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第 50 讲 抽样方法与数字特征
一、抽样方法
1. 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本 ，如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．
2. 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成 互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个
体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
二、总体分布特征数的估计
1. 总体特征数的估计
(1)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数；
(2)众数：一组数据中重复出现次数最多的数；
(3)平均数：一组数据如果有n个数据 ,则平均数为 ；
(4)方差与标准差： ，标准差为 ；
(5)极差：一组数据中最大值与最小值之差.
2.频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
3.百分位数
(1)第 百分位数的定义:一般地,一组数据的第 百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 的数
据小于或等于这个值,且至少有 的数据大于或等于这个值.
(2)求第 百分位数的步骤:
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算 .
第3步,若 不是整数,而大于 的比邻整数为 ,则第 百分位数为第 项数据;若 是整数,则第 百分位数为
第 项与第 项数据的平均数.(3)常用的分位数有第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数
据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数
也称为第三四分位数或上四分位数等.
三.常用结论
(1)分层抽样的均值与方差：
基本题型：对象 占 ，其均值与方差分别为 ；对象 占 ，其均值与方差分别为 ，
求对象 与 的均值 与方差 .
公式：均值为： ；方差为 .
(2)上述结论可用于分成两组的几个数据.
考点一 分层抽样问题
考点二 频率分布直方图问题
考点三 数字特征问题
考点四 其他图表问题
考点一：分层抽样问题
例1．（2023·陕西西安·校联考一模）某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．
为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，
若中青年居民比老年居民多抽取20人，则 （ ）
A．120 B．150 C．180 D．210
【答案】C
【分析】根据分层抽样的方法计算即可.
【详解】由题可知 ，解得 ．
故选：C
考点二：频率分布直方图问题
例2．（2023·西藏林芝·统考二模）某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防
控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分
100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这
1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】C
【分析】由频率分布直方图求出样本中优秀的学生频率，即可得出答案.
【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为 ，
则这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生大约有 （人）.
故选：C.
例3．（2023·天津河北·统考二模）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，
把得分数据按 ， ， ， ， 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，
则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在 的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选
项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于A，由 ，可解得 ，故选项A正确；对于B，得分在80分及以上的人数的频率为 ，
故人数为 ，故选项B正确；
对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；
对于D，这组数据的平均数的估计值为： ，故选项D正
确.
故选：C.
考点三：数字特征问题
例4．（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平
均数、第一四分位数分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中
点值近似代替）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断.
【详解】由频率分布直方图可知众数为 ，即 ，
平均数 ，
显然第一四分位数位于 之间，则 ，解得 ，
所以 .故选：A
例5．（2023·河南安阳·统考三模）小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按
美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元 元人民币），则平均数和方差分
别为（ ）
A．20，50 B．140，350 C．140，700 D．140，2450
【答案】D
【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案.
【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的7倍，
故按人民币计，则平均数和方差分别为 ，
故选：D
考点四：其他图表问题
例6．（2023·天津·校联考二模）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生
每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校
学生人数）进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图，则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为1000人
B．选取的学生中参加机器人社团的学生数为80人
C．合唱社团的人数占样本总量的40%
D．选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍
【答案】C
【分析】根据题图数据分析选取人数、合唱社团占比、机器人社团占比及其人数，并判断两社团人数数量
关系，即可得答案.
【详解】由题图知：选取人数为 人，故合唱社团占比为 ，
所以，机器人社团占比为 ，故该社团人数为 人，所以合唱社团的人数是参加机器人社团人数的 倍.
综上，A、B、D错，C对.
故选：C
一、单选题
1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种一同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品质
量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（ ）件
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【分析】分层抽样，即按比例抽样，代入丙产品的比例求解即可.
【详解】按照分层抽样原理，
应从丙种型号的产品中抽取的数量为： （件）
故选：C.
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持
“不喜欢”态度的多12人，采用按比例分配分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈，如
果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运
动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为（ ）
A．36 B．6 C．12 D．18
【答案】A
【分析】由题设出“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度的人数分别为6x，x，3x，从而 ，解
得x,进而可得解．
【详解】根据分层抽样的特点，设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x，3x，
由题意可得 ，解得x＝6，所以持“喜欢”态度的有6x＝36(人)．
故选：A
3．（2023·四川成都·三模）一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为 ．现发现有两名同学的成
绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115
分．更正后重新计算，得到方差为 ，则 与 的大小关系为（ ）A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据已知平均分不变，根据方差公式计算更正前后的方差，比较大小可得结论．
【详解】设班级人数为 ，因为 ，所以更正前后平均分不变，
且 ，
所以 .
故选：B
4．（2023·天津·二模）已知一组样本数据 ，现有一组新的数据 ，
，则与原样本数据相比，下列新的样本数据中不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．极差 D．方差
【答案】A
【分析】由平均数、中位数、极差及方差的概念计算即可.
【详解】对于A项，新数据的总数为 ，
与原数据总数一样，且数据数量不变都是 ，故平均数不变，故A正确；
对于B项，不妨设原数据为： ， ， ，中位数为 ，
则新数据为 ， ， ，中位数为 ，显然中位数变了，故B错误；
对于C项，原数据极差为： ，新数据极差为： ，
因为 ，极差变小了，故C错误；
对于D项，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变
小，即D错误.
故选：A.
二、多选题
5．某市举行高三学生数学素养测试，现从全市3万名学生中随机抽取200学生的测试成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组分组区间为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．估计该样本的均值是87.25分
C．估计该样本的第 百分位数是87.5分
D．若90分及以上评定为素养考核优秀，则全市数学素养优秀的学生约6000人
【答案】AB
【分析】由频率分布直方图的面积和为1判断A，根据频率分布直方图和均值，第 百分位数的意义判断
BC，由频率分布直方图求得 的频率，进而求得频数判断D.
【详解】由频率分布直方图，可知
，解得 ，故 正确.
由频率分布直方图，可估计样本的均值是
，故B正确.
由频率分布直方图可知第1到5组的频率依次为 ，
所以第 百分位数在区间 内，
设样本的第 百分位数为 ，解得 ，故C错误.
的频率为 ，所以全市数学素养优秀的学生约 人，故D错误.
故选：AB
6．（2023·重庆·统考三模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，
各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影
响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提
高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生
的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为 B．样本的中位数为
C．样本的平均值为66 D．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人
【答案】ABD
【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值，及频率分布直方图预测数据即可一一判断.
【详解】对于A，观察频率分布直方图可知，样本的众数为 ，A对；
对于B，设样本的中位数为 ，观察频率分布直方图可知该中位数位于 之间，
则有 ，解得 ，B对；
对于C，由直方图估计样本平均值为
，C错误；
对于D，2000名男生中体重大于 的人数大约为 ，D对.
故选：ABD.
7．（2023·浙江·校联考二模）某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n
的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（ ）A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B．样本中消费支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
【答案】ABC
【分析】根据频率分布直方图面积之和为1计算出空白数据，再根据所得数据和题中对应数据可得样本容
量，即可计算出选项对应条件下的数据.
【详解】根据频率分布直方图面积之和为1可得50元到60元之间的频率为：
，A正确；
容量n为 ，消费支出不少于40元的人数为 ，B、C正确；
根据频率分布直方图可知消费支出在20元到30元之间的频率为0.1，则2000名参加研学的学生中消费支
出在20元到30元之间的约为200人，D错误.
故选：ABC.
8．（2023·安徽·校联考三模）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为
了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本
进行统计，样本容量为n，按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方
图如图所示．其中，成绩落在区间 内的人数为16．则下列结论正确的是（ ）A．图中
B．样本容量
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至
少为77.25分
【答案】ACD
【分析】根据频率之和等于1，即可判断A；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B；根据频
率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意算出25%分位数，即可判断D．
【详解】对于A，因为 ，解得 ，故A正确；
对于B，因为成绩落在区间 内的人数为16，所以样本容量 ，故B错误；
对于C，学生成绩平均分为
，故C正确；
对于D，因为 ，解得 ，所以大约成绩至少为77.25的学
生能得到此称号，故D正确．
故选：ACD．
9．（2023·广东茂名·统考二模）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社
会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正
确的是（ ）A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元
B．2017年的国内生产总值低于800000亿元
C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%
D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元
【答案】ACD
【分析】根据统计图进行分析计算即可
【详解】由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281,986515,1013567,1149237,1210207，增
长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，
对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故正确；
对于B，2017年的国内生产总值为 亿元，故不正确；
对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为 ，故正确；
对于D，近五年的国内生产总值的极差为 亿元，故正确；
故选：ACD
10．（2023·山东济南·统考三模）某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一
学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和
数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（ ）A．高一年级学生人数为120人
B．无人机社团的学生人数为17人
C．若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人
D．若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法
【答案】AC
【分析】根据图表所给出的数据，分别计算出5个社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求
解.
【详解】由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为 ，所以高一年级的
总人数为 ，
英文剧场的人数 ，
辩论的人数=30，
无人机=数学建模= ，占高一年级人数的比例是 ，
故A正确，B错误，分层抽样20人，无人机应派出 （人），C正确，
甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有 种报名方法，D错误；
故选：AC.
11．（2023·安徽蚌埠·统考三模）某地区经过2022年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻
番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（ ）A．新农村建设后，种植收入增加
B．新农村建设后，其他收入是原来的1.25倍
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的
【答案】AC
【分析】设建设前农村的经济收入为 ，则新农村建设后经济收入为 ，根据扇形图的比例关系计算选项
中的各部分，即可对选项一一验证.
【详解】设建设前农村的经济收入为 ，则新农村建设后经济收入为 ，
建设前农村的种植收入为 ，则新农村建设后经济收入为 ，故A正确；
建设前农村的其他收入为 ，则新农村建设后其他收入为 ， 倍，故B错误；
建设前农村的养殖收入为 ，则新农村建设后养殖收入为 ，故C正确；
新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和占比 ，故D错误；
故选：AC.
12．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻
炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分
布表：
分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6)
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法正确的有（ ）
A．众数大约为2.5 B．中位数大约为4
C．平均数大约为3.95 D．第80百分位数大约为5.2
【答案】BCD
【分析】根据频率分布表性质逐项分析求解即可.【详解】对于A，根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长众数为 ，错误；
对于B，设高一年级学生每周体育锻炼时长中位数为 ，则 ，解得 ，正确；
对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长平均数约为 ，正
确；
对于D，因为 ，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数大约为
，正确.
故选：BCD.
13．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为3 D． 分位数为4.5
【答案】AB
【分析】先将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列，再逐项判断.
【详解】解：将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的顺序排列为：
1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这组数据的中位数为 ，故A正确；
数据中2，3，出现的此时最多，所以众数为2和3，故C错误；
平均数为： ，
则方差为 ，故B正确；
第 分位数是数据中至少有 的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，
故选：AB
14．（2023·山西晋中·统考三模）ChatGPT是OpenAI公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对
话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了
解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的
学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私
为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（ ）
A．76% B．77.5% C．80% D．81.5%【答案】ABC
【分析】分别求出另外两所学校都小于或等于71%时和另外两所学校都大于或等于85%时的中位数，即可
得解.
【详解】当另外两所学校都小于或等于71%时，中位数为 ，此时中位数最小，
当另外两所学校都大于或等于85%时，中位数为 ，此时中位数最大，
故中位数的取值区间 .
故选：ABC.
三、填空题
15．一个总体分为 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 的样本．已知 层中每个个体被
抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为________．
【答案】
【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论
【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 的样本．
由 层中每个个体被抽到的概率都为 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是 ，
所以总体中的个体数为 ．
故答案为： .
16．某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样
本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、
女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.
【答案】
【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质可求出总体的方差.
【详解】由题意，总体的均值为 ，
根据分层抽样的性质，则总体的方差为.
故答案为：0.76.
17．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书
时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为 ，方差为 ，其中三个年级学生每
天读书时间的平均数分别为 ， ， ，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差
分别为 ， ，则高三学生每天读书时间的方差 ________.
【答案】3
【分析】由题目中的条件以及分层抽样中方差公式即可解答.
【详解】由题意可得， ,
解得 .
故答案为：3.
四、解答题
18．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热
门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在 的老年人
的年收入按年龄 ， 分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在 的老年人500人．
年龄在 的老年人300人．现作出年龄在 的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在 的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
(2)已知年龄在 的老年人年收入的方差为3，年龄在 的老年人年收入的平均数和方差分别为
3.75和1.4，试估计年龄在 的老年人年收入的方差．
【答案】(1)5.35；8.3
(2)3
【分析】（1）根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式： ，求得平均数；再先计算出
第95百分位数位于 内，列出式子即可求解；
（2）设年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ；年龄在 的老年人样本的平均数
记为 ，方差记为 ；年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ，根据样本中不同层的方
差公式得到 ，即可求解.
【详解】（1）频率分布直方图中，该地年龄在 的老年人年收入的平均数约为：
，
由频率分布直方图，年收入在 万元以下的老年人所占比例为 ，
年收入在 万元以下的老年人所占比例为 ，因此，第95百分位数一定位于 内，
由 ，
可以估计该地年龄在 的老年人年收入的第95百分位数为 .
（2）设年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ；
年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ；
年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 .
由（1）得 ，由题意得， ， ， ，
则 ，
由 ，
可得 ，
即估计该地年龄在 的老年人的年收入方差为3.
19．（2023·河南安阳·统考三模）某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽
样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按
分成九组，制成如图所示的频率分布直
方图：
(1)求直方图中 的值；(2)根据频率分布直方图估计该市 的居民年用水量不超过 吨，求 的值；
(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的
部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以
所在区间的中点值为代表）
【答案】(1)
(2)
(3) （元）
【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，即可求得答案;
（2）确定m的范围，结合频率分布直方图列式计算，可得答案；
（3）计算出区间 内的居民年用水量分别超出的吨数，结合频率分布直方图
列式计算，即得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图得 ，
解得 .
（2）在200户居民年用水量频率分布直方图中，
前5组频率之和为 ，
前4组频率之和为 ，
所以 ，
由 ，解得 .
（3）由题可知区间 内的居民年用水量分别取 为代表，则他们的
年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，
则 元 ，
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为 元.
20．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他
们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；
(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．
【答案】(1)众数是20；中位数是 ；平均数为20.32
(2)23.86
【分析】（1）根据频率分布直方图求出 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；
（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；
由 ，解得 ，
∵ ，且 ，
∴中位数位于 之间，设中位数为 ，
，解得 ，故中位数是 ；
平均数为 ；
（2）75百分位数即为上四分位数，
又∵ ， ，
∴上四分位数位于 之间，设上四分位数为 ，
则，解得．
