属原子的总体积。
二、四类金属晶体中原子利用率
金
属
晶
体
简单立
方堆积
典型代表Po，配位数为
6 ，空间利用率52%
面心立方
最密堆积
又称为A1型或铜型，典型代表Cu、Ag、Au，配位
数为12，空间利用率74%
体心立
方堆积
又称为A2型或钾型，典型代表Na、K、Fe，配位
数为8，空间利用率68%
六方最
密堆积
又称为A3型或镁型，典型代表Mg、Zn、Ti，配位
数为 12
，空间利用率74%
（1） 简单立方堆积相关求解
如图所示，设原子半径为r，则立方体的棱长为________，V 球＝________，V 晶胞＝
________，空间利用率＝________。
【解析】如图所示，原子的半径为r，立方体的棱长为2r，则V 球＝πr3，V 晶胞＝(2r)3＝
8r3，空间利用率＝×100%＝×100%≈52%。
（2）体心立方堆积相关求解
如图所示，设原子半径为r，则体对角线c 为________，面对角线b 为________(用a
表示)，a＝________(用r 表示)，空间利用率为________。
【解析】如图所示，原子的半径为r，体对角线c 为4r，面对角线b 为 a，由(4r)2＝a2
＋b2得a＝r。1 个晶胞中有2 个原子，故空间利用率＝×100%＝×100%＝×100%≈68%。
（3）六方最密堆积相关求解
如图所示，设原子半径为r，则棱长为________(用r 表示，下同)，底面面积S＝
________，h＝________，V 晶胞＝________，空间利用率＝________。
【解析】如图所示，原子的半径为r，底面为菱形(棱长为2r，其中一个角为60°)，则
底面面积＝2r×r＝2r2，h＝r，V 晶胞＝S×2h＝2r2×2×r＝8r3,1 个晶胞中有2 个原子，则空间利
用率＝×100%＝×100%≈74%。
（4）面心立方最密堆积相关求解
如图所示，设原子半径为r，则面对角线为________(用r 表示)，a＝________(用r 表
示)，V 晶胞＝________(用r 表示)，空间利用率＝________。
【解析】如图所示，原子的半径为r，面对角线为4r，4r=a，a＝2r，V 晶胞＝a3＝(2r)3＝
16r3,1 个晶胞中有4 个原子，则空间利用率＝×100%＝×100%≈74%。
1、利用新制的Cu(OH)2检验醛基时，生成红色的Cu2O，其晶胞结构如下图所示。
若Cu2O 晶体的密度为dg·cm－3，Cu 和O 的原子半径分别为rCupm 和rOpm，阿伏加德
罗常数值为NA，列式表示Cu2O 晶胞中原子的空间利用率为________________。
2、砷化镓也是半导体材料，其结构与硫化锌类似，其晶胞结构如下图所示：若砷和镓的原
子半径分别为acm 和bcm，砷化镓的摩尔质量为Mg·mol－1，密度为ρg·cm－3，晶胞中原子体
积占空间体积百分率(即原子体积的空间占有率)为________(用含a、b、M、ρ、NA的代数
式表示，NA表示阿伏加德罗常数的值)。
3、CdSe 的一种晶体为闪锌矿型结构，晶胞结构如图所示。该晶胞中CdSe 键的键长为
__________。已知Cd 和Se 的原子半径分别为rCd nm 和rSe nm，则该晶胞中原子的体积占
晶胞体积的百分率为__________。
4、钛(Ti)被誉为“21 世纪金属”，Ti 晶体的堆积方式是六方最密堆积如图1 所示，晶胞可
用图2 表示。设金属Ti 的原子半径为a cm，空间利用率为______。
5、在金属材料中添加AlCr2颗粒，可以增强材料的耐腐蚀性、硬度和机械性能。AlCr2具有
体心四方结构，如图所示，处于顶角位置的是_______原子。设Cr 和Al 原子半径分别为rCr
和rAl，则金属原子空间占有率为_______%(列出计算表达式)。
6、GaAs 的熔点为1 238℃，密度为ρg·cm-3，其晶胞结构如图所示。Ga 和As 的摩尔质量
分别为M Ga g·mol-1和M As g·mol-1，原子半径分别为r Gapm 和r Aspm，阿伏加德罗常数
值为NA，则GaAs 晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为 。
7、下列有关金属晶体判断正确的是
A．简单立方、配位数6、空间利用率68%
B．钾型、配位数6、空间利用率68%
C．镁型、配位数8、空间利用率74%
D．铜型、配位数12、空间利用率74%
8、有四种不同堆积方式的金属晶体的晶胞如图所示，有关说法正确的是(假设金属的摩尔
质量为M g•mol－1，金属原子半径为r cm，用NA表示阿伏加德罗常数的值)
A．金属Mg 采用②堆积方式
B．①和③中原子的配位数分别为：8、12
C．对于采用②堆积方式的金属，实验测得W g 该金属的体积为V cm3，则阿伏加德罗
常数NA的表达式为
D．④中空间利用率的表达式为：×100%
9、有四种不同堆积方式的金属晶体的晶胞如图所示，下列有关说法正确的是
A．①为简单立方堆积，②为镁型，③为钾型，④为铜型
B．每个晶胞含有的原子数分别为：①1 个，②2 个，③2 个，④4 个
C．晶胞中原子的配位数分别为：①6，②8，③8，④12
D．空间利用率的大小关系为：①＜②＜③＜④
10、金刚石与石墨都是碳的同素异形体。若碳原子半径为r，金刚石晶胞的边长为a，根据
硬球接触模型，金刚石晶胞中碳原子的空间占有率为___________（用含π 的代数式表
示）。
11、金属Na 晶体中的原子堆积方式称为体心立方堆积，晶胞参数为a nm，空间利用率为
________（列出计算式）。
12、已知立方氮化硼密度为d g／cm3，B 原子半径为x pm，N 原子半径为y pm，阿伏加德
罗常数的值为NA，则该晶胞中原子的空间利用率为__________（列出化简后的计算式）。
答案及解析
1、【答案】 ×100%
【解析】空间利用率是晶胞中球的体积与晶胞体积的比值，晶胞中有2 个O 和4 个Cu,
球的体积为(4×πr＋2×πr)×10－30cm3，晶胞的体积可以采用晶胞的密度进行计算，即晶胞的
体积为cm3，因此空间利用率为×100%。
2、【答案】 ×100%
【解析】
设阿伏加德罗常数为NAmol－1，晶胞中Ga 原子数目＝8×＋6×＝4，As 原子数目＝4，晶胞
相当于有4 个“GaAs”，晶胞质量＝4×g，晶胞中Ga、As 原子总体积＝4×π(a3＋b3)cm3，晶
胞的体积为cm3，晶胞中原子体积占空间体积百分率(即原子体积的空间占有率)为×100%。
3、【答案】： a ×100%
【解析】：CdSe 键的键长为晶胞体对角线长的，故键长为a，晶胞中原子占的总体积
为×4，晶胞体积为a3，故晶胞中原子利用率＝×100%。
4、【答案】(3)或74%
【解析】(3)由Ti 晶体的晶胞结构示意图可知，该晶胞为平行六面体，其底是菱形，金
属Ti 的原子半径为a cm，则底边长为2a cm，底面的面积为2a×2a×sin 60＝2a2。B 点与底
面连线的3 个点构成正四面体，正四面体的高为×2a，所以晶胞的高为×2a×2＝a，晶胞的
体积为底面的面积与高的积，即2a2×a＝8a3，根据均摊法可以求出该晶胞中有2 个Ti 原
子，2 个Ti 原子的体积为2×， 所以，原子的空间利用率为×100%＝(或74%)。
5、【解析】(4)已知AlCr2具有体心四方结构，如图所示，黑球个数为
，白球个
数为
，结合化学式AlCr2可知，白球为Cr，黑球为Al，即处于顶角位置的是Al
原子。设Cr 和Al 原子半径分别为
和
，则金属原子的体积为
，故金属原子空间占有率=
%，故答案为：Al；
。
6、【答案】4 π N A ρ(r
3
Ga+r
3
As)
3( M Ga+ M As)
×10-30×100%
【解析】根据晶胞结构可知晶胞中Ga 和As 的个数均是4 个，所以晶胞的体积是
4
N A
×( M Ga+ M As)
ρ
cm3。二者的原子半径分别为rGapm 和rAspm，阿伏加德罗常数值为
NA，则GaAs 晶胞中原子的体积占晶胞体积的百分率为
4× 4
3 π(r
3
Ga+r
3
As)×10
-30
4
N A
×( M Ga+ M As)
ρ
×100%=4 π N A ρ(r
3
Ga+r
3
As)
3( M Ga+ M As)
×10-30×100%。
7、【答案】D
8、【答案】D
【解析】A．Mg 属于六方最密堆积，所以金属Mg 采用③堆积方式，故A 错误；
B．
，其配位数是6，
，配位数为12，故B 错误；
C．
中原子个数为8×＋1＝2，晶胞质量m＝2M，密度ρ＝＝，故C 错误；
D．面心立方堆积
空间利用率为×100%＝×100%，故D 正确。故选：D。
9、【答案】B
【解析】A．②为体心立方堆积，属于钾、钠和铁型；③是六方最密堆积，属于镁、
锌、钛型，A 错误。
B．利用均摊法计算原子个数，①中原子个数为8×1/8＝1 个，②中原子个数为8×1/8＋
1＝2 个，③中原子个数为8×1/8＋1＝2 个，④中原子个数为8×1/8＋6×1/2＝4 个，B 正确。
C．③为六方最密堆积，此结构为六方锥晶包的1/3，配位数为12，C 错误。
D．③、④的空间利用率最高，都是74%，①中简单立方堆积空间利用率最小为
52%，②中体心立方堆积空间利用率为68%，所以空间利用率大小顺序为①<
<
②③＝④，D
错误，正确答案为B。
10、【答案】
❑√3
16 π×100% 。
【解析】金刚石晶胞如图
，该晶胞中C 原子个数4+8×
1
8
+6×
1
2
=8，金刚石
体对角线上的四个原子紧密相连，晶胞棱长a= 8
❑√3r，晶胞体积=a3，所有原子体积=4
3
πr3×8，空间占有率= 所有原子体积
晶胞体积
×100%=
4
3 π r
3×8
( 8
❑√3 )
3
×100%=
❑√3
16 π×100% .
11、【答案】2× 4
3 π ×(
❑√3
4 a)
3
a
3
【解析】金属Na 晶体中的原子堆积方式称为体心立方堆积，其堆积方式如图所示：
，则一个晶胞中钠原子数量=8×
1
8+1=2，晶胞参数为a nm，则晶胞的体积为V（晶
胞）= a3nm3，根据晶胞图示，晶胞体对角线的长度=4r（Na），则r（Na）=
❑√3a
4
nm，则晶
胞中钠原子的总体积=2×4
3 π ×(
❑√3
4 a)
3，则晶胞空间利用率=2× 4
3 π ×(
❑√3
4 a)
3
a
3
。
12、【答案】4 Π (x
3+ y
3)d N A
75×10
30
×100 %
【解析】立方氮化硼晶胞中每个N 原子连接4 个B 原子，晶胞中N 原子数为4，B 原
子数=8× 1
8 +6× 1
2=4，因此氮化硼化学式BN，所以晶胞中每个B 原子也连接4 个N 原
子，即硼原子的配位数为4；晶胞的质量m=25×4
N A
g，晶胞的体积V=m
d =
25×4
N A
d
，B、N
原子总体积
V1=4×［4 Π ×（x×10
-10）
3
3
+ 4 Π ×（y ×10
-10）
3
3
］=
16 π
3
×（x
3+ y
3）×10
-30cm3，晶胞中原子的空间利用率=V 1
V ×100 %=
16 π
3
×（x
3+ y
3）×10
-30
25×4
N A
d
×100 % = 4 Π (x
3+ y
3)d N A
75×10
30
×100 %
。
