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数量关系默写
行
程
基本公式：S = vt
平均速度
（上下坡）
2𝑉1𝑉2
𝑉1+𝑉2
流水
行船
顺水速度= 船速+水速
逆水速度= 船速-水速
船速= 顺水速度+逆水速度
2
水速=
顺水速度−逆水速度
2
静水速度= 船速
漂流速度= 水速
火车
过桥
列车在桥上时间= （桥长-车长）÷列车速度
列车从开始上桥到完全下桥所用时间= （桥长+车长）÷列车速度
列车速度= （桥长+车长）÷过桥时间
相遇：S = （𝑉1 + 𝑉2）× T
追击：S = （𝑉1 −𝑉2）× T
线性两端出发第N 次相遇：𝐒总 = （2n-1）S ＝（𝑉1 + 𝑉2）× T
线性一端出发第N 次相遇：𝐒总 = 2nS = （𝑉1 + 𝑉2）× T
环形路程第N 次相遇：𝐒总 = n 圈 = （𝑉1 + 𝑉2）× T
环形路程第N 次追击：𝐒总 = n 圈 = （𝑉1 −𝑉2）× T
扶梯上下型
扶梯总长=人走的台阶数×（1±
𝑽梯
𝑽人） 顺行加，逆行减
队伍行进型
队头→队尾：队伍长度= （𝑉人+ 𝑉队）× T
队尾→队头：队伍长度= （𝑉人−𝑉队）× T
电梯问题
S = （𝑉人± V梯）× T 同向加，反向减
典型行程
等距离平均速度：V̅ =
2𝑉1𝑉2
𝑉1+𝑉2
等发车前后过车：T =
2t1t2
t1+t2
𝑉车
𝑉人
=
t2+t1
t2−t1
工
程
基本公式：工作量 = 工作效率×工作时间
给时间：赋值总工作量
给效率：赋值效率
*中途有人加入、休息、退出时，工作总量=每个人工作量总和
经
济
利
润
利润= 售价-成本
利润率=
利润
成本 =
售价−成本
成本
=
售价
成本 - 1
售价＝ 成本×（1+利用率）= 成本+利润
几
何
问
题
正方形周长= 4a 长方形周长= 2(a+b)
圆形周长= 2πr
长方形面积= ab
圆形面积= π𝑟2
扇形面积=π𝑟2 ×
n。
360。
三角形面积=
1
2ah
梯形面积= 1
2 (a+b)h
菱形面积=
1
2 对角线乘积
长方形表面积= 2（ab+ac+bc）
球表面积= 4π𝑟2 =π𝑑2 圆柱表面积=2πrh+2π𝑟2
长方形体积= abc
球体积=
3
4π𝑟3
圆柱体积= Sh =π𝑟2 h
圆锥体积=
1
3 Sh
概
率
基本
公式
给情况求概率：P =
𝑃1
𝑃总
给概率求概率
分类：相加
分步：相乘
反向公式：P = 1- P反
排
列
组
合
排列有序：𝐴𝑛
𝑚 = n×（n—1）…×（n-m+1）
排列无序：𝐶𝑛
𝑚 = n×（n—1）…×（n−m+1）
m×(m−1)…×1
主体相邻：捆绑
主体不相邻：插空
物品分配：隔板法
集合
两集合：A+B-A∩B = 全部-都不满足
三集合（标准）：A+B+C- A∩B- A∩C- B ∩C + A∩𝐵∩𝐶= 总数-都不
三集合（非标准）：A+B+C-满足两项-满足三项×2 = 总数-都不
三集合常识公式：满足一项+满足两项+满足三项 = 总数-都不
数列
等差
数列
通项公式：𝑎𝑛 = 𝑎1+(n-1)d = 𝑎𝑘+(n-k)d
求和公式：𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
= 𝑎1𝑛 +
𝑛(𝑛−1)
2
d
中项公式：2𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−𝑚 + 𝑎𝑛+𝑚
等比
数列
通项公式：𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 = 𝑎𝑘𝑞𝑛−𝑘
求和公式：𝑆𝑛 =
𝑎1(1−𝑞𝑛)
1−q
植
树
段数= 总长÷间隔
单边线型：棵数= 总长÷间隔+1
总长= （棵数-1）×间隔
楼间植树（两端都不植）：棵数=总长÷间隔-1
总长= （棵数+1）×间隔
环形植树： 棵数 = 总长÷ 间隔
总长= 棵数×间隔
*两边植树问题：单边植树问题所需棵数的2 倍
剪绳
对折N 次，从中剪M 刀，段数= 2𝑁×M+1
溶液
基本公式：浓度 = 溶质 ÷溶液
溶液混合：A×a％+B×b％ = (A+B)×c％
空瓶
换酒
N 个空瓶可换一瓶酒，总共A 个空瓶，可以换多少瓶饮料：
𝐴
𝑁−1
N 个空瓶可换一瓶酒，要换M 瓶酒，至少要多少空瓶：M×（N-1）
牛吃草 Y=(N-X)T
方阵
实心方阵
最外层人数=(最外层每边人数-1)×4
方阵总人数=（最外层每边人数）
2=（外圈人数÷ 4 + 1）
2 = N2
空心方阵
方阵总人数=（最外层每边人数）
2-（最外层每边人数−2 × 层数）
2
=（最外层每边人数-层数）×层数×4
N 边形方阵：总人数= N×N
外圈人数= 4N-4
*无论是方阵还是长方阵，相邻两层比内层多8 人
奇偶
特性
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数±奇数=奇数
*任意两个数的和，如果是奇数，那么差也是奇数；如果是偶数，那么差也是偶数
*任意两个数的和或差，如果是奇数，则两数奇偶相反;如果是偶数，则两数奇偶相同
倍数
关系
如果a:b=m:n（m、n 互质），则a 是m 的倍数，b 是n 的倍数
如果a:b=m:n（m、n 互质），则a±b 应该是m±n 的倍数
如果n×x=m×y (m、n 互质）,则x 是m 的倍数，y 是n 的倍数
