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C H A O G E J I A O Y U
主讲老师：高
照
2026数量拿分稳稳班
第15节课（第十五章植树和方阵问题）
2.植树问题
3.方阵问题
第十一章 植树和方阵问题
（1）两端、单端（环形）、楼间植树
（2）不移动植树
（3）容斥原理植树问题
1.平方数
表达方式：
（1）总数正巧满足每个村民采摘的个数都等于该村村民数
（2）订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数
技巧：平方数
平方数
【例1】（2023联考）10名志愿者准备将村民们刚采摘的一堆西瓜平均装上甲、乙两辆运输车，西瓜总
数正巧满足每个村民采摘的西瓜个数都等于该村村民数。志愿者们先每人抱一个西瓜放到甲车上，然后
每人抱一个西瓜放到乙车上，依次轮流进行，直到所剩西瓜少到容易清点时再平分。当最后1次把10个
西瓜放到甲车后，发现所剩西瓜不足10个，于是，不得不从甲车抱出几个与所剩西瓜一起放到乙车上，
此时刚好两车所装西瓜一样多。问最后从甲车拿出几个西瓜？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例2】（2022联考）甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订
单显示：每人各自订购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的
种类数。每人订购的医疗器械种类数都未超过15类，并且两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都
比自己的助手多购45台。问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A.150
B.170
C.210
D.240
（1）两端、单端（环形）、楼间植树
（2）不移动植树
（3）容斥原理植树问题
植树问题
两端植树：棵数=
路长
间隔长度+ 1
单端（环形）植树：棵数=
路长
间隔长度
楼间植树：棵数=
路长
间隔长度−1
注意：
1.分清是两端、单端（环形）、楼间
2.注意两侧种树要×2
【例3】（2025广东）某单位计划在一块直角三角形的绿地周边栽种树木，先在3个顶点各栽种1棵，再
从顶点开始每隔4米栽种1棵，如果两条直角边（包含顶点）分别栽种4棵和5棵，则该绿地周边一共栽种
了（
）棵树。
A.12
B.13
C.14
D.15
【例4】（2022广东）有一个长方形花坛，长为10米，宽为8米。现要在花坛四周安装栅栏，要求4个顶
点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若干木桩，且每两根木桩间的距离至少为3米，则最
多可以插（
）根木桩。
A.10
B.12
C.14
D.16
注：例3和例4的区别
【例5】（2020广东）为加强治安防控，现计划在一段L形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，其中A
点到B点长度为750米，B点到C点长度为1350米。按要求ABC三个位置必须安装一个摄像头，且相邻两
个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装（ ）个摄像头。
A.14
B.15
C.16
D.17
【例6】（2020深圳）某市计划在一条笔直公路的两侧每隔8米种一棵木棉树，并把植树任务交由甲、乙
两组工人完成，若甲组先做3天，余下的任务由两组合作，则再做4天恰好完成。若乙组先做10天，余下
的任务交由甲组，则再做2天恰好完成。已知甲组比乙组每天多种5棵树，则这条公路长（ ）米。
A.1224
B.1232
C.1240
D.1248
方法：（最小公倍数不移动）
1、明确总长度
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵数（反向问法：再挖几个坑？）
例子：长144米公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，现在要改成每隔4米植一棵树，有多少不
需要移动？
不移动植树
【例7】（2018广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35米的路灯一共有21盏，现要将路灯的
间隔缩短为25米，那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.2
B.3
C.4
D.5
方法：（最小公倍数不移动）
1、明确总长度
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵树
【例8引例】（由2020深圳改）某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔16米
挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定现要将灯笼的间隔缩短为10米。那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.12
B.10
C.8
D.5
【例8】（2020深圳）某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每隔16米挂一只灯
笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5只旧
灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最大为（ ）米。
A.12
B.10
C.8
D.5
容斥原理植树问题
容斥原理和植树问题结合，
方法：求棵数+容斥原理公式运用
【例9】（2024广东）某个障碍跑项目需要在100米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不布置）。
如果从起点开始，每隔4米布置一个甲障碍，每隔6米布置一个乙障碍，甲、乙障碍的重合点则不布置
甲障碍。则跑道上总共布置（ ）个甲障碍。
A.16
B.17
C.24
D.25
【例10引例】（2023联考）某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60公里的公路上安装限速标志和测速仪
器。具体方案是：从距离甲镇3公里处开始安装限速标志，然后每隔4公里再设置一个限速标志；从8公里
处开始安装测速仪器，然后每隔9公里再设置一个测速仪器。请分析各种考法。
注意：退一步海阔天空。
【例10】（2023联考）某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60公里的公路上安装限速标志和测速仪器。
具体方案是：从距离甲镇3公里处开始安装限速标志，然后每隔4公里再设置一个限速标志；从8公里处开
始安装测速仪器，然后每隔9公里再设置一个测速仪器。假设单独安装一个限速标志费用为500元，单独
安装一个测速仪器费用为800元，如果限速标志和测速仪刚好在同一个地点安装，则可以节约安装费用，
此时安装两种设备总共只需要1000元。问最终安装总费用是多少元？
A.10600
B.11200
C.12000
D.12300
N阶实心方阵：总人数=
最外圈：4N-4人
相邻两圈相差：8人
N
2
方阵问题
注：
1、方阵求整体，巧用平方数
2、去掉一行一列，去掉了2N-1
3、（1）猜：平方数（2）两个实心方阵组成新的实心方阵，a2+b2=c2 （常考6、8、10）
【例11】（2020浙江）某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发
现多出99人，于是又将每行和每列多加了4人进行排列，发现缺少37人。问学校共有运动员多少人？
A.256
B.289
C.324
D.361
【例12】（2024深圳）某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，然后融合
并变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8架无人机，且原红方阵恰
好可填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4架。则参加灯光秀表演的无
人机共有（ ）架。
A.260
B.233
C.196
D.185
【例13】（2022福建事业单位）用原味和海鲜味两种口味的罐装薯片组成一个实心方阵（所有罐装薯片
大小完全相同），最外层都是原味罐装薯片，从外往内每层按原味罐装薯片、海鲜味罐装薯片相间摆放。
如果最外一圈的正方形有原味罐装薯片44罐，那么摆成这个实心方阵共需海鲜味罐装薯片（ ）罐。
A.60
B.62
C.64
D.70
【例14】（2023联考）某学院有新生两百多人，将学生从1开始依次编号，选取编号为3的倍数的学
生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m为整数）的倍数的学生，恰
好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？
A.242
B.243
C.245
D.246
梳理：
专项拔高练习十五
我们一起来闯关
小天才
你准备好了吗？
【练习1】（2019广东）某机构计划在一块边长为18米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔2米
插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（ ）面彩旗。
A.32
B.36
C.44
D.48
【练习2】（2019新疆）某文艺汇演的舞台为一个边长为10m的正六边形，节目“千手观音”中，演员
需排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持50cm的距离，问该舞台最多能站多少名
“千手观音”的演员？
A. 31
B. 35
C. 39
D. 41
【练习3】（2023福建事业单位）在一片长20米宽10米的长方形的地上植树，每两棵树之间的行距
和列距均为2米，则在这片长方形的地上最多可以植（ ）棵树。
A.50
B.55
C.60
D.66
【练习4】（2023湖北事业单位）育才中学有一条150米长的小道，学校准备在小道的两边分别按照
一棵梧桐树、一棵桦树、一棵梧桐树······的顺序依次种树，已知同一边两棵树的间隔为3米，小道的
起点、终点均要求种树，且起点均为梧桐树，那么总共需要种（
）棵梧桐树。
A.26
B.50
C.52
D.54
【练习5】（2023湖北事业单位）某圆形建筑的外围计划摆放绿萝、蝴蝶兰和帝王花，已知圆形建筑
的外围周长为200米，每隔5米放一盆绿萝，相邻的绿萝中间摆放两盆蝴蝶兰和一盆帝王花，且帝王
花必须摆在两盆蝴蝶兰中间，则分别需要绿萝、蝴蝶兰和帝王花各（
）盆。
A.41、82、41
B.40、78、39
C.39、78、39
D.40、80、40
【练习6】（2017广东）施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏，刚开始，每隔1米挖一个洞
用于建栏杆。后来发现间隔太远，决定改为每0.8米挖一个洞。那么至少需要再挖（
）个洞。
A. 39
B. 40
C. 41
D. 42
方法：（最小公倍数不移动）
1、明确总长度
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵树
【练习7】（2018重庆选调）某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了49个坑。现
在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（
）个。
A.8
B.9
C.11
D.13
方法：（最小公倍数不移动）
1、明确总长度
2、求间隔长度的最小公倍数
3、求不移动棵树
【练习8】（2023广东事业单位）某公司计划在年终庆典上用若干无人机进行方阵表演。活动当天突
然有41台无人机发生故障无法使用，剩下的无人机恰好仍能组成方阵，但比原计划少了一行和一列。
则原计划方阵表演使用的无人机数量可能是（
）台。
A.400
B.441
C.484
D.529
注：
1、方阵求整体，巧用平方数
2、去掉一行一列，去掉了2N-1
【练习9】（2018新疆）某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128人，则该部队共有
多少名官兵？
A.529
B.783
C.1089
D.1122
最外圈：4N-4人
【练习10】（2019下半年事业单位）学校校庆计划进行方阵表演，男女同学按照最外层是男生，从
外往内每层按男生、女生相间排列，已知最外层有60位男生。问整个方阵男生比女生多多少人？
A.16
B.24
C.32
D.40
相邻两圈相差：8人
【练习11】（2021安徽事业单位）将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方阵由外到
内第三层有76人，则该方阵共有学生（ ）人。
A.484
B.529
C.576
D.625
相邻两圈相差：8人
【练习12】（2018黑龙江）一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50米。
林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70
步，每步大约50厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有：
A.44棵
B.42棵
C.22棵
D.21棵
作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）平方数、植树问题和方阵问题非常好判定，要记住题型特征，
实现考场快速识别题型，题干的表述，两端植树？环形植树？楼间植树？方阵。
2：计算2遍：做猜结合。
预习：第十六章 数量易拿分小题型（送分题）
照亮自己的世界
把自己先藏起来
把不可能变成可能，把可能变成无限可能。
学别人不敢学，敢于咬硬骨头，这就是自我管理、意识的进步和提升
千里始于足下，高山起于微尘。
学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
牢记老师嘱托，不负美好年华。
不要小看自己，人有无限可能。
学习不怕起点低，就怕坚持不到底。
没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。
贵在坚持，难在坚持，成在坚持。
理由少一点，行动快一点，效率高一点。
