题号猜押02 全国卷高考数学第5~6 题（单选题）
溯源
年份
卷别
第5 题
第6 题
2025
Ⅰ卷
双曲线离心率（虚轴长与实轴长关系）
向量实际应用（帆船视风）
2025
Ⅱ卷
解三角形（余弦定理求边）
抛物线焦点弦（直线过焦点）
2024
Ⅰ卷
圆柱圆锥体积（侧面积相等）
分段函数单调性求参
2024
Ⅱ卷
轨迹方程（中点轨迹）
函数零点（奇偶性）
2023
Ⅰ卷
椭圆离心率（a,b,c 关系）
圆的切线夹角
2023
Ⅱ卷
椭圆焦点三角形面积比
导数单调性求参
2022
Ⅰ卷
棱台体积（南水北调）
互质概率
2022
Ⅱ卷
排列组合（站队问题）
三角恒等变换（和差角）
2021
Ⅰ卷
椭圆焦点三角形最值
三角恒等变换（齐次化）
2021
Ⅱ卷
正四棱台体积
正态分布性质判断
近5 年T5、T6 考点分布广泛，无明显固定模块。圆锥曲线出现5 次（2025ⅠT5、2023ⅠT5、2023ⅡT5、
2021ⅠT5、2025ⅡT6），立体几何出现4 次（2024ⅠT5、2022ⅠT5、2021ⅡT5、2024ⅡT7 跨题），概率统计出现
2 次（2022ⅠT6、2021ⅡT6），三角出现3 次（2022ⅡT6、2021ⅠT6、2025ⅡT5），函数出现3 次（2024ⅠT6、
2024ⅡT6、2023ⅡT6），向量/实际应用偶有（2025ⅠT6）。近年圆锥曲线与立体几何轮换频繁，三角恒等变
换与函数性质也常占据此位置，体现基础与中档题的综合性。
预测
2026 年T5、T6 极可能在圆锥曲线（离心率、弦长、焦点三角形）、立体几何（体积、表面积、外接球）、
三角恒等变换（求值、化简）、函数性质（单调性、奇偶性、零点）四类中选取两类，且大概率分属不同
模块。概率统计与数列作为备选，但近年频次略低。
备考核心
主攻圆锥曲线基本量计算，熟练掌握椭圆、双曲线的a、b、c、e 关系及焦点三角形性质；强化立体几何体
积表面积公式，特别关注棱台、球、圆柱圆锥的公式应用；熟练运用三角恒等变换公式（二倍角、和差角）
进行求值与化简，理解正弦定理、余弦定理的直接应用；掌握函数单调性与奇偶性的判定方法，能通过导
数或图象判断函数性质。限时训练，每道题控制在2~3 分钟，确保基础题快速准确。
考点1 三角恒等变换（和差角、二倍角公式）
1. （2026·四川内江·二模）已知
π
3
sin 4
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
0,π
a Î
，则sin2a = （ ）
A．24
25
B．7
25
C．
24
25
-
D．
7
25
-
【答案】B
【详解】因为
π
3
sin 4
5
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，所以
2
π
π
9
7
cos2
1
2sin
1 2
4
4
25
25
a
a
æ
ö
æ
ö
-
= -
-
= - ´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又
π
π
cos2
cos
2
sin 2
4
2
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
7
sin2
25
a =
.
2. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知
π
1
cos(
)
6
4
a -
=
，则
π
sin(2
)
6
a +
= （ ）
A．1
8
B．
1
8
-
C．7
8
D．
7
8
-
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到
π
π
π
sin(2
)
cos(2
)
cos[2(
)]
6
3
6
a
a
a
+
=
-
=
-
，结合余弦的倍角公
式，即可求解.
【详解】由
π
π
π
π
π
sin(2
)
cos[(2
)
]
cos(2
)
cos[2(
)]
6
6
2
3
6
a
a
a
a
+
=
+
-
=
-
=
-
2
2
π
1
7
2cos (
) 1
2 ( )
1
6
4
8
a
=
-
- =
´
- = -
.
3. （2026·福建福州·模拟预测）已知
1
sin
3
a
b
+
=
，tan
3tan
a
b
=
，则
sin a
b
-
= （ ）
A．
2
3
-
B．2
3
C．
1
6
-
D．1
6
【答案】D
【详解】
sin
sin
tan
3tan
3
sin
cos
3sin
cos
cos
cos
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
=
Þ
=
Þ
=
，
由
1
1
1
sin
sin
cos
cos
sin
3cos
sin
cos
sin
3
3
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
Þ
+
=
Þ
+
=
1
cos
sin
12
4
1
sin
cos
a
b
a
b
Þ
=
=
Þ
，
所以
1
1
1
sin
sin
cos
cos
sin
4
12
6
a
b
a
b
a
b
-
=
-
=
-
=
.
4. （2026·河北衡水·一模）若
1
3sin
cos
2
2
2
a
a
+
>
，则
5π
cos
3
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
的取值范围是（ ）
A．
7
1, 8
é
ö
-
÷
êë
ø
B．7 ,1
8
æ
ù
ç
ú
è
û
C．
3
1, 4
é
ö
-
÷
êë
ø
D．3 ,1
4
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】A
【详解】因为
π
1
3sin
cos
2sin
2
2
2
6
2
a
a
a
æ
ö
+
=
+
>
ç
÷
è
ø
，所以
π
1
sin
2
6
4
a
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，
因此1
π
sin
1
4
2
6
a
æ
ö
<
+
£
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
5π
π
π
1
7
cos
cos
1 2sin
1 2
3
3
2
6
4
8
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
+
= -
+
< - ´
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
2
5π
π
π
cos
cos
1 2sin
1 2
1
3
3
2
6
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
+
= -
+
³ -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
；
所以
5π
cos
3
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的取值范围是
7
1, 8
é
ö
-
÷
êë
ø .
5. （2026·湖北孝感·二模）已知a 、b 均为锐角，
2 5
sin
5
a =
，
10
sin
10
a
b
-
= -
，则
tan a
b
+
= （ ）
A．7 2
10
B．
5
13
-
C．
3 2
10
-
D．
9
13
-
【答案】D
【分析】根据同角三角函数关系式求出cosa ，
cos a
b
-
，再由
sin
sin
b
a
a
b
é
ù
=
-
-
ë
û 和两角和的正切公
式即可求解.
【详解】因为a ，b 为锐角，所以
π
0
2
a
<
<
，
π
0
2
b
<
<
，
所以
π
π
2
2
a
b
-
<
-
<
，所以
cos
0
a
b
-
>
.
因为
2 5
sin
5
a =
，所以
2
5
cos
1 sin
5
a
a
=
-
=
，
sin
tan
2
cos
a
a
a
=
=
，
因为
10
sin
10
a
b
-
= -
，所以
2
3 10
cos
1 sin
10
a
b
a
b
-
=
-
-
=
，
则
sin
sin
sin cos
cos sin
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
é
ù
=
-
-
=
-
-
-
ë
û
2 5
3 10
5
10
7 2
5
10
5
10
10
æ
ö
=
´
-
´ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
cos
1 sin
10
b
b
=
-
=
，
sin
tan
7
cos
b
b
b
=
=
，
tan
tan
2
7
9
tan
1
tan tan
1 2 7
13
a
b
a
b
a
b
+
+
\
+
=
=
= -
-
- ´
.
6. （2026·辽宁抚顺·一模）若
π
0,π 2
sin2
2sin 2
2
a
a
a
æ
ö
Î
+
=
+
ç
÷
è
ø
，
，则cosa = （ ）
A．
2 5
5
-
B．
5
5
-
C．
5
5
D．2 5
5
【答案】A
【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出cos
2sin
a
a
= -
，最后结合同角三角函数关
系计算求值.
【详解】由题意得2
2sin cos
a
a
+
=
2
2cos2
2 1
2sin
a
a
=
-
，所以sina ·
2
cos
2sin
a
a
= -
.
因为
0,π
a Î
，所以sin
0
a >
，所以cos
2sin
0
a
a
= -
<
，且
2
2
cos
sin
1
a
a
+
= ，
所以
2
4
cos
5
a =
，可得
2 5
cos
5
a = -
.
考点2 正弦余弦定理解三角形
1. （25-26 高三下·安徽·月考）在
ABC
V
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
6,
8 2
bc
b
c
a
=
+
-
=
，
则
ABC
V
的面积为（ ）
A．1
B．2
C．2
D．2 2
【答案】A
【详解】由余弦定理得
2
2
2
2 2
cos
2
3
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，则
2
1
sin
1 cos
3
A
A
=
-
=
，
故
ABC
V
的面积为
1
1
1
sin
6
1
2
2
3
S
bc
A
=
=
´ ´
= .
2. （2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
3
cos
cos
5
a
B
b
A
c
-
=
，则tan
tan
A
B = （ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得.
【详解】由
3
cos
cos
5
a
B
b
A
c
-
=
和正弦定理，得
3
sin
cos
sin
cos
sin
5
A
B
B
A
C
-
=
（*），
因sin
sin(π
)
sin(
)
sin
cos
sin
cos
C
A
B
A
B
A
B
B
A
=
-
-
=
+
=
+
，
将其代入（*）整理得sin
cos
4sin
cos
A
B
B
A
=
，
即得tan
4tan
A
B
=
，故tan
4
tan
A
B =
.
3. （2026·四川成都·二模）记
ABC
V
的面积为S，
ABC
V
的外接圆半径为1，且
2
2
2
sin
sin
sin
S
A
B
C
=
+
-
，
则C = （ ）
A．4
p
B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
【答案】A
【详解】由正弦定理
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
（R 为
ABC
V
的外接圆半径），且
ABC
V
的外接圆半径为1，
得
sin
,sin
,sin
2
2
2
2
a
a
b
c
A
B
C
R
=
=
=
=
，
代入
2
2
2
sin
sin
sin
S
A
B
C
=
+
-
得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
a
b
c
a
b
c
S
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
+
-
=
，
又
in
1
2
s
S
ab
C
=
，所以1
2
cos
sin
2
4
ab
C
ab
C =
，化简得sin
cos
C
C
=
，
因为
0,π
C Î
，所以
π
4
C =
.
4. （2026·湖南怀化·一模）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为
2
, , , sin
2 cos
cos
2
A
a b c a
C
b
b
a
B
+
=
+
，则
ABC
V
一定为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在
ABC
V
中，
2
sin
2 cos
cos
2
A
a
C
b
b
a
B
+
=
+
,
则
1
cos
sin
2
cos
2
A
a
C
b
b
a
B
+
+
=
´
+
，即sin
cos
cos
a
C
b
A
a
B
=
+
，
则
sin
sin
sin cos
sin
cos
sin
A
C
B
A
A
B
A
B
=
+
=
+
，即得sin
sin
sin
A
C
C
=
,
由于
0,π ,sin
0
C
C
Î
¹
，故sin
1
A = ，结合
0,π
AÎ
，可得
π
2
A =
，
即
ABC
V
一定为直角三角形，
5. （2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A 处出发，沿着正东方向行驶到B 处，再从B 处向北偏西30°
方向行驶20 3 千米到达C 处，此时，C 处在A 处的东北方向，则A、C 两处之间的距离是（ ）
A．30 千米
B．30 2 千米
C．20 6 千米
D．20 7 千米
【答案】B
【详解】如图，由题意可知
20 3
BC =
千米，
45
BAC
Ð
=
° ，
60
ABC
Ð
=
° ，
则由正弦定理知
sin
20 3sin 60
30 2
sin
sin 45
BC
ABC
AC
BAC
Ð
°
=
=
=
Ð
°
千米.
6. （2026·河南·模拟预测）在
ABC
V
中，
4
AB =
，
5
BC =
，
21
AC =
，D 为边AC 上一点，且BD 平分
ABC
Ð
，则BD = （ ）
A．20 3
9
B．
21
3
C．9
2
D．14
3
【答案】A
【分析】先根据三角形角平分线的性质确定AD 的长度，再利用余弦定理求cos A和BD 的长.
【详解】如图：
因为BD 平分
ABC
Ð
，所以
4
5
AD
AB
CD
BC
=
=
，又
21
AC =
，所以
4 21
9
AD =
.
在
ABC
V
中，根据余弦定理，可得
2
2
2
cos
2
+
-
=
×
×
AB
AC
BC
A
AB AC
16
21 25
3
8 21
2 21
+
-
=
=
，
在
ABD
△
中，根据余弦定理，
2
2
2
2
cos
BD
AB
AD
AB AD
A
=
+
- ×
×
×
16 21
4 21
3
16
2 4
81
9
2 21
´
=
+
- ´ ´
´
16 25
27
´
=
，
所以
4 5
20 3
9
3 3
BD
´
=
=
.
考点3 空间几何体的体积、表面积计算
1. （2026·江西南昌·一模）某圆锥的轴截面是一个斜边长为4 的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为
（ ）
A．4 2π
B．8 2π
C．16 2π
D．
4 2
4 π
+
【答案】A
【分析】利用勾股定理和圆锥的侧面积公式求解.
【详解】圆锥的轴截面为
SAB
△
，
4
AB =
，
90
ASB
Ð
=
°，
则
2 2
SA
SB
=
=
，
2
OB =
，
圆锥的侧面积为π
π 2 2 2
4 2π
OB SA
×
×
=
× ´
=
.
故选：A.
2. （2026·湖北武汉·模拟预测）记半径为R 的球体的表面积和体积分别为
1S 和
1V ，记某底面半径为R 的圆
锥的表面积和体积分别为
2
S 和
2
V ，若
1
2
S
S
=
，则
1
2
V
V = （ ）
A．4
9
B．4
3
C．
2
3
D．2
【答案】D
【分析】先设该圆锥的高为h ，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合
1
2
S
S
=
推得
2 2
h
R
=
，
代入所求式化简计算即得.
【详解】依题意，
2
3
1
1
4
4π
,
π
3
S
R V
R
=
=
，设该圆锥的高为h ，则
2
2
2
2
π
π
S
R
R
R
h
=
+
×
+
，
2
2
1 π
3
V
R h
=
.
由
1
2
S
S
=
可得
2
2
2
2
4π
π
π
R
R
R
R
h
=
+
×
+
，化简得
2 2
h
R
=
，
故
2
1
3
2
4
4
2
4 π
3
1
2 2
π
3
V
R
R
R
h
h
R
V
R
=
=
=
=
.
3. （2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
2
4
AB
A B
=
=
，若侧面与底面的夹角为
60°，则该四棱台的体积为（ ）
A．56
3
B．20 3
3
C．28
3
D．28 3
3
【答案】D
【分析】通过作图，利用正四棱台的性质可得
1
E EH
Ð
为侧面与底面所成的二面角的平面角，结合条件，求
出正四棱台的高，再由棱台的体积公式求解.
【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为
1,
O O ，连接
1
O O ，则
1
O O ^ 平面ABCD ，
取
1
1
,
AB A B 的中点
1
,
E E ，连接
1
1
1
,
,
EE OE O E ，易知
1
1
1
1
,
OE
AB O E
A B
^
^
，且
1
1 / /
O E
OE ，
过
1
E 作
1
1
/ /
E H
O O 交OE 于H ，则
1
E H ^ 平面ABCD ，又
,
OE AB Ì 平面ABCD ，则
1
1
,
E H
OE E H
AB
^
^
，
故可得AB ^平面
1
1
OEE O ，则
1
AB
E E
^
，则
1
E EH
Ð
为侧面与底面所成的二面角的平面角，则
1
60
E EH
Ð
=
°，
又
1
1
2
4
AB
A B
=
=
，则
1
1
2
2
OE
O E
=
=
，
1
EH = ，
由
1
tan60
E H
EH
° =
，得到
1
3
E H =
，即
1
3
O O =
，
又
1 1 1
1
16,
4
ABCD
A B C D
S
S
=
=
，
所以四棱台的体积为
1
28 3
4 16
4 16
3
3
3
V =
+
+
´
´
=
.
4. （2026·山东菏泽·一模）图1 是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱
和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为
3:1，且该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，依题意可得
2
2
2
1
3
2
2
2
2
R
h
h
=
+
+
=
，即可求解．
【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3:1，
所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为h ，如图，
则
1
OB
OD
OP
R
=
=
=
，
则其外接球的半径为
2
2
2
2
1
1
1
3
4
4
32
2
2
2
2
R
h
h
h
h
h
=
+
+
=
+
=
+
=
,
解得
2
h =
，所以
3
R =
.
5. （2026·山西运城·一模）已知某圆锥的外接球的表面积是36 π ，则该圆锥的体积的最大值是（ ）
A．32 π
B．32π
3
C．64 π
D．64π
3
【答案】B
【分析】根据外接球的表面积，求出外接球的半径，建立圆锥的基本量和外接球半径的几何关系，结合导
数求出圆锥体积的最大值.
【详解】由题意可得：外接球的表面积
36
S
p
=
，根据球的表面积公式
2
4
S
R
p
=
，可得
3
R =
.
设圆锥底面半径为r ，高为h ，由球的截面性质可知，
2
2
2
2
2
6
h
R
r
R
r
h
h
-
+
=
Þ
=
-
，且0
6
h
<
<
.
故圆锥的体积为
2
2
2
3
1
1
1
6
6
3
3
3
r h
h
h
h
h
h
p
p
p
=
-
=
-
.
令
2
3
1
6
,(0
6)
3
V h
h
h
h
p
=
-
<
<
，则
2
1
12
3
4
3
V
h
h
h
h
h
p
p
¢
=
-
=
-
.
当0
4
h
<
<
，
0
V
h
¢
>
，
V h 单调递增.
当4
6
h
<
<
，
0
V
h
¢
<
，
V h 单调递减.
即当
4
h =
时，取得体积最大值，
所以
2
3
max
1
32
6 4
4
3
3
V h
p
p
=
´
-
=
.
6. （2026·湖北宜昌·二模）三棱锥P
ABC
-
满足
2
PA
PB
PC
=
=
=
，且
π
3
3
BAC
BC
Ð
=
=
，
，则三棱锥
P
ABC
-
外接球的表面积为（ ）
A．32 3π
27
B．32 3π
9
C．16π
9
D．16π
3
【答案】D
【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且
到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积.
【详解】设点P 在底面ABC 的投影为O¢，因为PA
PB
PC
=
=
，
所以点O¢是
ABC
V
的外心，则O A
O B
O C
¢
¢
¢
=
=
，且PO¢ ^ 底面ABC ，球心O 在PO¢上，
由正弦定理得
ABC
V
外接圆的直径径
3
2
sin
3
2
BC
r
BAC
=
=
Ð
，解得半径
1
r = ，
即
1
O A
O B
O C
¢
=
=
¢
=
¢
，则
2
2
2
1
3
PO¢ =
-
=
，
设OO
d
¢ =
，外接圆半径为R ，则
3
R
PO
d
=
=
-
，
则
2
2
OA
d
O A
¢
=
+
，且OA
PO
R
=
=
，
则
2
3
1
d
d
-
=
+ ，解得
3
3
d =
，则外接球半径
3
2 3
3
3
3
R =
-
=
，
则三棱锥P
ABC
-
外接球的表面积为
2
2 3
16π
4π
3
3
æ
ö =
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
考点4 圆锥曲线的定义与性质
1. （2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线
1
C ：
2
2
2
1
x
y
a +
=
1
a >
，曲线
2
C ：
2
2
1
4
x
y
-
= 的离心率分别为
1e ，
2e ，且
2
1
5
e
e
=
，则a =（ ）
A．2 3
3
B．2
C．
3
D．
5
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】曲线
1
C 的长半轴长为a ，短半轴长为1，所以焦距为
2
2
1
a - .
曲线
2
C 的实半轴长为2 ，虚半轴长为1，所以焦距为2 4 1
2 5
+
=
.
由
2
1
2
5
1
2 3
5
2
5
3
e
a
a
a
e
-
Þ
=
×
=
=
Þ
.
故选：A
2. （2026·湖南永州·二模）已知抛物线
2
4
C
y
x
=
：
的焦点为F ，点E 在x 轴上且位于F 右侧，点P 在C 上，
若
PEF
!
为等边三角形，则PF =（ ）
A．2
B．2 2
C．2
3
D．4
【答案】D
【分析】如图，设
2
(
, )
4
a
P
a (
0)
a >
，则
2
2
2
2
a
PF
FG
=
=
-
，结合抛物线的定义得
2
1
4
a
PF = +
，进而建立
关于a 的方程，解之即可求解.
【详解】如图，
(1,0)
F
，设
2
(
, )
4
a
P
a (
0)
a >
，EF 的中点为G ，
则
2
1
4
a
FG =
- ，又
PEF
!
为等边三角形，所以
2
2
2
2
a
PF
FG
=
=
-
，
由抛物线的定义知
2
1
4
a
PF = +
，所以
2
2
1
2
4
2
a
a
+
=
-
，
解得
2
12
a =
，所以
2
1
4
4
a
PF = +
=
.
故选：D
3. （2026·广东佛山·一模）设F 为抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点，点A 在C 上，且在第一象限，若
4
AF =
，则
直线AF 的倾斜角为（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【答案】B
【详解】由
2
:
4
C y
x
=
得
1,0
F
.
设
0
0
,
A x y
，则
0
4
1
AF
x
=
=
+ ，得
0
3
x = ，
又
2
0
4 3
12
y =
´
=
且点A 在第一象限，因此
0
2 3
y =
，即
3,2 3
A
.
设直线AF 的倾斜角为a ，
0,
a
p
Î
,
0
0
0
2 3
0
tan
3
1
3 1
AF
y
k
x
a
-
-
=
=
=
=
-
-
，得
3
p
a =
.
4. （2026·江苏·一模）若椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的长轴长是短轴长的2 倍，右焦点是抛物线
2
2
y
px
=
的
焦点，则a
p = （ ）
A．
2
2
B．2
C．2
D．2 2
【答案】A
【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可.
【详解】椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长是短轴长的2 倍，
所以2
2
2
a
b
=
´
，即
2
a
b
=
，所以
2
a
b =
，
抛物线
2
2
y
px
=
的焦点为
,0
2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø ，该焦点为椭圆的右焦点，
所以
2
2
2
2
2
a
p
a
æ
ö
æ
ö
=
+ ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
2
2
2
p
a =
，即
2
2
a
p =
.
故选：A
5. （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
上，
边AD 与BC 均与x 轴垂直，且分别经过椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
1
2
-
D．
5
1
2
-
【答案】D
【分析】根据椭圆的几何特征及离心率公式计算求解.
【详解】不妨设正方形ABCD 的边长为2，
设椭圆的两个焦点为
,
E F ，可知椭圆的右焦点为(1,0) ，
且椭圆经过点(1,1) ，所以
2
2
1
1
1
1
a
a
+
=
-
，
解得
5
1
2
a
+
=
（小于半焦距c 的根舍去），
因此椭圆的离心率
2
5
1
2
5
1
c
e
a
-
=
=
=
+
．
6. （2026·山东威海·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 且垂直于长
轴的直线交E 于A，B 两点，若
1
60
AF B
°
Ð
=
，则E 的离心率为（ ）
A．
3
3
B．
3
2
C．
1
2
D．
5
3
【答案】A
【分析】由题先求出
2
2b
AB
a
=
，利用
2
1
2
1
2
tan
AF
AF F
F F
°
Ð
=
，即
2
2
3
2
3
a
c
ac
-
=
化简可求解.
【详解】设焦点
2
,0
F
c
，则过
2
F 且垂直于长轴的直线为x
c
=
，
将x
c
=
代入
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，得到
2
2
2
2
2
1
c
y
b
y
a
b
a
+
= Þ
= ±
，
所以
2
2
2
2
,
,
,
,
b
b
b
A c
B c
AB
a
a
a
æ
ö
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
1
60
AF B
°
Ð
=
，所以
1
2
30
AF F
°
Ð
=
，
所以
2
2
1
2
tan30
2
b
AF
a
F F
c
° =
=
，即
2
2
3
2
3
a
c
ac
-
=
，
化简得到
2
2
1
3
3
2 3
3
0
2
3
e
e
e
e
-
=
Þ
+
-
=
，
因为
0
e >
，解得
3
3
e =
.
故选：A.
7. （2026·山东聊城·一模）过双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点F 作其中一条渐近线的垂线，垂足
为P，若|
| 3
PF =
，
OFP
△
的面积为6（O 为坐标原点），则C 的渐近线的斜率为（ ）
A．
3
5
±
B．
4
5
±
C．
3
4
±
D．
4
3
±
【答案】C
【分析】设
( ,0)
F c
，结合渐近线l 的方程为
0
bx
ay
-
=
，由点到直线的距离可得|
|
PF ，|
|
OP ，再由三角形的
面积公式，计算可得所求值．
【详解】设
( ,0)
F c
，不妨取渐近线l 的方程为
0
bx
ay
-
=
，
则
2
2
|
0 |
|
|
bc
bc
PF
b
c
a
b
-
=
=
=
+
，又
3
PF =
，故
3
b =
，
因为
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
OP
OF
PF
c
b
a
=
-
=
-
=
，
OFP
△
的面积为6，
所以1
6
2 ab =
，解得
4
a =
所以C 的渐近线的斜率为
3
4
±
.
8. （25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，
过
1F 的直线与的左、右两支分别交于A，B 两点，且
2
1
2
A
F
B
B
F
A
=
=
，则的离心率为（ ）．
A．2
B．3
C．
6
D．
7
【答案】D
【分析】根据题意作出示意图，根据双曲线的定义求解出
2
,
AB
AF ，判断
2
ABF
△
的形状，再结合余弦定理
得出,a c 的关系，计算求解.
【详解】
1
2
1
1
2
BF
BF
BF
AB
AF
a
-
=
-
=
=
，
2
4
AB
BF
a
=
=
．
2
1
2
AF
AF
a
-
=
，所以
2
4
AF
a
=
，
2
ABF
△
是等边三角形，
1
2
π
3
F BF
Ð
=
．
在
1
2
BF F
△
中，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
2
BF
BF
F F
F BF
BF
BF
+
-
Ð
=
×
，即
2
2
2
1
36
16
4
2
2 6
4
a
a
c
a
a
+
-
=
´
´
，
化简得
2
2
7a
c
=
，所以
7
c
e
a
=
=
．
9. （25-26 高三上·山西晋中·期末）已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
，过其焦点F 的直线l 与C 在第一象限的交点为
P ，且
5
PF = ，则l 的方程为（ ）
A．4
3
4
0
x
y
+
-
=
B．4
3
4
0
x
y
-
-
=
C．3
4
3
0
x
y
+
-
=
D．3
4
3
0
x
y
-
-
=
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求出P 的坐标，然后求出直线的斜率，最后利用点斜式求解即可.
【详解】由题意如图所示：
抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为
1,0
F
，准线方程为：
1
x = - ，
设P 到准线的距离为PP¢ ，
0
0
0
0
,
0,
0
P x
y
x
y
>
>
由抛物线的定义得：
5
PP
PF
¢ =
=
，又
0
1
PP
x
¢ =
+ ，
所以
0
1
5
x + =
，解得：
0
4
x =
代入
2
4
y
x
=
中得：
2
0
0
4 4
16
4
y
y
=
´
=
Þ
=
，
所以
4,4
P
，则直线l 的斜率为：
4
0
4
4 1
3
PF
k
-
=
=
-
,
所以直线l 的方程为：
4
0
1
3
y
x
-
=
-
即4
3
4
0
x
y
-
-
= ，
故选：B.
10. （2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线
2
:
4
E x
y
=
上有一点
,
4,1
P A
，过点P 作
2
y = - 的垂线，垂足为
Q ，则PA
PQ
-
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义进行求解即可.
【详解】记E 的焦点为
0,1
F
，由抛物线定义可知
1
PQ
PF
=
+ ，
于是
1
1
4
1
3
PA
PQ
PA
PF
AF
-
=
-
- £
- =
- =
，
当且仅当
,
,
P F A依次共线且F 在
,
P A之间时等号成立．
此时PA
PQ
-
取最大值为3.
11. （2026·江西赣州·一模）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在椭圆C 上，若
1
2
PFF
V
的
面积为1，则
1
2
PF PF
×
=
uuur uuuur
（ ）
A．
2
3
-
B．2
3
C．
8
3
-
D．8
3
【答案】D
【分析】由三角形
1
2
PFF
V
的面积确定P 点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】由椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，得
2
2
4,
3
a
b
=
=
，
2
2
2
1
c
a
b
=
-
= ，即
1
c = ，
因此左右焦点
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
-
，
1
2
|
| 2
2
F F
c
=
=
，
因为
1
2
PFF
V
面积为1，故
1
2
1 |
| |
| 1
2
P
S
F F
y
=
×
×
= ，得|
| 1
P
y
= ，即
2
1
P
y = ，
将
2
1
P
y = 代入椭圆方程：
2
1
1
4
3
x +
= ，解得
2
8
3
P
x =
.
1
( 1
,
)
P
P
PF
x
y
= - -
-
uuur
，
2
(1
,
)
P
P
PF
x
y
=
-
-
uuuur
，
则
2
2
1
2
8
8
( 1
)(1
)
(
)(
)
1
1 1
3
3
P
P
P
P
P
P
PF PF
x
x
y
y
x
y
×
= - -
-
+ -
-
=
- +
=
- + =
uuur uuuur
.
12. （2026·黑龙江·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，
1F ，
2
F 分别为左、右焦点，过
1F 且倾斜角
为60°的直线l 与C 在第一象限的交点为P ，
1
2
PF F
Ð
的平分线与线段
2
PF 交于点Q ．若
2
2
PQ
QF
=
，则该
双曲线的离心率是（ ）
A．
3
B．1
3
+
C．2
3
+
D．3
3
+
【答案】C
【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.
【详解】因为直线l 的
1
2
π
3
PF F
Ð
=
，由角平分线性质定理可知
1
1
2
2
2
PF
PQ
F F
QF
=
=
，
所以
1
1
2
2
4
PF
F F
c
=
=
，由双曲线的定义可知
1
2
2
PF
PF
a
-
=
，所以
2
1
2
4
2
PF
PF
a
c
a
=
-
=
-
，
在
1
2
PFF
V
中由余弦定理可得
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
cos
PF
PF
F F
PF F F
PF F
=
+
-
Ð
，
即
2
2
2
(4
2 )
(2 )
(4 )
2
2
4
cos60
c
a
c
c
c
c
-
=
+
-
´
´
´
°，整理得
2
2
4
0
c
ac
a
-
+
=
，
两边同除以
2
a 可得
2
4
1
0
e
e
-
+ =
，解得
2
3
e =
+
或
2
3
e =
-
（舍去）．
故选：C
考点5 指数对数幂函数
1. （2026·浙江宁波·二模）设
0,
0,lg 2
a
b
>
>
是lg4a 与lg2b 的等差中项，则2a
b
+
的值为（ ）
A．1
4
B．
1
2
C．1
D．2
【答案】C
【详解】因为
0,
0,lg 2
a
b
>
>
是lg4a 与lg2b 的等差中项，则2lg
2
lg 4
lg 2
a
b
=
+
,
即
2
lg 2
lg 2 a b
+
=
，所以2
1
a
b
+
=
2. （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）若
0.3
0.1
3
log 2,
3 ,
8
a
b
c
=
=
=
，则（ ）
A．c
b
a
>
>
B．b
c
a
>
>
C．b
a
c
>
>
D．c
a
b
>
>
【答案】B
【详解】因为
3
log
y
x
=
在
0, ¥
+
上单调递增，所以
3
3
log 2
log 3
1
<
= ，可得
1
a < ，
根据
0.1
0.1
3
0.3
8
2
2
c =
=
=
，且
0.3
y
x
=
在
0, ¥
+
上单调递增，可得
0.3
0.3
3
2
>
，即b
c
>
，
由
8x
y =
在R 上单调递增，可得
0.1
0
8
8
1
c =
>
= ，结合
1
a < ，可得b
c
a
>
>
.
3. （2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
16
log 9
a =
，
0.25
log
0.5
b =
，
cos75
c =
° ，则（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
a
c
>
>
C．c
b
a
>
>
D．c
a
b
>
>
【答案】A
【分析】由对数的运算性质、余弦函数性质结合中间值判断即可.
【详解】
0.25
1
4
4
1
1
log
0.5
log
log 2
2
2
b =
=
=
=
，
因为
16
16
1
log 9
log 4
cos60
cos75
2
a
b
c
=
>
=
=
=
° >
° =
，
所以a
b
c
>
>
.
4. （2026 高三上·山西临汾·专题练习）已知
sin120
a =
°，
2
log 0.3
b =
，
0.2
log
3
c =
，则, ,
a b c 的大小关系是
（ ）
A．a
b
c
<
<
B．c
a
b
<
<
C．c
b
a
<
<
D．b
c
a
<
<
【答案】D
【分析】根据特殊角的正弦值，判断参数范围，再根据对数函数性质，判断函数值大小，判断结果即可.
【详解】可知
3
sin120
2
a =
° =
，即
0
a >
，
2
2
1
log 0.3
log
1
2
b =
<
= - ，即
1
b < - ，
0.2
0.2
log
3
log
5
1
c =
>
= - ，且
0.2
0.2
log 3 log 1 0
c=
<
= ，即1
0
c
- <
<
，
所以
1
0
b
c
a
< - <
<
<
，即b
c
a
<
<
．
故选：D.
5. （2026·北京密云·一模）为了得到
4
4
1
x
x
y =
+ 的图象，只需把函数
2
2
1
x
x
y =
+ 的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的
1
2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的
1
2 倍（横坐标不变）
【答案】B
【详解】对于A，把函数
2
2
1
x
x
y =
+ 的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得
1
2
1
2
2
2
1
x
x
y =
+
，A 错误；
对于B，把函数
2
2
1
x
x
y =
+ 的图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2 倍（纵坐标不变），得
2
2
2
2
1
x
x
y =
+ ，B 正确；
对于C，把函数
2
2
1
x
x
y =
+ 的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得
2
2 2
1
x
x
y =
×
+ ，C 错
误；
对于D，把函数
2
2
1
x
x
y =
+ 的图象上所有点的纵坐标变为原来的
1
2 倍（横坐标不变），得
1
2
2 2
1
x
x
y =
×
+ ，D 错
误.
6. （2026·辽宁抚顺·一模）设函数
log
0
1
a
f x
x a
a
=
>
¹
且
，若
0.1
0.2
a
a
>
，则
3
2log 2
f
与0 的大小关系
为（ ）
A．
3
2log 2
0
f
<
B．
3
2log 2
0
f
=
C．
3
2log 2
0
f
>
D．无法确定
【答案】A
【详解】因为
0.1
0.2
a
a
>
，且0.1
0.2
<
，所以
(0,1)
aÎ
，
由对数函数性质得
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，
而
3
3
3
2log 2
log 4
log 3
1
0
f
f
f
f
=
<
=
=
，
则
3
2log 2
0
f
<
，故A 正确.
7. （2026·江苏·一模）已知正数a ，b 满足2
3
3
4
a
a
b
b
+
=
+
，则（ ）
A．
2
b
a
b
<
<
B．
2
a
b
a
<
<
C．2
3
b
a
b
<
<
D．2
3
a
b
a
<
<
【答案】A
【分析】根据b 为正数可得
2
2
3
2
2
3
3
2
b
b
a
a
b
b
+
+
<
+
<
，根据a 为正数及
2
3
x
x
s x =
+
为R 上的增函数可得
2
2
b
a
b
a
<
<
<
，从而可得正确的选项.
【详解】因为a 为正数，故
2
a
a
<
.
由题设有
2
2
3
3
4
3
2
a
a
b
b
b
b
=
+
=
+
+
，
而
0
b >
，故2b
b
>
，故
2
2
3
3 ,2
2
b
b
b
b ，
故2
3
3
2
a
a
b
b
+
+
>
，且
2
2
2
2
3
3
2
3
2
a
a
b
b
b
b
+
+
+
=
<
，
故
2
2
3
2
2
3
3
2
b
b
a
a
b
b
+
+
<
+
<
设
2
3
x
x
s x =
+
，因为
2 ,
3
x
x
y
y
=
=
均为R 上的增函数，
故
s x 为R 上的增函数，而
2
s b
s a
s
b
<
<
，故
2
2
b
a
b
a
<
<
<
，
故A 正确，BCD 错误.
8. （2026·广东广州·模拟预测）设甲：log 2
1
x
> ，乙：
2
log
1
x < ，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】甲：由
log 2
1,
0,1
1,
x
x
>
Î
+¥
U
，得
2
1
1
log x > ，即
2
0
log
1
x
<
< ，可得
1 2
x
,
Î
.
乙：由
2
log
1
x < 可得
0,2
xÎ
.
可得甲是乙的充分不必要条件．
9. （2026·云南·模拟预测）大气压强P （单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式
0 e kh
P
P
-
=
×
近似描述，其中
0P 为海平面标准大气压强，k 为常数．已知在某地区，海拔4000 米处的大气压强为60kPa，
海拔8000 米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为
（ ）（参考数据：lg2
0.3010
»
，lg3
0.4771
»
）
A．5400 米
B．6100 米
C．6800 米
D．7500 米
【答案】C
【分析】根据条件得到
4000
0
60
e k
P
-
=
g
g
，
8000
0
40
e k
P
-
=
g
g
，两式相比得到
4000k
2
e
3
-
=
，又由
·4000
0
60
·e k
P
-
=
和
0
45
e kh
P
-
=
g
，得到
(
4000)
3
e
4
k h
-
-
=
，从而得到
4000
0.1249
4000
0.1761
h -
-
= -
，即可求解.
【详解】根据题意，代入两组已知数据：对于海拔4000 米处：
4000
0
60
e k
P
-
=
g
g
①，
对于海拔8000 米处：
8000
0
40
e k
P
-
=
g
g
②，
将方程②除以方程①：
8000k
0
4000k
0
e
40
60
e
P
P
-
-
=
g
g
，即
4000k
2
e
3
-
=
③，
设气压为45kPa 时的海拔为h 米，则有：
0
45
e kh
P
-
=
g
④，
将方程④除以方程①：
0
4000
0
e
45
60
e
kh
k
P
P
-
-
=
g
g
，即
(
4000)
3
e
4
k h
-
-
=
，即
4000
4000
4000
3
(e
)
4
h
k
-
-
=
，
代入③式结果
4000
2
e
3
k
-
=
：
4000
4000
2
3
3
4
h-
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
对两边取常用对数：
4000
2
3
·lg
lg
4000
3
4
h -
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
4000
(lg2
lg3)
lg3
lg4
4000
h -
-
=
-
g
，
代入参考数据lg 2
0.3010
»
，lg3
0.4771
»
，lg4
2lg2
0.6020
=
»
可得
4000
(0.3010
0.4771)
4000
h -
-
=
g
0.4771
0.6020
-
，
4000
( 0.1761)
0.1249
4000
h -
-
= -
g
，
4000
0.1249
0.709
4000
0.1761
h -
-
=
»
-
，
4000
0.709
4000
2836
h -
»
´
»
，
4000
2836
6836
h »
+
=
米．
故选：C.
10. （2026·福建龙岩·一模）某云计算平台处理文件量N （单位：GB）的所需时间
3
log
T
k
N
=
（单位：
min ），其中k 为常数.已知处理文件量从9GB 增加到729GB 时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB
增加到6561GB 时，处理时间增加（ ）
A．3min
B．6min
C．9min
D．24min
【答案】B
【分析】由条件列方程求k ，再求对应条件下的时间增加量即可.
【详解】由题意可得
6
2
3
3
3
3
log 729
log 9
log 3
log 3
4
12
k
k
k
k
-
=
-
=
=
，解得
3
k =
，
所以当处理文件量从729GB 增加到6561GB 时，处理时间增加
8
6
3
3
3
3
3log 6561 3log 729
3 log 3
log 3
3 2
6min
-
=
-
= ´
=
.
考点6 函数的性质（基础）
1. （2026·山东聊城·一模）下列函数中，在区间(0,
)
+¥ 上单调递减的是（ ）
A．
1
2
y
x
=
B．
1
3
log
y
x
=
C．
2
3
x
y
æ
ö
= -ç
÷
è
ø
D．
1
y
x
x
=
-
【答案】D
【详解】对于A，函数
1
2
y
x
=
在(0,
)
+¥ 上单调递增；
对于B，函数
1
3
1
3
3
log
,0
1
log
log
,
1
x
x
y
x
x x
<
<
ìï
=
= í
ï
³
î
，
所以函数
1
3
log
y
x
=
在
0,1 上单调递减，在
1,+¥ 上单调递增；
对于C，因为函数
2
3
x
y
æ
ö
= ç
÷
è
ø
在(0,
)
+¥ 上单调递减，
所以函数
2
3
x
y
æ
ö
= -ç
÷
è
ø
在(0,
)
+¥ 上单调递增；
对于D，因为函数
1
y
x
=
和y
x
= - 在(0,
)
+¥ 上单调递减，
所以函数
1
y
x
x
=
-
在(0,
)
+¥ 上单调递减.
2. （2026·山西朔州·一模）函数
2
12
9
0,
1
x
x
x
f x
a
a
a
-
-
=
+
>
¹
是偶函数，则a =（ ）
A．4 108
B．4 12
C．6 3
D．2 3
【答案】A
【详解】因为函数
f x 是偶函数，所以
f x
f
x
=
-
，
所以
2
2
12
9
12
9
x
x
x
x
x
x
a
a
-
-
-
+
+
=
，所以
2
2
12
9
12
9
12
9
x
x
x
x
x
x
x
x a
a-
+
=
+
×
，
所以
4
12
9
108
x
x
x
x
a
=
×
=
，所以
4
108
x
x
a
=
，因为
R
xÎ
，
所以
4
108
a =
，解得
4 108
a =
.
3. （2026·山西晋中·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，若函数
g x
f x f
x
=
-
，则
g x 的解析
式不可能是（ ）
A．
2
1
g x
x
= -
B．
e
e
2
x
x
g x
-
=
+
+
C．
2
ln
1
g x
x
x
=
+ +
D．
cos
g x
x
=
【答案】C
【详解】
f x 的定义域为R ，则
g x
f x f
x
=
-
的定义域为R ，
g
x
f
x f x
g x
-
=
-
=
，故
g x 为偶函数；
选项A：
g x 的定义域为R ，是偶函数，
构造
1
f x
x
= +
，则
1
f
x
x
-
= -
，
2
1
1
1
f x f
x
x
x
x
g x
-
=
+
-
= -
=
，
满足条件，故A 可能；
选项B：
e
e
2
x
x
g x
-
=
+
+
的定义域为R ，是偶函数，
构造
2
2
e
e
x
x
f x
æ
ö
-ç
÷
è
ø
=
+
，则
2
2
2
e
e
e
2
e
x
x
x
x
f x f
x
æ
ö
-ç
÷
-
è
ø
æ
ö
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
+
+
ø
，
满足条件，故B 可能；
选项C：
2
ln
1
g x
x
x
=
+ +
的定义域为R ，
2
2
2
1
ln
1
ln
ln
1
1
g
x
x
x
x
x
g x
x
x
æ
ö
-
=
+ -
=
= -
+ +
= -
ç
÷
+ +
è
ø
，
故
g x 是奇函数，故C 不可能；
选项D：
cos
g x
x
=
是定义域为R 的偶函数，
构造
cos
sin
2
2
x
x
f x =
+
，则
cos
sin
2
2
x
x
f
x
-
=
-
，
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f x f
x
x
g x
æ
öæ
ö
-
=
+
-
=
-
=
=
ç
֍
÷
è
øè
ø
，
满足条件，故D 可能．
4. （2026·湖北黄冈·一模）已知
( )sin
y
f x
x
=
是定义在R 上的偶函数，且
(
2)
(
2)
0
f x
f x
+
+
-
=
，若
(1)
f
= 3，则
(2027)
f
= （ ）
A．0
B．1
C．3
D．
3
-
【答案】C
【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当sin
0
x ¹
时有
( )
(
)
f x
f
x
= -
-
，根据已知及周期性的定义可得
f x
的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可.
【详解】因为
( )sin
y
f x
x
=
是定义在R 上的偶函数，
所以
(
)sin
(
)sin
( )sin
f
x
x
f
x
x
f x
x
-
-
= -
-
=
，所以当sin
0
x ¹
时有
( )
(
)
f x
f
x
= -
-
，
由
(
2)
(
2)
0
f x
f x
+
+
-
=
，得
4
0
f x
f x
+
+
=
，所以
8
4
0
f x
f x
+
+
+
=
，
所以
8
f x
f x
=
+
，可得
f x 的周期是8
所以
2027
253 8
3
3
1
1
3
f
f
f
f
f
=
´ +
=
= -
-
=
=
.
5. （2026·河北保定·一模）已知函数
1
( )
2
1
x
f x
x
=
-
+
在区间[
, ]
k k
-
上的值域为[ , ]
m n ，则m
n
+
= （ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数
1
( )
( )
2
g x
f x
=
-
，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数
( )
f x 的图象关
于点
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，
1
( )
2
1
x
f x
x
=
-
+
，
,
x
k k
Î -
,
令函数
1
1
1
2
(2
1)
1
2
( )
( )
2
2
1
2
2(2
1)
2(2
1)
x
x
x
x
x
g x
f x
x
x
x
-
+
-
=
-
=
-
-
=
-
=
-
+
+
+
，
则
1
2
1
2
2
1
1
2
(
)
( )
0
2(2
1)
2(2
1)
2(2
1)
2(2
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
g
x
g x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
+
=
+
+
-
=
+
=
+
+
+
+
，
所以( )
g x 为奇函数，图象关于(0,0) 对称，故
( )
f x 的图象关于点
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，
因函数
( )
f x 在对称区间[
, ]
k k
-
上的值域为[ , ]
m n ，故
1
2
1
2
m
n
+
=
´
= ．
6. （2026·福建龙岩·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，且
1
f x
f x
+
= -
，则
（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的最小正周期是2
C．
f x 关于点
2,0 中心对称
D．
3
f x +
是奇函数
【答案】A
【详解】由
1
f x
f x
+
= -
，得
2
1
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数
0
f x =
满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B 错误；
由于周期为2，所以
2
f
x
f x
+
=
，
2
2
f
x
f
x
f
x
-
=
+ -
=
-
，
又
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，得
f x
f
x
=
-
，所以
f x 是偶函数，A 正确；
由
2
2
f
x
f
x
+
=
-
只能推出对称轴为
2
x =
，无中心对称的推导依据，C 错误；
令
3
g x
f x
=
+
，由
f x 是偶函数且
2
T =
，
得
3
3
1
g
x
f
x
f x
f x
-
=
- +
=
-
=
+
，又
3
1
g x
f x
f x
=
+
=
+
，
所以
g x
g
x
=
-
，所以
3
f x +
为偶函数，D 错误.
7. （2026·四川内江·二模）已知
1
2
2
x
x
f x
æ
ö
=
-ç
÷
è
ø
，则关于x 的不等式
2
1
0
f x
f
x
+
-
>
的解集为（ ）
A．
1,+¥
B．1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
C．
1
,
1,
3
æ
ö
-¥
È
+¥
ç
÷
è
ø
D．
, 1
1,
-¥ -
È
+¥
【答案】B
【详解】因为
1
2 ,
2
x
x
y
y
æ
ö
=
= -ç
÷
è
ø
在R 上单调递增，所以
1
2
2
x
x
f x
æ
ö
=
-ç
÷
è
ø
在R 上单调递增，
因为
2
2
x
x
f
x
f x
-
-
=
-
= -
，所以
f x 是奇函数，
则
2
1
0
f x
f
x
+
-
>
等价于
2
1
1 2
f x
f
x
f
x
> -
-
=
-
，
则
1
2
x
x
> -
，得
1
3
x >
，
故关于x 的不等式
2
1
0
f x
f
x
+
-
>
的解集为1 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø.
8. （2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
2
2 ,
1,
1 ,
1
a x
a x
f x
x
x
x
ì
-
+
<
ï
= í -
³
ïî
的值域为R ，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
,2
-¥
B．
2,2
-
C．
1,1
-
D．
2,
-
+¥
【答案】B
【详解】因为y
x
=
在
1,+¥ 上单调递增，
1
y
x
= -
在
1,+¥ 上单调递增，
所以当
1
x ³ 时，
1
f x
x
x
=
-
单调递增，则
1
0
f x
f
³
=
.又函数
f x 的值域为R ，
所以当
1
x < ，函数
2
2
y
a x
a
=
-
+
的值要取到
,0
¥
-
内的所有实数，所以2
0
a
-
>
.
当2
0
a
-
>
，即
2
a <
时，函数
2
2
y
a x
a
=
-
+
在
,1
¥
-
上单调递增，x ® -¥ 时，y ® -¥ ，
当x 趋近于1 时，
2
2
2
0
y
a
a
a
=
-
+
=
+
³
，即
2
a ³ - ，所以2
2
a
- £
<
，即实数a 的取值范围是
2,2
-
.
9. （2026·河北邯郸·一模）若定义在R 上的偶函数
f x 满足
2
0
f x
f
x
+
-
=
，且当0
1
x
£
£ 时，
1
2
2x
f x
x
-
=
-
，则
2026
f
= （ ）
A．
1
2
B．0
C．
1
2
-
D．2
-
【答案】C
【详解】因为
f x 是偶函数，所以
f
x
f x
-
=
，
由
2
0
f x
f
x
+
-
=
，得
2
2
f x
f
x
f x
= -
-
= -
-
，
所以
2
4
f x
f x
-
= -
-
，得
4
f x
f x
=
-
，
所以
f x 是以4 为周期的函数，
所以
1
1
2026
4 506
2
2
0
2
0
2
f
f
f
f
-
=
´
+
=
= -
= -
-
= -
．
10. （2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数
f x 在定义域R 上单调递增，
2
g x
xf x
x
=
+
，则使得不等式
1
2
3
0
g
t
g
t
-
-
+
<
成立的实数t 的取值范围为（ ）
A．
2
, 4
,
3
¥
¥
æ
ö
-
-
È -
+
ç
÷
è
ø
B．
2
, 2
,
3
¥
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
C．
2
4,
3
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
D．
2
2, 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】由
2
2
g
x
x f
x
x
xf x
x
g x
-
= -
-
+ -
=
+
=
，
可知函数
g x 为R 上的偶函数，
0
0
g
=
．
因为
f x 在R 上单调递增，
0
x >
时，
0
0
f x
f
>
=
，
所以
g x 在
0, ¥
+
上单调递增，在
,0
¥
-
上单调递减．
不等式
1
2
3
0
g
t
g
t
-
-
+
<
可化为
2
3
1
g
t
g t
+
>
-
，
所以2
3
1
t
t
+
>
- ，解得
2
3
t > -
或
4
t < - ．
考点7 导数（基础）
1. （2026·辽宁辽阳·一模）曲线
3
2
x
y
x
=
+
在点
1, 1
- -
处的切线方程为（ ）
A．4
5
0
x
y
+
+
=
B．4
3
0
x
y
-
+
=
C．8
9
0
x
y
+
+
=
D．8
7
0
x
y
-
+
=
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程.
【详解】由
3
2
x
y
x
=
+
得
2
3
3
2
2
2
3
2
2
6
2
2
x
x
x
x
x
y
x
x
+
-
+
=
=
+
+
¢
，
所以
3
2
1
2
2
1
6
1
|
4
1
2
x
y
=-
´ -
+ ´ -
=
=
- +
¢
，即所求切线的斜率为4，
由点斜式可得所求切线方程为
1
4
1
y
x
é
ù
- -
=
- -
ë
û ，即4
3
0
x
y
-
+
=
.
故选：B.
2. （2026·重庆·模拟预测）已知函数
2
2
1
f x
x
ax
=
+
- 与
ex
g x
b
=
+
的图象在
0
x =
处的切线重合，则
a
b
+
= （ ）
A．e 1
-
B．e
1
+
C．5
2
D．
3
2
-
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可.
【详解】
2
2
f
x
x
a
=
+
¢
，
ex
g
x
¢
=
.
由题意知
0
0
0
0
f
g
f
g
ì
=
ïí
=
ï
¢
î
¢
，即
0
2
0
2 0
2
e
0
2
0 1
e
a
a
b
ì ´ +
=
í
+
´ - =
+
î
，解得
1
2
2
a
b
ì =
ïí
ï = -
î
.
所以
1
3
2
2
2
a
b
+
=
+ -
= -
.
3. （2026·河北邯郸·一模）“曲线
2
ln
x
y
a x
a
=
-
在
1
x = 处的切线的倾斜角为π
4 ”是“
2
a =
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
2
ln
x
y
a x
a
=
-
，得
2
a
y
x
a
¢ =
-
．
由曲线
2
ln
x
y
a x
a
=
-
在
1
x = 处的切线的倾斜角为π
4 ，
可得
2
1
a
a
-
= ，解得
2
a =
或
1
a = - ．
故“曲线
2
ln
x
y
a x
a
=
-
在
1
x = 处的切线的倾斜角为π
4 ”是“
2
a =
”的必要不充分条件．
4. （25-26 高三下·河南·开学考试）若函数
2
1
f x
x
x
=
+
的图象在点
1,2 处的切线也是函数
ex
g x
m
=
+
的
图象的切线，则实数m = （ ）
A．2
-
B．1
-
C．0
D．1
【答案】C
【分析】对
f x 求导，即可求解
f x 的图象在点
1,2 处的切线方程，进而对
g x 求导，即可得解.
【详解】由题意得
2
1
2
f
x
x
x
=
-
¢
，则
1
1
f ¢
= ，所以
f x 的图象在点
1,2 处的切线方程为
2
1
y
x
-
=
- ，
即
1
y
x
=
+ ．
设直线
1
y
x
=
+ 与
g x 的图象相切于点
0
0
,
x
y
，
又
0
0
e ,
ex
x
g
x
g
x
¢
¢
=
=
，则
0
e
1
x = ，解得
0
0
x =
，
所以
0
0
0
1
ex
y
x
m
=
+ =
+
，即1
1
m
= +
，则
0
m =
．
故选：C．
5. （25-26 高三上·山东青岛·期末）不等式
2e
1 e
x
x
ax
a
ax
a
+
+
³
+
+
对任意
0,
xÎ
+¥ 恒成立，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
,1
-¥
B．
,0
-¥
C．
0,1
D．
1,+¥
【答案】A
【分析】原式因式分解，原问题等价于
e
1
0
x
a x
-
+
³
对任意
0,
xÎ
+¥ 恒成立，分离变量，求导可得答
案.
【详解】不等式
2e
1 e
x
x
ax
a
ax
a
+
+
³
+
+
，
可化为
e
1
e
1
0
x
x
a x
é
ù
-
-
+
³
ë
û
，
当
[0,
)
x Î
+¥ ，有 e
1
0
x - ³
，
因此原不等式恒成立等价于
e
1
0
x
a x
-
+
³
对任意
0,
xÎ
+¥ 恒成立，
因为
1
0
x + >
，所以
e
1
x
a
x
£
+
对任意
0,
xÎ
+¥ 恒成立，
设
e
,
0
1
x
g x
x
x
=
³
+
，则需
min
a
g x
£
.
2
2
1
0
(
1)
(
1)
x
x
x
e
x
e
e
x
g
x
x
x
¢
+
-
×
=
=
³
+
+
，
故
g x 在
0, ¥
+
上单调递增，
min
0
1
g x
g
=
= ，
因此，
1
a £ .
故选：A
6. （2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
( )
e
ln
x
f x
a
x
-
=
+
在区间1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，则实数a
的最小值为（ ）
A．
2e
B．
2e
2
C．2 e
D．e
【答案】B
【分析】由
f x 在区间1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，得
( )
0
f
x
¢
£
在1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恒成立，进而得
e
1
,
,2
2
x
a
x
x
æ
ö
³
Îç
÷
è
ø
，令
e
( ) =
x
g x
x ，利用导数研究单调性求出
g x 最大值即可求解.
【详解】由已知得
1
( )
e x
f
x
a
x
-
¢
= -
+
，因为
( )
f x 在区间1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
所以
( )
0
f
x
¢
£
在1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恒成立，即
1
e
0
x
a
x
-
-
+
£
，得
e
1
,
,2
2
x
a
x
x
æ
ö
³
Îç
÷
è
ø
，
令
e
( ) =
x
g x
x ，则
2
(
1)e
( )
x
x
g x
x
¢
-
=
，令
( )
0
g x
¢
= ，得
1
x = ，
当
1 ,1
2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø时，
( )
0
g x
¢
<
，( )
g x 单调递减，当
(1,2)
xÎ
时，
( )
0, ( )
g x
g x
>
¢
单调递增，
又
2
1
e
2 e
(2)
2
2
g
g
æ
ö =
<
=
ç
÷
è
ø
，所以a 的最小值为
2e
2
．
7. （2026·湖南常德·一模）已知实数
0
b >
，若对任意的xÎR ，
2
2
0
x
ax
b
-
+
-
³
恒成立，则ab 的最大值为
（ ）
A．4 6
9
B．8 6
9
C．10 6
9
D．4 6
3
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出,a b 关系，然后再利用导数即可求解.
【详解】由题意可知
2
Δ
4 2
0
a
b
=
-
-
£
整理得
2
2
4
a
b £
-
，
又因为
0
b >
，所以ab 要想最大，则有
0
a >
，并且
2
2
0
4
a
-
>
，即
2 2
a <
，所以
3
2
4
a
ab
a
£
-
，
设函数
3
2
,0
2 2
4
a
f a
a
a
=
-
<
<
，令
2
3
2
0
4
a
f
a =
-
=
¢
，解得
2 6
3
a =
或
2 6
3
-
（舍去）.
当
2 6
0
3
a
<
<
时，
0
f
a
¢
>
， 当
2 6
3
a >
时，
0
f
a
¢
<
，
所以
f a 在
2 6
0,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，在2 6 ,2 2
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
所以
3
max
2 6
3
2 6
2 6
8 6
2
3
3
4
9
f a
f
æ
ö
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
=
´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，所以ab 的最大值为8 6
9
.
故选：B
8. （25-26 高三下·安徽·开学考试）若函数
e
sin
ax
f x
x
=
-
在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内不单调，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
1,0
-
B．
0,1
C．
1
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】B
【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可.
【详解】设
e
cos
ax
g x
f
x
a
x
¢
=
=
-
，
2e
sin
ax
g
x
a
x
¢
=
+
当
π
0
2
x
<
<
时，
0
g
x
¢
>
，所以
g x 在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，
所以由
f x 在
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 内不单调得
0
0
0
π
π
0
2
2
g
f
g
f
ì
=
<
ïí æ
ö
æ
ö
=
>
ç
÷
ç
÷
ï è
ø
è
ø
¢
î
¢
，
即
π
2
1
0
e
0
a
a
a
- <
ìïí
ï
>
î
，解得0
1
a
<
< ．
故选：B
9. （2026·安徽安庆·一模）已知
0
a >
，若函数
( )
(
) 3ln(3 ) 1
a
f x
x
a
x
x
é
ù
=
-
+ -
ê
ú
ë
û 恰有1 个零点，则a =（ ）
A．e
B．1
3
C．1
D．3
【答案】B
【详解】由
( )
(
) 3ln(3 ) 1
a
f x
x
a
x
x
é
ù
=
-
+ -
ê
ú
ë
û ，可得x
a
=
恒为
( )
f x 的一个零点，
令( )
3ln(3 ) 1
a
g x
x
x
=
+ -
，则
( )
f x 恰有1 个零点，
等价于
g x 的唯一零点是x
a
=
，或
g x 无零点.
因为
2
2
3
3
( )
a
x
a
g x
x
x
x
+
¢
=
+
=
，且
0,
0
a
x
>
>
，
所以
( )
0
g x
¢
> 恒成立，( )
g x 在(0,
)
+¥ 上单调递增.
又
0
x
+
®
时( )
g x ® -¥ ，x ® +¥ 时( )
g x ® +¥ ，因此( )
g x 必然存在唯一零点.
当( )
g x 的零点是x
a
=
时，可得( )
3ln(3 ) 1
3ln(3 )
0
a
g a
a
a
a
=
+ -
=
=
即ln(3 )
0
a =
，解得3
1
a = ，
1
3
a =
.
10. （2026·湖南长沙·模拟预测）若关于x 的方程
e
ln
1
ln
x
a
x
a a
a
=
-
+
-
在
1, ¥
+
上有解，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．0,2]
（
B．[2, ¥
+ ）
C．
2
0,e ùû
D．
2e , ¥
é
+
ë
【答案】D
【详解】由
e
ln
1
ln
x
a
x
a a
a
=
-
+
-
，得
e
ln
ln
1
1
x
a
x
a -
=
-
- ，即
ln
e
ln
ln
1
1
x
a
a
x
-
-
=
-
- ，即
ln
1
ln
e
ln
e
ln
1
x
x
a
x
a
x
-
-
+
-
=
+
-
．
设
et
f t
t
=
+ ，则
ln
ln
1
f x
a
f
x
-
=
-
，因为
e
1
t
f
t =
+ >
¢
0，所以
f t 在R 上单调递增，所以
ln
ln
1
x
a
x
-
=
-
，即
ln
ln
1
a
x
x
=
-
-
．
设
ln
1
g x
x
x
=
-
-
，则
1
g
x
¢
= -
1
2
1
1
x
x
x
-
=
-
-
，
当
1,2
xÎ
时，
0
g
x
¢
<
，则
g x 在
1,2 上单调递减，
当
2,
x
¥
Î
+
时，
0
g
x
¢
>
，则
g x 在
2, ¥
+
上单调递增，
所以
2
2
g x
g
³
=
，所以
2
ln
2
e
a
a
³
³
，
．
1．（2026·广东广州·一模）已知函数
3
log
1 ,
1
3 ,
1
x
x
x
f x
x
ì
-
>
= í
£
î
，则
3
log 2
f
f
=（ ）
A．1
-
B．0
C．
3
log 2
D．2
【答案】B
【详解】因为
3
0
log 2<1
<
，所以
3
log 2
3
(log 2)=3
2
f
=
，所以
3
3
3
log 2
(2)
log (2 1)
log 1
0
f
f
f
=
=
-
=
=
.
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知
( )
f x 是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2
3
x
£
£
时，
( )
5
2
f x
x
=
-
，则
3
4
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
1
2
-
B．
1
4
-
C．1
4
D．
1
2
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解.
【详解】由题知
( )
(
),
(
2)
( )
f x
f
x
f x
f x
=
-
+
=
对一切xÎR 成立，
于是
3
3
11
11
1
(
)
( )
(
)
5
2
4
4
4
4
2
f
f
f
-
=
=
=
- ´
= -
.
故选：A
3．（2026·吉林白城·一模）已知双曲线
2
2
:
1(
0)
1
x
y
C
a
a
a
-
=
>
+
的一条渐近线方程为
3
y
x
= -
，则a =（ ）
A．8
B．3
2
C．2
3
D．1
8
【答案】D
【详解】因为
0
a >
，所以该双曲线的焦点在x 轴上，由渐近线方程为
3
y
x
= -
得
1
9
a
a
+
=
，解得
1
8
a =
4．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：cm）与时间t （单位：s）之间的
关系为
π
10sin 2
y
t
=
，则当位移
6cm
y =
时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）cm / s .
A．4p
B．5p
C．6p
D．8p
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案.
【详解】由题可得瞬时速度
π
5
2
y
cos
t
n
p
=
¢
=
,
当位移
6cm
y =
时，可得
π
6
10sin 2 t
=
，解得：
π
3
sin 2
5
t =
,所以
π
4
cos 2
5
t = ±
,
所以
4
5π
4
/ s
5
cm
n
p
æ
ö
=
´ ±
= ±
ç
÷
è
ø
,
则当位移
6cm
y =
时，弹簧振子的瞬时速度大小为4
/ s
cm
p
，
故选：A
5．（2026·陕西咸阳·二模）若0
π
a
<
<
，
2
sin
sin
3
2
a
a =
，则cosa = （ ）
A．
7
9
-
B．
1
3
-
C．7
9
D．1
3
【答案】A
【详解】因为0
π
a
<
<
，所以
π
0
2
2
a
<
<
，
由
2
sin
2sin
cos
sin
2
2
3
2
a
a
a
a =
=
得
1
cos 2
3
a =
，
所以
2
7
cos
2cos
1
2
9
a
a =
- = -
．
6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半
球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与
容器高度的比值为（ ）
A．5
9
B．11
18
C．11
15
D．22
27
【答案】B
【分析】利用圆柱和球的体积公式，根据水的体积不变可得答案.
【详解】设圆柱部分的高度为h，底面半径为r，因为轴截面是正方形，所以
2
h
r
=
.
容器总高度
3
H
h
r
r
=
+
=
.
圆柱体积
2
3
1
π
2π
V
r h
r
=
=
，半球体积
3
2
2 π
3
V
r
=
.
水的高度是容器高度的一半，即
3π
2
2
H =
，水的体积为
2
3
3
3
3
π
π
2
2
r
V
r
r
=
×
=
.
容器倒置后水先填满半球（体积
3
2
2 π
3
V
r
=
），剩余体积为
3
3
3
3
2
5
π
π
π
2
3
6
r
r
r
-
=
，
剩余体积在圆柱中的高度为
3
0
2
5 π
5
6
π
6
r
h
r
r
=
=
，倒置后水的总高度为
5
11
6
6
r
r
r +
=
，
水的高度与容器高度的比值为
11
11
6
3
18
r
r =
.
故选：B
7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知△ABC 内角A，B，C 满足sin
6cos
cos
A
B
C
= -
，cos
3sin
sin
A
B
C
=
，
则tan A = （ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】
cos
3sin
sin
cos π
3sin
sin
cos
3sin
sin
A
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
=
Þ
-
-
=
Þ -
+
=
cos
cos
sin
sin
3sin
sin
cos
cos
2sin
sin
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
Þ -
+
=
Þ -
=
1
tan
tan
2
B
C
Þ
= -
，
所以
sin
6cos
cos
2
2
tan
4
1
cos
3sin
sin
tan
tan
2
A
B
C
A
A
B
C
B
C
-
=
=
= -
= -
=
-
.
故选：A
8．（2026·广东佛山·二模）已知函数
,
0
( )
,
0
e
e
x
x
x
f x
x
-
ì
³
= í
<
î
，则不等式
3
(2
)
[ ( )]
f
x
f x
-
<
的解集为（ ）
A．(
,1)
-¥
B．(1,
)
+ ¥
C．
1
(
,1)
2
-
D．
1
( 1,
)
2
-
【答案】D
【分析】利用奇偶函数的定义确定函数
( )
f x 的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解.
【详解】当
0
x >
时，
0
x
- <
，
(
)
e
( )
x
f
x
f x
-
-
=
=
；当
0
x <
时，
0
x
- >
，
(
)
( )
ex
f
x
f x
-
=
=
；
0
1
f
= ，则当
R
xÎ
时，
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，即函数
( )
f x 是R 上的偶函数，
不等式
3
3
|2
|
3| |
(2
)
[ ( )]
(| 2
|)
[ (|
|)]
e
e
| 2
| 3|
|
x
x
f
x
f x
f
x
f
x
x
x
- -
-
-
<
Û
-
<
Û
<
Û
-
>
，
整理得
2
2
1
0
x
x
+
- <
，解得
1
1
2
x
- <
<
，所以原不等式的解集为
1
( 1,
)
2
-
.
9．（2026·福建泉州·一模）已知函数
f x 的部分图象如图，则
f x 的解析式可能是（ ）
A．
2
1
x
f x
x
=
+
B．
2
4
1
x
f x
x
=
+
C．
π
sin 2
f x
x
=
D．
ln
1
f x
x
x
=
+
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数
f x 为奇函数，且当x ® +¥ 时，
0
f x >
且
0
f x ®
，结合选项，逐项分析
判断，即可求解.
【详解】由函数
f x 的图像，可得函数
f x 的定义域为R ，
且其图像关于原点对称，即函数
f x 为奇函数，
且当x ® +¥ 时，
0
f x >
且
0
f x ®
，
对于A，函数
2
1
x
f x
x
=
+ 的定义域为R ，且
2
2
(
)
1
1
x
x
f
x
f x
x
x
-
-
=
= -
= -
-
+
+
，
所以函数
f x 为奇函数，且当x ® +¥ 时，
0
f x >
且
0
f x ®
，所以A 符合题意；
对于B，函数
2
4
1
x
f x
x
=
+ 的定义域为R ，且
2
2
4
4
(
)
(
)
1
1
x
x
f
x
f x
x
x
-
-
=
=
=
-
+
+
，
所以函数
f x 为偶函数，所以B 不符合题意；
对于C，函数
π
sin 2
f x
x
=
为最小周期为4 的周期函数，所以C 不符合题意；
对于D，函数
ln
1
f x
x
x
=
+
的定义域为R ，
且满足
ln
1
ln
1
f
x
x
x
x
x
f x
-
= -
-
+
= -
+
= -
，所以函数
f x 为奇函数，
当x ® +¥ 时，
0
f x >
且
f x
¥
® +
，所以D 不符合题意.
10．（2026·江苏南通·一模）设函数
3
4
2
x
f x =
+
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
3
2
f x -
B．
3
2
f x +
C．
1
3
2
4
f
x
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
D．
1
3
2
4
f
x
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
【答案】C
【分析】根据选项构造函数
g x ，利用
0
g
判断A、B、D，根据奇函数的定义判断C.
【详解】对于A：令
3
2
g x
f x
=
-
，则
g x 定义域为R ，因为
3
3
1
0
0
1
0
2
2
2
g
f
=
-
= -
= -
¹
，
所以
g x 不是奇函数，A 错误；
对于B：令
3
2
g x
f x
=
+
，则
g x 定义域为R ，因为
3
3
5
0
0
1
0
2
2
2
g
f
=
+
= +
=
¹
，
所以
g x 不是奇函数，B 错误；
对于C：令
1
3
2
4
g x
f
x
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，则
g x 定义域为R ，
因为
1
3
1
3
3
3
3
3
2
2
4
2
4
4
2·4
2
4
2
4
x
x
g
x
g x
f
x
f
x
æ
ö
ç
÷
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
=
- +
-
+
+
-
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
+
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ç
÷
+
è
ø
3 1
4
3
3·4
3
3
3
3
0
2·4
2
2
2
2
2
2 4
1
x
x
x
x
+
+
=
-
=
-
=
-
=
+
+
，即
g
x
g x
-
= -
所以
g x 是奇函数，C 正确；
对于D：令
1
3
2
4
g x
f
x
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
，则
g x 定义域为R ，
因为
1
3
3
3
6
3
0
0
1
2
4
4
5
4
2
2
g
f æ
ö
=
-
+
=
+
=
+
¹
ç
÷
è
ø
+
，所以
g x 不是奇函数，D 错误；
故选：C.
11．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，
(
1)
f x +
为偶函数，且当
[0,1]
xÎ
时，
( )
2
1
x
f x =
- ，则
2
(log 24)
f
=（ ）
A．
1
2
B．
1
2
-
C．1
3
D．
1
3
-
【答案】A
【分析】由题意得出函数周期为4，根据
[0,1]
xÎ
的解析式，结合对数恒等式即可求解．
【详解】因为
(
1)
f x +
为偶函数，所以
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
=
- +
，所以
(
2)
(
)
f x
f
x
+
=
-
，
又
( )
f x 是奇函数，则
(
2)
(
)
( )
f x
f
x
f x
+
=
-
= -
，所以
(
4)
( )
f x
f x
+
=
.
所以
( )
f x 是周期为4 的周期函数，又因为
2
2
2
log 24
log 16,log 32
4,5
Î
=
所以
2
3
log 2
2
2
2
3
3
1
(log 24)
(log 24
4)
(log
)
2
1
1
2
2
2
f
f
f
=
-
=
=
- =
- =
.
故选：A.
12．（2026·河南南阳·模拟预测）已知定义域为R 的函数
f x 的图象关于原点对称，若
1
1
f x
f
x
+
=
-
，
1
3
f
= ，则
2025
1
i
f i
=
=
å
（ ）
A．3
B．0
C．3
-
D．6
【答案】A
【分析】根据题意推得函数
f x 是以4 为周期的周期函数，再结合函数周期性求解即可.
【详解】因为定义域为R 的函数
f x 的图象关于原点对称，
所以
f
x
f x
-
= -
，
0
0
f
=
因为
1
1
f x
f
x
+
=
-
，即
2
f x
f
x
+
=
-
所以
2
f x
f x
+
= -
，
所以
4
f x
f x
+
=
，即函数
f x 是以4 为周期的周期函数，
因为
1
3
f
=
，
2
0
0
f
f
= -
=
，
3
1
3
f
f
= -
= - ，
4
0
0
f
f
=
=
所以
1
2
3
4
0
f
f
f
f
+
+
+
=
，
所以
2025
1
506
1
2
3
4
1
3
i
f i
f
f
f
f
f
=
é
ù
=
´
+
+
+
+
=
ë
û
å
故选：A
13．（2026·山东·模拟预测）当
1
0
3
x
<
£
时，满足8
log
(
0,
1)
x
ax a
a
<
>
¹
，则a 的取值范围是（ ）
A．
3
0, 3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．
3 ,1
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．
1, 3
D．
3,3
【答案】B
【分析】先由指数函数的单调性确定1
8
2
x
<
£
，再结合对数函数的图象和性质分两类讨论可得.
【详解】因为
1
0
3
x
<
£
，函数
8x
y =
在
1
(0, ]
3 单调递增，所以
1
3
1
8
8
2
x
<
£
=
.
当
1
a > 时，因为
1
0
3
x
<
£
，所以
log
0
a
y
x
=
<
，故不等式不成立；
当0
1
a
<
< 时，函数
loga
y
x
=
在
1
(0, ]
3 单调递减，要使不等式成立，只需
2
1
log
2
log
3
a
a a
>
=
，
得
2
1
3
a >
，解得
3
3
a >
（
3
3
a < -
舍去），又因为0
1
a
<
< ，所以
3
1
3
a
<
< .
故选：B
14．（25-26 高三上·江苏扬州·期末）已知双曲线的左、右焦点为
1
2
,
F F ，P 为双曲线的右支上一点，直线
1
PF
与左支交于点A ，且
2
AP
AF
=
，
1
2
F PF
Ð
的平分线与x 轴交于点B ，
2
2
1
2
5
F B
F F
=
uuur
uuuur
，则双曲线C 的离心率为
（ ）.
A．2
B．
3
C．
5
D．
7
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用角平分线性质及双曲线定义，结合余弦定理建立方程求出离心率.
【详解】由
1
2
F PF
Ð
的平分线与x 轴交于点B 且
2
2
1
2
5
F B
F F
=
uuur
uuuur
可得
1
1
2
2
3
2
PF
F B
PF
BF
=
=
，
因为双曲线中
1
2
2
PF
PF
a
-
=
，解得
1
6
PF
a
=
，
2
4
PF
a
=
，
又因为
2
AP
AF
=
，所以
2
1
1
2
AF
AF
PA
AF
a
-
=
-
=
，
结合
1
6
PA
AF
a
+
=
解得
4
PA
a
=
，
1
2
AF
a
=
，
所以
2
2
4
PA
AF
PF
a
=
=
=
，即
2
PAF
△
是等边三角形，
2
60
APF
Ð
=
°，
所以
1
2
PFF
V
中由余弦定理可得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
2
2
PF
PF
F F
F PF
PF PF
+
-
Ð
=
=
，
即
2
2
2
2
36
16
4
1
48
2
a
a
c
a
+
-
=
，解得
2
2
7
c
a =
，
所以双曲线C 的离心率
7
c
e
a
=
=
，
故选：D
15．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线C：
2
2
1
3
y
x -
= 的右焦点为F，过点F 作C 的一条渐近线的平行线
l，若l 交C 的另一条渐近线于点A，则
OAF
△
（O 为坐标原点）的面积为（ ）
A．
3
2
B．1
C．
3
D．2
【答案】C
【分析】先求渐近线与直线l 方程，再求交点A 坐标，最后求出三角形面积即可
【详解】已知双曲线
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，得
2
2
1,
3
a
b
=
= ，因此
2
2
2
4
c
a
b
=
+
=
，即
2
c =
.
右焦点F 坐标为(2,0) ，原点
(0,0)
O
.
双曲线渐近线方程为
3
y
x
= ±
，不妨取平行于
3
y
x
=
的直线l ，斜率为3 ，
得l 的方程：
3(
2)
y
x
=
-
.
直线l 交另一条渐近线
3
y
x
= -
，联立方程： 𝑦=
3(𝑥−2)
𝑦= −3𝑥 解得
1,
3
x
y
=
= -
，即
(1,
3)
A
-
.
底|
| 2
OF =
（OF 在x 轴上），高为A 点纵坐标的绝对值|
|
3
A
y
=
，
因此面积：
1
1
|
|
|
|
2
3
3
2
2
OAF
A
S
OF
y
=
´
´
=
´ ´
=
V
.
16．（2026·甘肃·一模）过抛物线
2
4
y
x
=
的焦点作两条互相垂直的弦
,
AB CD ，则AB
CD
+
的最小值为
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
【答案】B
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，设出直线AB 的方程为
1
y
k x
=
-
，与抛物线方程联立，利用根与
系数的关系及弦长公式求得
2
4
4
AB
k
=
+
，
2
4
4
CD
k
=
+
，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】由抛物线
2
4
y
x
=
，焦点坐标为
1,0 ，
由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为0，
不妨设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为
1
k
-
，
设
1
1
2
2
3
3
4
4
,
,
,
,
,
,
,
A x
y
B x
y
C x
y
D x
y
，
因为弦过抛物线焦点，所以设直线AB 的方程为
1
y
k x
=
-
，
联立方程：
2
4
1
y
x
y
k x
ì
=
ïí
=
-
ïî
，消去y 得：
2
2
2
2
2
4
0
k x
k
x
k
-
+
+
=
，
则
2
2
2
2
2
2
4
4
16
16
0
k
k
k
k
D =
+
-
×
=
+
>
，
且
1
2
2
2
2
2
2
4
4
k
x
k
x
k
+
+
=
=
+
，故
1
2
2
4
2
4
AB
x
x
k
=
+
+
=
+
，
将AB 中的k 换为
1
k
-
，得
2
4
4
CD
k
=
+
，
所以可得
2
2
2
2
4
4
4
8
2 4
8
16
AB
CD
k
k
k
k
+
=
+
+
³
×
+
=
，
当且仅当
1
k = ± 时，“ = ”成立，
则AB
CD
+
的最小值为16.
17．（2026·山东东营·一模）如图所示，四边形ABCD 为正方形，将△ACD 绕AC 旋转π
4 得到三棱锥
D
ABC
-
，且三棱锥D—ABC 的体积为 2
3 ， 则三棱锥D-ABC 外接球的半径R 为（ ）
A．1
B．2
C．2
D．
3
【答案】C
【分析】正方形ABCD 的边长为a，由题意，求出各个长度，代入体积公式，可求得a 值，分析可得AC 中
点O 为外接球球心，即可求得答案.
【详解】设正方形ABCD 的边长为a，则
2
AC
a
=
，
取AC 中点O，连接
,
BO DO ，则
2
2
BO
DO
a
=
=
，
因为将ACD
V
围绕AC 旋转π
4 得到三棱锥D
ABC
-
，
所以D 到平面ABC 的距离
π
1
sin 4
2
h
DO
a
=
×
=
，
则三棱锥D
ABC
-
的体积
3
1
1
1
1
2
3
3
2
2
12
3
ABC
a
V
S
h
a
a
a
=
´
´
=
´
´ ´ ´
=
=
V
，
解得
2
a =
，
因为
ABC
V
与
ADC
△
均为直角三角形，且AC 为斜边，O 为AC 中点，
所以O 为三棱锥D
ABC
-
外接球的球心，
所以三棱锥D
ABC
-
外接球的半径
2
2
2
R
OA
OB
OC
OD
a
=
=
=
=
=
=
.
18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表
面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（ ）
A．
5
5
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
【答案】A
【分析】先设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，再求出圆柱及球的表面积构造h
t
r = 即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则
2
2
2
R
r
h
=
+
．
2
2
2
2
2
2
2
2π
4π
2
2
1
4π
2
2
2
2
S
r
rh
r
rh
r
rh
S
R
R
r
h
+
+
+
=
=
=
=
+
圆柱
球
，
分子分母同除以
2r ，然后设h
t
r = ，即
2
1
2
1
2
2
2
t
t
+
=
+
，解得
2
t =
（
0
t =
舍去），
即
2
2
2 ,
5
h
r R
r
h
r
=
=
+
=
，
所以
5
5
r
R =
．
19．（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
的高为
1
1
3
3
3 3
=
=
AB
A B
，
，则该棱台的侧面积为
（ ）
A．24 3
B．12 3
C．18
D．4 3
【答案】B
【分析】构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积.
【详解】由题意，设上下底面中心分别为
1,
O O ，则
1
3
O O =
，
分别取
1
1,
A B AB 中点
,
D E ，则DE 为梯形
1
1
ABB A 的高，
由
1
1
3
3 3
AB
A B
=
=
可得
1
1
2
O D =
，
3
2
OE =
，
作DF
OE
^
，垂足为F ，
则
1
1
EF
OE
O D
=
-
= ，
1
3
DF
O O
=
=
，
则
2
2
2
DE
DF
EF
=
+
=
，
则
1
1
1
=3
·
12 3
2
S
AB
A B
DE
´
+
=
侧
.
故选：B.
20．（2026·辽宁辽阳·一模）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
cos
cos
2 cos
b
C
c
B
a
B
+
=
，
ABC
V
的面积为3 3
4
，则
2
2
a
c
+
的最小值为（ ）
A．3
B．3 3
C．6
D．6 3
【答案】C
【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得
π
3
B =
，再结合
ABC
V
的面积为3 3
4
可得
3
ac =
，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】由cos
cos
2 cos
b
C
c
B
a
B
+
=
，
根据正弦定理得，sin
cos
sin
cos
2sin
cos
B
C
C
B
A
B
+
=
，
则
sin
sin
2sin
cos
B
C
A
A
B
+
=
=
，
在
ABC
V
中，sin
0
A >
，则1
2cos B
=
，即
1
cos
2
B =
，
又0
π
B
<
<
，则
π
3
B =
，
又
1
3
3 3
sin
2
4
4
ABC
S
ac
B
ac
=
=
=
V
，则
3
ac =
，
所以
2
2
2
6
a
c
ac
+
³
=
，当且仅当
3
a
c
=
=
时等号成立，
则
2
2
a
c
+
的最小值为6.
21．（25-26 高三上·山东青岛·期末）在
ABC
V
中，
1
tan
2
A =
，
1
tan
3
B =
，则
ABC
V
的最短边与最长边之比
为（ ）
A．
5
3
B．
5
4
C．
5
5
D．
5
6
【答案】C
【分析】首先求出tanC ，即可求出C ，从而得到C
A
B
>
>
，则c
a
b
>
>
，再求出sin B ，最后由正弦定理计
算可得.
【详解】因为
1
tan
2
A =
，
1
tan
3
B =
，
所以
1
1
tan
tan
2
3
tan
tan π
tan
1
1
1
1
tan
tan
1
2
3
A
B
C
A
B
A
B
A
B
+
+
=
-
+
= -
+
= -
= -
= -
é
ù
ë
û
-
-
´
，
又
0,π
C Î
，所以
3π
4
C =
，则
2
sin
2
C =
，
又
π
,
0, 4
A B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，tan
tan
A
B
>
，所以A
B
>
，所以C
A
B
>
>
，则c
a
b
>
>
，
又
2
2
sin
1
tan
cos
3
sin
cos
1
π
0, 4
B
B
B
B
B
B
ì
=
=
ï
ïï
+
=
í
ï
æ
ö
ï
Îç
÷
ï
è
ø
î
，解得
10
sin
10
B =
，
所以
1
sin
5
sin
5
2
2
10
0
b
B
c
C
=
=
=
，
即
ABC
V
的最短边与最长边之比为
5
5
.
故选：C
22．（25-26 高三上·安徽蚌埠·期末）已知
3
(0,π),tan
4
a
a
Î
= -
，则cos π
2
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．10
10
B．
10
10
-
C．3 10
10
D．
3 10
10
-
【答案】B
【分析】根据平方关系和商数关系求出cosa ，再由二倍角公式求解cos 2
a ，利用诱导公式化简
α
cos π
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø求
值.
【详解】因为
0,π
a Î
，
3
tan
0
4
a = -
<
，所以
π ,π
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
由
2
2
sin
3
tan
cos
4
sin
cos
1
a
a
a
a
a
ì
=
= -
ïí
ï
+
=
î
，解得
3
sin
5
4
cos
5
a
a
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
因为
0,π
a Î
，所以
π
0,
2
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，cos
0
2
a >
，
由
2
cos
2cos
1
2
a
a =
- ，即
2
4
2cos
1
5
2
a
-
=
- 解得
10
cos 2
10
a =
，
所以
α
10
cos π
cos
2
2
10
a
æ
ö
-
= -
= -
ç
÷
è
ø
.
故选：B.
23．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在
ABC
V
中，
2
2
4 sin
0
2
A
B
b
a
a
+
-
+
=
，则tan B 的最大值为（ ）
A．
3
B．2 3
C．2 3
3
D．
3
3
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角整理可得tan
3tan
C
A
= -
，然后结合和差公式、基本不等式即可得解.
【详解】因为
2
1 cos
1 cos π
1 cos
sin
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
-
+
-
-
+
+
=
=
=
，
所以
1 cos
2
4
0
2
C
b
a
a
+
-
+
×
=
，整理得
2 cos
0
b
a
C
+
=
，
由正弦定理边化角得sin
2sin
cos
0
B
A
C
+
=
，
若
π
2
C =
，则sin
0
0,π
B
B
=
Þ
=
，不满足题意，故
π
2
C ¹
.
又
sin
sin π
sin
sin
cos
cos
sin
B
A
C
A
C
A
C
A
C
é
ù
=
-
+
=
+
=
+
ë
û
，
所以sin
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
2sin
cos
0
B
A
C
A
C
A
C
A
C
+
=
+
+
=
，
整理得tan
3tan
C
A
= -
，
则
tan
tan
tan
tan π
tan
1
tan
tan
A
C
B
A
C
A
C
A
C
+
é
ù
=
-
+
= -
+
= -
ë
û
-
2
tan
3tan
2
1
1 3tan
3tan
tan
A
A
A
A
A
-
= -
=
+
+
，
易知，若tan
0
A <
，则tan
0
B <
，不合题意；
当tan
0
A >
时，
2
2
3
tan
1
3
2 3
3tan
tan
B
A
A
=
£
=
+
，
当且仅当
3
tan
3
A =
，即
π
6
A =
时，等号成立，
所以tan B 的最大值为
3
3
.
24．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意
0
x >
，不等式
2
2
2
1
ln
2
x
a
x
x
+
-
³
恒成立，则实数a 的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】记
2
2
1
ln
h x
x
a
x
x
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
，由
1
h x
h x
æ
ö
=
ç
÷
è
ø，可知只要
1
x ³ 时
0
h x ³
恒成立即可，从而将问题
转化为
1
ln
x
a
x
x
-
³
在
1,+¥ 恒成立，
令
1
ln
g x
x
a
x
x
=
-
-
，结合导数求出
g x 的最值即可求解.
【详解】原不等式等价于
2
2
1
ln
0
x
a
x
x
æ
ö
-
-
³
ç
÷
è
ø
，记
2
2
1
ln
h x
x
a
x
x
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
注意到
1
h x
h x
æ
ö
=
ç
÷
è
ø，这说明只要
1
x ³ 时
0
h x ³
，则当
0,1
xÎ
时也有
0
h x ³
.
故下只考虑
1
x ³ 时的情况，要使
0
h x ³
，
只需
1
ln
x
a
x
x
-
³
在
1,+¥ 恒成立，
令
1
ln
1
g x
x
a
x x
x
=
-
-
³
，
2
2
1
1
g
x
x
ax
x
=
-
+
¢
.
因为1
0
g
=
，故
1
2
0
4
g
a
a
¢
=
-
³
Þ
£
，经验证，满足题意.
故选：D
25．（25-26 高三上·四川成都·期末）若函数
2
π
( )
sin cos(
)
3sin
3
f x
x
x
x
=
-
-
，则下列选项中，为函数
( )
f x
的极大值点的是（ ）
A．
π
12
x =
B．
5π
12
x = -
C．
π
3
x =
D．
π
6
x =
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简函数
( )
f x ，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可.
【详解】函数
2
2
1
3
1
3
( )
sin (
cos
sin )
3sin
sin cos
sin
2
2
2
2
f x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
-
=
-
1
3
3
1
π
3
sin 2
cos2
sin(2
)
4
4
4
2
3
4
x
x
x
=
+
-
=
+
-
，
由
π
π
2
2 π,
3
2
x
k
k
+
=
+
ÎZ ，得函数
( )
f x 的极大值点
π
π,
12
x
k
k
=
+
ÎZ ，
当
0
k =
时，
π
12
x =
，不存在整数k 使得
5π
12
x = -
，
π
3
x =
，
π
6
x =
，A 是；BCD 不是.
故选：A
