内蒙古通辽市2024-2025 学年高一下学期期末质量监测
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．
3
4i
2
i
+
-
= （ ）
A．2
5i
+
B．10
5i
+
C．10
5i
-
D．2
i
+
2．数据7,8,12,5,6,7,6,10,12,8的第75百分位数为（ ）
A．7
B．8
C．10
D．12
3．已知向量
(3,2),
(0, 1)
a
b
=
=
-
r
r
，则(
)
a
b
a
+
×
=
r
r
r
（ ）
A．8
B．9
C．11
D．15
4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和大于8 的概率为（ ）
A．1
6
B．5
18
C．1
3
D．5
12
5．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么
它在原平面图形中，顶点B 到x 轴的距离是（ ）
A．2 2
B．2
C．2
D．
2
2
6．已知向量ar ，b
r 满足
1
=
=
a
b
r
r
，
1
2
a b
×
= -
r
r
，则ar 在b
r 上的投影向量为（ ）
A．1
2ar
B．
1
2 a
-
r
C．1
2 b
r
D．
1
2 b
-
r
7．所有棱长均为6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2 的正三棱锥，则所得棱
台的高为（ ）
A．4 6
3
B．2 6
3
C．
6
D．
6
2
8．甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为,x y ，A 表示事件“
4
x >
”，B 表示事件“ y
为奇数”，C 表示事件“
8
x
y
+
>
”，D 表示事件“
7
x
y
+
=
”，则相互独立的事件是（ ）
A．A 与C
B．B 与C
C．C 与D
D．B 与D
二、多选题
9．已知, ,
a b c 是三条不同的直线，
,
,
a b g 是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）
A．若
,
a
b a
c
^
^
，则//
b c
B．若// , //
a b a c ，则//
b c
C．若
,
a
b a
g
^
^
，则
//
b g
D．若
,
//
//
a
b a
g ，则
//
b g
10．某学校在教育教学管理中，采用量化评分的方式进行管理，其中高一某班在一周中的纪律、卫生及两
操的日量化得分（得分均为整数）折线图如图所示，则在这五天中（ ）
A．纪律的平均分最高
B．与纪律、卫生相比，两操的第80 百分位数最大
C．卫生的方差最小
D．周四的班级量化总得分最低
11．下列结论错误的是（ ）
A．若向量
1,2
a =
r
，
1,1
b =
r
，且a
r
与a
b
l
+
r
r
的夹角为锐角，则λ 的取值范围是
5 ,
3
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø
B．若非零向量a
r
，b
r
满足a
b
a
b
=
=
-
r
r
r
r
，则a
r
与a
b
+
r
r
的夹角为60°
C．若向量a
r
，b
r
满足
2
2
a
b
b
-
×
=
r
r
r
，且
2
b =
r
，则a
r
在b
r
方向上的投影向量的模为5
D．若向量a
r
与b
r
的夹角为π
6 ，
3,
1,
R
a
b
t
=
=
Î
r
r
，则ta
b
+
r
r
的最小值为1
4
三、填空题
12．设复数
5
2i
-
+
和复数2
5i
+
在复平面上分别对应的向量分别是OA
uuur
和OB
uuur
，则AB =
uuur
．
13．在
ABC
V
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
3
cos
sin
a
b
A
B
=
，
3
a =
，且
ABC
V
的面积为
3 3
2
，则b
c
+
=
.
14．如图所示的迷宫共有9 个格子，相邻格子有门相通，9 号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4 分钟后
坍塌，若1 号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜( 它通过各扇门的机会相等) ，
则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是
.
四、解答题
15．设i 为虚数单位，
R
a Î
，复数
1
2
i
z
a
=
+
，
2
4
3i
z =
-
.
(1)若
1
2
z
z
×
是实数，求a 的值；
(2)若
1
2
z
z 是纯虚数，求
1z .
16．某社区组织了300 人参加读书有奖测试活动，参与者经过一段时间的读书学习之后，参加社区组织的
测试.把他们的测试成绩（满分100 分）整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，所有成绩共分为
50,60 ，
60,70 ，
70,80 ，
80,90 ，
90,100 五组.
(1)求x 的值；
(2)估计这300 人测试成绩的平均数；（每组数据以该组所在区间的中点值为代表）
(3)在测试成绩为
60,70 ，
70,80 ，
80,90 ，
90,100 的四组人中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取
57 人，求在测试成绩为
80,90 的这一组中抽取的人数.
17．在
ABC
V
中，, ,
a b c 分别是角, ,
A B C 的对边，向量
(sin
,cos
)
m
C
C
=
ur
，
(2sin
3cos ,
3sin
)
n
A
B
B
=
-
-
r
，
且m
n
^
ur
r
，且角C 是锐角．
(1)求角C 的值；
(2)若
3
c =
，求
ABC
V
的周长的最大值．
18．如图，直角梯形ABCD 中，AB
CD
∥
，AB
BC
^
，E 为AB 上的点，且
2
AD
AE
DC
=
=
=
，
1
BE = ，
将
ADE
V
沿DE 折叠到P 点，使PC
PB
=
.
(1)求证：平面PDE ^ 平面ABCD ；
(2)求四棱锥P
EBCD
-
的体积.
19．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5 个问题中任选两题作答，若两
题都答对，则得40 分，否则得0 分；第二轮从B 类的5 个问题中任选两题作答，每答对1 题得30 分，答
错得0 分若两轮总积分不低于60 分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5 个问题中，小明只能答对4 个问题；
在B 类的5 个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40 分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
内蒙古通辽市2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
A
D
A
D
BD
AC
题号
11
答案
ABD
1．B
【详解】
2
3
4i
2
i
6
3i
8i
4i
10
5i
+
-
=
-
+
-
=
+
.
故选：B.
2．C
【详解】首先将数据从小到大排序：5,6,6,7,7,8,8,10,12,12
由题意可知：10
75%
7.5
´
=
，则从小到大第8 个数为10.
故选：C
3．C
【详解】因为
(3,2),
(0, 1)
a
b
=
=
-
r
r
，故
(3,1)
a
b
+
=
r
r
，
故(
)
3 3
2 1
11
a
b
a
+
×
= ´ + ´ =
r
r
r
，
故选：C.
4．B
【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2 次共有
2
6 个基本事件，
点数和大于8 的事件有(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6) ，共10 个，
所以出现向上的点数之和大于8 的概率为10
5
36
18
=
.
故选：B.
5．A
【详解】
过B¢作y¢的平行线交x¢ 于M 点，则易知
45
B MA
¢
¢
Ð
=
o ，
由正弦定理可知sin 45
sin30
A B
B M
¢ ¢
¢
=
o
o ，则
2
B M
¢
=
，
由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B 到x 轴的距离是2
2 2
B M
¢
=
.
故选：A
6．D
【详解】由向量的夹角公式得
1
1
2
cos ,
1 1
2
a b
a b
a
b
-
×
=
=
= -
´
×
r
r
r
r
r
r
，
由投影向量公式得ar 在b
r 上的投影向量为
·
1
·
2
a b b
b
b
b
= -
r r
r
r
r
r
，故D 正确.
故选：D
7．A
【详解】
如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，
该棱台的高等于大正三棱锥的高的2
3 .
设大正三棱锥的高为DH，则：
2
2
3 3
2 3
3
3
BH
BI
=
=
´
=
因为大正三棱锥的高为:
2
2
2
2
= 6
2 3
2 6
DH
DB
BH
=
-
-
=
，
所以该棱台的高为2
4 6
2 6
3
3
´
=
.
故选：A
8．D
【详解】由题意得：事件
:
A “
4
x >
”的情况有：
5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6 共12 种，
所以
12
1
36
3
P A =
=
．
事件
:
B “ y 为奇数”的情况有：
1,1 , 1,3 , 1,5 , 2,1 , 2,3 , 2,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 ,
4,1 , 4,3 , 4,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5 , 6,1 , 6,3 , 6,5 共18 种，
所以
18
1
36
2
P B =
=
；
事件
:
C “
8
x
y
+
>
”的情况有：(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) 共10 种，
所以
10
5
36
18
P C =
=
；
事件
:
D “
7
x
y
+
=
”的情况有：
1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1 共6 种，
所以
1
6
P D =
.
对于A，因
7
36
P AC
P A P C
=
¹
，则A 与C 不独立，故A 错误；
对于B，因
4
1
36
9
P BC
P B P C
=
=
¹
，则B 与C 不独立，故B 错误；
对于C，因事件C 与D 不能同时发生，则
0
P CD
P C P D
=
¹
，故C 错误；
对于D，
3
1
36
12
P BD
P B P D
=
=
=
，则B 与D 相互独立，故D 正确.
故选：D.
9．BD
【详解】A 选项，若
,
a
b a
c
^
^
，则,b c 可能异面，A 选项错误.
B 选项，若// , //
a b a c ，则//
b c ，B 选项正确.
C 选项，若
,
a
b a
g
^
^
，则,
a b 可能相交，C 选项正确.
D 选项，若
,
//
//
a
b a
g ，则
//
b g ，D 选项正确.
故选：BD
10．AC
【详解】由题意得这五天中纪律的平均分为9
7
9
8 10
8.6
5
+
+
+ +
=
，
方差为
2
2
2
2
2
1
9
8.6
7
8.6
9
8.6
8
8.6
10
8.6
1.04
5
é
ù
´
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
ë
û
；
卫生的平均分为6
8
6
7
8
7
5
+
+
+
+
=
，
方差为
2
2
2
2
2
1
(6
7)
(8
7)
(6
7)
(7
7)
(8
7)
0.8
5
-
é
´
ù
ë
-
û
+
-
+
+
-
+
-
=
；
两操的平均分为3
6
7
5
9
6
5
+
+
+
+
=
，
方差为
2
2
2
2
2
1
(3
6)
(6
6)
(7
6)
(5
6)
(9
6)
4
5 ´
-
+
-
+
+
é
ù
ë
-
+
-
û
-
=
.
所以纪律的平均分最高，卫生的方差最小，A，C 项正确.
因为5×80%=4，所以纪律的第80 百分位数为9 10
9.5
2
+
=
，
两操的第80 百分位数为7
9
8
2
+
=
，B 项错误.
这五天中从周一起班级量化总得分依次为9+6+3=18，8+7+6=21，9+7+6=22，8+7+5=20，10+9+8=27，
所以周一的班级量化总得分最低，D 项错误.
故选：AC
11．ABD
【详解】A 选项，
1
,2
a
b
l
l
l
+
=
+
+
r
r
，
1
4
2
3
5
0
a
a
b
l
l
l
l
×
+
= +
+
+
=
+
>
r
r
r
且
2
2 1
l
l
+
¹
+
，解得
5
3
l > -
且
0
l ¹
，A 错误；
B 选项，将a
a
b
=
-
r
r
r
和b
a
b
=
-
r
r
r
两边分别平方得，
2
2
2
2
a
a
a b
b
=
-
×
+
r
r
r
r
r
，
2
2
2
2
b
a
a b
b
=
-
×
+
r
r
r
r
r
，即
2
2
2
a
b
a b
=
=
×
r
r
r
r
则
2
2
2
2
3
3
2
cos ,
2
3
3
a
a
a
b
a
a b
a a
b
a
a
b
a
a
a
×
+
+
×
+
=
=
=
=
×
+
×
×
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
，
所以a
r
与a
b
+
r
r
的夹角为30°，B 错误；
C 选项，
2
2
2
2
a
b
b
a b
b
-
×
=
×
-
=
r
r
r
r
r
r
，又
2
b =
r
，所以
10
a b
×
=
r r
，
所以a
r
在b
r
方向上的投影向量的模为
5
a b
b
×
=
r
r
r
，C 正确；
对于D，
2
2
2
2
2
2
3
1
2
9
3 3
1
9
6
4
ta
b
t a
ta b
b
t
t
tæ
ö
+
=
+
×
+
=
+
+ =
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
r
r
r
r
r
r
，
当
3
6
t = -
时，
2
ta
b
+
r
r
有最小值1
4 ，所以ta
b
+
r
r
的最小值为
1
2 ，D 错误．
故选：ABD
12．3 2
【详解】由复数
5
2i
-
+
和复数2
5i
+
在复平面上分别对应的向量分别是OA
uuur
和OB
uuur
，
可得
(
5,2)
OA = -
uuur
，
(2, 5)
OB =
uuur
，所以
(2
5, 5
2)
AB
OB
OA
=
-
=
+
-
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
(2
5)
( 5
2)
3 2
AB =
+
+
-
=
uuur
.
故答案为：3 2 .
13．3 3
【详解】因为
3
cos
sin
a
b
A
B
=
，由正弦定理得sin
3sin
cos
sin
A
B
A
B
=
，即tan
3
A =
，又0
π
A
<
<
，所以
π
3
A =
．
由
ABC
V
的面积为3 3
2
，得1
3
3 3
sin
2
4
2
bc
A
bc
=
=
，可得
6
bc =
．
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，
又
3
a =
，
π
3
A =
，代入可得
2
2
15
b
c
+
=
，所以
2
2
2
2
27
b
c
b
c
bc
+
=
+
+
=
，
所以
3 3
b
c
+
=
．
故答案为：3 3 .
14．1
9
【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况：
1
2
3
6
9;
®
®
®
®
1
2
5
6
9;
®
®
®
®
1
2
5
8
9
®
®
®
®
；
1
4
5
6
9;
®
®
®
®
1
4
5
8
9;
®
®
®
®
1
4
7
8
9
®
®
®
®
.
概率分别为
1
1
1
1
1
1 ;
2
3
2
3
36
P =
´
´
´
=
2
1
1
1
1
1 ;
2
3
4
3
72
P =
´
´
´
=
3
1
1
1
1
1 ;
2
3
4
3
72
P =
´
´
´
=
4
1
1
1
1
1 ;
2
3
4
3
72
P =
´
´
´
=
5
1
1
1
1
1 ;
2
3
4
3
72
P =
´
´
´
=
6
1
1
1
1
1 .
2
3
2
3
36
P =
´
´
´
=
所以小老鼠逃生概率为
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1.
36
72
72
72
72
36
9
P
P
P
P
P
P
P
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
故答案为：1
9 .
15．(1)
3
2
a =
(2)10
3
【详解】（1）解：
1
2
2
i
4
3i
3
8
4
6 i
z
z
a
a
a
×
=
+
-
=
+
+
-
，
因为
1
2
z
z
×
是实数，
则4
6
0
a -
=
，
解得
3
2
a =
.
（2）
1
2
2
i
4
3i
2
i
8
3
4
6 i
4
3i
4
3i
4
3i
25
25
a
z
a
a
a
z
+
+
+
-
+
=
=
=
+
-
-
+
，
因为
1
2
z
z 为纯虚数，
则
8
3
0
4
6
0
a
a
-
=
ì
í
+
¹
î
，
解得
8
3
a =
.
所以
1
64
10
4
9
3
z =
+
=
.
16．(1)0.02；
(2)77；
(3)18.
【详解】（1）依题意，
10
0.005
0.01
0.03
0.035
1
x
´
+
+
+
+
= ，所以
0.02
x =
.
（2）估计这300 人测试成绩的平均数为
10 0.005 55 10 0.02 65 10 0.035 75 10 0.03 85 10 0.01 95
77
´
´
+
´
´
+
´
´
+
´
´
+
´
´
=
.
（3）测试成绩在
80,90 内的人数为300 10 0.03
90
´
´
=
，
测试成绩在
50,60 内的人数为300 10 0.005
15
´
´
=
，
所以测试成绩为
60,70 ，
70,80 ，
80,90 ，
90,100 的这四组的总人数为300 15
285
-
=
，
抽样比为57
1
285
5
=
，所以在测试成绩为
80,90 的这一组中抽取的人数为
1
90
18
5
´
=
.
17．(1)
π
3
C =
(2)3 3
【详解】（1）因为
(sin
,cos
)
m
C
C
=
ur
，
(2sin
3cos ,
3sin
)
n
A
B
B
=
-
-
r
，m
n
^
ur
r
，
所以
0
m n
×
=
ur r
，所以sin
(2sin
3 cos
)
cos
(
3sin
)
0
C
A
B
C
B
×
-
+
× -
=
，
所以2sin
sin
3sin
cos
3 cos
sin
0
A
C
C
B
C
B
-
-
=
，
所以2sin
sin
3(sin
cos
cos
sin
)
0
A
C
C
B
C
B
-
+
=
，
所以2sin
sin
3sin(
)
0
A
C
B
C
-
+
=
，
因为
π
B
C
A
+
=
-
，所以sin(
)
sin(π
)
sin
B
C
A
A
+
=
-
=
，
所以2sin
sin
3sin
0
A
C
A
-
=
，所以sin
(2sin
3)
0
A
C -
=
因为0
π
A
<
<
，所以sin
0
A ¹
，所以2sin
3
0
C -
=
，
所以
3
sin
2
C =
，因为
π
0
2
C
<
<
，所以
π
3
C =
；
（2）在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
c
b
a
ba
C
=
+
-
，
又因为
π
3
C =
，
3
c =
，所以
2
2
2
2
2
3
3
3
4
a
b
b
a
ba
a
b
ab
a
b
+
=
+
-
=
+
-
³
+
-
×
，
所以
2
12
a
b
³
+
，所以
2 3
a
b
+
£
，当且仅当
3
a
b
=
=
时取等号，
所以
ABC
V
的周长的最大值为3 3 ．
18．(1)证明见解析
(2) 3
2
【详解】（1）证明：取BC 的中点G ，DE 中点H ，连接PG ，GH ，HP ，
又
//
AB CD ，∴
//
//
HG AB CD ，∵AB
BC
^
，∴HG
BC
^
，
又∵PB
PC
=
，∴PG
BC
^
，
又HG
PG
G
=
I
，
,
HG PG Ì 平面PGH ，∴
^
BC
平面PGH ，
PH Ì 平面PGH ，则PH
BC
^
，
∵PD
PE
=
，H 为DE 中点，PH
DE
^
，
而BC 与DE 不平行，
,
BC DE Ì 平面ABCD ，∴PH ^平面ABCD ，
∵PH Ì 平面PDE ，∴平面PDE ^ 平面ABCD ；
（2）由（1）知，PH ^平面ABCD ，在直角梯形ABCD 中，过D 作DF
AB
^
，垂足为F ，
则BCDF 为矩形，∵
3
AB
AE
EB
=
+
=
，
2
BF
DC
=
=
，
1
AF = ，
1
EF =
2
AD =
，在Rt ADF
V
中，
2
2
2
DF
AD
AF
=
-
，得D 到AB 的距离
3
DF =
，
则四边形EBCD 的面积
1
3 3
1
2
3
2
2
S =
´
+
´
=
，
在Rt
DFE
△
中，
2
2
2
DE
DE
EF
=
+
，求得
2
DE =
，则
ADE
V
为等边三角形，
可得
3
AH =
，即
3
PH =
.
∴
1
3 3
3
3
3
2
2
P EBCD
V -
=
´
´
=
.
19．(1) 3
5 ；
(2)小明更容易晋级复赛.
【详解】（1）对A 类的5 个问题进行编号：, , , ,
a b c d e ，第一轮从A 类的5 个问题中任选两题作答，
则有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a b
a c
a d
a e
b c
b d
b e
c d
c e
d e
共10种，
设小明只能答对4 个问题的编号为：a b c d
, ,
,
，
则小明在第一轮得40 分，有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a b
a c
a d
b c
b d
c d
共6 种，
则小明在第一轮得40 分的概率为：6
3
10
5
=
；
（2）由（1）知，小明在第一轮得40 分的概率为3
5 ，
则小明在第一轮得0 分的概率为：
3
2
1
5
5
-
=
，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60 分
\当第一轮答对两题得40 分，第二轮答对一题得30分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
1
0.5 0.5
0.5
1 0.5
1 0.5
0.5
0.125
P =
´
´
´
-
+
-
´
=
é
ù
ë
û
；
2
3
0.4 0.6
0.6 0.4
0.288
5
P =
´
´
+
´
=
；
当第一轮答对两题得40 分，第二轮答对两题得60 分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
3
0.5 0.5 0.5 0.5
0.0625
P =
´
´
´
=
；
4
3
0.4 0.4
0.096
5
P =
´
´
=
；
当第一轮答错一题得0 分，第二轮答对两题得60 分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
5
0.5
1 0.5
1 0.5
0.5
0.5 0.5
0.125
P
é
ù
=
´
-
+
-
´
´
´
=
ë
û
；
6
2
0.4 0.4
0.064
5
P =
´
´
=
；
当第一轮答错两题得0 分，第二轮答对两题得60 分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
7
1 0.5
1 0.5
0.5 0.5
0.0625
P
é
ù
=
-
´
-
´
´
=
ë
û
；
\小芳晋级复赛的概率为：
1
3
5
7
0.125
0.0625
0.125
0.0625
0.375
P
P
P
P
+
+
+
=
+
+
+
=
；
小明晋级复赛的概率为：
2
4
6
0.288
0.096
0.064
0.448
P
P
P
+
+
=
+
+
=
；
0.448
0.375
>
Q
，
\小明更容易晋级复赛.
