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2024 年高考押题预测模拟测试卷 01（新题型地区专用）
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题
1．若复数 ，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
由复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数的定义和复数的几何意义即可得出答案.
【解析】因为 ，
，所以 ，
所以复数 在复平面上对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过计算函数 定义域求出集合 ，计算函数 值域求出集合 ，最后通
过交集运算即可求解.
【解析】由 ，有 ，即 ，所以 ；
由 令 ，根据二次函数的性质有 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， ；所以 .
故选：D
3．已知 ， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】A
【分析】由空间中线线、线面、面面之间的位置关系逐一判定各选项即可.
【解析】若 ， ，设 对应法向量分别为 ，也是m,n的方向向量，由 ，即 ，
则 ，故A正确；
若 ， ， ，则 与 可能平行或相交，故B错误；
若 ， ， ，则 ，或 ，或n与 相交，故C错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 或 ，D错误.
故选：A
4．某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布 .现随机选择一名本市高三年级男生，
则该男生身高不高于170cm的概率是（ ）参考数据：
A．0.6827 B．0.34135 C．0.3173 D．0.15865
【答案】D
【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.
【解析】由题意， ，
且 ，
所以 .故选：D
5．已知正项等比数列 中， ， ，设 为该数列的前 项和， 为数列 的前 项
和，若 ，则实数 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正项等比数列 的两项求出首项和公比 ，然后分别求出 与 ，进而可得实数 的值．
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，因为 ， ，所以 ， ，所以
．令 ，所以 ， ，所以数列 是以3为首项，9为公
比的等比数列，所以 ．因为 ，所以 ，解得 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及前 项和公式，考查运算求解能力，考查的核心素养是数学
运算．
6．已知 ，则 的
值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【答案】B
【分析】利用赋值法，分别令 和 ，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.
【解析】令 ，则 ，即
令 ，则 ，即 ，
两式相加可得 ，
故选：B
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到 ，从而得到
，即可求出结果.
【解析】因为 ，
得到 ，又 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
8．已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线l交双曲线于A、B两点，
线段AB的中垂线交x轴于点D. 若 ，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意利用韦达定理求 以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和 ，结合 运
算求解即可.【解析】设双曲线的右焦点为 ，则直线 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则可得 ，
则 ，
设线段 的中点 ，则 ，
即 ，
且 ，线段 的中垂线的斜率为 ，
则线段 的中垂线所在直线方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，
由题意可得： ，即 ，
整理得 ，则 ，
注意到双曲线的离心率 ，
∴双曲线的离心率取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值（或范围）．
二、多选题
9．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（万件） 50 96 142 185 227
若 与 线性相关，其线性回归方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程必过 B．
C．相关系数 D．6月份的服装销量一定为272.9万件
【答案】AB
【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由
的值分析判断，对于D，将 代入回归方程求解.
【解析】对于A，因为 ，所以线性回归方程必过
，所以A正确；
对于B，由线性回归直线必过 ，所以 ，解得 ，所以B正确；
对于C，因为 ，所以相关系数 ，所以C错误；
对于D，当 时， ，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．
故选：AB．
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则
B．当 ， 时， 的值域为C．当 时， 的图象向左平移 个单位长度得到函数解析式为
D．若 在区间 上有且仅有两个零点，则
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.
【解析】因为
，
对于A：若 相邻两条对称轴的距离为 ，即 ，所以 ，
则 ，解得 ，故A错误；
对于B：当 时 ，又 ，
所以 ，所以 ，则 的值域为 ，故B正确；
对于C：将 的图象向左平移 个单位长度
得到 ，故C正确；
对于D：由 ， ，所以 ，
又 在区间 上有且仅有两个零点，所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD
11．已知函数 和其导函数 的定义域都是 ，若 与 均为偶函数，则（ ）
A．
B． 关于点 对称
C．
D．
【答案】BD
【分析】用特殊值法，假设 ，可判断选项A；
对 进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；
对 两边求导，可得 ，根据 可判断 的周期性和
对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；
由特殊值关系得到 ， ，化简
，即可判断选项D.
【解析】假设 ，则 ， 都为偶函数，则所设函数 符合题意，此
时 ，所以A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
令 ，则 ，所以 关于点 对称，故B正确；
因为 均为偶函数，所以 ，所以函数 的图象关于直线 对称，即
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，又 ， ，所以 ，所以无法确定 的值，所以C错误；
又 ， ，所以 ，又 ，所以 ，
由 知函数 周期为4，则 的周期也为4，则
，所以 D正确.
故选：BD
【点睛】对称性有关结论：
若 ，则 关于直线 对称；
若 ，则 关于直线 对称；
若 ，则 关于点 中心对称；
若 ，则 关于点 中心对称；
周期性结论：
若 ，则函数 的周期为 .
三、填空题
12．已知向量 ， ，若 ，则正数 的值为 .
【答案】1
【分析】根据向量垂直的坐标形式可得 的方程，故可得正数 的值.
【解析】由题意得， ， ，，解得 （舍去）或 .
故答案为： .
13．在三棱锥 中，底面 为等腰三角形， ，且 ，平面 平面
，点 为三棱锥 外接球 上一动点，且点 到平面 的距离的最大值为 ，
则球 的表面积为 ．
【答案】
【分析】取 的中点 ，设 ，设等腰三角形 外接圆的圆心为 ，半径为 ，球 的半径为
，结合线面垂直的性质与判定求得 ，再根据垂直关系可得点 到平面 的距离等于点 到平
面 的距离 ，进而列式求解即可.
【解析】取 的中点 ，连接 ，因为底面 为等腰三角形， ，所以 ，所以
，
又因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面 ，又
平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为三角形 为等腰三角形， ，则 ，设 ，则
，
设等腰三角形 外接圆的圆心为 ，半径为 ，球 的半径为 ，
连接 ，则 三点共线，由 平面 得 平面 ，
由正弦定理得 ，故 ，则 ，
连接 ，则 ，由 平面 ，且三角形 外接圆的圆心为 ，可得，
因为 平面 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 ，
又因为点 到平面 的距离的最大值为 ，所以 ，解得 ，所以
，球 的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中
去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求
出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
14．在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积，且 ，则
的取值范围为 .
【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得 ，再根据同角关系式可得 ，然后利用
正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 ，结合条件可得 取值范围，进而求得 的取值
范围，令 ，则 ，然后由对勾函数的单调性即可求出．
【解析】在 中，由余弦定理得 ，
且 的面积 ，
由 ，得 ，化简得 ，
又 ， ，联立得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
设 ，其中 ，所以 ，
由对勾函数单调性知 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 ，进而可以求解.
四、解答题
15．已知函数 ．
(1)求函数 的极值点；
(2)记曲线 在 处的切线为 ，求证， 与 有唯一公共点．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可.
【解析】（1） ，
令 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以函数 的极值点为 ；
（2）由（1）可知： ，而 ，
所以切线 的方程为 ，
由 ，或 ，
当 时， ，此时， 与 有公共点 ，当 时，设 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以由 ，即 ，此时 与 有公共点 ，
综上所述： 与 有唯一公共点.
16．如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面 ，点 在 上，且
．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得 ，后结合平面 平面 ，可得
，后结合 可得结论；
（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，即可
得答案.
【解析】（1）不妨设 ，
，
由余弦定理得 ，在 中， ，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ．
平面 ，
四边形 是菱形， ，
又 ，且 平面 平面 平面 ．
（2）在平面 内，过点 作 的垂线，垂足为 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 四边形 是菱形， ，
均为等边三角形，
以点A为坐标原点， 及过点A平行于 的直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则 ，
由（1） 平面 ，
为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ．
令 ，可得 ， ，
平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．17．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于
随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为
， ；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 ．假设每次信号的传输
相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 ，求 的最小
值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 ，记其中连续出现相
同数字的次数的最大值为随机变量 （ 中任意相邻的数字均不相同时，令 ），若 ，
求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数 表达式，进一步即可求解最小值；
（2） 的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学
期望.
【解析】（1）由题可知 ，
因为 ，所以当 时， 的最小值为 ．（2）由题设知， 的可能取值为1，2，3，4．
①当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此， ，
②当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，
或1100，或0011．
因此， ，
③当 时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此， ，
④当 时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此， ．
所以 的分布列为
1 2 3 4
因此， 的数学期望 ．
18．已知椭圆方程E： 的左焦点为F，直线 （ ）与椭圆E相交于A，B，点A在第一
象限，直线 与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D．
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为常数；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）设出 ， ，则 ，表达出 ， ，由点差法得到证明；（2）三角形 面积等于三角形 的面积2倍，设直线 方程为 ，联立椭圆方程，得到两
根之和，两根之积，求出 ，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案.
【解析】（1）由题意知， ，若 ，此时直线 的斜率不存在，不合要求，舍去，
设 ， ， ，此时 ，
则 ， ， ，
又 ①， ②，
式子①－②得 ，
所以 ；
（2）由题意可知，三角形 面积等于三角形 的面积2倍，
椭圆左焦点F为 ，可设直线 方程为 ，
联立方程组 ，
即 ，
故 ， ，所以三角形 的面积为
，
令 ， ，
由对勾函数性质可得 在 单调递增，
故 ，当且仅当 取得最小值成立，
所以 ，当且仅当 ，即 时成立，
三角形 的面积的最大值为 ，
所以 面积的最大值为3.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
19．在数列 中，若存在常数 ，使得 恒成立，则称数列 为“ 数列”．
(1)若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，请说明理由；
(2)若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，且 ，求数列 的通项公式；
(3)若正项数列 为“ 数列”，且 ， ，证明： ．
【答案】(1)数列 不是“ 数列”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求出 即可判断；
（2）根据数列 为“ 数列”，化 为 ，进而求得
，作差有 ，根据已知条件化为
，解出 ，由此求出 ，即可求出数列 的通项公式.
（3）构造函数 ，通过导数判断函数的单调性，有 在 上单调递减，且
，再推导出 且 ，符合上述区间，即可证明不等式.
【解析】（1）数列 不是“ 数列”，理由如下：
，则 ，
又 ，
所以 ，
因为 不是常数，所以数列 不是“ 数列”.（2）因为数列 为“ 数列”，由 ，
有 ①，
所以 ②，
两式作差得 ，
又因为数列 为“ 数列”，所以 ，
设数列 的公比为 ，所以 ，
即 对 成立，
则 ，得 ；
又 ， ，
得 ，所以 .
（3）设函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，且 ，
因为数列 为“ 数列”，则 ，
因为 ， ，
则 ，故 ，
由此类推，可得对 ， ，
所以 ，即 ，所以 得证.
【点睛】关键点点睛：①理解“ 数列”的定义并运用；②通过构造函数利用函数单调性证明不等式.
