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数量关系---第二次课
王陈老师
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 12
第二章 利润问题
一、基本公式
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 12
能 力 训 练
结合基本计算关系求解下列各题。
1. 某件商品的成本为 80 元，售价为 140 元。
（1）该商品的利润为（ ）元。
（2）该商品的利润率为（ ）。
2. 某手工艺品，单个的成本为 120 元，按照 50% 的利润定价。
（1）该 手工艺品每个的定价为（ ）元。
（2） 若降价 36 元出售，则实际售价为（ ）元，相当于打了（ ）折。
3. 销售某款服装，要达到盈利 45% 的预期目标，单件定价应为 290 元。
（1）每件服装的进价为（ ）元。
（2）若在定价的基础上打九折促销，则销售 10 件可获得的销售额为（ ）元，总利润为（ ）
元。
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二、 解题训练
【例 1】某种汉堡包每个成本 4.5 元，售价 10.5 元。当天卖不完的汉堡包即不再出售。在过去十天里，
餐厅每天都会准备 200 个汉堡包，其中有六天正好卖完，四天各剩余 25 个。问这十天该餐厅卖汉堡包共
赚了多少元？（ ）
A. 10850
B. 10950
C. 11050
D. 11350
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学 以 致 用
1. 某汽车美容店正在开展充值优惠洗车活动。其中，会员卡累计充值达到 1000 元可成为银卡会员，享受
洗车 7 折优惠；累计充值达到 2000 元可成为金卡会员，享受洗车 6 折优惠；累计充值达到 3000 元可成
为钻石会员，享受洗车 5 折优惠。已知洗车原价是 50 元 / 次，李师傅固定每月洗一次车，他最开始充值
了 1000 元，半年后，又追加了 2000 元升级会员，升级后洗了 5 个月车，之后他准备将洗车会员卡以八
折转让，则转让价格是多少元？（ ）
A. 2665
B. 2132
C. 2640
D. 2112
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2. 某蛋糕房销售 A、B 两种糕点，其单价均为 8 元，单个净利润分别为 3 元和 4 元。推广期两种糕点均
六折出售。如某天出售X个糕点，问其中至少要有多少个B糕点才能保证不亏本？（ ）
A. 0.2X
B. 0.25X
C. 0.75X
D. 0.8X
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3. 一种设备打九折出售，销售 12 件与原价出售销售 10 件时的获利相同。已知这种设备的进价为 50 元 /
件，其它成本为 10 元 / 件，问如打八折出售，1 万元最多可以买多少件？（ ）
A. 80
B. 83
C. 86
D. 90
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4. 某种商品的定价为成本的 1.5 倍，如果在降价 30 元 / 件的基础上再打八折，则销售 5 件这种商品的利
润比原价销售 1 件时多 130 元。问用以下哪种折扣销售时，1.5 万元能买到的件数正好比原价销售时多 4
件？（ ）
A. 先降价 50 元 / 件再打八折
B. 先打九折再降价 50 元 / 件
C. 降价 150 元 / 件
D. 打八五折
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【例 2】菜店购进某种蔬菜，第一天按原价售出总量的 40%，第二天打七折售出总量的20%，第三天按成
本价全部售出。若销售全部该蔬菜的利润率为 21%，则按原价销售的利润率为（ ）。
A. 68%
B. 51%
C. 50%
D. 36%
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学 以 致 用
1. 商店销售某种商品，在售出总进货数的一半后将剩余的打八折出售，销售掉剩余的一半后在现价基础上
打五折出售，全部售出后计算毛利润为采购成本的 60%。问如果不打折出售所有的商品，毛利润为采购
成本的多少？（ ）
A. 45%
B. 60%
C. 90%
D. 100%
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2. 某家具店购进一批桌椅，每套进价 200 元，按期望获利 50% 定价出售。卖掉这批桌椅的 60% 以后，
店主为提前收回资金，打折出售余下的桌椅。售完全部桌椅后，实际利润比期望利润低了 18%。问余下
的桌椅是打几折出售的？（ ）
A. 七五折
B. 八二折
C. 八五折
D. 九五折
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3. 某款服装降价促销后，每天销量翻倍，获得的总利润增加 50%，问每套服装降价的金额为（ ）。
A. 售价的1/4
B. 售价的1/8
C. 利润额的1/2
D. 利润额的1/4
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第三章 行程问题
第一节 基本行程
一、基本公式
路程 = 速度 × 时间（S=vt）
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能 力 训 练
利用基本公式求解下列问题。
1. 小王家距离单位 1.2 公里，每天步行上班，速度为每分钟 100 米，则他从家步行到单位需要（ ）
分钟。
2. 一辆汽车从 A 地开到 B 地用时一个小时，返回时速度为每小时 75 公里，比去时节约了20 分钟，则 A、
B 两地相距（ ）公里。
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3. 一人骑车从甲地到乙地，先以 12 千米 / 小时的速度骑行了 15 分钟，之后以 24 千米 / 小时的速度骑
行了 10 分钟到达乙地。则此人从甲地到乙地的平均速度是（ ）千米 / 小时。
4. 甲开车从 A 地前往 B 地，出发时的速度为 60 千米 / 小时，此后均匀加速，一段时间后，速度达到 80
千米 / 小时。则这段时间内甲开车的平均速度是（ ）千米 / 小时。
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二、行程图
画行程图时需要标出运动物体在不同时刻的位置，分析不同时刻点前后的路程变化并标注
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能 力 训 练
画行程图回答下列问题。
甲从某地出发匀速前进，一段时间后，乙从同一地点以同样的速度同向前进，在 K 时刻乙距起点 30 米；
他们继续前进，当乙走到甲在 K 时刻的位置时，甲离起点 108 米。
（1）画行程图梳理题干条件。
（2）充分利用题干条件，确定或用未知数表示甲、乙每段时间的路程。
（3）根据图中线段间的关系列式求解整个过程中乙走的路程。
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三、解题训练
【例 1】经技术改进，A、B 两城间列车的运行速度由 150 千米 / 小时提升到 250 千米 / 小时，行车时间
因此缩短了 48 分钟，则 A、B 两城间的距离为（ ）。
A. 300 千米 B. 291 千米 C. 310 千米 D. 320 千米
方法一：根据路程相等列等量关系求解。
方法二：根据时间关系列等量关系求解。
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1. 列车以（x+40）千米 / 时的速度行驶 n 小时行驶的路程，与以 x 千米 / 时的速度行驶 1.5n小时行驶的
路程相等，问：其以（x+60）千米 / 时的速度行驶 560 千米需要多少小时？（ ）
A. 5
B. 4.5
C. 4
D. 3.5
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2. 小赵从单位出发，依次前往甲村和乙村调研。从单位到甲村开车和骑车的速度分别为3x 和 x；从甲村到
乙村开车和骑车的速度分别为 1.5x 和 0.8x，如全程骑车，用时为开车的 2 倍，问从单位到甲村的路程是
从甲村到乙村路程的（ ）。
A. 不到 0.5 倍
B. 0.5 ～ 1 倍之间
C. 1 ～ 2 倍之间
D. 2 倍以上
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2. 小赵从单位出发，依次前往甲村和乙村调研。从单位到甲村开车和骑车的速度分别为3x 和 x；从甲村到
乙村开车和骑车的速度分别为 1.5x 和 0.8x，如全程骑车，用时为开车的 2 倍，问从单位到甲村的路程是
从甲村到乙村路程的（ ）。
A. 不到 0.5 倍
B. 0.5 ～ 1 倍之间
C. 1 ～ 2 倍之间
D. 2 倍以上
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3. 空军某部队运送救灾物资到灾区。原计划飞机每分钟飞行 12 千米，由于灾情严重，飞机速度提高到每
分钟 15 千米，结果比原计划提前 30 分钟到达目的地。则机场到灾区的距离是（ ）千米。
A. 1600
B. 1800
C. 2050
D. 2250
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【例 2】小明从 A 地出发步行前往 B 地，1.5 小时后到达两地的中点，改骑自行车，0.5 小时后到达 B 地。
到达 B 地后立即返回，先骑电动车走完一半路程，再步行返回 A 地。若小明步行速度为 1 米 / 秒，骑电
动车的速度是自行车的两倍，则小明往返 A、B 两地共用多少小时？
（ ）
A. 3.75
B. 4
C. 4.25
D. 4.5
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学 以 致 用
1. 中午 12 点，甲驾驶汽车从 A 地到 B 地办事，行驶 1 小时，走了总路程的 15%。此后甲的速度增加了
15 公里 / 小时，又行驶了 30 分钟后，距离 B 地还有3/4的路程。此后甲的速度如果再增加 15 公里 / 小
时，问几点能到 B 地？（ ）
A. 16:00
B. 16:30
C. 17:00
D. 17:30
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2.A 地到 B 地的道路是下坡路。小周早上 6:00 从 A 地出发匀速骑车前往 B 地，7:00 时到达两地正中间
的 C 地。到达 B 地后，小周立即匀速骑车返回，在 10:00 时又途经 C 地。此后小周的速度在此前速度的
基础上增加 1 米 / 秒，最后在 11:30 回到 A 地。问 A、B 两地间的距离在以下哪个范围内？（ ）
A. 大于 50 公里
B. 40 ～ 50 公里
C. 30 ～ 40 公里
D. 小于 30 公里
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第二节 相遇追及
一、直线上的相遇问题
路程和 = 速度和 × 时间
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示例 ：A、B、C 三地位于同一直线公路上，甲、乙两人分别从 A、C 两地同时出发相向而行，甲的速度
为 20 千米 / 小时，乙的速度为 14 千米 / 小时，半小时后两人在 B 地相遇。
（1）画出行程图，分别表示出甲、乙走的路程。
（2）整个相遇过程中两人所用时间有什么关系？
（3）两人所走路程和与两人的速度、时间存在什么关系？
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【例】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，4 小
时相遇；如果各自每小时比原计划少走 1 千米，5 小时相遇。则 A、B 两地的距离是（ ）。
A. 40 千米
B. 20 千米
C. 30 千米
D. 45 千米
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学 以 致 用
1. 甲、乙两人骑自行车从东西两地同时出发，相向而行，经过 8 分钟相遇。如果甲每分钟少行 180 米，
而乙每分钟多行 230 米，经过 7 分钟就能相遇，东西两地相距多少米？（ ）
A. 1240
B. 1440
C. 1840
D. 2800
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2. 甲乙两座城市相距 530 千米，货车和客车分别从两城出发，相向而行。货车每小时行50 千米，客车每
小时行 70 千米。客车因故比货车晚出发 1 小时，两车在途中某地相遇。问相遇时货车行驶多少千米？（
）
A. 100
B. 150
C. 200
D. 250
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3. 甲、乙两列直达高铁同时从 C、D 两站出发，匀速相向而行，两车相遇时甲车比乙车多行驶 120 千米，
相遇后甲车经过 96 分钟到达 D 站，乙车经过 150 分钟到达 C 站。问 C、D 两站相距多少千米？（ ）
A. 400
B. 450
C. 540
D. 1080
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二、直线上的追及问题
路程差 = 速度差 × 时间
示例 ：A、B、C三地位于同一直线公路上，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发同向而行，甲的速度为
20 千米 / 小时，乙的速度为 14 千米 / 小时，1 小时后甲在 C 地追上乙。
（1）画出行程图，分别表示出甲、乙走的路程。
（2）整个追及过程中两人所用时间有什么关系？
（3）两人所走路程差与两人的速度、时间存在什么关系
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解题训练
【例】A、B 两地相距 150 公里，甲以 10 千米 / 小时的速度从 A 地出发前往 B 地。6 小时后，乙以 25
千米 / 小时的速度从 A 地出发前往 B 地。问乙出发后多少小时追上甲？（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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学 以 致 用
1. 甲以每小时 6 千米的速度步行从 A 地前往 B 地，在甲出发 90 分钟时，乙发现甲落下了重要物品，立
即骑自行车以每小时 12 千米的速度追甲，终于在上午 11 点追上了甲。问甲出发时间是上午几点？（
）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
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2. 甲车上午 8 点从 A 地出发匀速开往 B 地，出发 30 分钟后乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地，
并在距离 B 地 10 千米时追上甲车。如乙车 9 点 10 分到达 B 地，问：甲车的速度为多少千米 / 时？（
）
A. 60
B. 45
C. 36
D. 30
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3. 有客、货、轿三车在同一条道路上同向匀速行进，在某时刻，货车在中、客车在前、轿车在后，且三车
间距相等。t 分钟后，轿车追上了货车；又过了t/2分钟，轿车追上了客车。问再过多少分钟，货车可以追
上客车？（ ）
A.t/2
B. t
C.3t/2
D. 3t
