题号猜押03 全国卷高考数学第7~8 题（单选题）
溯源
年份
卷别
第7 题
第8 题
2025
Ⅰ卷
直线与圆（点到直线距离个数）
对数的运算性质的应用
2025
Ⅱ卷
等差数列基本量计算
三角恒等变换求值
2024
Ⅰ卷
三角函数图象交点个数
抽象函数递推求和
2024
Ⅱ卷
正三棱台线面角
对数函数与不等式
2023
Ⅰ卷
数列充要条件
三角恒等变换（二倍角）
2023
Ⅱ卷
三角半角公式
等比数列前n 项和性质
2022
Ⅰ卷
构造函数比较大小
正四棱锥体积范围
2022
Ⅱ卷
正三棱台外接球表面积
抽象函数周期求和
2021
Ⅰ卷
导数切线（过点切线）
概率事件独立性
2021
Ⅱ卷
对数比较大小
抽象函数奇偶周期
近5 年T7、T8 考点轮换频繁，无明显固定模块。函数性质（抽象函数、奇偶周期）出现4 次（2024ⅠT8、
2022ⅡT8、2021ⅡT8、2022ⅠT7 可归为函数），数列出现3 次（2025ⅡT7、2023ⅠT7、2023ⅡT8），三角出现3
次（2025ⅡT8、2023ⅠT8、2023ⅡT7），立体几何出现3 次（2024ⅡT7、2022ⅠT8、2022ⅡT7），圆锥曲线偶有
（2021ⅠT7 切线），概率偶有（2021ⅠT8）。近年趋势：抽象函数与数列综合成为中档选择压轴的重要方向。
预测
2026 年T7、T8 极可能在抽象函数性质（周期、对称、递推求和）、数列与不等式综合（前n 项和性质、
放缩）、立体几何中的最值/外接球问题三者中选取。三角恒等变换与比较大小作为备选，但近两年频次降
低。两题大概率分属不同模块，体现“多模块覆盖”。
备考核心
主攻抽象函数，熟练掌握赋值法推导周期与对称轴，理解奇偶性与周期性的转化，能处理递推关系求函数
值和；强化数列综合，熟练等差等比通项与前n 项和公式，掌握等差等比的性质，运用放缩法证明数列不
等式；掌握立体几何中外接球、内切球半径的补形法与截面法，能建立函数或几何模型求体积、表面积最
值；熟记三角恒等变换公式，理解构造函数比较大小的思想。限时训练，每道题控制在3~4 分钟，注重快
速识别考点与综合推理能力。
考点1 抽象函数性质
1. （2026·河北张家口·一模）设
( )
f x 是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2
3
x
£
£
时，( )
5
2
f x
x
=
-
，则
2027
4
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
1
2
-
B．
1
4
-
C．1
4
D．
1
2
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和周期性可得答案.
【详解】由
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，得
2027
2027
(
)
4
4
f
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø ；
由
( )
f x 是定义在R 上周期为2 的函数，
所以
2027
11
11
252 2
4
4
4
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´ +
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
又因为
11
2
3
4
<
<
，
所以
11
11
22
1
5
2
5
5
5.5
0.5
4
4
4
2
f æ
ö =
- ´
=
-
=
-
= -
= -
ç
÷
è
ø
，
故
2027
2027
11
1
(
)
4
4
4
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
-
=
=
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
2. （2026·浙江·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，对
x
" ÎR ，
6
f x
f
x
=
-
与
4
2
2
f x
f x
f
+
-
=
均恒成立，则
2026
f
= （ ）
A．1
-
B．0
C．
1
2
D．1
【答案】B
【分析】先根据题意求出函数的周期，并求出
2
f
，再根据周期求得
2026
f
的值.
【详解】由
6
f x
f
x
=
-
，
4
2
2
f x
f x
f
+
-
=
，
令
1
x = 得
5
1
f
f
=
，
5
1
2
2
f
f
f
-
=
，
所以
2
0
f
=
，故
4
f x
f x
+
=
，即
f x 是周期为4 的周期函数.
所以
2026
506 4
2
2
0
f
f
f
=
´ +
=
=
.
故选：B.
3. （2026·河北邯郸·一模）若定义在R 上的偶函数
f x 满足
2
0
f x
f
x
+
-
=
，且当0
1
x
£
£ 时，
1
2
2x
f x
x
-
=
-
，则
2026
f
= （ ）
A．
1
2
B．0
C．
1
2
-
D．2
-
【答案】C
【详解】因为
f x 是偶函数，所以
f
x
f x
-
=
，
由
2
0
f x
f
x
+
-
=
，得
2
2
f x
f
x
f x
= -
-
= -
-
，
所以
2
4
f x
f x
-
= -
-
，得
4
f x
f x
=
-
，
所以
f x 是以4 为周期的函数，
所以
1
1
2026
4 506
2
2
0
2
0
2
f
f
f
f
-
=
´
+
=
= -
= -
-
= -
．
4. （2026·四川·模拟预测）已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，
( )
f
x
¢
是减
函数，则（ ）
A．
(1)
(2)
( 3)
f
f
f
<
<
-
B．
( 3)
(1)
(2)
f
f
f
<
<
-
C．
(2)
( 3)
(1)
f
f
f
<
-
<
D．
( 3)
(2)
(1)
f
f
f
-
<
<
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求出
(0)
f ¢
，进而确定函数
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上的单调性并比较
大小.
【详解】由函数
( )
f x 的定义域均为R，且
( )
f x 为偶函数，得
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，
求导得
(
)
( )
f
x
f
x
¢
¢
-
-
=
，则
(0)
0
f ¢
=
，由
( )
f
x
¢
是R 上的减函数，
得当
0
x >
时，
( )
(0)
0
f
x
f
¢
¢
<
=
，因此函数
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上单调递减，
所以
( 3)
(3)
(2)
(1)
f
f
f
f
-
=
<
<
.
5. （2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
0
f
=
，若
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- ，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
19
1
190
n
f n
=
=
å
C．函数
1
f x +
是奇函数
D．函数
1
f x + 是偶函数
【答案】C
【分析】令
1,
0
x
y
=
=
求出
0
1
f
= - 可判断A，令
1
y = 可得
1
1
f x
f x
+
=
+ ，利用等差数列的求和公式
求和后可判断B，求出
1
2
f -
= - 后令
1
y = - ，结合B 中分析可得
2
f
x
f x
-
+
= - ，据此可判断CD 的正
误.
【详解】对于A，令
1,
0
x
y
=
=
，则
1
0
1
0
1
f
f
f
f
-
=
- ，故
0
1
f
= - ，故A 错误；
对于B，令
1
y = ，则
1
1
1
f x
f x f
f x
-
=
+
- ，
所以
1
1
f x
f x
+
=
+ ，故
*
f n
nÎN
为等差数列，首项为零，公差为1，
故
19
1
19 18
19 0
1
171
2
n
f n
=
´
=
´ +
´ =
å
，故B 错误；
对于C，因为
1
1
f x
f x
+
=
+ ，
1
0
f
=
，故
1
0
1
f
f
=
+ ，
故
0
1
f
= - ，同理
1
2
f -
= - ，
在
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- 中令
1
y = - ，
则
2
1
1
f
x
f x
f x
-
+
=
-
- ，由B 的分析可得
1
1
f x
f x
=
-
-
，
所以
2
2
f
x
x
f
f x
+
-
=
-
，所以
2
f
x
f x
-
+
= - ，
所以
1
1
0
f
x
f x
-
+ +
+ =
，所以
1
1
0
f
x
f x
- +
+
+
=
，
所以函数
1
f x +
是奇函数，故C 正确；
对于D，由C 的分析可得
2
f
x
f x
-
+
= - 即
1
1
0
f
x
f x
-
+ +
+ =
，
故函数
1
f x + 是奇函数，故D 错误.
6. （2026·山东青岛·一模）已知定义在R 上的函数
( )
f x 满足
( )
(2
)
0
f x
f
x
+
-
=
，(1
)
(3
)
f
x
f
x
+
=
-
，当
[1,2]
xÎ
时，
3
2
( )
2
=
-
+
f x
x
x
x，则方程7 ( )
1
0
f x
x
-
+ =
所有根之和为（ ）
A．8
B．11
C．15
D．17
【答案】D
【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题.
【详解】由
2
0
f x
f
x
+
-
=
，得函数
f x 关于点
1,0 对称，
又
1
3
f
x
f
x
+
=
-
，得函数
f x 关于直线
2
x =
对称，
从而函数
f x 是周期为4 的周期函数.
又当
1,2
xÎ
时，
3
2
2
f x
x
x
x
=
-
+
，则
2
3
4
1
3
1
1
0
f
x
x
x
x
x
=
-
¢
+ =
-
-
³
，
即
f x 是
1,2 的单调递增函数，
1
0
f
=
，
2
2
f
=
，可画出
f x 的部分图象，
又方程
7
1
0
f x
x
-
+ =
的根即
y
f x
=
与
1
1
7
y
x
=
-
的交点横坐标，如图
两函数共有17 个交点，并且关于点
1,0 对称，故所有根之和为17.
7. （2026·安徽六安·模拟预测）函数
y
f x
=
与
3
1
y
g x
=
+
+ 都为奇函数，且对
x
" ÎR ，都有
4
0
f x
g x
-
+
=
，则
1
2
f
f
+
100
f
+
+
=
L
（ ）
A．2525
B．2550
C．5049
D．5050
【答案】D
【分析】根据题意，可得
2
2
f x
f x
+
=
+
，结合
0
0
f
=
，可得
f n
n
=
，利用等差数列求和公式求得
答案.
【详解】由
y
f x
=
与
3
1
y
g x
=
+
+ 都为奇函数，
则
f
x
f x
-
= -
，
3
1
3
1
g
x
g x
- +
+ = -
+
- ，
又
4
0
f x
g x
-
+
=
，所以
1
3
f
x
g
x
- -
=
- +
，
1
3
f x
g x
-
=
+
，
所以
1
1
1
1
f
x
f x
- -
+ = -
-
+
é
ù
ë
û ，即
1
1
2
f
x
f x
- -
= -
-
-
，
所以
1
1
2
f x
f x
-
+
= -
-
-
，即
2
2
f x
f x
+
=
+
，
因为
f
x
f x
-
= -
，令
0
x =
，得
0
0
f
f
-
= -
，解得
0
0
f
=
，
因为
1
1
2
f x
f x
-
+
= -
-
-
，令
0
x =
，可得
1
1
2
f
f
-
= -
-
-
，得
1
1
f
= ，
所以
3
1
2
3
f
f
=
+
=
，当n 为正奇数时，
1
1
f n
f
n
n
=
+
- =
，
所以
2
0
2
2
f
f
=
+
=
，当n 为正偶数时，
0
f n
f
n
n
=
+
=
，
对于任意正整数n ，有
f n
n
=
，
所以
1
2
f
f
+
100 1 100
100
1
2
100
5050
2
f
+
+
+
= +
+
+
=
=
L
L
.
故选：D.
8. （2026·四川成都·二模）已知定义域为R 的函数
f x 满足
3
1
f x
f
x
+
=
- -
，且
2
1
f
x -
为奇函数，
则一定有（ ）
A．
0
0
f
=
B．
2
0
f
=
C．
3
0
f
=
D．
4
0
f
=
【答案】C
【分析】根据题意，利用对称性和奇偶性，求得
2
f x
f
x
+
=
-
，
2
f
x
f x
-
= -
-
，且
1
0
f -
=
，推
得
4
f x
f x
+
= -
，进而得到
3
0
f
=
，即可求解.
【详解】由函数
f x 满足
3
1
f x
f
x
+
=
- -
，可得
f x 关于
1
x = 对称，即
2
f x
f
x
+
=
-
，
因为函数
2
1
f
x -
为奇函数，可得
2
1
(2
1)
0
f
x
f
x
-
-
+
-
=
，
即
1
(
1)
0
f
x
f x
- -
+
-
=
，可得
2
0
f
x
f x
-
+
-
=
，即
2
f
x
f x
-
= -
-
，
令
1
x = ，可得
1
1
f
f
-
= -
-
，所以
1
0
f -
=
，
又因为
2
2
f x
f
x
f
x
f x
ì
+
=
-
ïí
-
= -
-
ïî
，可得
2
2
f x
f x
+
= -
-
，
所以
4
f x
f x
+
= -
，可得
8
4
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，所以
f x 的周期为8，
因为
4
f x
f x
+
= -
，可得
3
1
0
f
f
-
-
=
=
，所以一定有
3
0
f
=
，
对于
0 ,
2 ,
4
f
f
f
的值无法确定.
9. （25-26 高三上·山西大同·月考）定义在R 上的奇函数
f x 满足
2
f
x
f
x
+
=
-
，当1
2
x
£
<
时，
2
f x
x
=
-
，则
2027
1
2
i
i
f
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
（ ）
A．1
2
2 +
B．
2
1
2
+
C．2
D．1
2
+
【答案】D
【分析】分析可知4 是
f x 的一个周期，赋值求相应的函数值，可得
8
1
0
2
i
i
f
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
，结合周期性运算求解即
可.
【详解】因为
f x 是定义在R 上的奇函数，则
2+
=
=
f
x
f
x
f x
-
-
，
可得
4
2
f
x
f
x
f x
+
= -
+
=
，可知4 是
f x 的一个周期，
又因为当1
2
x
£
<
时，
2
f x
x
=
-
，则
3
2
2
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
1
1
f
= ，
对
2
f
x
f
x
+
=
-
，令
0
x =
，可得
2
0
0
f
f
=
=
，
令
1
2
x = -
，可得
1
3
2
2
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
令
1
2
x =
，可得
5
1
1
2
2
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
= -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
；
则
3
1
1
1
f
f
f
=
-
= -
= - ，
7
1
2
2
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
4
0
0
f
f
=
=
，
可得
8
1
0
2
i
i
f
=
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
，所以
2027
1
1
3
(1)
1
2
2
2
2
i
i
f
f
f
f
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
= +
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
å
.
故选：D.
10. （2026·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数
f x 满足：
1
1
0
f
x
f
x
- +
-
- -
=
，且
1
1
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，当
1,1
xÎ -
时，
3
2
1
=
-
-
f x
ax
x
，则
f x 的最大值与最小值的差为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【分析】推导出函数
f x 是周期为8 的周期函数，根据对称中心
1,0 在函数
f x 的图象上，可得出a 的值，
利用导数可求出函数
f x 在
1,1
-
上的最大值和最小值，再结合函数
f x 的对称性和周期性可求得函数
f x 的最小值和最大值，即可得解.
【详解】对任意的xÎR ，
1
1
0
f
x
f
x
- +
-
- -
=
，
1
1
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，
所以
f x 的图象关于直线
1
x = - 对称，又关于点
1,0 对称，
所以
2
f
x
f
x
- +
=
-
，
2
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，
所以
2
2
0
f x
f x
+
+
-
=
，所以
4
0
f x
f x
+
+
=
，即
4
f x
f x
+
= -
，
所以
8
4
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，故
f x 是周期为8 的周期函数．
因为
f x 的定义域为R ，所以对称中心
1,0 在
f x 的图象上，可得
1
2
0
f
a
=
-
=
，则
2
a =
．
当
1,1
x Î -
时，
3
2
2
1
f x
x
x
=
-
- ，有
2
3
1
f
x
x
x
¢
=
-
，
当1
0
x
- £
<
或1
1
3
x
<
£ 时，
0
f
x
¢
>
；当
1
0
3
x
<
<
时，
0
f
x
¢
<
.
可知
f x 在
1,0
-
上递增，在区间
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上递减，在1 ,1
3
æ
ù
ç
ú
è
û 上递增．
当
1,1
x Î -
时，
0
1
f x
f
=
= -
极大值
，
1
1
1
28
2
1
3
27
9
27
f x
f æ
ö
=
=
´
-
- = -
ç
÷
è
ø
极小值
，
又因为
1
4
f -
= - ，
1
0
f
=
，所以
min
4
f x
= - ，
max
0
f x
=
，
由于
f x 的图象关于点
1,0 对称，故当
1,3
xÎ
时，
max
4
f x
=
，
min
0
f x
=
．
故当
1,3
xÎ -
时，
min
4
f x
= - ，
max
4
f x
=
．
由于
f x 的图象关于直线
1
x = - 对称，故当
5,3
xÎ -
时，
min
4
f x
= - ，
max
4
f x
=
．
因为
f x 是周期为8 的周期函数，故当xÎR 时，
min
4
f x
= - ，
max
4
f x
=
．
因此
f x 的最大值与最小值的差为
4
4
8
- -
=
.
11. （2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 的一个周期为6
B．
( 1)
0
f -
=
C．
(2)
0
f
=
D．
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
【答案】B
【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数
( )
f x 的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解.
【详解】选项A，
(
1)
y
f x
=
-
Q
的图像向左平移1个单位得到
( )
y
f x
=
，
又
(
1)
=
-
y
f x
关于(2,0) 中心对称，
( )
y
f x
\
=
关于(1,0) 中心对称，
(1
)
(1
)
f
x
f
x
\
+
= -
-
，
将
(1
)
(1
)
f
x
f
x
+
= -
-
式子中的x 用
1
x + 代替，得到
(2
)
(
)
f
x
f
x
+
= -
-
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
(
)
( )
f
x
f x
\
-
=
，
(2
)
( )
f
x
f x
\
+
= -
，将此式子中的x 用
2
x +
代替，得到
(4
)
(2
)
( )
f
x
f
x
f x
+
= -
+
=
，
则
( )
f x 是一个以4 为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
( )
y
f x
=
Q
关于(1,0) 中心对称，
( )
f x 的定义域为R ，
(1)
0
f
\
=
，
( )
f x
Q
是定义在R 上的偶函数，
( 1)
(1)
0
f
f
\
-
=
=
，故选项B 正确；
选项C，
(2
)
( )
f
x
f x
+
= -
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
= -
，但是
0
f
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
( )
f x
Q
是一个以4 为周期的周期函数，
(3)
( 1)
f
f
\
=
-
，
(4)
(0)
f
f
=
，
(2
)
( )
f
x
f x
+
= -
Q
，
(2)
(0)
f
f
\
= -
，
(2)
(0)
0
f
f
\
+
=
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
( 1)
(0)
f
f
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
=
+
+
-
+
，
( 1)
(1)
0
f
f
-
=
=
Q
，
(1)
(2)
(3)
(4)
(2)
(0)
0
f
f
f
f
f
f
\
+
+
+
=
+
=
，
2026
1
( )
506
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
i
f i
f
f
f
f
f
f
f
f
f
=
\
=
´
+
+
+
+
+
=
+
=
å
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
2026
1
( )
0
i
f i
=
=
å
，故选项D 错误.
12. （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
( )
f x 的定义域为Z ，若
(
)
( ) (1
)
( ) (1
)
f x
y
f x f
y
f y f
x
+
=
-
+
-
，且
(1)
( 1)
1
f
f
= -
-
= ，则
10
1
(2 )
i
f
i
=
=
å
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
【答案】A
【分析】利用赋值法得函数
( )
f x 的对称性和周期性，从而得解.
【详解】令
0
x
y
=
=
，则
(0)
0
f
=
，
令
1
x
y
=
= ，则
(2)
2 (1) (0)
2 (0)
0
f
f
f
f
=
=
=
．
令
1
y = ，则
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
=
- +
，所以函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称．
令
1
y = - ，则
(
1)
( ) (2)
(1
) ( 1)
(1
)
f x
f x f
f
x f
f
x
-
=
+
-
-
= -
-
，
所以
( )
(
)
f x
f
x
= -
-
，
( )
f x 的图象关于点(0,0) 对称．
由
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
=
- +
和
(
1)
(1
)
f x
f
x
-
= -
-
，可得
(
1)
(
1)
f x
f x
-
= -
+
，
令
1
t
x
=
- ，则
2
f t
f t
= -
+
，
故
(
2)
(
)
( )
f x
f
x
f x
+
=
-
= -
，则
(
4)
(
2)
[
( )]
( )
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= - -
=
，
( )
f x 是周期
4
T =
的函数．
又
(0)
0,
(1)
1,
(2)
0,
( 1)
1
f
f
f
f
=
=
=
-
= - ，所以
10
1
(2 )
10 0
0
i
f
i
=
=
´
=
å
．
13. （2026·黑龙江吉林·一模）若定义在R 上的函数
f x 满足
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，
1
f x +
是奇函数，
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
6
1
2
1
2
k
k
k f
=
-
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
（ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由
1
f x +
是奇函数可得
f x 关于
1,0 中心对称，结合
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，利用赋值法计
算可得
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，即可得该函数周期，再利用
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则可计算出k 为1到6 时的
2
1
2
k
f
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
的值，即可得解.
【详解】由
1
f x +
是奇函数，则
1
1
f x
f
x
+
= -
- +
，故
f x 关于
1,0 中心对称，
由
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，令
1
x = ，则
2
0
2
f
f
f
+
=
，即
0
0
f
=
，
由
1
1
f x
f
x
+
= -
- +
，令
1
x = ，则
2
0
0
f
f
= -
=
，
故
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，则
3
1
0
f x
f x
+
+
+
=
，
故
3
1
1
f x
f x
f x
+
= -
+
=
-
，即有
4
f x
f x
+
=
，故
f x 以4 为周期，
由
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
= -
-
= -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
5
1
1
3
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
= -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
7
1
3
3
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
= -
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
9
1
1
4
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
11
3
3
4
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
则
6
1
2
1
1
3
5
7
9
11
1
2
3
4
5
6
2
2
2
2
2
2
2
k
k
kf
f
f
f
f
f
f
=
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
å
1 1
2
1
3
1
4 1 5 1 6
1
1
= ´ + ´ -
+ ´ -
+ ´ + ´ + ´ -
= - .
14. （2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为R 的偶函数
f x 满足
4
2
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且
f x 在
0,2
上是单调递增函数，若函数
1
g x
f x
f x
=
-
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
g x 为偶函数
B．
g x 在
2,3 上是单调递增函数
C．
1
3
g
g
>
D．
2
g x
g x
+
=
【答案】C
【分析】先通过题干求出
f x 的周期；根据偶函数定义判断A 选项；通过
1
g x
f x
f x
=
-
-
，结合
f x
的单调性与单调性运算性质可判断B 选项；利用作差法，结合函数
f x 的符号进行比较大小即可判断C 选
项；结合函数
f x 的周期性和对称性判断D 选项是否具有周期性.
【详解】已知
4
2
( )
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（①），将x 替换为
2
3
x +
得
4
2
(
2)
3
3
f x
f
x
f
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（②），
由①+②得
2
f x
f x
+
= -
，则
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
即函数
f x 周期为4 ，且
(
2)
( )
f x
f x
+
= -
恒成立，
又
( )
f x 是定义域R 的偶函数，故
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，且
( )
f x 在[0,2]单调递增，
因此
(2)
(0)
f
f
>
，结合
(2)
(0)
f
f
= -
得
(0)
0
f
<
.
选项A：(
)
(
)
(
1)
( )
(
1)
g
x
f
x
f
x
f x
f x
-
=
-
-
- -
=
-
+
（③），
由
(
2)
( )
f x
f x
+
= -
得
(
1)
(
1)
f x
f x
+
= -
-
，代入③式得(
)
( )
(
1)
g
x
f x
f x
-
=
+
-
，
而( )
( )
(
1)
g x
f x
f x
=
-
-
，显然(
)
( )
g
x
g x
-
¹
，故A 错误；
选项B：
[2,3]
xÎ
时，
( )
(
2)
f x
f x
= -
-
，
2
[0,1]
x - Î
，
(
2)
f x -
递增，
故
( )
f x 在[2,3]递减； 同时
1
[1,2]
x - Î
，
(
1)
f x -
在[1,2]上单调递增，
因此( )
( )
(
1)
g x
f x
f x
=
-
-
，根据单调性运算性质可知( )
g x 递减函数，故B 错误；
选项C：(1)
(1)
(0),
(3)
(3)
(2)
( 1)
(
(0))
(1)
(0)
g
f
f
g
f
f
f
f
f
f
=
-
=
-
=
-
- -
=
+
因此(1)
(3)
2 (0)
g
g
f
-
= -
，
已知
(0)
0
f
<
，故2 (0)
0
(1)
(3)
f
g
g
-
>
Þ
>
，故C 正确；
选项D：(
2)
(
2)
(
1)
( )
(
(
1))
[ ( )
(
1)]
( )
( )
g x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
g x
g x
¹
+
=
+
-
+
= -
- -
-
= -
-
-
= -
，故D 错误.
15. （2026·江苏·一模）已知函数
f x
g x
，
的定义域为
¢f
x
R，
为
f x 的导函数，
1
1
2
æ
ö
-
+
=
ç
÷
è
ø
f x
g x
，
1
1
=
-
=
- -
¢
¢
f x
f
x
f
x
f
x
，
．若
3
1
1
1
2
æ
ö =
= -
ç
÷
è
ø
f
g
，
，则
2026
1
( )
i
g i
=
=
å
（ ）
A．2026
B．1013
C．1
D．-1
【答案】D
【详解】因为
1
f x
f
x
=
-
，且
3
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，所以
1
3
1
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
1
f
x
f
x
¢
=
- -
¢
，所以
( )
f
x
¢
关于直线
1
2
x = -
对称，
则原函数
( )
f x 关于点
1
(
,1)
2
-
对称，所以
1
2
f x
f
x
= -
- -
+
所以
1
(1
)
2
f
x
f
x
- -
= -
-
+
，
令
1
t
x
= - -
，则
( )
(
)
f t
f
t
= -
+
+
2
2，即
(
)
( )
f
t
f t
+
=
-
2
2
，
所以
(
)
(
)
(
( ))
( )
f x
f x
f x
f x
+
=
-
+
=
-
-
=
4
2
2
2
2
，
所以
( )
f x 的周期为4 ，
又
1
1
2
f x
g x
æ
ö
-
+
=
ç
÷
è
ø
，即
1
1
2
g x
f x
æ
ö
+
=
-
ç
÷
è
ø
，所以( )
g x 的周期也为4 ，
由
3
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
得
3
1
3
2
1
0
2
2
2
g
g
f
æ
ö
æ
ö
=
+
=
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
1
1
2
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
得
1
1
1
0
1
0
2
2
2
g
g
f
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以(4)
(0)
0
g
g
=
=
，
由1
1
g
= - 得
1
1
1
1
1
1
2
2
2
g
g
f
æ
ö
æ
ö
=
+
=
- = -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
又
(
)
( )
f
x
f x
+
=
-
2
2
，所以
( )
(
)
( )
f
f
f
=
+
=
-
=
5
1
1
2
2
2
2
2
2
，
所以
5
1
5
3
1
1
2
2
2
g
g
f
æ
ö
æ
ö
=
+
=
- =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
1
2
3
4
1 0 1 0
0
g
g
g
g
+
+
+
= - +
+ +
=
，
又2026
4
506
2
¸
=
L ，
所以
2026
1
( ) 506 0 1 0
1
i
g i
=
=
´ - +
= -
å
.
考点2 立体几何
1. （2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
BC
CC
=
=
，D，E 分别为线段
1
BB ，
1
1
AC 的中点，点F 在
1
B E 上，若BF
AD
^
，则
1
sin
B BF
Ð
= （ ）
A．
2
4
B．1
3
C．
1
2
D．
2
2
【答案】C
【分析】利用正三棱柱性质以及线面垂直判定定理可证明AC ^平面
1
B BGE ，即可得AC
BF
^
，再由线面
垂直性质可知BF
DG
^
，根据棱长计算求得
1
π
6
B BF
Ð
=
，可得结果.
【详解】如图所示，取AC 的中点G，连接BG，EG，DG．
E
Q
为线段
1
1
AC 的中点，
1
,
BG
AC EG
A A
\
^
∥
，
EG
\
^ 平面ABC ，
AC Ì
Q
平面ABC ，
EG
AC
\
^
．
BG
EG
G
=
Q
I
，BG，EG Ì 平面
1
B BGE ，
AC
\
^ 平面
1
,
B BGE
BF Ì
Q
平面
1
,
B BGE
AC
BF
\
^
．
,
,
,
BF
AD AD
AC
A AD AC
^
Ç
=
Ì
Q
平面ACD ，
BF
\
^ 平面ACD ，DG Ì 平面ACD ，
BF
DG
\
^
．
Q三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的棱长为2，
1
3,
1
B E
BG
BD
\
=
=
= ，
1
1
π
π
1
,
,
sin
3
6
2
BDG
B BF
B BF
\Ð
=
Ð
=
\
Ð
=
．
2. （2026·河南·模拟预测）已知圆台
1
O O 的母线长为l，半径为R 的球C 与圆台
1
O O 的上、下底面及母线都
相切，且
5
l
R
=
，则圆台
1
O O 与球C 的体积之比为（ ）
A．
5
B．2 5
C．2
D．2 2
【答案】C
【分析】设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，且1
2
r
r
<
，根据题意求得1
2
,
r r ，根据圆台、球的体积公
式计算即可求解.
【详解】如图，设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，且1
2
r
r
<
，
设圆台上、下底面圆心分别为
1
2
,
O O ，则圆台内切球的球心O 一定在
1
2
O O 的中点处，
设球O 与母线切于M 点，所以OM
AB
^
，所以
1
2
OM
OO
OO
R
=
=
=
，
所以
1
AOO
V
与AOM
V
全等，所以
1
AM
r
=
，同理
2
BM
r
=
，
圆台的，母线长
1
2
5
l
r
r
R
=
+
=
，
在AGB
V
中，
2
2
2
AG
GB
AB
+
=
，即
2
2
2
2
1
4
5
R
r
r
R
+
-
=
，
所以2
1
r
r
R
-
=
，故1
2
5
1
5
1
,
2
2
r
R r
R
-
+
=
=
，
因为
2
2
2
2
3
1
2
1 2
1
1
5
1
5
1
5
1
5
1
8
π
π 2
π
3
3
2
2
2
2
3
V
h r
r
rr
R
R
R
R
R
R
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
öæ
ö
-
+
-
+
ê
ú
=
+
+
=
×
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
ç
÷
ç
֍
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
øè
ø
ë
û
圆台
，
球的体积为
3
4 π
3
V
R
=
球
，
圆台
1
O O 与球C 的体积之比为
3
3
8 π
3
2
4 π
3
R
R
=
.
3. （2026·山西朔州·一模）已知三棱锥A
BCD
-
的所有棱长都为4，点
,
P Q 分别为
,
AB CD 中点，点
,
,
,
E F G H
分别为
,
AC BC ，
,
BD AD 中点，则几何体P
EFGH
Q
-
-
的体积为（ ）
A．4 3
3
B．8 3
3
C．4 2
3
D．8 2
3
【答案】D
【分析】证明PQ ^ 平面EFGH ，根据棱锥体积公式求解.
【详解】如图所示，连接
,
,
,
AQ BQ PD PC ，
由题可知
,
ABD
ABC
△
△
都是边长为4 正三角形，
又P 是AB 边中点，所以
2 3
PD PC
=
=
，
又Q 是CD 边中点，所以PQ
CD
^
，
因为
,
E H 分别是
,
AC AD 中点，所以
/ /
EH
CD ，所以PQ
EH
^
，
同理PQ
EF
^
，又
,
,
EH
EF
E EH EF
=
Ì
I
平面EFGH ，
所以PQ ^ 平面EFGH ，
又PQ
AQ
AP
=
-
=
-
=
2
2
12 4
2 2 ，
同理
2 2
EG =
，又
2
EH
HG
=
=
，所以EH
HG
^
，
所以
EFGH
S
EH
HG
=
´
= 4，
所以几何体P
EFGH
Q
-
-
的体积为
´ ´
=
1
8 2
4 2 2
3
3
.
4. （2026·陕西咸阳·二模）已知圆锥SO 的侧面积为24π，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥SO 内挖
去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥SO 的底面上，则挖去的圆柱的体积为（ ）
A．16π
3
B．20π
3
C．28π
3
D．32π
3
【答案】D
【分析】结合已知可求得圆锥的底面半径r 和高h ，设挖去的圆柱底面半径为x ，高为y ，列出函数关系借
助导数求得最值.
【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由母线与底面所成角是60°，知
2
l
r
=
，
3
h
r
=
，
所以侧面积为π
24π,
2 3,
6,
4 3
rl
r
h
l
=
=
=
=
．
设挖去的圆柱底面半径为
0
2 3
x
x
<
<
，高为y ，要圆柱体积最大，
首先有x
h
y
r
h
-
=
，所以
6
3
y
x
=
-
，
圆柱的体积
2
2
π
6
3
π
V x
x y
x
x
=
=
-
，
2
2
6
3
π
3
π
3
4
3
π
V
x
x
x
x
x
x
=
¢
-
-
=
-
，
则
0
V
x
¢
>
得
4 3
0
3
x
<
<
，
所以
V x 在
4 3
0,
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，在4 3 ,2 3
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递减，
所以
4 3
3
x =
时，
V x 取得最大值，最大值为
2
4 3
32π
6
4 π
3
3
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
5. （2026·广东·一模）如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为4，P 为正方形
1
1
BCC B 的中心，Q 为棱
1
DD
的中点，过点
, ,
A P Q 的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ）
A．16
B．18
C．64
3
D．24
【答案】D
【分析】取
1
CC 的中点R ，连接
,
,
BR QR 过点P 作直线
/ /
EF
BR ，分别交
1
1
,
BB CC 于点
,
E F ，先证明
/ /
AQ
EF ，推得平面AEFQ 即过点
, ,
A P Q 的截面，所求即为多面体ADQ
BEFC
-
的体积，利用棱柱的体积
公式计算即得.
【详解】
如图，取
1
CC 的中点R ，连接
,
,
BR QR 过点P 作直线
/ /
EF
BR ，分别交
1
1
,
BB CC 于点
,
E F ，连接
1,
,
BC QF AE ，
因P 为正方形
1
1
BCC B 的中心，则
1
BC
EF
P
=
I
，因
1
BP
C P
=
，则易得
1
1
1
1
1
1
2
4
BE
C F
FR
C R
CC
=
=
=
=
= .
又因Q 为棱
1
DD 的中点，则易得
/ /
/ /
,
QR
DC
AB QR
DC
AB
=
=
，即四边形ABRQ 为平行四边形，
则得
/ /
BR
AQ ，故
/ /
AQ
EF ，于是，平面AEFQ 即过点
, ,
A P Q 的截面，
显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体ADQ
BEFC
-
，记其体积为V ，
则
ABE QRF
ADQ BCR
V
V
V
-
-
=
+
三棱柱
三棱柱
1
1
4 1 4
4
2
4
24
2
2
= ´ ´ ´
+ ´ ´ ´
=
.
6. （2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
2,
45
AC
B C
AB
BAC
=
=
=
Ð
=
°，
点
1
B 在平面ABC 的射影为点C ，若点D 在平面
1
1
ABB A 上运动，则线段CD 长度的最小值为（ ）
A．
3
3
B．
6
3
C．1
D．2
3
3
【答案】B
【分析】CD 的最小值即为点C 到平面
1
1
ABB A 的距离h，利用
1 1
1
1
2
2
C
ABB A
C
ABB
B
ABC
V
V
V
-
-
-
=
=
求解.
【详解】依题意，CD 的最小值即为点C 到平面
1
1
ABB A 的距离h，
因为
1
B C ^ 平面ABC ，AC Ì 平面ABC ，故
1
B C
AC
^
，
因为
2
AC =
，
2
AB =
，
45
BAC
Ð
=
° ；
由余弦定理，
2
2
2
cos
2
BC
AC
AB
AB AC
BAC
=
+
-
×
×
Ð
=
，
故
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，所以AC
BC
^
；
因为
1
B C ^ 平面ABC ，
Ì
BC
平面ABC ，所以
1
B C
BC
^
，
则
1
2
2
2
AB =
+
=
，
1
2
BB =
，
又
2
AB =
，故
1
ABB
V
为等边三角形，则
1
2
3
2
3
4
ABB
S
=
´
=
V
，
故
1 1
1
1
1
1
2 2
2
2
2
3
3
C ABB A
C
ABB
B
ABC
ABC
V
V
V
B C
S
-
-
-
=
=
=
´
´
´
=
V
，
而
1 1
1 1
1
2 3
3
3
C ABB A
ABB A
V
h
S
h
-
=
´ ´
=
Y
，故
6
3
h =
．
故选：B.
7. （2026·河北·一模）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
3,
4
AD
AB
AA
=
=
=
，点
,
M N 分别在四边形
1
1
AA D D ､四边形
1
1
BCC B 内运动（不与长方体的顶点重合），若
1
MA
MA
^
，
1
NC
NC
^
，且
1
,
, ,
M N A A 都在
球O 上，则球O 的表面积的取值范围为（ ）
A．35π 53π
,
2
2
é
ö
÷
êë
ø
B．45π 53π
,
4
2
é
ö
÷
êë
ø
C．45π 57π
,
2
2
é
ö
÷
êë
ø
D．425π 881π
,
16
16
é
ö
÷
êë
ø
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，确定球O 的球心O 的位置，列出球O 的表面积的表达式，根据参数的取值
范围即可求得结果.
【详解】因为
1
MA
MA
^
，所以
1
MAA
!
是直角三角形，其外接圆的圆心为
1
AA 的中点，
所以球O 的球心O 在过
1
AA 的中点且垂直于平面
1
MAA 的直线上.
又
1
NC
NC
^
，所以N 为四边形
1
1
BCC B 内以
1
CC 为直径，以
1
CC 的中点
0,4,2 为圆心，2 为半径的半圆上一
点，
如图，以D 为原点，
1
,
,
DA DC DD 所在直线分别为, ,
x y z 轴，建立空间直角坐标系D
xyz
-
，
则
3,0,0
A
，设
3, ,2 ,
2sin ,4,2
2cos
0
4,0
π
O
y
N
y
q
q
q
+
£
£
<
<
，
因为球O 的半径R
OA
ON
=
=
，即
2
2
2
2
2
2
2sin
3
4
2cos
y
y
q
q
+
=
-
+
-
+
，
化简得8
25 12sin
y
q
=
-
，
因为0
π
q
<
<
，所以0
sin
1
q
<
£ ，13
25 12sin
25
q
£
-
<
，即13
8
25
y
£
<
，
所以13
25
8
8
y
£
<
，
而球O 的表面积为
2
2
2
4π
4π
4π
4
R
OA
y
=
=
+
，
2
2
2
13
25
4
4
4
8
8
y
æ
ö
æ
ö
+
£
+
<
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2
425π
881π
4π
4
16
16
y
£
+
<
，即球O 的表面积的取值范围为425π 881π
,
16
16
é
ö
÷
êë
ø.
故选：D.
8. （2026·宁夏银川·一模）已知直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的侧面积为160 16 29
+
，在等腰梯形ABCD 中，
AD
BC
∥
，3
2
AD
BC
=
，
2 29
AB
CD
=
=
，若异面直线
1
A D 与
1
CC 所成角的余弦值为
17
17
，则该直四棱柱
外接球的表面积为（）
A．576π
B．596π
C．616π
D．686π
【答案】B
【分析】找出
1
AD D
Ð
余弦值，建立关于底面边长AD 的方程，解出其关系.再结合直四棱柱侧面积公式，列
方程解出侧棱长
1
AA ，然后算出等腰梯形ABCD 的高，找到底面等腰梯形外接圆的圆心，求出外接球的半径，
最后用球的表面积公式计算结果
【详解】因为
1
1
CC
DD
∥
，所以异面直线
1
AD 与
1
CC 所成角等于
1
AD D
Ð
，故
1
17
cos
17
AD D
Ð
=
.
设
2
AD
x
=
，由3
2
AD
BC
=
得
3
BC
x
=
，设直四棱柱侧棱长为h .
在
1
Rt ADD
V
中，
1
1
2
2
1
17
cos
17
(2 )
DD
h
AD D
AD
x
h
Ð
=
=
=
+
，平方化简得
2
x
h
=
.
因为直四棱柱侧面积
(
)
S
AD
BC
AB
CD
h
=
+
+
+
×
侧
，代入
2 29
AB
CD
=
=
、
2
x
h
=
得(2
3
4 29)
160 16 29
x
x
h
+
+
=
+
整理得
2
10
4 29
160 16 29
h
h
+
=
+
，解得
4
h =
，舍去负根，
因此
8
x =
，即
16
AD =
，
24
BC =
.
易得等腰梯形的高
2
2
24 16
2 29
116 16
10
4
h¢
-
=
-
=
-
=
，
故可在平面ABCD 建立坐标系，
设等腰梯形ABCD 四个顶点坐标
( 8,0),
(8,0), ( 12,10),
(12,10)
A
D
B
C
-
-
，
由对称性可知外接圆圆心在y 轴上，设为
1(0, )
O
k ，
1
1
O D
O C
=
，即
2
2
2
2
8
12
(10
)
k
k
+
=
+
-
，解得
9
k =
，因此
2
2
2
8
9
145
r =
+
=
.
直四棱柱外接球半径R 满足
2
2
2
2
( )
145
2
149
2
h
R
r
=
+
=
+
=
，因此外接球表面积为
2
4
4
149
596
S
R
p
p
p
=
=
´
=
9. （2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正
方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为
3 ，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．16π
3
B．28π
3
C．28 21π
27
D．11π
【答案】B
【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球
心到上下底面顶点距离均为半径R 列方程，解出半径后计算外接球表面积.
【详解】取下底面正方形ABCD 的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
因为下底面边长为2 ，几何体的高为
3 ， 故
1, 1,0
A
-
，
1,1,0
B
，
1,1,0
C -
，
1, 1,0
D - -
，
1,0, 3
E
，
0,1, 3
F
，
1,0, 3
G -
，
0, 1, 3
H
-
.
设几何体外接球的球心为
0,0,
O
t
¢
，外接球半径为R .
在O AO
¢
V
中，
2
2
2
2
2
2
|
|
1
1
2
R
O A
t
t
=
=
+ -
+
=
+
¢
，
在O EO
¢
V
中，
2
2
2
2
2
|
|
1
3
1
3
R
O E
t
t
=
=
+
-
= +
-
¢
则
2
2
2
1 ( 3
)
t
t
+
= +
-
，解得
1
3
t =
.
所以
2
2
1
1
7
2
2
3
3
3
R
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
è
ø
.
故该几何体的外接球的表面积
2
7
28π
4π
4π
3
3
S
R
=
=
´
=
故选：B.
10. （2026·广东汕头·模拟预测）圆锥的底面半径为2，高为2 3 ，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体，
则该正方体体积的最大值为（ ）
A．4 3
9
B．64
27
C．8
9
D．4
3
【答案】B
【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，然后利用正方体的外接球的直径与棱长之间的关系求解棱长，即
可根据正方体的体积公式求解.
【详解】如图，圆锥SO 底面圆的圆心为O，AB 是圆O 的一条直径,
设圆锥SO 内切球的球心为O¢，过点O¢作
,
O E
SA O F
SB
¢
^
^
¢
，垂足分别为
,
E F ，
由于
2
2
2 3,
2,
4
SO
OA
OB
SA
SB
SO
OA
=
=
=
=
=
+
=
,
由题意可知
1
sin
2
OA
ASO
SA
Ð
=
=
，所以
1
2
O E
O O
SO
SO
OO
¢
=
¢
¢ =
¢
-
.
即
1
2
2 3
O O
OO¢
=
-
¢
，解得
2 3
3
O O
¢
=
.
设该正方体棱长的最大值为a ，
则
4 3
3
2
3
a
OO¢
=
=
，解得a = 4
3 ，
所以该正方体的体积的最大值是
3
64
27
a =
，故B 正确.
故选：B
11. （2026·广东广州·一模）在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
2
AB =
，
1
1
AA = ，点D 是平面ABC 上的动点，则
1
2
2
A D
CD
+
的最小值是（ ）
A．5 2
4
B．3 2
2
C．5 3
4
D．3 3
2
【答案】B
【分析】根据“胡不归”模型的概念，将
2
2 CD转化为点到面的距离，进而判断最小值时的情况，再根据两角
和的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
如图所示，将平面CAB绕点C 旋转45o 得平面a ，过D 作
1
DD
a
^
于
1
D ，连接
1
CD ，
则
1
2
2 CD
DD
=
，则
1
2
2
A D
CD
+
的最小值等价于
1
1
A D
DD
+
的最小值，即点A 到面a 的距离，
过
1A 作
1
2
A A
a
^
于
2
A ，可知
2
A 在平面
1
1
ACC A 内，
2
π
4
ACA
Ð
=
，
可知
2
AC =
，
1
1
AA = ，所以
1
5
AC =
，
1
1
2 5
5
cos
,sin
5
5
ACA
ACA
Ð
=
Ð
=
，
则
2
1
1
1
π
π
π
5
2
2 5
2
3 10
sin
sin
sin
cos
cos
sin
4
4
4
5
2
5
2
10
ACA
ACA
ACA
ACA
æ
ö
Ð
=
Ð
+
=
Ð
+
Ð
=
´
+
´
=
ç
÷
è
ø
，
可知
1
2
1
2
2
1
3 10
sin
10
5
A A
A A
ACA
AC
Ð
=
=
=
，解得
1
2
3 2
2
A A =
，
所以
1
2
2
A D
CD
+
的最小值为3 2
2
.
12. （2026·辽宁抚顺·一模）在四面体ABCD 中，平面ABD ^ 平面ABC ，
90
30
ACB
ADB
Ð
=
Ð
=
o
o
，
，若点
A
B
C
D
，，，
均在球O 的球面上，且
2
AB =
，则球O 的表面积为（ ）
A．9π
B．32π
3
C．12π
D．16π
【答案】D
【分析】取AB 的中点M ，由条件可得点M 为
ABC
V
的外心，由平面ABD ^ 平面ABC ，可得四面体ABCD
的外接球球心O 为
ABD
△
的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案.
【详解】如图，取AB 的中点M，因
90
ACB
Ð
=
o，则点M 为
ABC
V
的外心，
又因平面ABD ^ 平面ABC ，平面ABD Ç平面ABC
AB
=
，
故四面体ABCD 的外接球球心O 必在平面ABD 内，且是
ABD
△
的外心，
易得OM ^ 平面ABC ，故有OA
OD
OB
OC
=
=
=
，
在
ABD
△
中，
30
ADB
Ð
=
o ，
2
AB =
，由正弦定理，
2
sin
AB
OA
ADB =
×
Ð
，则
2
2
1
2
2
OA =
=
´
，
故四面体ABCD 的外接球O 的表面积为
2
4π
2
16π
´
=
.
考点3 数列
1. （2026·河北张家口·一模）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
7
m
S =
，
3
33
m
S
=
，则
2m
S
= （ ）
A．18
B．19
C．20
D．21
【答案】A
【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解.
【详解】因为
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，
所以
2
3
2
,
,
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
-
-
成等差数列.
所以
3
2
2
2
m
m
m
m
m
S
S
S
S
S
+
-
=
-
，
即
3
2
3
21 33
18
3
3
m
m
m
S
S
S
+
+
=
=
=
.
2. （2026·广东广州·二模）已知等比数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
+
+
=
，
2
2
a = ，记
n
S 为其前n 项和，则
3S =
（ ）
A．4
B．6.5
C．8
D．12
【答案】C
【分析】根据等比中项可知
1
3
4
a a =
，结合
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
+
+
=
可得
1
3
6
a
a
+
=
，即可得结果.
【详解】因为数列
na
为等比数列，且
2
2
a = ，则
2
1
3
2
4
a a
a
=
=
，
又因为
1
2
3
1
1
1
2
a
a
a
+
+
=
，即
1
3
1
1
1
2
2
a
a
+
+
=
，
可得
1
3
1
3
1
3
3
4
2
a
a
a
a
a a
=
=
+
+
，可得
1
3
6
a
a
+
=
，
所以
3
1
2
3
8
S
a
a
a
=
+
+
=
.
3. （25-26 高三下·安徽·月考）记
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，若
2
2
5
5
34
S
a
+
=
，则
5
7
5
7
S
S
+
的最大值为
（ ）
A．
221
5
B．17
5
C．34
5
D．85
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质结合函数值域的求法求解即可.
【详解】由
2
2
5
5
34
S
a
+
=
，
5
3
5
S
a
=
，可得
2
2
3
5
25
34
a
a
+
=
.
又
7
4
7
S
a
=
，所以
5
7
3
5
3
5
3
4
3
3
5
7
2
2
S
S
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
=
+
=
.
令
3
5
3
2
a
a
t
+
=
，则
5
3
2
3
a
t
a
=
-
，代入
2
2
3
5
25
34
a
a
+
=
，得
2
2
3
3
17
6
2
17
0
a
ta
t
-
+
-
=
，
由
2
2
Δ
6
4 17
2
17
0
t
t
= -
- ´
´
-
³
，解得
17
17
5
5
t
-
£ £
，
故
5
7
5
7
S
S
+
的最大值为17
5 .
4. （2026·山东德州·一模）数列
na
中，
1
2
a =
，对
*
,
m n
"
ÎN ，有
m n
m
n
a
a
a
+ =
+
，若
1
2
3
10
270
k
k
k
k
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
+
=
L
，则k = （ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【分析】先根据
m n
m
n
a
a
a
+ =
+
求证
na
为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可．
【详解】令
1
m = ，可得
1
1
2
n
n
n
a
a
a
a
+ =
+
=
+
，
则
na
是首项
1
2
a =
，公差
2
=
d
的等差数列，
通项公式为
1
1
2
2
1
2
na
a
n
d
n
n
=
+
-
=
+
-
=
，
1
10
1
2
3
10
10
5 2
1
2
10
20
110
270
2
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
k
k
k
+
+
+
+
+
+
+
é
ù
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
=
ë
û
L
，
解得
8
k =
．
5. （2026·福建莆田·二模）已知数列
na
是公比为q 的等比数列，m ，n ，s，
*
N
t Î
，则下列命题正确的
是（ ）
A．若
1
3
4
a a =
，则
2
2
a =
B．若
1
2
a
a
<
，则
1
q >
C．若
1
q ¹ ，则
1
3
1
3
1
1
4
a
a
a
a
æ
ö
+
+
>
ç
÷
è
ø
D．若
m
n
s
t
a a
a a
=
，则m
n
s
t
+
=
+
【答案】C
【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据
1
0
a <
时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据
常数列判断D；
【详解】对于A 选项，数列
na
是公比为q 的等比数列，且
1
3
4
a a =
，则
2
2
4
a =
，所以
2
2
a = 或
2
2
a = - ，故
错误；
对于B 选项，若
1
2
a
a
<
，当
1
0
a <
时，有
1
1
a
a q
<
，则
1
q < ，故错误；
对于C 选项，数列
na
是公比为q 的等比数列，则
3
1
1
3
0,
0
a
a
a
a
>
>
，
3
3
1
1
1
3
1
3
3
1
3
1
1
1
1
1
2
2
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
+
+
= +
+
+ ³
´
+
=
ç
÷
è
ø
，
又因
1
q ¹ ，所以
1
3
1
3
a
a
a
a
¹
，所以
1
3
1
3
1
1
4
a
a
a
a
æ
ö
+
+
>
ç
÷
è
ø
，故正确；
对于D 选项，当等比数列
na
为公比为1的非零常数列时，
m
n
s
t
a
a
a
a
×
=
×
始终满足，
但m
n
s
t
+
=
+ 不一定成立，故错误；
6. （2026·安徽合肥·模拟预测）对于数列
na
，定义
1
1
2
2
2n
n
n
a
a
a
H
n
-
+
+
+
=
L
为数列
na
的“优值”，现已
知数列
na
的“优值”
2n
n
H =
，记数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
2026
2026
S
= （ ）
A．2027
B．2027
2
C．2029
D．2029
2
【答案】D
【分析】根据“优值”定义结合作差法求出
na ，根据等差数列的前n 项和公式求出
n
S ，代入求解即可.
【详解】由
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
H
n
-
+
+
+
=
=
L
，得
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，①
2
1
1
2
1
2
2
1 2
n
n
n
a
a
a
n
-
-
-
+
+
+
=
-
×
L
，②
①-②得
1
1
1
2
2
1 2
1 2
n
n
n
n
na
n
n
n
-
-
-
=
×
-
-
×
=
+
×
，即
1
na
n
=
+ ，
3
2
n
n n
S
+
=
，
所以
2026
2029
2026
2
S
=
．
7. （2026·河南南阳·一模）在等差数列
na
中，
2022
2023
2025
5
a
a
a
-
+
=
，当
2
2
1
4047
a
a
+
取得最小值时，
2026
a
=
（ ）
A．5
B．6
C．2025
D．2026
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式及二次函数的性质求解即可.
【详解】设等差数列
na
的公差为d ，
则
2022
2026
4
a
a
d
=
-
，
2023
2026
3
a
a
d
=
-
，
2025
2026
a
a
d
=
-
.
所以
2026
2026
2026
2026
4
3
2
5
a
d
a
d
a
d
a
d
-
-
-
+
-
=
-
=
，所以
2026
2
5
a
d
=
+
.
2
2
2
2
2
2
1
4047
2026
2026
2025
2021
2
5
2025
2
5
2021
a
a
a
d
a
d
d
d
d
d
+
=
-
+
+
=
+
-
+
+
+
2
2
2
5
2023
5
2023
2
2023
50
d
d
d
=
-
+
+
=
´
+
.
当
2
2
2
1
4047
2
2023
50
a
a
d
+
=
´
+
取得最小值时，
0
d =
，此时
2026
5
a
=
.
8. （2026·山东济宁·一模）已知数列
na
的首项
1
1
2
a =
，且满足
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+ ，则
6a = （ ）
A．1
12
B．1
10
C．10
D．12
【答案】A
【分析】根据递推关系得
1
1
1
2
n
n
a
a
+
-
=
，结合等差数列定义写出
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
的通项公式，即可得答案.
【详解】由题意可得：
1
1
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
Þ
-
=
+
，
令
1
n
n
b
a
=
，则可得：
1
2
n
n
b
b
+ =
+ ，
所以
nb
是等差数列，公差为2.
又因为
1
1
1
2
2
a
b
=
Þ
=
，所以
1
(
1)
2
2
1
2
nb
b
n
d
n
n
=
+
-
=
+
-
=
，
所以
6
6
1
1
12
a
b
=
=
.
9. （2026·贵州安顺·一模）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
1
n
n
a
c
a
+ =
-
．若对于任意
*
nÎN ，都有
1
2
n
n
a
a +
<
<
成
立，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
5
2, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
5
2, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
C．
5
2, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
D．
2,3
【答案】B
【详解】因
1
1
a = ，
1
1
n
n
a
c
a
+ =
-
，且对于任意
*
nÎN ，都有
1
2
n
n
a
a +
<
<
成立，
则
2
1
1
1
1
1
a
c
c
a
a
=
-
=
- >
= ，可得
2
>
c
，
由
2
2
a <
可得
1
2
c - <
，即得
3
c < ，即2
3
c
<
<
.
又由
1
n
n
a
a +
<
及
1
1
n
n
a
c
a
+ =
-
可得
1
n
n
c
a
a
-
>
，则
1
n
n
c
a
a
>
+
，
易知
na
为递增数列，则
1
1
na
a
³
= ，且
2
na < ，
因函数
1
( )
f x
x
x
=
+
在[1,2) 上为增函数，则
5
( )
(2)
2
f x
f
<
=
，
由题意可知数列{
}
na
单调递增且有上界2，故极限存在，设lim
n
n
a
A
®¥
=
，则1
2
A
<
£
.
对
1
1
n
n
a
c
a
+ =
-
取极限得
1
A
c
A
=
-
，即
1
c
A
A
=
+
.
函数
1
( )
f A
A
A
=
+
在(1,2]上单调递增，故
(1)
(2)
f
c
f
<
£
，解得
5
2
2
c
<
£
，
故实数c 的取值范围是
5
2, 2
æ
ù
ç
ú
è
û .
10. （2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
9
3
6
2S
S
S
=
+
，且
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
+
+
=
，则
正整数k 的值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】A
【分析】设等比数列
na
的公比为q ，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得
3
1
2
q = -
，再由等比
数列的通项公式，化简求得1
2
k
q = - ，进而求得k 的值.
【详解】设等比数列
na
的公比为q ，
当
1
q = 时，可得
9
1
3
1
6
1
9 ,
3 ,
6
S
a S
a S
a
=
=
=
，则
9
1
3
6
1
2
18 ,
9
S
a S
S
a
=
+
=
因为
1
0
a ¹
，所以
9
3
6
2S
S
S
¹
+
，所以
1
q ¹ ，此时
1(1
)
1
-
=
-
n
n
a
q
S
q
，
又因为
9
3
6
2S
S
S
=
+
，可得
9
3
6
1
1
1
2
(1
)
(1
)
(1
)
1
1
1
a
q
a
q
a
q
q
q
q
-
-
-
=
+
-
-
-
，
所以
9
3
6
2(1
)
(1
)
(1
)
q
q
q
-
=
-
+
-
，即
6
3
2
1
0
q
q
-
- =
，
令
3
t
q
=
，可得
2
2
1
0
t
t
- - =
，解得
1
2
t = -
或
1
t = （舍去），所以
3
1
2
q = -
，
法一：由
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
+
+
=
，提取公因式
3
1
a ，可得
3
3
1
1
1
0
k
q
q -
+
+
=
，
因为
3
1
2
q = -
，代入化简得
3
1 2
0
k
q -
-
+
=
，即
3
1
k
q - = ，所以3
0
k
-
=
，解得
3
k =
；
法二：由等比数列的通项公式，可得
1
1
n
na
a q -
=
，
因为
3
6
1
1
1
0
k
a
a
a
+
+
=
，可得
5
1
1
1
2
1
1
1
1
0
k
q
a q
a
q
a
-
+
+
=
，即
2
5
1
1
1
1
0
k
q
q
q -
+
+
=
，
则
2
5
1
1
1
1
1
(
)
0
k
q
q
q
q
-
+
+
=
，即
3
6
1
1
1
0
k
q
q
q
+
+
=
，
因为
3
1
2
q = -
，所以
1
0
2
4
k
q
+
+
=
-
，可得
1
2
k
q = -
，所以
3
k =
.
11. （2026·河北邯郸·一模）已知递增数列
na
满足
1
1
a = ，且
2
1
n
n
n
a
a
a
l
m
+ =
-
，则,
l m 满足的关系式不可能
为（ ）
A．
0
l
m
+
<
B．
1
0
lm + <
C．
2
2
2
l
m
+
=
D．
2
0
l
m
-
=
【答案】D
【分析】利用反证法验证D 选项不成立，通过举反例验证A,B,C 选项.
【详解】因为
na
是递增数列，所以
2
1
0
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
l
m
+ -
=
-
-
>
．
又
1
1
0
a = >
，所以
0
na >
，则
1
na
m
l
<
- ．
若
2
0
l
m
-
=
，则
2
2
1
1
1
a
a
a
l
m
l
m
m
=
-
=
-
=
> ，则
2
2
3
3
2
2
2
a
a
a
l
m
m
m
m
=
-
=
-
>
．
由
1
m > ，得
2
2
1
m
m
-
> ，即
2
1
0
m -
<
，矛盾，
故,
l m 满足的关系式不可能为
2
0
l
m
-
=
．
取
1,
2
l
m
=
= - ，则
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，
满足
na
是递增数列，此时
1
0
l
m
+
= - <
，
1
1
0
lm + = - <
．取
1
l = ，
1
m = - ，则
2
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，
满足
na
是递增数列，此时
2
2
2
l
m
+
=
．
12. （2026·湖北孝感·二模）已知数列
na
是各项均为正数的等差数列，且公差
0
d >
；数列
nb
是各项均为
正数的等比数列，且公比
1
q >
，若项数均为2
1
n - 项
*
2,
N
n
n
³
Î
，下列说法正确的个数是（ ）
①数据
1a ，
2a ，
3a ，…，
2
1
n
a
- 的平均数是
na ；
②数据
1b ，
2b ，
3b ，…，
2
1
n
b
- 的平均数是
nb ；
③若
1
1
a
b
=
，
2
1
2
1
n
n
a
b
-
-
=
，则数据
1a ，
2a ，
3a ，…，
2
1
n
a
- 的中位数大于数据
1b ，
2b ，
3b ，…，
2
1
n
b
- 的中位数；
④若
1
1
a
b
=
，
2
1
2
1
n
n
a
b
-
-
=
，则数据
1a ，
2a ，
3a ，…，
2
1
n
a
- 的平均数大于数据
1b ，
2b ，
3b ，…，
2
1
n
b
- 的平均数．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可.
【详解】对于①选项，设
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
n
n
a
a
S
n
n
a
-
-
+
=
-
=
-
×
，
所以数据
1a ，
2a ，
3a ，…，
2
1
n
a
- 的平均数是
2
1
2
1
n
n
S
a
n
-
=
-
，故①选项正确：
对于②选项，当
2
n =
时，取
nb
为2，4，8，平均数为
2
2
4
8
14
4
3
3
b
+
+
=
¹
=
，故②选项错误；
对于③选项，
1a ，
2a ，
3a ，…，
2
1
n
a
- 的中位数是
na ，
1b ，
2b ，
3b ，…，
2
1
n
b
- 的中位数是
nb ，
1
2
1
1 2
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
a
a
b
b b
a a
a
-
-
-
+
=
=
<
=
，故③选项正确；
对于④选项，易知点
,
k
k a
在直线
1
y
dx
a
d
=
+
-
上，点
,
k
k b
在曲线
1
1
x
y
b q -
=
上，
因为
1
1
2
1
2
1
,
-
-
=
=
n
n
a
b a
b
，所以如下图所示：
由图可知，当2
2
2
k
n
£
£
-
时，
k
k
a
b
>
，
所以数列
na
的前2
1
n - 项和大于数列
nb
的前2
1
n - 项和，
所以数列
na
的前2
1
n - 项的平均数比
nb
的前2
1
n - 项的平均数大，④选项正确．
考点4 圆锥曲线
1. （2026·辽宁抚顺·模拟预测）若抛物线
2
2
0
x
py p
=
>
的准线为直线l ，且l 被圆C ：
2
2
1
x
y
+
= 所截得的
弦长为
3 ，则该抛物线的方程为（ ）
A．
2x
y
=
B．
2
2
x
y
=
C．
2
5
2
x
y
=
D．
2
4
x
y
=
【答案】B
【详解】抛物线
2
2
0
x
py p
=
>
的准线l 方程为
2
p
y = -
，
圆C 的圆心为原点，半径为1，所以圆心到直线l 的距离为
2
3
1
1
2
2
d
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
2
p =
，故
1
p = ，即抛物线的准线方程为
1
2
y = -
，
所以抛物线的方程为
2
2
x
y
=
.
2. （2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
-
=
>
，AB 是过右焦点F 且垂直于x 轴的弦，若点
A ，B 到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（ ）
A．3
2
B．
5
2
C．
7
2
D．2
【答案】B
【分析】先求出
,
A B 的坐标，渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式列方程解得半焦距c ，进而可求得
离心率.
【详解】由双曲线的方程
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
-
=
>
知渐近线方程为
2
b
y
x
= ±
，
设
,0
0
F c
c >
，因为AB 是过右焦点F 且垂直于x 轴的弦，所以
2
2
,
,
,
2
2
b
b
A c
B c
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
过
,
A B 分别作渐近线
2
b
y
x
=
，即
2
0
bx
y
-
=
的垂线，垂足分别为
1
1
,
A B ，如图：
则
2
2
1
1
2
2
,
4
4
bc
b
bc
b
AA
BB
b
b
-
+
=
=
+
+
.
又点A ，B 到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，
所以
1
1
2
AA
BB
+
=
，即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
bc
b
bc
b
bc
b
bc
b
bc
b
b
b
b
-
+
+
-
+
+
=
=
=
+
+
+
+
，整理得
2
2
2
4
b
b c
+
=
.
将
2
2
4
b
c
=
-
代入上式得
2
2
2
4
4
4
c
c
c
-
+
=
-
，解得
2
5
c =
，所以
5
c =
，
所以离心率
5
2
c
e
a
=
=
.
3. （2026·河北保定·一模）已知抛物线：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为F，点D 为C 的准线上一点，线段DF
与C 交于点E，若
4
3
DE =
，
2
3
EF =
，则p = （ ）
A．1
4
B．
1
2
C．3
4
D．1
【答案】D
【分析】设
0
0
,
E x
y
，由题意可知
3
DF
EF
=
，可得
0
6
p
x =
，再根据
2
3
EF =
结合抛物线定义运算求解即
可.
【详解】设
0
0
,
E x
y
，
0
0
2
p
x
<
<
，
因为抛物线的焦点为
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø，准线为
2
p
x = -
，
由题意可知：
3
DF
EF
=
，则
0
3 2
p
p
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，可得
0
6
p
x =
，
且
0
2
2
2
3
3
p
EF
x
p
=
+
=
=
，所以
1
p = .
4. （2026·广东广州·一模）已知抛物线C ：
2
2
y
px
=
（
0
p >
）的焦点为F ，圆M ：
2
2
1
16
x
y
+
+
=
与C
交于A ，B 两点，若直线AM 与直线BM 的斜率之积为3
- ，则AF = （ ）
A．3
B．7
2
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先由已知条件解出A ，B 两点坐标，再由焦半径公式求得AF .
【详解】由圆M ：
2
2
1
16
x
y
+
+
=
可知，圆心
( 1,0)
M -
，半径为4 .
而圆M 和抛物线C 都关于x 轴对称，则可设
,
(
)
A x y ，
(
)(
0)
,
B x
y x
-
>
.
由
2
2
3
1
1
1
AM
BM
y
y
y
k
k
x
x
x
× -
-
=
=
+
+
×
= -
+
，得
2
2
3
1
y
x
=
+
.
因为点A 在圆M 上，又有
2
2
1
16
x
y
+
+
=
，即
2
2
1
16
3
1
x
x
+
+
+
=
，
而
0
x >
，则解得
1
x = ，所以
2
2
12
3 1 1
y
=
=
+
.而点A 又在抛物线C 上，
则有12
2
1
p
=
× ，所以
6
p =
，则
(3,0)
F
.
所以
3 1
4
2
A
p
AF
x
=
+
=
+ =
.
5. （2026·湖南长沙·模拟预测）已知点P 在直线:
3
l y
x
=
+ 上移动，椭圆C 以
1,0
A -
和
10
B
,
为焦点且经
过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）
A．
5
5
B．10
5
C．15
5
D．2 5
5
【答案】A
【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得a 的范围，进一步计算离心率
1
c
e
a
a
=
=
的范围.
【详解】椭圆C 以A ，B 为焦点，即
1
c = ，
2
2
1
b
a
=
- ，
所以设椭圆方程
2
2
2
2
1(
1)
1
x
y
a
a
a
+
=
>
-
，
联立方程
2
2
2
2
1
1
3
x
y
a
a
y
x
ì
+
=
ï
-
í
ï
=
+
î
，
消去y 得出
2
2
2
2
4
(2
1)
6
10
0
a
x
a x
a
a
-
+
+
-
= ，
由题意可得
4
2
2
4
36
4(2
1)(10
)
0
a
a
a
a
D =
-
-
-
³
，
即
4
2
6
5
0
a
a
-
+
³
，得出
2
5
a ³
或
2
1
a £ （舍去），解得
5
a³
，
所以
1
5
5
c
e
a
a
=
=
£
，
所以椭圆C 的离心率的最大值为
5
5
.
6. （2026·陕西铜川·一模）已知F 为抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点，C 的准线和x 轴交于点P，点M 在抛物线C
上，若FM
PM
^
，则sin
MPF
Ð
=（ ）
A．
1
2
B．
5
1
2
-
C．
2
2
D．
5
1
4
+
【答案】B
【分析】利用FM
PM
^
，结合圆与抛物线的交点得出M 点的横坐标，再由抛物线的定义得
5
2 1
5
1
MF =
-
+ =
- ，又因为
2
PF =
，求得sin
MPF
Ð
即得.
【详解】因为C 的准线
1
x = - 和x 轴交于点
1,0
P -
，且
1,0
F
．
根据题意可得图形，
由已知FM
PM
^
，可知M 满足
2
2
1
x
y
+
= ，
又因为M 在抛物线C 上，所以
2
2
2
4
1
y
x
x
y
ì
=
í
+
=
î
，
所以
2
4
1
0
x
x - =
+
，所以
4
2 5
5
2
2
x
- +
=
=
-
，因此，M 点的横坐标是5
2
-
，
由抛物线的定义知
5
2 1
5
1
MF =
-
+ =
- ， 且FM
PM
^
，
所以
2
PF =
，所以
5
1
sin
2
MPF
Ð
-
=
．
故选：B.
7. （2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
存在以(3 , )
a a 为中点的弦，则离心率的
取值范围是（ ）
A．
15
11
0,
,
4
3
æ
ö
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
B．
10
11
1,
,
3
3
æ
ö
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
C．
10
3 2
1,
,
3
4
æ
ö
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
D．
11
3 3
1,
,
3
4
æ
ö
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
【答案】C
【分析】讨论已知点的位置，将点坐标代入双曲线方程得
2
2
b
a
的范围，代入离心率公式，可得e 的范围.
【详解】若点(3 , )
a a 在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以(3 , )
a a 为中点的弦，
此时
2
2
2
2
9
1
a
a
a
b
-
> ，解得
2
2
8
a
b <
，则
2
2
1
8
b
a >
，
所以
2
2
1
3 2
1
1
8
4
c
b
e
a
a
=
=
+
>
+
=
，符合题意；
若点(3 , )
a a 在右焦点所在的双曲线外部，则
3 2
1
4
e
<
<
，
设以(3 , )
a a 为中点的弦与双曲线E 交于
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)两点，
则
1
2
1
2
6 ,
2
x
x
a y
y
a
+
=
+
=
，
则
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，
两式作差得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
-
-
-
=
，整理得弦的斜率
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
(
)
3
(
)
y
y
b
x
x
b
k
x
x
a
y
y
a
-
+
=
=
=
-
+
，
因为存在该中点弦，所以直线AB 与双曲线E 有2 个不同的交点，
则
2
2
3b
b
a
a
<
，解得
1
0
3
b
a
<
<
，所以
2
2
1
0
9
b
a
<
<
，
则
2
2
10
1
1, 3
c
b
e
a
a
æ
ö
=
=
+
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，符合题意.
综上，离心率的取值范围是
10
3 2
1,
,
3
4
¥
æ
ö
æ
ö
È
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
故选：C
8. （2026·陕西榆林·模拟预测）将双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
绕原点O 逆时针旋转3π
8 后，得到函数
1
( )
f x
x
x
=
+
的图象，已知直线y
x
=
是函数
( )
f x 图象的一条渐近线，
3π
tan
2
1
8 =
+ ，则ab =（ ）
A．1
B．2
C．
6
D．2 2
【答案】B
【分析】由题意得双曲线旋转后的实轴所在直线方程，结合函数
1
( )
f x
x
x
=
+
的解析式，利用双曲线的性质
求,a b 的值即可．
【详解】
如图所示，易知直线
1
2
A A 的倾斜角为3π
8 ，
则直线
1
2
A A 的斜率
3π
tan
2
1
8
k =
=
+ ，
则直线
1
2 :
( 2
1)
A A
y
x
=
+
，
由
2
1
1
y
x
y
x
x
ì
=
+
ïí
=
+
ïî
，得
2
2
2
3 2
,
2
2
2
x
y
=
=
+
，
则
2
2
2
2
2
2
2 2
a
OA
x
y
=
=
+
=
+
．
由题意可知，函数
( )
f x 图象的另一条渐近线为直线
0
x =
，
过点
1A 和点
2
A 分别作直线
1
2
A A 的垂线分别交直线
,
0
y
x x
=
=
于点N，M，Q，P，
2
2
π
π
π
2
sin
2sin
1 cos
1
π
8
8
4
2
tan
2
1
π
π
π
π
8
2
cos
2sin
cos
sin
8
8
8
4
2
b
A P
a
a
a
a
a
a
-
-
=
=
=
×
=
×
=
×
=
×
=
-
，
2
( 2
1)
2
ab
a
=
-
=
．
9. （2026·浙江宁波·二模）已知直线l 与焦点为F 的抛物线
2
:
4
C y
x
=
相交于M ，N 两点，且
2π
3
MFN
Ð
=
，
线段MN 的中点A 到抛物线C 的准线的距离为d ，则MN
d
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
3
D．2
【答案】C
【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得
2
2
4 1
(
)
MN
mn
d
m
n
æ
ö
æ
ö
=
-
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
，结合
2
(
)
4
m
n
mn
+
³
计算即可求
解．
【详解】设|
|
,|
|
MF
m NF
n
=
=
，过点M，N 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为
1
1
,
M
N ，
则
1
1
,
MM
m NN
n
=
=
，如图，
因为点A 为线段MN 的中点，所以点A 到抛物线C 的准线的距离为
2
m
n
d
+
=
，
在
MFN
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2π
|
|
2
c s 3
o
MN
m
n
mn
m
n
mn
=
+
-
=
+
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4 (
)
|
|
4 1
(
)
(
)
(
)
m
n
mn
m
n
mn
MN
MN
mn
d
d
m
n
m
n
m
n
é
ù
+
+
+
-
æ
ö
æ
ö
ë
û
=
=
=
=
-
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
，
又
2
(
)
4
m
n
mn
+
³
，所以
2
1
(
)
4
mn
m
n
£
+
（当且仅当m
n
=
时，等号成立），
所以
2
1
4
1
3
4
MN
d
æ
ö
æ
ö
³
´
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即MN
d
的最小值为
3 ．
10. （2026·河南南阳·一模）已知椭圆
2
2
1
2
:
1 0
2
4
x
y
E
b
b
+
=
<
<
与椭圆
2
2
2
2
2
:
1
3
3
x
y
E
a
a
a
+
=
>
-
交于四点，
且
1
E ，
2
E 的焦点与这四点在同一个圆上，则
2
a = （ ）
A．4
B．5
C．3
2
+
D．3
2 2
+
【答案】D
【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆
1
E 和
2
E 的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有
2
2
2
2
3
4
1
a
a
b
b
-
-
=
-
Þ
= ，
所以椭圆
1
E 的半焦距为
2
1
4
3
c
b
=
-
=
，椭圆
2
E 的半焦距为
2
2
2
(
3)
3
c
a
a
=
-
-
=
，
因此该圆的方程为
2
2
2
1
x
y
c
+
=
，即
2
2
3
x
y
+
=
，
又两椭圆的交点与
1
E 和
2
E 的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆
2
2
3
x
y
+
=
上，
由
2
2
2
2
2
2
8
1
3
4
1
3
3
x
x
y
y
x
y
ì
ì
=
ï
+
=
ï
ï
Þ
í
í
ï
ï
=
+
=
î
ïî
，
代入椭圆
2
E ：
2
2
2
2
1
3
x
y
a
a
+
=
-
中，
得
2
2
8
1
3
3
1,
3
a
a
+
=
-
化简可得：
4
2
6
1
0
a
a
-
+ =
，解得：
2
6
36
4
3
2 2
2
a
±
-
=
=
±
，
又
3
a >
，故
2
3
2 2
a =
+
.
考点5 三角函数与三角恒等变换
1. （2026·四川成都·二模）已知
π ,π
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，且
π
4
sin cos
sin
sin
2
5
b
a
b
b
b
a
æ
ö
-
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，则1
cos2
sin2
a
a
-
=
（ ）
A．3
4
B．
3
4
-
C．4
3
D．
4
3
-
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出sina ，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二
倍角公式求解.
【详解】因为
π
4
sin cos
sin
sin
2
5
b
a
b
b
b
a
æ
ö
-
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
化简得
4
sin cos
cos
sin
5
b
a
b
b
a
b
-
+
-
=
，
即
4
sin
5
a =
，又
π ,π
2
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2
3
cos
1 sin
5
a
a
= -
-
= -
，
所以
2
1 cos2
2sin
sin
4
sin2
2sin
cos
cos
3
a
a
a
a
a
a
a
-
=
=
= -
.
2. （2026·湖北孝感·二模）已知a 、b 均为锐角，
2 5
sin
5
a =
，
10
sin
10
a
b
-
= -
，则
tan a
b
+
= （ ）
A．7 2
10
B．
5
13
-
C．
3 2
10
-
D．
9
13
-
【答案】D
【分析】根据同角三角函数关系式求出cosa ，
cos a
b
-
，再由
sin
sin
b
a
a
b
é
ù
=
-
-
ë
û 和两角和的正切公
式即可求解.
【详解】因为a ，b 为锐角，所以
π
0
2
a
<
<
，
π
0
2
b
<
<
，
所以
π
π
2
2
a
b
-
<
-
<
，所以
cos
0
a
b
-
>
.
因为
2 5
sin
5
a =
，所以
2
5
cos
1 sin
5
a
a
=
-
=
，
sin
tan
2
cos
a
a
a
=
=
，
因为
10
sin
10
a
b
-
= -
，所以
2
3 10
cos
1 sin
10
a
b
a
b
-
=
-
-
=
，
则
sin
sin
sin cos
cos sin
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
é
ù
=
-
-
=
-
-
-
ë
û
2 5
3 10
5
10
7 2
5
10
5
10
10
æ
ö
=
´
-
´ -
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
cos
1 sin
10
b
b
=
-
=
，
sin
tan
7
cos
b
b
b
=
=
，
tan
tan
2
7
9
tan
1
tan tan
1 2 7
13
a
b
a
b
a
b
+
+
\
+
=
=
= -
-
- ´
.
3. （2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
sin 2
π
x
f x
x
j
=
+
-
π
π
2
2
j
æ
ö
-
<
<
ç
÷
è
ø ，若函数
f x 与
g x 的图象关于
直线x = π
6 对称，且
1
0
6
g
=
，则j =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】B
【分析】根据两函数图象关于直线
π
6
x =
对称及
1
0
6
g
=
得到
π
1
3
6
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，结合j 的范围代入求解即可.
【详解】由题意知
π
1
0
3
6
f
g
æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
，所以
2π
1
1
sin
3
3
3
6
f
p
j
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
2π
1
sin
3
2
j
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
.
因为
π
π
2
2
j
-
<
<
，所以π
2π
7π
6
3
6
j
<
+
<
，所以2π
5π
3
6
j
+
=
，解得
π
6
j =
.
4. （25-26 高三上·天津和平·期末）已知函数
sin2
3
f x
x
w
w
=
<
，若
π
8
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的图象关于y 轴对称，且
f x 在区间
π
0, 8
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，则
π
12
f æ
ö
ç
÷
è
ø 的值为（ ）
A．
3
2
-
B．
1
2
-
C．
1
2
D．
3
2
【答案】A
【分析】由
sin2
3
f x
x
w
w
=
<
求出
π
8
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø ，由
π
8
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的图象关于y 轴对称得到
,
4
2
π
π
π
Z
k k
w
=
+
Î
，
结合
3
w <
求出w 的值，从而得到
f x 的表达式，利用
f x 的表达式求出
π
12
f æ
ö
ç
÷
è
ø .
【详解】
sin2
f x
x
w
=
Q
，
π
π
π
sin2
sin 2
8
8
4
f
x
x
x
w
w
w
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø，
π
8
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
Q
的图象关于y 轴对称，
π
π
π,
Z
4
2
k k
w
\
=
+
Î
，
2
4 ,
Z
k k
w
\
=
+
Î
，
3
w <
Q
，
2
w
\
= 或
2
w = - ，
当
2
w =
时，
sin4
f x
x
=
，
π
0, 8
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø
Q
，
π
4
0, 2
x
æ
ö
\
Îç
÷
è
ø ，
f x
\
在区间
π
0, 8
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，不符合题意；
当
2
w = - 时，
sin
4
f x
x
=
-
，
π
0, 8
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø
Q
，
π
4
,0
2
x
æ
ö
\-
Î -
ç
÷
è
ø ，
设
4
t
x
= -
为单调递减函数，
sin
y
t
=
在
π ,0
2
t
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø 上为单调递增函数，
f x
\
在区间
π
0, 8
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，符合题意；
故
2
w = - ，
sin
4
f x
x
=
-
，
π
π
π
3
sin
4
sin
12
12
3
2
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
- ´
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
故选：A.
5. （2026·宁夏银川·一模）已知
5π
1
sin
cos
6
3
a
a
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，则
π
cos 2
3
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
7
9
-
B．
7
25
-
C．7
25
D．7
9
【答案】A
【分析】根据诱导公式、两角和差的正弦公式、辅助角公式、二倍角公式化简求值即可.
【详解】因为
5π
π
π
π
sin
cos
sin
cos
sin
sin
6
3
2
3
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
=
+
+
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
π
π
1
3
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
3
3
2
2
a
a
a
a
a
a
æ
ö
=
-
+
=
-
-
ç
÷
è
ø
1
3
π
sin
cos
sin
2
2
3
a
a
a
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
π
1
sin
3
3
a
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
则
2
π
π
π
π
cos 2
cos 2
π
cos 2
1 2sin
3
3
3
3
a
a
a
a
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
-
+
= -
-
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
2
1
7
1 2
3
9
é
ù
æ
ö
= -
- ´
= -
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
.
6. （2026·山东枣庄·一模）记函数
3sin
4cos
4
f x
x
x
=
-
-
，
0,π
xÎ
的两个零点为
1
x 和
2x ，则（ ）
A．
1
2
3
cos
2
5
x
x
+
= -
B．
1
2
4
sin
2
5
x
x
+
=
C．
1
2
7
cos
25
x
x
+
= -
D．
1
2
24
sin
25
x
x
+
= -
【答案】D
【分析】令
0
f x =
，即
3
cos
sin
1
4
x
x
=
- ，列方程解sin ,cos
x
x ，不妨设
1
2
x
x
<
，可知
1
π ,π
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
2
π
x =
.
利用诱导公式结合倍角公式逐项分析判断.
【详解】令
3sin
4cos
4
0
f x
x
x
=
-
-
=
，即
3
cos
sin
1
4
x
x
=
- ，
联立方程
2
2
3
cos
sin
1
4
sin
cos
1
x
x
x
x
ì
=
-
ïí
ï
+
=
î
，解得
sin
0
cos
1
x
x
=
ì
í
= -
î
或
24
sin
25
7
cos
25
x
x
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
不妨设
1
2
x
x
<
，则
1
1
24
sin
25
7
cos
25
x
x
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
2
2
sin
0
cos
1
x
x
=
ì
í
= -
î
，
且
1
2
,
0,π
x x Î
，则
1
π ,π
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
2
π
x =
.
对于选项C：
1
2
1
1
7
cos
cos
π
cos
25
x
x
x
x
+
=
+
= -
=
，故C 错误；
对于选项D：
1
2
1
1
24
sin
sin
π
sin
25
x
x
x
x
+
=
+
= -
= -
，故D 正确；
对于选项AB：因为
1
π ,π
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，则
1
π π
,
2
4 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
且
2
2
1
1
1
cos
1 2sin
2cos
1
2
2
x
x
x = -
=
- ，
可得
1
1
1 cos
4
sin 2
2
5
x
x
-
=
=
，
1
1
1 cos
3
cos 2
2
5
x
x
+
=
=
，
则
1
2
1
1
π
4
cos
cos
sin
2
2
2
2
5
x
x
x
x
+
æ
ö
=
+
= -
= -
ç
÷
è
ø
，故A 错误；
且
1
2
1
1
π
3
sin
sin
cos
2
2
2
2
5
x
x
x
x
+
æ
ö
=
+
=
=
ç
÷
è
ø
，故B 错误；
故选：D.
7. （2026·山东临沂·一模）已知锐角a ，b 满足
sin
3sin
a
b
a
b
+
=
-
，则
sin a
b
-
的最大值是（ ）
A．3 10
10
B．
1
2
C．10
10
D．1
3
【答案】D
【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得
sin a
b
-
含t 的表示，即可根据基本不等式求解最
值.
【详解】由
sin
3sin
a
b
a
b
+
=
-
得sin
cos
cos
sin
3sin
cos
3cos
sin
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
-
，即
sin
cos
2cos
sin
a
b
a
b
=
，
由于a ，b 为锐角，故tan
2tan
a
b
=
，
设tan
,
0
t t
b =
>
，则
2
2
2
2
2
1
1
tan
2 ,sin
,cos
,sin
,cos
,
4
1
4
1
1
1
t
t
t
t
t
t
t
a
a
a
b
b
=
=
=
=
=
+
+
+
+
2
2
1
sin
sin
cos
cos
sin
cos
sin
4
1
1
t
t
t
a
b
a
b
a
b
a
b
-
=
-
=
=
+
+
，
令
2
4
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
5
1
3
1
4
1
1
4
5
2 4
5
t
t
f t
t
t
t
t
t
t
t
t
=
=
=
£
=
+
+
+
+
+
+
×
+
，当且仅当
2
2
t =
时取到等号.故
sin a
b
-
的最大值为1
3 .
考点6 比较大小（指数、对数、三角函数）
1. （2026·湖北襄阳·一模）设
5
log 4
a =
，
6
log 5
b =
，
4
log 3
c =
，则（ ）
A．a
c
b
<
<
B．a
b
c
<
<
C．b
c
a
<
<
D．c
a
b
<
<
【答案】D
【分析】根据, ,
a b c 的形式构造函数
ln
,
1
ln
1
x
f x
x
x
=
>
+
，利用导数求解函数的单调性即可得解.
【详解】由于
5
ln 4
ln5
ln3
log 4
,
,
ln5
ln6
ln 4
a
b
c
=
=
=
=
，
故构造函数
ln
,
1
ln
1
x
f x
x
x
=
>
+
，则
2
2
1
1
ln
1
ln
1 ln
1
ln
1
ln
1
1 ln
1
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x x
x
+
-
+
+
-
+
¢
=
=
+
+
+
，
令
1 ln
1
ln ,
1
g x
x
x
x
x
x
=
+
+
-
>
，
故
( )
ln
1
1 ln
1
ln
1
ln
0
g x
x
x
x
x
¢
=
+
+ -
- =
+
-
>
，因此
g x 在
1,+¥ 上单调递增，
故
1
2ln 2
0
g x
g
>
=
>
，故
0
f
x
¢
>
在
1,+¥ 恒成立，故
f x 在
1,+¥ 上单调递增，因此
3
4
5
f
f
f
<
<
，即c
a
b
<
<
.
2. （2026·广东深圳·一模）若实数x ，y ，z 满足
2
2
log
y
x
z
-
=
= -
，则x ，y ，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．z
x
y
>
>
B．z
y
x
>
>
C．y
x
z
>
>
D．y
z
x
>
>
【答案】C
【详解】由
2
2
log
y
x
z
-
=
= -
可得
1
2
1
2
1
log
2
y
x
z
t
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，
1
2
log
t
x
=
与
1
2x
t =
互为反函数，故其交点C 在直线t
x
=
上，且交点横坐标小于1，
而t
x
=
与t
x
=
交点的横坐标等于1，
从而t
x
=
，
1
2
log
t
x
=
，
1
2x
t =
在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：
1
2x
t =
与t
x
=
的图像交点为B ,
1
2
log
t
x
=
与t
x
=
的图像交点为A ,
且
B
A
C
x
x
x
<
<
当直线y
m
=
位于点A 的上方时，此时直线y
m
=
与三个函数的交点横坐标满足x
z
y
>
>
，
当直线y
m
=
位于点B 的上方，A 的下方时，此时直线y
m
=
与三个函数的交点横坐标满足z
x
y
>
>
，
当直线y
m
=
位于C 点的上方，B 的下方时，此时直线y
m
=
与三个函数的交点横坐标满足z
y
x
>
>
，
当直线y
m
=
位于C 点的下方时，此时直线y
m
=
与三个函数的交点横坐标满足y
z
x
>
>
，
3. （2026·宁夏银川·一模）若
2
lg 2 log 11
a =
×
，
11
11
2log 2
log 3
b =
+
，
2
1
2
c
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．a
c
b
<
<
B．a
b
c
<
<
C．c
a
b
<
<
D．c
b
a
<
<
【答案】D
【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出
单调性比较出,a b 的大小.
【详解】
2
lg11
lg 2 log 11
lg 2
lg11
lg 2
a =
×
=
×
=
Q
，11
10
>
，
lg11
lg10
1
\
>
= ，
1
a
\
> ，
11
11
11
11
11
2
2log 2
log 3
log
log 3
log 12
2
b =
+
=
+
=
Q
，12
11
>
，
11
11
log 12
log 11
1
\
>
= ，
1
b
\ > ，
设
log
1
1
x
f x
x
x
=
+
>
，
ln
1
ln
x
f x
x
+
\
=
，
2
2
1
1
ln
ln
1
ln
1 ln
1
1
ln
1 ln
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x x
x
-
+
-
+
+
+
\
=
+
¢
=
，
设
ln
1
g x
x
x x
=
>
，
ln
1
g
x
x
=
¢
+ ，
1
x >
Q
，
0
g
x
\ ¢
>
，
g x
\
在
1, ¥
+
上是单调递增函数，
ln
1 ln
1
x
x
x
x
\
<
+
+
，
ln
1 ln
1
0
x
x
x
x
\
-
+
+
<
，
0
f
x
\ ¢
<
，
f x
\
在
1, ¥
+
上是单调递减函数，
ln11
ln12
ln10
ln11
\
>
，
11
lg11
log 12
\
>
，
1
a
b
\
>
> ，
1
2
x
y
æ
ö
= ç
÷
è
ø
Q
为
,
¥
¥
-
+
上的单调递减函数，
2
0
>
，
2
0
1
1
0
1
2
2
æ
ö
æ
ö
\ <
<
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
0
1
c
\ <
< ，
a
b
c
\
>
>
，即c
b
a
<
<
.
4. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）已知3ln 23
5ln 7
<
，若7
3
a = ，23
7
b =
，
11
log 5
c =
，则（ ）
A．a
b
c
<
<
B．b
a
c
<
<
C．a
c
b
<
<
D．c
a
b
<
<
【答案】A
【分析】利用指数和对数运算，先估算出
3 2
,
5 3
b
æ
ö
Îç
÷
è
ø 的取值范围，再用对数运算来估算
2
3
c >
和
3
5
a <
，即可
得到判断
【详解】由7
3
a = ，23
7
b =
，则有
7
log 3
a =
，
23
7
1
log
7
log 23
b =
=
，
由3ln 23
5ln 7
<
，有
7
ln 23
5
log 23
ln 7
3
=
<
，
由
3
2
7
343
529
23
=
<
=
，得
2
7
7
3
log 23
2log 23
<
=
，即
7
3
log 23
2
>
，
则有
7
1
3 2
,
log 23
5 3
b
æ
ö
=
Îç
÷
è
ø，
由
11
11
11
3
3log 5
log 125
log 121
2
c =
=
>
=
，得
2
3
c >
，
由
5
3
7
7
7
7
7
5
5log 3
log 3
log 243
log 343
log 7
3
a =
=
=
<
=
=
，得
3
5
a <
，
所以a
b
c
<
<
.
5. （2025·四川自贡·二模）已知
ln2.303
ln ln2.303
2.303
ln2.303
a =
-
，
ln sin2.303
e
b =
，
ln 1
cos2.303
c =
+
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．a
c
b
>
>
B．b
c
a
>
>
C．b
a
c
>
>
D．c
b
a
>
>
【答案】C
【分析】根据题意，可判断
0
a =
，
0
b >
，
0
c <
得解.
【详解】
ln ln2.303
ln 2.303
ln 2.303
ln ln 2.303
=
Q
，
ln2.303
ln ln 2.303
ln 2.303
ln ln 2.303
=
，
ln2.303
ln ln2.303
2.303
ln 2.303
\
=
，则
0
a =
，
又
ln sin2.303
e
0
b =
>
，
π
ln 1 cos2.303
ln 1 cos
ln1
0
2
c
æ
ö
=
+
<
+
=
=
ç
÷
è
ø
，
b
a
c
\ >
>
.
故选：C.
6. （25-26 高三上·广西·期末）已知正实数a，b 满足
2
2025
e
e
a
a
- =
和
2028
ln
2
e
b
b -
=
，则（ ）
A．
2028
2029
e
e
ab
<
<
B．
2027
2028
e
e
ab
<
<
C．
2026
2027
e
e
ab
<
<
D．
2025
2026
e
e
ab
<
<
【答案】A
【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数
ln
f x
x
x
=
+
，利用导数判断其单调性，即由
ln
2
f a
f
b
>
-
推得
ln
2
a
b
>
- ，再利用不等式性质推得
2028
e
ab >
，再将其变形后借助于指数函数单调性
推出
2029
e
ab <
即可.
【详解】由
2
2025
0
e
e
a
a
- =
>
，两边取对数，
2
2025
ln
e
ln e
a
a
-
=
，即ln
2027
a
a
+
=
，
又由
2028
ln
2
e
0
b
b -
=
>
，两边取对数，
ln
ln ln
2
2028
b
b
+
-
=
，即
ln
2
ln ln
2
2026
b
b
-
+
-
=
，
令
ln
f x
x
x
=
+
，
0
x >
，则
2027
ln
2
2026
f a
f
b
=
>
-
=
，
由
1
1
0
f
x
x
= +
>
¢
，可得
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，则
ln
2
a
b
>
- ，故
2028
ln
2
e
ab
b
b
>
-
=
；
又由
ln
2
a
b
>
- 可得
2
ea
b
+
<
，则
2
2
4
2029
e
e
e
e
a
a
ab
a
a
+
-
<
=
×
=
，故
2028
2029
e
e
ab
<
<
.
故选：A.
1．（2026·四川德阳·二模）若1
tan
3
1
tan
3
q
q
-
=
+
，则
4
4
sin
cos
q
q
-
＝（ ）
A．
1
2
-
B．
1
2
C．
3
2
-
D．
3
2
【答案】C
【分析】由条件关系求出tanq ，根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得
2
4
4
2
tan
1
sin
cos
tan
1
q
q
q
q
-
-
=
+ ，
由此可求结论.
【详解】因为1
tan
3
1
tan
3
q
q
-
=
+
，
所以 3(1
tan )
3(1
tan )
q
q
-
=
+
故
3
3
tan
2
3
3
3
q
-
=
=
-
+
，
因为
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
tan
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
tan
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
-
-
-
=
-
+
=
-
=
=
+
+
，
又
2
2
tan
(2
3)
7
4 3
q =
-
=
-
，
所以
4
4
7
4 3
1
2 3
2 3
3
3
2
6
4 3
3
2 3
3
sin
cos
2
8
4 3
7
4 3
1
4 2
3
2 2
3
2
3
2
q
q
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
=
=
= -
-
-
+
-
-
-
-
.
2．（2026·山东威海·一模）已知定义在R 上的函数
( )
f x 满足
(1
)
(1
),
(2
)
2
(2
)
f
x
f
x
f
x
f
x
-
=
+
-
=
-
+
，则
（ ）
A．
1
1
3
f æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
B．
(
)
1
1
f -
=
C．
(0)
1
f
=
D．
(3)
1
f
=
【答案】C
【分析】根据题设条件推得函数的对称性和周期性，并利用函数的这些性质可推得C 项正确，根据条件无
法确定其它选项正误.
【详解】由(1
)
(1
)
f
x
f
x
-
=
+
可知函数
( )
f x 的一条对称轴为直线
1
x = ，
由
(2
)
2
(2
)
f
x
f
x
-
=
-
+
，可知函数
( )
f x 的一个对称中心为(2,1) ，故函数的一个周期为4(2 1)
4
-
=
.
对于
(2
)
2
(2
)
f
x
f
x
-
=
-
+
，取
0
x =
，可得
(2)
2
(2)
f
f
=
-
，解得
(2)
1
f
= ，
又由(1
)
(1
)
f
x
f
x
-
=
+
，取
1
x = ，可得
(0)
(2)
1
f
f
=
= ，故C 正确.
由函数的周期性和对称性，可得
(4)
( 2)
(0)
1
f
f
f
=
-
=
= ，根据题设条件无法推得其它三个选项的正误.
故选：C.
3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知定义域为R 的函数
f x 的图象关于原点对称，若
1
1
f x
f
x
+
=
-
，
1
3
f
= ，则
2025
1
i
f i
=
=
å
（ ）
A．3
B．0
C．3
-
D．6
【答案】A
【分析】根据题意推得函数
f x 是以4 为周期的周期函数，再结合函数周期性求解即可.
【详解】因为定义域为R 的函数
f x 的图象关于原点对称，
所以
f
x
f x
-
= -
，
0
0
f
=
因为
1
1
f x
f
x
+
=
-
，即
2
f x
f
x
+
=
-
所以
2
f x
f x
+
= -
，
所以
4
f x
f x
+
=
，即函数
f x 是以4 为周期的周期函数，
因为
1
3
f
=
，
2
0
0
f
f
= -
=
，
3
1
3
f
f
= -
= - ，
4
0
0
f
f
=
=
所以
1
2
3
4
0
f
f
f
f
+
+
+
=
，
所以
2025
1
506
1
2
3
4
1
3
i
f i
f
f
f
f
f
=
é
ù
=
´
+
+
+
+
=
ë
û
å
故选：A
4．（2026·重庆·模拟预测）已知,x yÎR ，
2
1
2
2
x
x
-
+
=
，
2
4
log
2
y
y
+
=
，则
2
x
y
+
= （ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【详解】
2
1
2
2
x
x
-
+
=
左右两边同时乘以2 得
2
2
2
4
x
x +
=
，
2
4
log
2
y
y
+
=
左右两边同时加2 得
2
4
log
4
4
y
y
+
=
，
设
( )
2t
f t
t
= +
，则
( )
f t 单调递增，
又
(2 )
4
f
x =
，
2
(log 4 )
4
f
y =
，
所以
2
2
log 4
x
y
=
，
所以
2
2
4
log 4
4
4
x
y
y
y
+
=
+
=
，所以
2
2
x
y
+
=
.
5．（2026·陕西宝鸡·一模）已知数列
na
满足：
1a
m
=
（m 为正整数），
1
,
2
3
1,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
ìï
= í
ï
+
î
当
为偶数时
当
为奇数时
，若
8
1
a = ，则m 的值不可能为（ ）
A．16
B．19
C．20
D．21
【答案】B
【分析】从
8
1
a = 进行推导，得到
5
8
a = 或
5
1
a = ，继续推导，得到答案.
【详解】
8
1
a = ，若
7a 为偶数，则
7
1
2
a = ，解得
7
2
a =
，满足要求，
若
7a 为奇数，则
7
3
1
1
a + = ，解得
7
0
a =
，不合要求，
若
6a 为偶数，则
6
2
2
a =
，解得
6
4
a =
，满足要求，
若
6a 为奇数，则
6
3
1
2
a + =
，解得
6
1
3
a =
，不合要求，
若
5a 为偶数，则
5
4
2
a =
，解得
5
8
a = ，满足要求，
若
5a 为奇数，则
5
3
1
4
a + =
，解得
5
1
a = ，满足要求，
①若
5
8
a = ，若
4a 为偶数，则
4
8
2
a =
，解得
4
16
a =
，
若
4a 为奇数，则
4
3
1
8
a + =
，解得
4
7
3
a =
，不合要求，舍去；
则
3
4
16
16
2
a
a =
Þ
=
或
3
3
1
16
a + =
，
3
32
a
\
=
或
3
5
a =
，
同理可得，若
3
32
a =
则
2
64
a =
，
1
128
a
\
=
或21，
若
3
5
a =
，则
2
10
a =
，
1
20
a
\
=
或3；
②若
5
1
a = ，则
4
2
a =
，
3
4
a =
，则
2
1
a = 或8，
1
2
a
\
=
或16，
综上：
2
m =
，3，16，20，21，128.
则m 的值不可能为19，
故选：B
6．（2026·江苏南通·一模）已知四棱锥S
ABCD
-
中，SA ^ 平面
,
,
90 ,
1
ABCD AD
BC
ABC
AB
BC
Ð
=
°
=
=
∥
，
2
AD =
，点S 到直线CD 的距离为2．以A 为球心，
5
2
为半径的球面与侧面SCD 的交线长为（ ）
A．π
3
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】B
【分析】利用空间垂直关系证明线面垂直，再利用球被平面所截得到一个圆，然后利用已知条件计算交线
长即可.
【详解】
在梯形ABCD 中，因为
2
,
90 ,
1,
AD
BC
ABC
AB
B
AD
C
Ð
=
°
=
=
=
∥
，
所以
2,
2
AC
CD
=
=
，则
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
，即AC
CD
^
，
因为SA ^ 平面
,
ABCD CD Ì 平面
,
ABCD 所以SA
CD
^
，
又因为
,
,
SA
AC
A SA AC
Ç
=
Ì 平面ASC ，所以CD ^ 平面ASC ，
又因为SC Ì 平面ASC ，所以CD
SC
^
，
由点S 到直线CD 的距离为2，可得
2
SC =
，
再过点A 作AH
SC
^
，垂足为H ，则CD
AH
^
，
又因为
,
,
SC
CD
C SC CD
=
Ì
I
平面SCD ，所以AH ^ 平面SCD ，
由
2
SC =
，
2
AC =
，可得
2,
1
SA
AH
=
= ，
则以A 为球心，
5
2
为半径的球面与侧面SCD 的交线是以H 为圆心的圆弧，
其半径为：
2
5
5
1
1
4
4
2
r
AH
=
-
=
- =
，
又由
2,
2
SA
AD
=
=
，可得
6,
SD =
则在直角SCD
V
中，由点H 到SD 的距离等于
2
3
1
sin
1
3
2
6
CD
SH
CDS
SD
Ð
= ´
=
=
>
，
所以直线SD 与这个以H 为圆心的圆弧相离，
即与侧面SCD 的交线是以H 为圆心的圆弧长为1
π
π 1
2
2
´ =
，
故选：B
7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在三棱锥P
ABC
-
中，
,
AB
BC D
^
是
ABC
V
的内心，PD ^ 底面
,
3,
2
4
ABC AB
BC
PD
=
=
=
，三棱锥P
ABC
-
的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A．101π
4
B．81π
4
C．81π
2
D．101π
2
【答案】A
【分析】作DE
AC
^
于点E ，设M 是AC 中点，则M 是
ABC
V
的外心，过M 作PD 的平行线OM ，OM 与
平面ABC 垂直，则三棱锥P
ABC
-
的外接球的球心O 在此直线上，然后按O 在平面ABC 的两侧分类讨论求
得外接球半径后可得表面积.
【详解】作DE
AC
^
于点E ，设M 是AC 中点，则M 是
ABC
V
的外心，过M 作PD 的平行线OM ，OM 与
平面ABC 垂直，则三棱锥P
ABC
-
的外接球的球心O 在此直线上，如图，设OM
h
=
，
2
2
2
25
4
OC
OM
MC
h
=
+
=
+
，
在直角
ABC
V
中，
3,
4
AB
BC
=
=
，则
5
AC =
，
,
,
DE DF DG 分别与
,
,
AC CB BA 垂直，垂足分别为
,
,
E F G ，
则
1 (
)
1
2
BG
BF
AB
BC
AC
=
=
+
-
= ，
1
DE = ，
3 1
2
AE
AG
=
=
- =
，
1
2
EM
AM
AE
=
-
=
，
2
2
1
5
1
4
2
DM
DE
EM
=
+
=
+
=
，
在平面PDM 上，若
,
O P 在平面ABC 同侧，则
2
2
2
5
(
)
(2
)
4
OP
DM
PD
OM
h
=
+
-
=
+
-
，
由OP
OC
=
得
2
2
5
25
(2
)
4
4
h
h
+
-
=
+
，解得
1
4
h = -
，不合题意，舍去，
因此
,
O P 在平面ABC 两侧，
2
2
2
5
(
)
(2
)
4
OP
DM
PD
OM
h
=
+
+
=
+
+
，
由OP
OC
=
得
2
2
5
25
2
)
4
4
h
h
+
+
=
+
（
，解得
1
4
h =
，
所以
2
1
25
101
( )
4
4
4
OC =
+
=
，
所以外接球表面积为
2
101
101π
4π(
)
4π
16
4
S
OC
=
=
´
=
，
故选：A.
8．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面边长为6，高为3 6 ，其顶点都在球O 的球面
上，则球心O 到平面
1A BC 的距离为（ ）
A．
2
2
B．
3
2
C．2
D．
3
【答案】A
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面
1A BC 的法向量，利用向量法计算球心O 到该平面的距离.
【详解】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点O ，
以点O 为原点，CB
uuur
，
1
BB
uuur
为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则球心O 的坐标为(0,0,0) ：
因为底面边长为6 ，所以底面正三角形外接圆半径
2
3
6
2 3
3
2
r =
´
´
=
；
故
1
3 6
(2 3,0,
)
2
A
，
3 6
(
3,3,
)
2
B -
-
，
3 6
(
3, 3,
)
2
C -
-
-
，
所以
(0, 6,0)
BC =
-
uuur
，
1
(3 3, 3,3 6)
BA =
-
uuur
，
设平面
1A BC 的法向量为
, ,
n
x y z
=
，则由
1
·
0
·
0
n BC
n BA
ì
=
ïí
=
ïî
uuur
r
uuur
r
，即
6
0
3 3
3
3 6
0
y
x
y
z
-
=
ìïí
-
+
=
ïî
，
令
6
x =
，则
0,
3
y
z
=
= -
，则
6,0,
3
n =
-
r
是平面
1A BC 的一个法向量.
又
3 6
3, 3,
2
OC
æ
ö
= -
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，因此球心O 到平面
1A BC 的距离
3 6
3 2
3
6
3
0
3
·
2
2
2
3
2
6
0
3
OC n
d
n
æ
ö
-
´
+ -
´ + -
´ -
ç
÷
è
ø
=
=
=
=
+
+
uuur r
r
.
9．（2026·山西运城·一模）若函数
4
4
=π sin
cos
f x
x
x
+
的图象关于点
,
m n
0
m <
对称，则m
n
+
的最大
值为（ ）
A．π
8
B．3π
8
C．5π
8
D．7π
8
【答案】C
【分析】先根据二倍角公式化简函数的表达式，然后根据余弦函数的对称中心计算即可.
【详解】
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
1
π sin
cos
π
sin
+cos
-2sin
cos
π 1 2sin
cos
π 1
sin 2
2
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
é
ù
é
ù
=
+
=
=
-
=
-
ë
û
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û .
因为
2
1 cos4
sin 2
2
x
x
-
=
，所以
1 cos4
π
π 1
3
cos4
4
4
x
f x
x
-
é
ù
=
-
=
+
ê
ú
ë
û
.
令
π
4
π,
Z
2
x
k
k
=
+
Î
，得
π
π ,
Z
8
4
k
x
k
=
+
Î
，所以函数
f x 的对称中心为π
π 3π
,
,
Z
8
4
4
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
.
因为函数
4
4
=π sin
cos
f x
x
x
+
的图象关于点
,
m n
0
m <
对称，
所以π
π
0
8
4
k
+
<
，解得
1
2
k < -
，取最大的整数
1
k = - .
此时
max
π
π
π
3
,
π
8
4
8
4
m
n
=
-
= -
=
，所以m
n
+
的最大值为
π
3
5
π
π
8
4
8
m
n
+
= -
+
=
.
10．（25-26 高三上·贵州安顺·期末）定义：数列
na
的“间隔和”数列
n
S
为
1
1
n
n
k
k
k
S
a
a
+
=
=
-
å
．若
2,
1,
2
8,
2,
n
n
a
n
n
=
ì
= í
-
³
î
则
15
S
= （ ）
A．22
B．30
C．34
D．36
【答案】C
【分析】根据数列的通项公式求出相邻两项的差值
1
k
k
a
a
+ -
，再根据“间隔和”数列的定义计算.
【详解】当
1
n = 时，
1
2
a =
，由
2
2 2
8
4
a =
´ -
= - ，则
2
1
6
a
a
-
=
，
当
2
n ³
时，
2
8
na
n
=
- ，则
(
)
na
n
n
+ =
+
-
=
-
1
2
1
8
2
6，
所以
1
(2
6)
(2
8)
2
n
n
a
a
n
n
+ -
=
-
-
-
=
，
所以
15
2
1
3
2
16
15
6 14 2
34
S
a
a
a
a
a
a
=
-
+
-
+
+
-
=
+
´
=
L
，
故选：C
11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线C ：
2
4
y
x
=
的焦点为F ，过F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C
交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，过M 作C 的准线的垂线，垂足为N ，若FMN
V
为等腰三角形，则
直线l 的斜率的绝对值为（ ）
A．
2
2
B．2
C．1
D．
3
【答案】C
【分析】设直线方程为
1
0
x
my
m
=
+
>
，联立抛物线方程，利用韦达定理求出中点M 坐标，即可得N 点坐
标，利用斜率乘积可知NF
FM
^
，即可求出直线倾斜角，直线斜率得解.
【详解】因为抛物线C ：
2
4
y
x
=
，所以焦点
1,0
F
，准线方程为
1
x = - ，
由抛物线的对称性，不妨设直线l 的斜率为正，如图，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，直线l 的方程为
1
0
x
my
m
=
+
>
，
由
2
4
1
y
x
x
my
ì
=
í =
+
î
，可得
2
4
4
0
y
my
-
-
=
，
则
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y
y
+
=
×
= - ，
所以
2
1
2
2
1
2
1
2
2
4
2
4
2
1,
2
2
2
2
2
2
m y
y
x
x
y
y
m
m
m
m
+
+
+
+
+
=
=
=
+
=
=
，
即
2
2
1,2
M
m
m
+
，故
1,2
N
m
-
，
所以
2
0
1 1
FN
m
k
m
-
=
= -
- -
，又
1
lk
m
=
，所以
1
1
FN
l
k
k
m m
×
= -
×
= - ，
所以NF
FM
^
，又FMN
V
为等腰三角形，
所以
45
NMF
Ð
=
°，所以
45
MFx
Ð
=
°，
所以
tan 45
1
lk =
° = ，结合抛物线的对称性可知直线l 的斜率的绝对值为1.
12．（2026·江西·一模）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，P
Q
，
分别为棱
1
1
A D
CD
，
的中点，过直
线PQ的平面a 截该正方体所得截面b ，则当平面a 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成的锐二面角最小时，截面b 的面积
为（ ）
A．3 3
B．2 6
C．4
D．
3
【答案】A
【分析】由最大角定理得到平面a 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成的最小锐二面角，然后作出截面b ，求解.
【详解】如图：
当平面a 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角等于PQ和平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成的线面角时，
平面a 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角最小（最大角定理），
取
1
1
C D 中点M ，
此时平面a 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角为
QPM
Ð
，余弦值为
3
3
．
过点P 作
^
PN
PM
N
，
为
1
1
A B 中点，延长NP 交
1
1
C D 延长线于E ，
连接QE 交
1
DD 于点F ，连接PF ，QF ，
分别取棱BC ，
1
BB 中点G ，H ，
则六边形PNHGQF 即为截面b ，
截面b 是边长为
2 正六边形，其面积为3 3 ．
故选：A.
13．（2026·山西大同·一模）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，若对于定义域内给定的任意
1
x ，
2
1
2
x
x
x
¹
，都有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，则不等式
2
2
2
3
3
2
2
f x
f
x
f
x
x
x
-
>
+
的解集为（ ）
A．
3,3
B．
3,+¥
C．
0,3
D．
3,+¥
【答案】A
【分析】先根据题目条件化简可知函数
f x
g x
x
=
在
0, ¥
+
上单调递增，再利用单调性求解不等式即可.
【详解】因为函数
f x 满足对任意的
1
x ，
2
0,
x
¥
Î
+
，
1
2
x
x
¹
，都有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，
设
1
2
0
x
x
>
>
，则
1
2
0
x
x
-
>
，所以
2
1
1
2
0
x f x
x f x
-
>
，即
2
1
1
2
x f x
x f x
>
，
所以
1
2
1
2
f x
f x
x
x
>
，令
f x
g x
x
=
，
因为当
1
2
0
x
x
>
>
时，都有
1
2
g x
g x
>
，
所以函数
g x 在
0, ¥
+
上单调递增.
又不等式
2
2
2
3
3
2
2
f x
f
x
f
x
x
x
-
>
+
两边同乘以
2x ，
得
2
2
2
2
3
3
2
x f
x
xf x
f
x
>
-
+
，即
2
2
3
2
2
3
x
f
x
xf x
-
>
-
，
即
2
2
3
2
2
3
f x
f
x
x
x
-
>
-
，所以
2
2
3
g
x
g x
>
-
，
故
2
2
2
0
3
0
2
3
x
x
x
x
>
ì
ï
-
>
í
ï
>
-
î
，解得3
3
x
<
<
，即
3,3
xÎ
.
14．（2026·山东·模拟预测）已知奇函数
f x 的定义域为
,
4
3
f
=
R
，对于任意的正数
1
2
,
x x ，都有
1
2
f x x
=
1
2
1
f x
f x
+
- ，且当
1
x > 时，
1
f x > ，则不等式
ln
1
0
f x
é
ù
-
£
ë
û
的解集为（ ）
A．
1,2
B．
2,4
C．
1
1
,
2,4
2
4
æ
ù
-
-
È
ç
ú
è
û
D．
1
1
,
1,2
4
8
æ
ù
-
-
È
ç
ú
è
û
【答案】D
【分析】根据已知条件判断函数
f x 的单调性，再结合对数函数的性质解不等式.
【详解】设
1
2
,
x x 是(0,
)
+¥ 上的任意两个实数，且
1
2
x
x
<
，则
2
1
1
x
x > ，
所以
2
2
2
1
1
1
1
(
)
1
x
x
f x
f x
f x
f
x
x
æ
ö
=
×
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
1
1
1
x
f x
f x
f
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
因为
2
1
1
x
x > ，所以
2
1
1
x
f
x
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，所以
2
2
1
1
1
0
x
f x
f x
f
x
æ
ö
-
=
- >
ç
÷
è
ø
，
所以
2
1
f x
f x
>
，所以函数
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递增，
因为
f x 是定义域在R 上的奇函数，所以
f x 在(
,0)
-¥
上也单调递增，
由
ln
1
0
f x
é
ù
-
£
ë
û
得
0
1 1
f x
<
- £ ，即
1
2
f x
<
£
，
又
(4)
3
f
=
，令
1
2
2
x
x
=
=
，则
( )
(
)
( )
( )
f
f
f
f
=
´
=
+
- =
4
2 2
2
2
1
3，解得
(2)
2
f
=
，
令
1
2
1
x
x
=
= ，则
( )
(
)
( )
( )
f
f
f
f
=
´
=
+
-
1
1 1
1
1
1，解得
(1)
1
f
= ，
令
1
2
1
2,
2
x
x
=
=
，则
( )
(
)
( )
( )
f
f
f
f
=
´
=
+
-
1
1
1
2
2
1
2
2
，解得
1
( )
0
2
f
= ，
令
1
2
1
2
x
x
=
=
，则
( )
(
)
( )
( )
f
f
f
f
=
´
=
+
- = -
1
1
1
1
1
1
1
4
2
2
2
2
，
令
1
2
1
1
,
4
2
x
x
=
=
，则
( )
(
)
( )
( )
f
f
f
f
=
´
=
+
- = -
1
1
1
1
1
1
2
8
4
2
4
2
，
因为
f x 是奇函数，所以
(
)
( )
f
f
-
= -
=
1
1
1
4
4
，
(
)
( )
f
f
-
= -
=
1
1
2
8
8
所以当
0
x >
时，解
1
2
f x
<
£
得1
2
x
<
£
，
当
0
x <
时，解
1
2
f x
<
£
得
1
1
4
8
x
-
<
£ -
，
当
0
x =
时，
0
f x =
，不满足条件，
所以不等式
ln
1
0
f x
é
ù
-
£
ë
û
的解集为
1
1
,
1,2]
4
8
æ
ù
-
-
È
ç
ú
è
û
（
，
故选：D
15．（25-26 高三下·青海西宁·开学考试）已知函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，( )
g x 是
( )
f x 的导函数(
R)
x Î
，
且
( )
f x 满足
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
(2025)
0
f
=
B．( )
(
)
g x
g
x
=
-
C．
(
2)
( )
g x
g x
+
=
D．(2025)
0
g
=
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和对称性，可判断函数
f x 的周期性，可判断A 的真假；对函数
f x 求导，
分析
g x 的奇偶性、周期性和对称性，可判断BCD 的真假.
【详解】由
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则
(
1)
(
)
f x
f
x
+
=
-
，
又函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，则
(
)
( )
f
x
f x
-
= -
，
(0)
0
f
=
，
因此可得
(
1)
( ),
(
2)
(
1)
( )
f x
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= -
+
=
，即函数
( )
f x 的周期为2，
由
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则
(1)
(0)
0
f
f
=
=
，
所以
(2025)
(2 1012 1)
(1)
0
f
f
f
=
´
+
=
=
，故A 正确；
由函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，则
( )
(
)
f x
f
x
= -
-
，
两边求导，得
( )
(
)
(
)
f
x
f
x
f
x
¢
¢
¢
= - -
-
=
-
，
又( )
g x 是
( )
f x 的导函数，则( )
(
)
g x
g
x
=
-
，故B 正确；
由
(
2)
( )
f x
f x
+
=
，则
(
2)
( )
f
x
f
x
¢
¢
+
=
，即
(
2)
( )
g x
g x
+
=
，故C 正确；
由
(
1)
(
)
f x
f
x
+
=
-
，得
1
2
x =
为
( )
y
f x
=
的对称轴，即
1
1
2
2
f
t
f
t
æ
ö
æ
ö
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
两边求导得：
1
1
2
2
f
t
f
t
æ
ö
æ
ö
+
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
¢
ø
¢
.
令
0
t =
，得
1
1
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
= -
ç
÷
ç
÷
¢
è
ø
è
ø
¢
Þ
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷ø
¢
è
，即
1
0
2
g æ
ö =
ç
÷
è
ø
.
而(2025)
(1012 2 1)
(1)
g
g
g
=
´ +
=
，由(
2)
( ), ( )
(
)
g x
g x g x
g
x
+
=
=
-
，
得(
2)
(
)
g x
g
x
+
=
-
，则
1
x = 为
( )
y
g x
=
的对称轴，(1)
g
的值不一定为0，故D 不正确
16．（2025·全国一卷·高考真题）已知
2
3
5
2
log
3
log
5
log
x
y
z
+
=
+
=
+
，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．x
y
z
>
>
B．x
z
y
>
>
C．y
x
z
>
>
D．y
z
x
>
>
【答案】B
【分析】法一：设
2
3
5
2
log
3
log
5
log
x
y
m
z
+
=
+
=
+
=
，对m 讨论赋值求出, ,
x y z ，即可得出大小关系，利用
排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设
2
3
5
2
log
3
log
5
log
x
y
m
z
+
=
+
=
+
=
，所以
令
2
m =
，则
1
3
1
1
1,
3
,
5
3
125
x
y
z
-
-
=
=
=
=
=
，此时x
y
z
>
>
，A 有可能；
令
5
m =
，则
8,
9,
1
x
y
z
=
=
= ，此时y
x
z
>
>
，C 有可能；
令
8
m =
，则
6
5
3
2
64,
3
243,
5
125
x
y
z
=
=
=
=
=
=
，此时y
z
x
>
>
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
2
3
5
2
log
3
log
5
log
x
y
m
z
+
=
+
=
+
=
，所以，
2
3
5
2
,
3
,
5
m
m
m
x
y
z
-
-
-
=
=
=
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
2
3
5
2
,
3
,
5
x
x
x
y
y
y
-
-
-
=
=
=
的图象，以上方程的根分别是函数
2
3
5
2
,
3
,
5
x
x
x
y
y
y
-
-
-
=
=
=
的图象与直线
x
m
=
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m 的变化可能出现：x
y
z
>
>
，y
x
z
>
>
，y
z
x
>
>
，z
y
x
>
>
，
故选：B．
17．（25-26 高三上·山东临沂·期末）已知
ln4
7
a =
，
ln3
8
b =
，
ln2
9
c =
，则a，b，c 的大小关系正确的一项是
（ ）
A．c
b
a
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．a
b
c
>
>
【答案】D
【分析】取对数得ln
ln 4ln 7,ln
ln3ln8,ln
ln 2ln9
a
b
c
=
=
=
，设
11
ln ln 11
,
1, 2
f x
x
x
x
æ
ö
=
-
Îç
÷
è
ø ，利用导数判
断出函数的单调性可得答案.
【详解】因为
ln4
0
7
a =
>
，
ln3
0
8
b =
>
，
ln2
0
9
c =
>
，
则ln
ln 4ln 7,ln
ln3ln8,ln
ln 2ln9
a
b
c
=
=
=
，
设
11
ln ln 11
,
1, 2
f x
x
x
x
æ
ö
=
-
Îç
÷
è
ø ，
则
ln 11
11
ln 11
ln
ln
11
11
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
¢
-
-
-
-
=
-
=
-
-
，
设
11
ln 11
ln
g x
x
x
x
x
=
-
-
-
，
则
ln 11
1 ln
1
ln 11
ln
2
g
x
x
x
x
x
= -
-
- -
- = -
-
-
-
¢
，
当
11
1
2
x
<
<
时，
0
g
x
¢
<
，所以
g x 在
11
1, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 上单调递减，
则
11
0
2
g x
g æ
ö
>
=
ç
÷
è
ø
，所以
0
f
x
¢
>
，即
f x 在
11
1, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 上单调递增，
因为
11
1
2
3
4
2
<
<
<
<
，所以
4
3
2
f
f
f
>
>
，即ln 4ln 7
ln3ln8
ln 2ln9
>
>
，
即ln
ln
ln
a
b
c
>
>
，所以a
b
c
>
>
.
故选：D
18．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，过
1F 的直线与
椭圆C 交于M、N 两点，若
2
1 2
3
MNF
MF F
S
S
=
△
△
，且
2
1
2
1
F F N
F NF
Ð
Ð
=
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
3
3
C．2
3
D．
6
4
【答案】A
【分析】根据面积的比例关系可得
1
1
2
NF
MF
=
，利用椭圆的定义，计算出
1
2
MF F
△
的各边长，运用余弦定
理建立等式.
【详解】
如图，因为
2
1 2
3
MNF
MF F
S
S
=
△
△
，所以
1 2
2
1 2
1 2
2
NF F
MNF
MF F
MF F
S
S
S
S
=
-
=
V
V
V
V
,
所以
1
1
2
NF
MF
=
.
因为
2
1
2
1
F F N
F NF
Ð
Ð
=
，所以
1
2
NF F
△
是等腰三角形，则
2
2
NF
c
=
又因为
1
2
2
F N
F N
a
+
=
，所以
1
2
2
NF
a
c
=
-
，所以
1
MF
a
c
=
- ，则
2
MF
a
c
=
+
过
2
F 作
2
1
F H
NF
^
其中H 为垂足，则H 为
1
NF 中点，所以
1
2
1
1
2
cos
2
F H
a
c
F F N
F F
c
-
Ð
=
=
.
在
1
2
MF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
1
2
1
2
cos
cos
2
2
2
c
a
c
F F M
F F N
a
c
c
c
a
c
a
c
×
-
+
-
+
Ð
=
= -
Ð
=
-
-
-
×
，
整理得
3
a
c
=
，所以离心率为1
3 .
19．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，D 为
1
CC 中点，平面
1A BD ^ 平面
1
1
1
,
4
ABB A A D
BD
=
=
，
1
2 7
=
A B
，则三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
体积的取值范围是（ ）
A．
0,21
B．
7,21
C．
0,28
D．
7,28
【答案】A
【分析】先根据面面垂直得出线面垂直，再应用三棱柱的体积公式结合三角函数值域计算求解.
【详解】取AB 中点
1
,
M A B 中点N ，
1
4
A D
BD
=
=
，则
1
DN
A B
^
，
由DN Ì 平面
1ABD ，平面
1A BD Ç平面
1
1
1
ABB A
A B
=
，平面
1A BD ^ 平面
1
1
ABB A 得DN ^ 平面
1
1
ABB A ，
由勾股定理知
2
2
1
1
1
3
2
DN
A D
A B
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，可得
3
CM =
，
设
1
4cos
DC
DC
q
=
=
，可得
2
1
1
16 16cos
4sin
AC
AC
q
q
=
=
-
=
，
同理
4sin
BC
q
=
，由BC
CM
>
知
3
sin
4
q >
．
由勾股定理得
2
2
2
2
2 16sin
9
AB
BC
CM
q
=
-
=
-
，
于是三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的体积
2
2
2
1
8cos
3 2 16sin
9
24
1 sin
16sin
9
2
V
q
q
q
q
=
´
´ ´
-
=
-
-
，
记
2
2
2
9
25
49
sin
,
,1 ,
1
16
9
16
25
9
16
16
32
64
x
x
f x
x
x
x
x
x
q
æ
ö
æ
ö
=
Î
=
-
-
= -
+
-
= -
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
结合二次函数单调性可得
49
0, 64
f x
æ
ù
Îç
ú
è
û ，于是
24
0,21
V
f x
=
Î
．
20．（25-26 高三下·江苏南通·开学考试）已知
1a ，
2a ，
3a ，
4a 成等比数列，且
1
2
a =
，
1
2
3
4
1
2
3
ea
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
，则（ ）
A．
1
2
a
a
<
B．
1
3
a
a
<
C．
2
3
a
a
>
D．
4
2
a
a
>
【答案】D
【分析】设
2
3
2
2 1
ln 2 1
f x
x
x
x
x
x
=
+
+
+
-
+
+
，分析函数的单调性，利用函数零点存在性的判定定理，
确定函数
f x 零点所在的区间，即等比数列公比的取值范围，再比较各项的大小.
【详解】设等比数列的公比为q ，
则
1
2
3
4
1
2
3
ea
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
Þ
2
3
2 2
2
2
2
e
2
2
2
q
q
q
q
q
+
+
+
=
+
+
Þ
2
3
2
2
2
2
2
ln 2
2
2
q
q
q
q
q
+
+
+
=
+
+
.
设
2
3
2
2 1
ln 2 1
f x
x
x
x
x
x
=
+
+
+
-
+
+
，
则
2
2
2 1
2
2 1
2
3
2 1
x
f
x
x
x
x
x
+
=
+
+
-
+
+
¢
2
2
2
2 1
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
-
+
=
+
+
4
3
2
2
6
10
12
4
1
1
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
2
2
2
2
1
2
2
1
2
3
3
1
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
+
+
.
因为
2
2
1
3
1
0
2
4
x
x
x
æ
ö
+
+ =
+
+
>
ç
÷
è
ø
，
2
2
1
1
2
2
1
2
0
2
2
x
x
x
æ
ö
+
+ =
+
+
>
ç
÷
è
ø
，
2
2
1
2
3
2
1
3
0
3
3
x
x
x
æ
ö
+
+ =
+
+
>
ç
÷
è
ø
，
2
3
0
x ³
，
所以
0
f
x
¢
>
在R 上恒成立.所以函数
f x 在R 上单调递增.
又
1
2 1 1 1 1
ln 2 1 1 1
ln 2
0
f -
=
- + -
-
- +
= -
<
，
0
2
ln 2
0
f
=
-
>
.
所以函数
f x 只有1 个零点，且该零点在
1,0
-
.
所以公比1
0
q
- <
<
.
因为
1
2
a =
，
2
2
0
a
q
=
<
，所以
1
2
a
a
>
，故A 错误；
因为
2
3
2
0
a
q
=
>
，又1
0
q
- <
<
，所以
2
1
q < ，所以
1
3
a
a
>
，故B 错误；
因为
2
0
a <
，
3
0
a >
，所以
2
3
a
a
<
，故C 错误；
因为
3
4
2
0
a
q
=
<
，且
2
4
2
2
1
a
a
q q
-
=
-
，由1
0
q
- <
<
，
2
1
q < ，所以
4
2
0
a
a
-
>
，所以
4
2
a
a
>
，故D 正确.
