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数字推理（一） （笔记） 主讲教师：戚七 授课时间：2025.09.24 粉笔公考·官方微信 1 数字推理（一）（笔记） 【答案汇总】 基础数列1-2：AA 特征数列1-5：BDACC；6-10：DCBAD；11-12：BB 【注意】 1.数字推理是独立的题型，之前没有学过其他模块、其他题型都不影响，它 属于数量关系，但是它是数量关系中一种独立的题型，没有学过其他题型不影响 数字推理的学习。 2.考试情况：国联考基本不考，多数省份自主命题的时候可能会考查，例如 浙江、广东、深圳市考、上海，如果是备考江浙、广东、深圳的同学，一定要学， 如果是备考其他省份的同学，要是还要了解其他考试，建议也学习一些数字推理， 像一些省份事业单位的考试、选调生考试、银行类的考试很多都会考查到数字推 理。如果之前本省的考试不考，即使今年考，难度也不会很高，只要掌握一些基 础思维，考试的时候遇到基础题也能拿分，只要比竞争对手多拿1～2 分，这个 模块就算赚了，所以也不用担心。 目录 01 基础数列 02 特征数列 03 非特征数列 【注意】基础数列：直接考查的题目不多，但是很重要，是整个数推的基础； 特征数列和非特征数列是高频考点。本节课讲解基础数列和特征数列。 一、基础数列 数字敏感 等差数列：相邻数字之间差相等 【例】1，6，11，16，21，26 2 等比数列：相邻数字之间商相等 【例】3，6，12，24，48，96 质数数列：只有1 和它本身两个约数的自然数叫做质数 【例】2，3，5，7，11，13，17，19 合数数列：除了1 和它本身还有其它约数的自然数叫做合数 【例】4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20 ※0 和1：既不是质数、也不是合数 周期数列 （1）数字循环【例】1，5，1，5，1，5 （2）符号循环【例】1，-2，3，-4，5，-6 简单递推数列 （1）和递推（①+②=③）【例】1，2，3，5，8，13，21 （2）差递推（①-②=③）【例】21，13，8，5，3，2，1 （3）积递推（①*②=③）【例】1，2，2，4，8，32 （4）商递推（①/②=③）【例】32，8，4，2，2，1 【注意】基础数列：考频不高，但是很重要，是整个数推的基础，需要知道 有哪些基础数列。 1.等差数列：相邻数字之间差相等。例：1、6、11、16、21、26，相邻两项 的差值都是5，下一项=26+5=31。 2.等比数列：相邻数字之间商相等。例：3、6、12、24、48、96，相邻两项 之间的商都是2，下一项=96*2=192。 3.质数数列：只有1 和它本身两个约数的自然数叫作质数，例如7 只能表示 为1*7，7 就是质数；需要记住20 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。 4.合数数列：除了1 和它本身还有其它约数的自然数叫作合数，例如10 能 表示为1*10，还能表示为2 和5，10 除了1 和10 本身这两个约数，还有2 和5 这两个约数，10 就是合数；需要记住20 以内的合数：4、6、8、9、10、12、14、 15、16、18、20。0 和1：既不是质数、也不是合数，当一个数列中有0 或1 的 时候，该数列既不是质数数列、也不是合数数列。 5.周期数列：找到周期，用周期循环。 3 （1）数字循环：例如1、5、1、5、1、5→两个数的循环，1、2、3、1、2、 3、1、2、3→三个数的循环。 （2）符号循环：例如1、-2、3、-4、5、-6→“+、-”的循环。 6.简单递推数列：递推数列指相邻几项之间数字存在共同的规律，简单递推 就是有最简单的计算→加减乘除。 （1）和递推（①+②=③）：例如1、2、3、5、8、13、21，1+2=3、2+3=5、 3+5=8、5+8=13、8+13=21。 （2）差递推（①-②=③）：例如21、13、8、5、3、2、1，是和递推反过 来→①=②+③，21-13=8、13-8=5、5-3=2、3-2=1。 （3）积递推（①*②=③）：例如1、2、2、4、8、32，1*2=2、2*2=4、2*4=8、 4*8=32。 （4）商递推（①/②=③）：例如32、8、4、2、2、1，是积递推反过来→ ①=②*③，32/8=4、8/4=2、4/2=2、2/2=1。 【例1】（2023 广东）11，-13，15，-17，19，（ ） A.-21 B.-22 C.21 D.22 【解析】1.数据是“+、-”的循环，下一项为“-”；看数字：11、13、15、 17、19，是公差为2 的等差数列，下一项=19+2=21；故所求项=-21，对应A 项。 【选A】 【例2】（2024 广东事业单位）38，16，22，-6，28，（ ） A.-34 B.-2 C.6 D.18 【解析】2.符号没有明显的关系，可以发现38-16=22、16-22=-6、22-（-6） =28，则所求项=-6-28=-34，规律：①-②=③，是简单差递推数列；也可以加和， 用①=②+③也可以。对应A 项。【选A】 4 【注意】基础数列：包括等差和等比、质数和合数、周期、简单递推。 二、特征数列 常见特征数列 多重数列 机械划分数列 分数数列 幂次数列 作商数列 【注意】特征数列：数字推理给出一组数，我们的目标是找规律，需要知道 如何找规律，就要先识别出题型，根据题目特征识别题目特点，有些数字推理有 明显特征，有特征根据特征进行识别，进一步找规律。特征数列的特征很明显， 基本一眼扫过去就能知道是什么规律，根据其特征结合对应的方法找答案即可。 常见类型有多重数列、机械划分数列、分数数列、幂次数列、作商数列。 【一】多重数列 题型特征 项数多 常见情况：项数≥7 项 解题技巧 5 交叉看：A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4 将数列分为奇数项、偶数项，寻找规律。（优先看括号所在项） 分组看：A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2 将数列相邻项分为两两一组（或三三一组），组内运算后寻找规律。 【注意】多重数列：多个数列重叠在一起，例如题目给出1、2、3、4，一 定会找规律；题目给出2、4、8、16，也一定会找规律；但如果两个数列组合在 一起：1、2、2、4、3、8、4、（ ），就变难了，这就是把两组数列重叠在一 起；故多重数列往往就是出题人把两组简单的数列重叠在一起。 1.题型特征：项数多；常见情况：项数≥7 项。 2.解题技巧： （1）交叉看：可能一三五七项是一组规律，二四六八项是一组规律，将数 列分为奇数项、偶数项，寻找规律。优先看括号所在项，例如A1、B1、A2、B2、 A3、B3、A4、B4，如果括号在B4项，优先看B 组的规律，如果括号在A4项，优先 看A 组的规律，只要看到一组数字有规律，有答案能选就直接选。 （2）分组看：（A1、A2）、（B1、B2）、（C1、C2）、（D1、D2），将数列相 邻项分为两两一组（或三三一组），组内运算后寻找规律。 【例1】（2023 广东事业单位）4，3，7，6，10，12，13，（ ）。 A.18 B.24 C.36 D.48 【解析】1.数列很长，一共有8 项，项数多，考虑多重数列。先交叉看，括 号在偶数项，先看偶数项：3、6、12、（ ），是公比为2 的等比数列，（ ） =12*2=24，对应B 项。【选B】 【注意】考试中不用看奇数项，奇数项的规律完全不影响做题；奇数项：4、 7、10、13，是公差为3 的等差数列。 【例2】（2021 浙江）1，2，4，4，7，6，（ ），8 A.7 B.8 6 C.9 D.10 【解析】2.数列一共有8 项，项数多，考虑多重数列。 方法一：先交叉看，所求项在奇数项，先看奇数项：1、4、7、（ ），是 公差为3 的等差数列，（ ）=7+3=10，对应D 项。 方法二：本题还可以分组看，数列两两分组， （1、2）、 （4、4）、 （7、6）、[（ ）， 8]，分组后尝试作和、作差找规律，组内作和得：3、8、13，是公差为5 的等差 数列，下一项为18，（ ）+8=18→（ ）=10，对应D 项。 方法三：分组后尝试作差，组内作差得：1、0、-1，下一项为-2，8-（ ） =-2→（ ）=10，对应D 项。【选D】 【注意】 1.偶数项：2、4、6、8，是公差为2 的等差数列。 2.平时练习的时候大家可以多发散思维，自己做一个思维的拓展；考场上不 用纠结，任何一种规律有答案选完就跑。 3.小经验：对于多重数列，优先看交叉规律，交叉规律考得多，而且做起来 比较快；交叉找不到答案，再分组看。优先找括号所在组的规律，如果规律不明 显，可以看另一组，一般两组规律有相似性，另一组的规律往往对这一组有所指 导。 【二】机械划分数列 题型特征 7 特殊符号 项数出现特殊符号，将项数分成几个部分，常见小数形式 多位数 项数位数较多，多为三位数或四位数等多位数 解题技巧 组间规律：A1、B1、A2、B2、A3、B3、A4、B4 将数项分成多个部分，分别观察各部分的规律。 组内规律：A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2 将数项分成多个部分，观察各部分之间的关系。 【注意】多重数列：是多重数列的一种变形。 1.题型特征： （1）特殊符号：项数出现特殊符号，例如a.b、a+√b，天然地将项数分成 几个部分。 （2）多位数：项数位数较多，多为三位数或四位数等多位数。 2.解题技巧：和多重数列比较像。 （1）组间规律：将数项分成多个部分，分别观察各部分的规律，有点像多 重数列的交叉思维。 （2）组内规律：将数项分成多个部分，观察各部分之间的关系，类似多重 数列的分组规律。 1.出现小数点等特殊符号 以特殊符号分隔为不同部分，先找组间规律,再找组内规律 【例3】（2023 广东）92.46，84.42，76.38，68.34，（ ） A.50.25 B.53.26 C.55.17 D.56.30 【解析】3.数字都是小数形式，以小数点为特殊符号把数字分开，先看组间 规律，整数部分：92、84、76、68，是公差为8 的等差数列，下一项=68-8=60； 小数部分：46、42、38、34，是公差为4 的等差数列，下一项=34-4=30；所求项 8 =60.30，选项中没有，该规律无法锁定答案。组间规律不行，找组内规律，看组 内两个数字有什么关系，可以发现整数部分是小数部分的2 倍，96=16*2、84=42*2、 76=38*2、68=34*2，所求项也符合该规律，对应选项，只有A 项满足。【选A】 【例4】（2025 江苏）5+√6，7+2√2，14，13+√10，17+2√3，（ ） A.17+√13 B.18+√15 C.19+√14 D.23 【解析】4.根号形式是江苏特别喜欢考的，根号形式不会让我们算根号是多 少，要么统一为a+√b形式，进行机械划分，分成两部分，要么统一为√m形式， 观察m 的规律。本题不仅有根号，还有加号，很难全部统一到根号下，则全部统 一为的a+√b形式。a 的部分：5、7、？、13、17，2√2=√8，2√3=√12，b 的部 分：6、8、？、10、12，b 是合数数列，？处为9，下一项为14，选项中根号下 位14 的只有C 项；a 应该是质数数列，？处为11，下一项为19；综上，所求项 =19+√14，对应C 项。【选C】 【注意】 1.小经验：出现根号——统一形式。 （1）统一为a+√b形式，机械划分。 （2）统一为√m形式，观察m 的规律。 2.本题出题人比较仁慈，有的同学没有注意14，根据b 为6、8、10、12 就 认为下一项是14，也可以选对答案。 2.多位数 四位数或三位数，划分成2 或3 个部分，—般考虑数字内部计算、数字加和 等关系 【拓展】（2024 深圳）1123，2436，3547，4759，（ ） A.6880 B.5879 9 C.5970 D.7327 【注意】多位数：广东、深圳喜欢考查，江苏有时候也会考。 1.四位数或三位数，划分成2 或3 个部分；四位数一般划分为两个部分，三 位数一般将三位全划开，看各个数字之间的规律，例如1|1|0、2|2|1、1|6|5。 —般考虑数字内部计算、数字加和等关系。 2.拓展（2024 深圳）：1123，2436，3547，4759，（ ）。 A.6880 B.5879 C.5970 D.7327 答：数列都是四位数，考虑拆分成两部分，11|23、24|36、35|47、47|59， 组内规律非常明显，每一项的组内都差12，结合选项，只有A 项符合。 【例5】（2025 深圳）841，846，856，867，880，（ ） A.877 B.884 C.888 D.891 【解析】5.都是三位数，把所有的数字都拆分开，8|4|1、8|4|6、8|5|6、 8|6|7、8|8|0，可以发现首位都是8，下一项的首位大概率也是8。看后两位， 加和得：5、10、11、13、8，没有规律；一个数列实在没有思路，就作差，用后 两位的后项-前项得：5、10、11、13，正好对应加和得到的数字，下一项为8， 则所求项的后两位=80+8=88。综上，所求项=888，对应C 项。【选C】 【注意】本题考查的规律：本身+十位+百位=下一项，该考法已经有两个省 份考查了，以后还有可能考查，可以把该考法积累下来。 【三】分数数列 题型特征 分数 全部或大部分项数为分数 解题技巧 先观察分子和分母的单调变化趋势： 10 是： 分开看：分子分母分开看，各自成规律 【例】（2019 广东）1/2，3/4，5/8，7/16，（ ） A.9/32 B.14/32 C.32/64 D.45/64 一起看：分子分母一起看，上下有关系 【例】（2020 江苏事业单位）1，1/2，2/3，6/5，30/11，（ ） A.137/25 B.241/32 C.330/41 D.451/56 否：反约分 若出现整数或个别分子或分母破坏了整体单调变化的趋势，先反约分 【注意】分数数列： 1.题型特征：全部或大部分项数为分数。 2.解题技巧：先观察分子和分母的单调变化趋势。 （1）是： ①分开看：分子分母分开看，各自成规律。 例：（2019 广东）1/2，3/4，5/8，7/16，（ ） A.9/32 B.14/32 C.32/64 D.45/64 答：类似于机械划分，把分数线当成特殊符号，把每一项分成两个部分，相 当于分开看，分子：1、3、5、7、9，分母：2、4、8、16、32，所求项=9/32， 对应A 项。 ②一起看：分子分母一起看，上下有关系。 例：（2020 江苏事业单位）1，1/2，2/3，6/5，30/11，（ ） A.137/25 B.241/32 C.330/41 D.451/56 答：分开看没有规律，考虑将分子、分母合在一起看，例如3=1+2、2=1*2， 5=2+3、6=2*3，11=6+5、30=6*5，规律：后一项分子=前一项的分子和分母相乘、 后一项分母=前一项的分子和分母相加，则所求项的分子=30*11=330、所求项的 11 分母=30+11=41，所求项=330/41，对应C 项。第一项1 写成1/1，则1=1*1、2=1*2， 正好对应第二项。 （2）否： ①反约分，若出现整数或个别分子或分母破坏了整体单调变化的趋势，先反 约分，将分子、分母同时乘一个数还原成初始形式。例如5/3、1、7/12、1/3， 分子5 和7 中间是6，下一项为8，则1 反约分为6/6、1/6 反约分为8/24，根 据规律，下一项=9/48。 ②若分子或分母公倍数明显，可以尝试通分。 先看【例7】 【例7】（2021 江苏）1，3/2，12/5，4，48/7，（ ） A.9 B.39/4 C.12 D.105/8 【解析】7.数列多数是分数，但是有整数的出现，说明需要反约分。对于1 而言，只知道右边是3/2，对于4 而言，左边的分母为5、右边的分母为7，则4 反约分为24/6，则所求项的分母为8，分子为公比为2 的等比数列，所求项的分 子=48*2=96；综上，所求项=96/8=12，对应C 项。验证：按照分母的趋势，3/2 反约分为6/4、1 反约分为3/3，分子符合公比为2 的等比数列，规律验证符合。 【选C】 【例6】（2022 广东）1/8，1/6，3/16，1/5，（ ） A.1/3 B.2/9 C.5/18 D.5/24 【解析】6.数列需要反约分，经验：数列中第一项的分子是1，第三项的分 子是3，有很大可能性分子是1、2、3、4，此时所求项的分子是5；1/6 反约分 12 为2/12、1/5 反约分为4/20，分母：8、12、16、20，是公差为2 的等差数列， 下一项=20+4=24；所求项=5/24，对应D 项。【选D】 【注意】本题需要结合经验反约分，当数列中第一项的分子是1，第三项的 分子是4，有很大可能性分子是1、2、3、4，可以尝试一下。 【例8】（2023 浙江事业单位）5，5/3，5/6，1/2，1/3，（ ）。 A.1/4 B.5/21 C.1/5 D.5/27 【解析】8.可以发现分母有公倍数12，将分母统一为12，此时分子分别为 60、20、10、6、4，看不出规律；继续观察，分子出现大量5，将分子都统一为 5，此时分母分别为1、3、6、10、15，后项-前项为2、3、4、5，下一项为6， 15+6=21；综上，所求项=5/21，对应B 项。【选B】 【注意】 1.当分子或分母有统一数字、公倍数的时候，可以对整个数列进行通分；该 规律近两年有所考查，需要了解。 2.该数列可以用后项/前项，得到1/3、2/4、3/5、4/6、5/7，也可以找到 规律，但是比较麻烦；考场上不纠结，先想到哪种方法就用哪种。 【四】幂次数列 题型特征 幂次数 项数本身或附近均为幂次数 解题技巧 普通——转化a n形式 若项数本身都是幂次数，则将项数转化成幂次数a n 形式，底数a 和指数n 分别成规律 修正——转化a n±修正项形式（VIP64） 13 若项数附近都是幂次数，则将项数转化成修正幂次a n±修正项形式，再找规 律 ※77 小技巧：优先转化唯一形式的幂次数 【注意】幂次数列： 1.题型特征：项数本身是幂次数（例如27、25、36、81、64）或附近为幂 次数（例如26=27-1、63=64-1、80=81-1、120=121-1）。 2.解题技巧 （1）普通：若项数本身都是幂次数，则将项数转化成幂次数a n形式，底数 a 和指数n 分别成规律。例如25=5²、27=3³、64=8²=4³=2 6，有的数字有多种还 原形式，故还原的时候优先还原唯一形式的幂次数。例如一组数列中都是立方， 则64 转化为4³，如果数列中都是平方，则64 转化为8²。 （2）修正：若项数附近都是幂次数，则将项数转化成修正幂次a n±修正项 形式，再找规律。60 多的数（54）、120 附近的数（121、125）、20 多的数（25、 27）出现，往幂次修正想。 【注意】常用幂次数：建议能记多记一记，对于数量和资料的计算都是有帮 助的。 1.平方数（21 以内）：11²=121，12²=144，13²=169，14²=196，15²=225， 16²=256，17²=289，18²=324，19²=361，21²=441。 14 2.立方数（10 以内）：3³=27，4³=64，5³=125，6³=216，7³=343，8³=512， 9³=729。 3.四次方数：3 4=81，4 4=256，5 4=625。 4.2 的1～10 次方：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024。 5.特别注意： （1）1=1 n=m 0（m 为非零数），0=0 n（n＞0）。 ②1/a=a -1（a≠0），例如1/2=2 -1、1/9=9 -1=3 -²。 【例9】（2024 浙江）1/9，729，9，81，27，（ ） A.27√3 B.36 C.36√3 D.45 【解析】9.出现9、81、27，都是3 的n 次方，1/9 可能是负幂次，考虑转 换为3 的n 次方形式：1/9=3 -2、729=3 6、9=3²、81=3 4、27=3³，所求项大概率也 是3 的n 次方。 方法一：结合选项，36=3*12=9*4→出现系数2，3 的倍数不可能出现2，排 除B 项，同理可以排除C 项；45=9*5→出现系数5，排除；选择A 项。 方法二：指数为-2、6、2、4、3，规律性不强，尝试作差，后项-前项得：8、 -4、2、-1，是公比为1/2 的等比数列，同时还有正负号的循环，下一项为1/2， （ ）-3=1/2→（ ）=7/2；则所求项=3 7/2=√37=√36 ∗3=3³*√3=27√3，对应A 项。【选A】 【注意】 1.幂次数列中出现个别1/n，考虑负幂次情况。 2.数字推理不需要每道题都完整地算出来，根据某些规律能锁定答案可以直 接选择。 【例10】（2021 重庆选调）10，24，50，80，122，168，（ ） A.223 B.224 15 C.225 D.226 【解析】10.168=169-1、122=121+1、80=81-1、50=49+1、24=25-1、10=9+1， 都在幂次数附近，修正项为“+1、-1”的循环，下一项为“+1”；幂次数分别为 9=3²、25=5²、49=7²、81=9²、121=11²、169=13²，下一项=15²=225；所求项 =225+1=226，对应D 项。【选D】 【注意】如果忘了“+1”会错选为C 项，如果错认为“-1”会错选为B 项。 【五】作商数列 题型特征 倍数关系：相邻两项之间倍数关系明显 解题技巧 作商：相邻项两两作商，观察商的规律 【例】（2021 广东选调）13，13，26，78，（ ） A.234 B.256 C.284 D.312 注意 1.方向一致 2.可能出现小数、分数、负数等情况 ※77 小技巧：相邻两项之间容易约分，可能考作商（商为分数） 【注意】作商数列： 1.题型特征：相邻两项之间倍数关系明显。 2.解题技巧：相邻项两两作商，观察商的规律。 3.例：（2021 广东选调）13，13，26，78，（ ）。 A.234 B.256 C.284 D.312 答：相邻两项之间倍数关系明显，后项/前项得：1、2、3，下一项为4，所 求项=78*4=尾2，对应D 项。 4 注意： 16 （1）方向一致。 （2）可能出现小数、分数、负数等情况。 【例11】（21 天津事业单位）8，20，40，60，（ ），30。 A.80 B.60 C.40 D.20 【解析】11.没有特别明显的倍数，但是相邻两项之间好约分，可以考虑作 商，此时商可能是分数或小数。后项/前项得：5/2、2=4/2、3/2，接下来应该是 2/2、1/2，则（ ）/60=1=60，30/60=1/2，符合；对应B 项。【选B】 【注意】小技巧：相邻两项之间容易约分，可能考作商（商为分数）。 【例12】（2020 浙江）48，24，16，12，（ ），8 A.9 B.9.6 C.10 D.10.8 【解析】12.48 和24 有2 倍关系、24 和16 可以约掉8、16 和12 可以约掉 4，相邻两项好约分，后项/前项得：2/1、3/2、4/3，接下来为5/4、6/5，则12/ （ ）=5/4，（ ）/8=6/5=1.2→（ ）=8*1.2=9.6，对应B 项。【选B】 【注意】特征数列：先观察题目特征，发现特征后可以识别题型，对应到固 定的解题思路做题。特征可以分为两大类，第一类是形式特征，例如项数多、有 17 特殊符号或多位数、出现多个分数；第二类是数字特征，例如是幂次数或在幂次 数附近、相邻两项有倍数关系或好约分的。优先做形式上明显的，这是最好识别 的，其次看数字特征明显的。 18 遇见不一样的自己 Be your better self
