数学-2023年高考押题预测卷03（广东卷）（参考答案）_数学_专项复习_2024年_2023年高考押题预测卷01数学_数学-2023年高考押题预测卷03（广东卷）（含考试版、全解全析、参考答案、答题卡）

2023 年高考押题预测卷 03【广东卷】
数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C D D C C B ABD BD AB ABD
13．0.6 14． 15． 16．24
【解答题评分细则】
17．解：（1） ，
，（1分）
由余弦定理 可得，
，（2分）
化简得， ，（3分）
由正弦定理
可得 ，（4分）
， .（5分）
（2）
由（1）得 ， .（6分）
， ，（7分）
，整理得 .
由基本不等式， ， （当且仅当 时等号成立），（8分）， ，
外接圆的直径 ， ，（9分）
当且仅当 时， 外接圆的面积取最小值 .（10分）
18．解：（1）由已知可得，等比数列 的前n项和为 .
则 ， ，
.（1分）
因为数列 是等比数列，应有 ，解得 ， .（2分）
所以首项 ，
等比数列 的通项公式为 .（3分）
因为 ，
又 ，所以 ， ，
所以 .（4分）
又 ，所以数列 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，则 .（5分）
当 时， ，
又 时也适合上式，
所以 的通项公式 .（6分）
（2）由（1）可知， ，（7分）
所以，
.（10分）
由 ，得 ，得 ，（11分）故满足 的最小正整数为337.（12分）
19.解：（1）证明：翻折前，在 中， ，
翻折后，有 ， ，（2分）
又 ， 、 平面 ，
所以 平面 ，（4分）
因为 平面 ，所以 .（5分）
（2）解：因为二面角 为 ， ， ，
所以，二面角 的平面角为 ，（6分）
以点 为坐标原点， 、 所在直线为 、 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴建立如下图所
示的空间直角坐标系，（7分）
不妨设 ，则 、 、 、 、 .
， ， ， .（8分）
设 ， ，其中 ，
设平面 的法向量为 ，（9分）
由 得 ，
取 ，可得 ，（10分）
，解得 ，合乎题意，（11分）
故当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .（12分）20. 解：（1）记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，
随机选择3所学校共 种，所以 .（4分）
（2） 的所有可能取值为 ，（5分）
参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，
所以 ， ，
， ，（7分）
所以 的分布列如下表：
所以 .（8分）
（3）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，
则 ，（9分）
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布 ，（10分）
由题意列式 ，得 ，（11分）
因为 ，所以 的最小值为 ，
故至少要进行 轮测试.（12分）
21. 解：（1）由题意， 与曲线 相切，（1分）
消 得： 有唯一解，（2分）
所以 得： ，（3分）
离心率 .（4分）
（2）由 ，故点 作曲线 的切线 的斜率为 ，则 ，（5分）所以 方程为 代入 中，并整理得
，（7分）
设 ，在 ，（8分）
易得 的中点 ，（9分）
故中垂线 ，则点 .
若 ，则 ，即 得 ，（10分）
此时 （11分）
当 ，即 时，存在实数 ，使得 ；
当 ，即 时，不存在实数 ，使得 .（12分）
22．解：（1）当 时， ，即 ，等价于即 ，
构建 ，则 ，（1分）
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，（2分）
可得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立；可得 ，则 ，当且仅当 时，即 时，等号成立；（3分）
可得 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
综上所述： .（4分）
但等号不同时取到，故 ，
∴ ，原式得证．（5分）
（2）由题意可得： ， ，
设直线l与 相切于点 ，则切线斜率 ，直线l与 相切于点 ，则
切线斜率 ，（6分）
则 ，整理得 ，（7分）
由题意可得： ，
消去 可得：
1lnalnx 12lnlnalnax 1lnx 1 x lna
，（8分）
2 2 2 2
令 ，则 ，
则 ，
可得 ，（9分）
令 ，
要证两函数有且只有两条公切线，即证 在 上有且只有两个零点．
且 ，令 ，
则 ，可得 在定义域内单调递增，
且 ，（10分）
故 在 上有唯一零点 ，且 ，
∴当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，可知 的最小值为 ，（11分）又∵ ，
则 ，
注意到 趋近0时， 趋近 ， 趋近 时， 趋近 ，
∴ 在 和 上分别存在一个零点，
故 有且只有两个零点，故原命题得证．（12分）