文档内容
2024年高考数学模拟卷01（新题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．（2023·广东广州·华南师大附中模拟预测）有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，
则这组数据的第30百分位数是（ ）
A．11 B．15 C．13 D．34
【答案】C
【解析】该组数据从小到大排列为2，11，13，15，17，22，33，34，42，且共有9个数据，
由于 ，因此第30百分位数为从小到大排列的第三个数即13.故选：C.
2．（2024·湖南邵阳·统考一模）若抛物线 上一点 到焦点的距离是 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，抛物线的准线方程为 ，
根据抛物线的定义可得，点 到焦点的距离等于到准线的距离 ，
所以， ，解得 .故选：C.
3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校联考模拟预测）在等比数列 中， ，则
（ ）
A．-4 B．8 C．-16 D．16
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，即 ，
.故选:C.
4．（2023·河北·校联考模拟预测）已知 为直线 的方向向量， 分别为两个不同平面 的法向量，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D【解析】因为 ，所以 ，则 或 ，故A错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 可能平行，也可能不平行，所以 或 相交，故C错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故D正确.故选:D.
5．（2024·山西·高三统考期末）某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男
生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．32种 C．24种 D．16种
【答案】B
【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有 种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有 种排法，于是共有 种排法.故选：B.
6．（2024·江苏常州·高三统考期末）已知扇形 的半径为5，以 为原点建立如图所示的平面直角坐标
系， ， ，弧 的中点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
，解得 ，即 ，又 ，
又 ，解得 ， ， ，即 ，
所以 .故选：B．
7．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）已知 ，则
的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
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试卷第2页，共13页【解析】因为 ，
所以 ，
，
故 .故选：C
8．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）斜率为 的直线 经过双曲线 的左
焦点 ，交双曲线两条渐近线于 ， 两点， 为双曲线的右焦点且 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，双曲线的渐近线为 ，如下图，
若 是 中点，且 ，
，则 ，可得 ，
所以 ，则 ，而 ，则 ，
所以 ，若直线 倾斜角为 ，则直线 倾斜角为 ，
由 ，则 ，故 ，
所以双曲线的离心率为 .故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知函数 （ ， ）的部
分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的一条对称轴为 D． 在区间 上单调递增
【答案】BD
【解析】由五点法对应得 ，解得 ，故A错误，B正确；
同理可得 ，解得 ，所以函数 ，
函数 的对称轴为： ，解得 ，
故 不是函数 的一条对称轴，故C错误；
函数 的单调递增区间为 ,解得
，
令 ，则一个单调递增区间为 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故D正确.故选：BD.
10．（2023·江苏南通·高三统考期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若 ，则 或
C． D．若 ，则 或
【答案】ACD
【解析】A：设 ，
则 ，
所以 ，
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试卷第4页，共13页又 ，所以 ，故A对；
B：设 ，满足 ，此时 且 ，故B错；
C：设 ， ， ，
， ，
，所以 ，故C对；
D：若 ，则 或 ，故D对.故选：ACD.
11．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 满足：对 ，都有
，且 ，则以下选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A:令 ，则
令 ，则 所以
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，故选项A正确；
对于选项B:结合选项A可得 ，所以 或 ，
若 ，则 ，
所以 ，此时与 矛盾，舍去；
若 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故选项B错误；
对于选项C:令 则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 为偶函数，
令 则 ，
所以 ，令 ，则 ，
即 ，故选项C正确；
对于选项D:由 为偶函数，所以 ，
令 ,则 ，令 ,则 ,
所以 ，故选项D正确.故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知 的定义域为A，集合
，若 ，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，则 或 ，即 或 .
①当 时， ，满足 ，符合题意；
②当 时， ，所以若 ，
则有 或 （舍），解得 ；
③当 时， ，所以若 ，
则有 或 （舍），解得 .
综上所述， .
13．（2024·湖南长沙·统考一模）已知正四棱锥 的顶点均在球 的表面上.若正四棱锥的体积为
1，则球 体积的最小值为 .
【答案】
【解析】设球 的半径为 ，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为 ， .
如图，球心在正四棱锥内时，由 ，可得 ，
即 （*）.
球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.
又正四棱锥的体积为 ，则 ，代入（*）式可得 .
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试卷第6页，共13页通过对关于 的函数 求导，即 ，
易得函数 在 单调递减，在 单调递增，
则 .从而，球 的体积的最小值 .
14．（2023·重庆·石柱中学校校联考一模）若关于 的不等式 的解集为
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为不等式 的解集为 ，
所以二次函数 的对称轴为直线 ，
且需满足 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校联考模拟预测）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，研究函数 在 上的单调性和零点个数．
【答案】（1） ；（2） 在 上单调递增；1
【解析】（1）当 时， ，
则 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）当 时， ，则 ，当 时， ， ， ，则 ，
故 在 上单调递增．
又因为 ，所以 在 上的零点个数为 ．
16．（15分）
（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出
1道题，抽出的题不再放回.
（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；
（2）若抽4次，抽到 道代数题，求随机变量 的分布列和期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】（1）（1）记 表示事件“第 次抽到代数题”， .
方法一：由条件概率公式可得 .
所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为 ；
方法二：已知第一次抽到几何题，这时还剩余代数题和几何题各四道，因此
）.
（2）由题意，随机变量 的可能取值为： ；
，
，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
所以 .
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试卷第8页，共13页17．（15分）
（2024·江西上饶·高三上饶市第一中学校联考期末）如图，在四棱锥 中，平面 平面
， ， ， ， ， .
（1）证明： ；
（2）点 在线段 上，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求平面 与平面 的夹
角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图：
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，则 平面 .
连接 交 于 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴四边形 为矩形，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ .
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分別为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，则 ， ， ， ，
由于 在 上，设 ，
则 ，∴ ，
又平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ，∴ ， ， ，
设平面 的法向共 ，平而 的法向共 ，
则 即 ，
取 ， 得 ， ，
∴ ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（17分）
（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知椭圆 ： ，过右焦点 ，且与长轴垂直
的弦长为 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 的上顶点为 ，过左焦点 的直线交椭圆 于 ， 两点（与椭圆顶点不重合），直线 ，
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试卷第10页，共13页分别交直线 于 ， 两点，求 的面积的最小值.
【答案】（1） ；（2）5
【解析】（1）由题意知， ，将 代入椭圆方程 ，
得 ，即弦长 ，
有 ，解得 ，
所以该椭圆C的方程为 ；
（2）由（1）知 ，
设 ，直线PG的方程为 ，
由 ，消去x，得 ， ，
则 ，
设 ，直线EP的方程为 ，
由 ，解得 ，
同理可得 ，
所以
，
将 代入上式，整理得 ，
又点 到直线 的距离为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，
当 即 即 时， 取到最小值，且最小值为5.
19．（17分）
（2023·全国·高三专题练习）已知数列A：a，a，…，a 的各项均为正整数，设集合
1 2 N
，记T的元素个数为 ．
（1）①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出 的值；
②若数列A：1，3，x，y，且 ， ，求数列A和集合T；
（2）若A是递增数列，求证：“ ”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）请你判断 是否存在最大值，并说明理由．
【答案】（1）①集合T＝{1，2，3，4}，P（T）＝4，②数列A：1，3，5，7，T＝{2，4，6}
（2）证明见解析；（3）存在最大值，理由见解析
【解析】（1）①因为 ， ， ， ， ， ，
所以集合 ， ．
②因为A：1,3,x,y，且 ，所以 ， ， 均不相等，
所以2， ， 都是集合T中的元素，
因为 ，所以 ．可得： ， ，
所以数列A：1,3,5,7， ；
（2）充分性；A是递增数列，若A为等差数列，
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试卷第12页，共13页设A的公差为d（ ），当 时，
所以 ，所以 ，则 ，故充分性成立．
必要性：若A是递增数列， ，则A为等差数列，
因为A是递增数列，所以 ，
所以 ，且互不相等，
所以 ，
又因为 ，
所以 且互不相等，
所以 ， ， ， ，
所以 ，所以A为等差数列，必要性成立．
所以若A是递增数列，“ ”的充要条件是“A为等差数列”.
（3） 存在最大值．理由如下：
由题意集合 中的元素个数最多为 个，
即 ，
取 ，此时 ，
若存在 ，则 ，其中 ，
故 ，
若 ，不妨设 ，则
而 ，故 为偶数， 为奇数，矛盾，
故 ，故 ，
故由 得到的 彼此相异，故 ，
即 的最大值为 .
因此 必有最大值.
